2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期复习考试数学(文)试题(解析版)
黑龙江省大庆市2020届高三第三次高考模拟考试数学(文)试题参考答案
2020年大庆市高三第三次质量检测文科数学参考答案 一、选择题:ABAAC BCABD CD13.1 14.1 15.2116.3520π17.解：(1)Q 四边形ABCD 是矩形，AD AB ⊥ ，又,AF AF AD α⊥∴⊥Q ， .............2分AF AB A ⋂=，AD ABF 平面∴⊥，BF 在平面ABF 内，AD BF ∴⊥. .............4分(2) 连结,AC BD 交于点O ，连接OG , ...............6分则OG 是BDF ∆的中位线，//OG DF ，OG 在平面AGC 内，所以//DF AGC 平面. .............8分 （3）ABF DCE F ABCD E FCD F ABCD F ECD V V V V V -----=+=+ ...............10分11134331414332=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. ...............12分 18（1）因为12n n S a +=-，①当2n ≥时，12n n S a -=-，② .............................2分由①-②得1n n na a a +=-，即12n na a +=， .......................................................4分当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==，所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n nn a a q -==； ....................6分（2）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，所以()2n T n n =+，所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ............................................8分 所以11111111111...2324112nk kT n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑............10分 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭.....................12分 19.解:（1）由题意，根据分层抽样的方法，可得n1000=45450，解得n ＝100， 所以男生人数为：100550551000⨯=人．n ＝100，男生人数为：55人；....2分 （2）2×2列联表为：...................4分 K 2＝100×(45×15−30×10)275×25×45×55=3.030＜3.841.所以没有95%的把握认为选择科目与性别有关． ..................6分（3）选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，所以按分层抽样有4人选择物理，设为a ，b ，c ，d ，2人选择历史，设为A ，B ， ..............8分 从中选取3人，共有20种选法，可表示为abc,abd, acd,bcd,abA,abB,acA,acB,adA,adB,bcA,bcB,bdA,bdB,cdA,cdB,aAB,bAB,cAB,dAB. ............10分 其中有2人选择历史的有aAB,bAB,cAB,dAB 4种， 故这3人中有2人选择历史的概率为41.205p == ..........12分20 解：（I ）设椭圆的方程为，则①， ∵抛物线的焦点为（0， 1）， ................1分∴ ② 由①②解得.∴椭圆的标准方程为. ..........................2分 (II)如图，由题意知的斜率存在且不为零，设方程为 （#），将①代入，整理，得分 由得 则 .....................6分（3）方法1：)0(12222>>=+b a b y a x 22==a c e y x 42=1102222=+ba 1 ,222==b a 1222=+y x l l )0)(2(≠-=k x k y 1222=+y x )28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k 0>∆.2102<<k )22,0()0,22(⋃-∈k设、，则 令， 则， 由此可得 ，，.....)1(，且 .......8分 , (2).....)3( 由)1(得：)2()2(21-=-x x λ，......................(*) (*)代入)2(得：22214)2)(1(kx +-=-+λ...........)4( (*)代入)3(得：222212)2(kx +=-λ ...........)5( 由2)4()5(整理得 , ....................10分 即∵ ，∴ ，解得 又∵， ∴，∴OBE 与OBF 面积之比的取值范围是（， 1）. ..........12分),(11y x E ),(22y x F ,122812822212221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+k k x x k k x x OBFOBE S S ∆∆=λBF BE =λ⋅=λ2221--=x x λ10<<λ221214)2()2(k x x +-=-+-22121212124)(2)2()2(kx x x x x x +=++-=-⋅-812)1(22+=+k λλ.21)1(422-+=λλk 2102<<k 2121)1(402<-+<λλ.223223+<<-λ10<<λ1223<<-λ∆∆223-（3）方法2; 设、，则有212<<x x则2221212121--=⨯⨯=x x y OB y OB ，.....(**)......................8分由解的12)21(24,12)21(2422222221+--=+-+=k k k x k k k x 代入（**）得 24241242242222+-+-=-----=k k k λ ..............10分设=t ，因为则20<<t ，所以241++-=t λ，易知此函数为减函数 则1223<<-λ.∴OBE 与OBF 面积之比的取值范围是（， 1）...........12分21.解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+ ------------------------2分所以(1)2k f e '==-，因为(1)f e =-所以切线方程为2(1)y e e x +=--， 整理得：20ex y e +-= -----------------4分 （2）()4x m x e x -<+，因为0x e >，所以4xx m x e +<+（0x >）恒成立 设4()x x h x x e+=+，则2(4)33()11x x x x x xe x e x e x h x e e e -+----'=+=+= ---------6分 设()3,x s x e x =--则()1x s x e '=-0>（0x >）.),(11y x E ),(22y x F OBFOBE S S ∆∆=λ0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k 242k -.2102<<k ∆∆223-所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又05.44817.429)23(23<-≈-=e s ,03352945.5335)35(35>--≈--=e s ,所以存在)35,23(0∈x 使得0()0s x =， 当0(0,)x x ∈时，()0s x <,即0)(<'x h ；当0(,)x x ∈+∞时，()0s x >即0)(>'x h .所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增.所以00min 004()()x x h x h x x e +==+.----8分 因为00000()0,30, 3.x x s x e x e x =--=∴=+ 所以000min 000000441()()133x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++,)35,23(0∈x ------------10分 设311)(+++=x x x g ，当)35,23(∈x 时，0)3(11)(2>+-='x x g ，所以)(x g 在)35,23(上单调递增.则)35()()23(g x g g <<，即342121)(18492<<<<x g .所以3)(20<<x h 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以m 的最大值为2. ----------------------12分 22.解（1）曲线C 的普通方程为622=+y x ...............................................2分因为2)3cos(=+πθρ ,所以04sin 3cos =--θρθρ 所以直线l 的直角坐标方程为043=--y x ...................................4分 （2）点P 的坐标为（4,0）设直线m 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 4t y t x （t 为参数，θ为倾斜角）..........6分联立直线m 与曲线C 的方程得：010cos 82=++θt t设A 、B 对应的参数分别为2,1t t ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆=-=+040cos 6410cos 822121θθt t t t所以34cos 82121==+=+=+θt t t t PB PA ...................................................8分6560,23cos ππθ或的倾斜角为故直线且满足得m >∆±=..............................................................................10分23.解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩....................2分由1)(-≥x f ，得21-≥x .故不等式1)(-≥x f 的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.......................4分（2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，12)(+≥a x f ”为真命题，..........................................................6分 因为1)()1(1)(-=+-+≤+-+=a a x x a x x x f所以1)(max -=a x f ，...............................................................................................8分 则121+≥-a a ，所以22)12()1(+≥-a a ，即220a a +≤，解得02≤≤-a ，即a 的取值范围为[]2,0-...............................10分。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次线上测试数学(文)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次线上测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}2|30M x x x =-+<，{}1,0,1,2N =-，则集合()U C M N =I （ ） A ．{}1- B ．{}1,0-C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】D【解析】首先解出集合N ,再根据补集、交集的定义即可得出答案 【详解】因为不等式230x x -+<解得3x >或0x <，故{}{}2|30|03M x x x x x x =-+<=<>或，所以{}0,1,2,3U C M =，则(){}0,1,2U C M N =I.故选:D 【点睛】本题主要考查了集合的交集与补集，以及一元二次不等式的解法，属于基础题。
2．设复数z 满足|1|z i i =-+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．iB iC ．1D ．12i --【答案】A【解析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出数复数z ，即可得到答案. 【详解】复数z 满足|1|z i i =-+，则z i =，所以复数z i =.故选：A. 【点睛】本题考查复数的模、共轭复数的概念，考查运算求解能力.3．设向量a r ，b r 满足22a b ==r r ，且231a b +=r r ，则向量b r 在向量a r 方向上的投影为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】首先把231a b +=r r 两边同时平方，再根据投影的定义即可求出向量b r 在向量ar 方向上的投影。
【详解】将231a b +=r r 平方得，2241291a a b b +⋅+=r r r r ，即441291a b ⨯+⋅+=r r，则2a b ⋅=-r r ，则向量b r 在向量a r方向上的投影为212b a a⋅-==-r rr .故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的模，以及投影，即向量b r 在向量a r方向上的投影为：cos b θ⋅r 。
【精准解析】黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(四)数学(文)试题
大庆实验中学2020届高三综合训练（四）数学（文）试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求．1.已知复数(1)z i i =⋅-，则||z =（ ）A.12B.22C. 12【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则，求得1z i =+，再结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数(1)1z i i i =⋅-=+，所以22112z =+=故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则和复数模的计算公式是解答的关键，意在考查计算能力，属于容易题. 2.设集合{}2|120A x x x =+-<，{|23}B x x =+<，则A B =（ ）A. {|7}x x <B. {|23}x x -<C. {|23}x x -<<D.{|43}x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式和根式不等式，即可求得集合,A B ，再求交集即可. 【详解】容易得{|43}A x x =-<<，{|27}B x x =-<， 所以{|23}AB x x =-<故选：B.【点睛】本题考查集合交集的运算，属基础题.3.已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ） A. a b b b < B. b b a b <C. a b a a <D. a a b a <【答案】B 【解析】 【分析】根据条件对,a b 赋值，令14a =，12b =，计算选项的值即可比较出大小. 【详解】取14a =，12b =，则a a =12b a =，b b =，ab =a b b b <，故排除A ；a b a a >，故排除C ；a a b a >，故排除D ；由幂函数的性质得：b b a b <. 故选：B.【点睛】本题考查不等式比较大小，涉及特殊值法计算，属于基础题. 4.为了得到3()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将()cos2g x x =的图象（ ） A. 向右平移4π个单位 B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移8π个单位 D. 向左平移8π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】为了得到函数33()sin 2sin 248f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，可以将函数()cos 2sin 2sin 224g x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移8π个单位.故选：D ．【点睛】本题主要考查诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 5.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出C 选项错误．【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.812096⨯=人，女性人数为0.68048⨯=人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C ．【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题.6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于23C的方程为（ ）A. 2214x y +=B. 22163x y +=C. 22142x y +=D.22143x y += 【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得2a b =，2c =222a b c =+即可求解. 【详解】由长轴长是短轴长的2倍，所以24a b =，即2a b =， 焦距等于2c =c =由222a b c =+，解得1b =，2a =，所以椭圆的标准方程：2214x y +=.故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、椭圆的标准方程，属于基础题. 7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28114,33a a S +==，则20a =（ ） A. 19B. 18C. 17D. 20【答案】C 【解析】 【分析】用基本量法求解．即把已知条件用1a 和d 表示并解出，然后再由通项公式得解．【详解】由题意281111284111011332a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩． ∴20219117a =-+⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，解题方法是基本量法．8.已知sin 21cos αα=+，则tan α=（ ）A. 43-B. 34-C.43D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式表示sin 21cos αα=+，可求出tan 22α=，再利用正切函数的二倍角公式可求出tanα的值.【详解】解：∵22sin cossin22tan21cos22cos2αααααα===+，∴22tan42tan31tan2ααα==--，故选：A.【点睛】本题考查正余弦函数以及正切函数的二倍角公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于基础题.9.如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，2AB AD CD===，22BD=，90BDC∠=︒，将ABD△沿对角线BD折起至A BD'△，使平面A BD'⊥平面BCD，则四面体A BCD'中，下列结论不正确的是（）A. //EF平面A BC' B. 异面直线CD与A B'所成的角为90°C. 异面直线EF与A C'所成的角为60°D. 直线A C'与平面BCD所成的角为30°【答案】C【解析】【分析】运用线面平行的判定定理可判断A正确；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B正确；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C错误；由线面角的求法，可判断D 正确.【详解】对于A：因为E，F分别为A D'和BD两边中点，所以//EF A B'，又EF⊄平面A BC'，所以//EF平面A BC'，故A正确；对于B：因为平面A BD'⊥平面BCD，交线为BD，且CD BD⊥，所以CD⊥平面A BD'，即CD A B⊥'，故B正确；对于C：取CD边中点M，连接EM，FM，则//EM A C'，所以FEM ∠或其补角为异面直线EF 与A C '所成角， 又1EF =，122EM A C ='=，132FM BC ==，即90FEM ∠=︒，故C 错误；D ：连接A F '，可得A F BD '⊥，由面面垂直的性质定理可得A F '⊥平面BCD ， 连接CF ，可得A CF ∠'为A C '与平面BCD 所成角，由21sin 222A F A CF A C '∠'==='， 则直线A C '与平面BCD 所成的角为30°，故D 正确. 故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题.10.如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则141x y ++的最小值为（ ）A. 622+B. 63C. 642+D. 322+【答案】D 【解析】 【分析】用AD ，AC 表示AF ，由C ，F ，D 三点共线得出x ，y 的关系，消去y ，得到141x y ++关于x 的函数()f x ，利用导数求出()f x 的最小值． 【详解】解：2AF xa yb x AD y AC =+=+．∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=．即12y x =-．由图可知0x >．∴21412111x x y x x x x ++=+=+--． 令()21x f x x x+=-，得()()22221'x x f x x x +-=-，令()'0f x =得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >．∴当1x =时，()f x取得最小值)111f=-3=+故选D ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题． 11.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 顶角为150的等腰三角形D. 顶角为120的等腰三角形【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角三角函数基本关系得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，结合正余弦定理得222122a cb ac +-=-进而得B ,再利用sin sin 13A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得A 值进而得C ,则形状可求【详解】由题()2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理及余弦定理得222122a cb ac +-=-即()12cos ,0,23B B B ππ=-∈∴=故 sin sin 13A A π⎛⎫+-=⎪⎝⎭整理得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，故,66A B ππ=∴=故ABC ∆为顶角为120的等腰三角形 故选D【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题12.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线左支上一点，且()110PF OF OP ⋅+=（O 为坐标原点），2112cos 13PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B.53C.135D.137【答案】D 【解析】 【分析】取1PF 的中点为M ，则()112OM OF OP =+，根据题意可得1PF OM ⊥，则12PF PF ⊥，由215cos 13PF F ∠=可求出a ，c ，从而求得离心率. 【详解】如图，取1PF 的中点为M ，则()112OM OF OP =+， 由()110PF OF OP ⋅+=，得10PF OM ⋅=，即1PF OM ⊥. 因为OM 为12PF F ∆的中位线，所以12PF PF ⊥. 由2112cos 13PF F ∠=，设212PF =，则1213F F =，15PF =， 所以2127a PF PF =-=，12213c F F ==，得C 离心率为137c a =.故选：D【点睛】本题考查垂直关系的向量表示，中位线的性质，双曲线的几何性质，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.设x，y满足约束条件220220x yx yy x+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y=-的最大值是________.【答案】2 3【解析】【分析】画出满足约束条件的可行域，利用z的几何意义，利用直线平移法即可求出最大值.【详解】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过22,33⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值，即max222 32333z=⨯-⨯=.故答案为：2 3【点睛】本题考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，常用数形结合问题来求，本题属于基础题.14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________．【答案】2 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图能求出该四棱锥的体积．【详解】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD AB ⊥、//AD BC ，2AD AB ==、1BC =，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，∴该四棱锥的体积为：1121222332ABCD V S PA +=⨯⨯=⨯⨯⨯=梯形．故答案为：2．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，属于中档题． 15.将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则m 的最小值为_______． 【答案】3π 【解析】 【分析】利用图象变换求得函数()y g x =的解析式，由函数()y g x =为奇函数，可得出关于m 的代数式，进而可求得正数m 的最小值. 【详解】将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变）， 得到函数11sin 3sin 6626y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 再将所得函数图象向右平移()0m m >个单位长度，得到()()111sin sin 26262g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，由于函数()y g x =为奇函数，则()162m k k Z ππ-=∈，()23m k k Z ππ∴=-∈， 当0k =时，正数m 取得最小值3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于中等题.16.已知函数3()121f x x x =-+，2213,0()3(2)3,02x x g x x x ⎧-+>⎪=⎨-++≤⎪⎩，若函数[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为________． 【答案】[10,17) 【解析】 【分析】原题等价于[()]f g x a =有6个不同的零点.先作出函数()f x 的图象，得到当(15,17)m ∈-时，()f x m =有三个解；再作出函数()g x 的图象，得到当[3,4]t ∈-时，()g x t =有两个解，求出(3),(4)f f -的值即得解.【详解】因为[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同）， 所以[()]f g x a =有6个不同的零点.3()121f x x x =-+,所以2()312=3(2)(2)f x x x x '=-+-，所以函数()f x 在(2,),(,2)+∞-∞-单调递增，在(2,2)-单调递减. 所以函数()f x 的图象如图所示，当(15,17)m ∈-时，()f x m =有三个解. 函数()g x 的图象如图所示，当[3,4]t ∈-时，()g x t =有两个解， 当3x =-时，(3)2736110f -=-++=； 当4x =时，(4)6448117f =-+=；若函数[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为[10,17). 故答案为：[10,17).【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在PD 上.（1）若E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ；（2）若1PA =，22PD AB ==，三棱锥E ACD -的体积为3，试求:PE ED 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）:1:2PE ED = 【解析】 【分析】(1) 连接BD 交AC 于O ,连接EO ,再证明EO PB 即可. (2) 根据三棱锥E ACD -的体积为39可求得E 到平面ABCD 的距离为23,再根据PA ⊥平面ABCD 且1PA =即可求得:PE ED .【详解】证明：（1）连接BD 交AC 于O ,连接EO , ∵ABCD 为矩形,∴O 为BD 的中点, 又E 为PD 的中点,∴EO PB , ∵EO平面AEC ,PB平面AEC ,∴PB 平面AEC .（2）由题设3AD =,1CD =,∴ADC 的面积为32. ∵棱锥E ACD -3∴E 到平面ABCD 的距离h 3133=,即23h =. ∵PA ⊥平面ABCD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD ,过E 在平面PAD 内作EF AD ⊥,垂足为F ,则EF ⊥平面ABCD , 而PA ⊥平面ABCD ,于是EFPA .∵1PA =,∴:2:3ED PD =.则:1:2PE ED =【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据三棱锥体积求解比例的问题,需要根据题意求出对应的高,再根据垂直于同一平面的两条直线互相平行的性质分析.属于中档题. 18.已知等差数列{}n a 中，公差0d >，且满足：2345a a ⋅=，1414a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为nS ，令()16nS f n n =+()*N n ∈，求()f n 的最大值. 【答案】（1）43n a n =-；（2）181. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.（2）首先利用裂项求和法求出n S ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题设知：2314234514a a a a a a ⋅=⎧⎨+=+=⎩，∴2359a a =⎧⎨=⎩或2395a a =⎧⎨=⎩ ∵0d >，∴25a =，39a =. ∴43n a n =- （2）∵()()111111434144341n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴1111111...41559434141n n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴()211411616164651681465n nS n n f n n n n n n n+====≤++++++（当2n =时取等号） 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法、基本不等式求最值，属于基础题. 19.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由. (2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰. 方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）选方案二 【解析】 【分析】（1）可以用两种方法决定参赛选手,方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得85以上(含85分)的概率的大小决定选手；（2）计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比较两个概率的大小即得解.【详解】(1)解法一：甲的平均成绩为180********835x ++++==；乙的平均成绩为29076759282835x ++++==， 甲的成绩方差()25211150.85i i s x x==-=∑；乙的成绩方差为()25221148.85i i s x x==-=∑；由于12x x =，2212s s >，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适. 解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率135P =，乙获得85分以上(含85分)的概率225P =因为12P P >故派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F . 方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F 共5种，抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，共3种. 所以学生乙可参加复赛的概率135P =. 方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,a E F ，(),,b c E ，(),,b c F ，(),,b E F ，(),,c E F ，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,b c E ，(),,b c F 共7种，所以学生乙可参加复赛的概率2710P =因为12P P <，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查古典概型的概率的计算和决策，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22162x y +=；（2）定点为7(,0)3E ，59EA EB ⋅=-. 【解析】试题分析:（1）求得圆O 的方程，由直线和圆相切的条件:d r =，可得a 的值，再由离心率公式，可得c 的值，结合,,a b c 的关系，可得b ，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线(2)y k x =-和椭圆方程，得()222213121260kxk x k +-+-=，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使EA EB ⋅为定值，定点,则可求解. 试题解析：（1）由e =得c a =，即c =① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为222x y a +=，且与直线260x -+=相切，所以a ==2c =，所以2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=.（2）由()221{622x y y k x +==-得()222213121260k x k x k +-+-=， 设()11A x y ，，()22B x y ，，所以21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，根据题意，假设x 轴上存在定点()0E m ，， 使得()2EA EA AB EA AB EA EA EB +⋅=+⋅=⋅为定值， 则()()()()11221212EA EB x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+，，()()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()222231210613m m k m k -++-=+要使上式为定值，即与k 无关，()223121036m m m -+=-， 得73m =. 此时，22569EA EA AB m +⋅=-=-，所以在x 轴上存在定点703E ⎛⎫⎪⎝⎭，使得2EA EA AB +⋅为定值，且定值为59-.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题, 椭圆的标准方程,考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，属于中档题，解决存在性问题应注意以下几点：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径. 21.已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=. （1）求函数ln ()xg x x=的单调区间； （2）若不等式()()f x g x ≥区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：4444ln 2ln 3ln 4ln 12342n n e++++< 【答案】（1）函数ln ()xg x x=的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞（2）12k e ≥（3）见解析.【解析】试题分析：（1）求出()'g x ，由()'0g x >，结合函数的定义域解得x 的范围，就是函数的增区间；（2）问题转化为k 大于等于()h x 的最大值，利用导数求得函数()h x 有最大值，且最大值为12e ，得到12k e≤；（3）先判断()42ln 1122x x x e x <⋅≥，得4444222ln 2ln 3ln 4ln 1111......234223n n e n ⎛⎫++++<+++ ⎪⎝⎭，用放缩法证明222111...123n +++<，即得要证的不等式. 试题解析：（1）∵()ln xg x x=，故其定义域为()0,+∞， ∴()21ln xg x x -'=，令()0g x '>，得0x e <<，令()0g x '<，得x e >. 故函数()ln xg x x=的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞.（2）∵0x >，ln x kx x ≥，∴2ln x k x ≥，令()2ln xh x x=又()312ln xh x x-'=，令()0h x '=解得x =当x 在()0,+∞内变化时，()h x '，()h x 变化如下表由表知，当x =()h x 有最大值，且最大值为12e ，所以，12k e≥ （3）由（2）知2ln 12x x e ≤，∴42ln 11•2x x e x ≤（2x ≥） ∴444222ln2ln3ln 111123223n n e n ⎛⎫+++<+++ ⎪⎝⎭()22211111111111111123122312231n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++=--++-=-< ⎪⎪ ⎪⨯⨯--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴444222ln2ln3ln 11111232232n n e n e⎛⎫+++<+++< ⎪⎝⎭ 即444ln2ln3ln 1232n n e+++< 【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法 ① 求得k 的最大值.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线3:14x tl y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=-. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）点()0,1P ，直线l 与曲线C 交于M ，N ，求11PM PN+的值. 【答案】（1）22144-=y x （2）15【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，极坐标方程与直角坐标方程进行转化.（2）借助直线参数方程中t 的几何意义，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果.【详解】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=-，即2222cos sin 4ρθρθ-=-. ∴曲线C 的直角坐标方程为224x y -=-，即22144-=y x . （2）将直线3:14x t l y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），令'=5t t 转换为：35415x t y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（'t 为参数），代入曲线22144-=y x ， 得到：'2'740750t t +-=， 所以''12407t t +=-，''12757t t =-（'1t 和'2t 为M 和N 对应的参数）， 则''12''1211t t PM PN t t -+==15=. 故11PM PN +. 【点睛】本题考查考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查直线参数方程中t 的几何意义的运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|25||21|f x x x =--+.（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(,1)-∞ 【解析】【分析】(1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分类讨论求并集 ()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++得到6|4|m m >++求解【详解】解：（1）由题可知：()56,21544,2216,2x f x x x x ⎧->⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩即12x -或1324x -<< 所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++. 令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=，当且仅当()()25210x x -+≤时，即15,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时取得等号. 所以min ()6h x =.而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++，所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞.【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b －＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三毕业班下学期5月第一次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
因此
选D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
3.设等差数列 前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 4B. 6C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
由题意 ，Leabharlann ， ，所以 ，故选C．点睛：解决等差数列的通项与前 项和问题，基本方法是基本量法，即用首项 和公差 表示出已知并求出，然后写出通项公式与前 项和公式，另一种方法就是应用等差数列的性质解题，可以减少计算量，增加正确率，节约时间，这是高考中尤其重要有用，象本题应用了以下性质：数列 是等差数列，（1）正整数 ， ， 时也成立；（2） ；（3）等差数列 中抽取一些项，如 仍是等差数列．
考点：异面直线所成的角．
9.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得 ， 的关系，即可得到所求的离心率．
【详解】双曲线 的一条渐近线方程设为 ，
绝密★启用前
黑龙江省大庆实验中学
2020届高三毕业班下学期5月第一次高考模拟考试
数学(文)试题
(解析版)
2020年5月
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
黑龙江省大庆实验中学2020年高考数学模拟试题(5)文(含解析)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（5）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣|x|）}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（﹣1，1）D．（1，2]2．已知命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“∃x∈R，x2+2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+2＜3x”，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q3．已知i是虚数单位，若复数，则z2+z+1的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i4．设向量=（2，1），=（0，﹣2）．则与+2垂直的向量可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）5．已知双曲线上有一点M到左焦点F1的距离为18，则点M到右焦点F2的距离是（）A．8 B．28 C．12 D．8或286．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（）A．B．C．20 D．407．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①② C．②③ D．①②③8．已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4 B． C．8 D．169．如图所示是一个算法程序框图，在集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值作为x输入，则输出的y的值落在区间[﹣5，3]内的概率为（）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.410．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称且f（﹣）=0，如果存在实数x0，使得对任意的x都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+），则ω的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．811．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆+=1上的一个动点，点A（1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．212．已知函数f（x）=x﹣e x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（m∈R），若对于任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]∪[e，+∞﹚B．[﹣e，e]C．﹙﹣∞，﹣2﹣]∪[﹣2+，+∞﹚D．[﹣2﹣，﹣2+]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点A（1，0），过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，则m的取值范围是．14．已知实数x，y满足，则的取值范围是．15．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长为．16．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n}，b2020= ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，设{b n}的前n项和为S n．求最小的正整数n，使得．18．已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．月份x 1 2 3 4利润y（单位：百万元） 4 4 6 6相关公式： ==， =﹣x．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD．（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆C'： =1的一个焦点重合，点A（x0，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．（1）求抛物线C的方程以及|AF|的值；（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若，|BM|2+|BN|2=40，求实数λ的值．21．已知函数f（x）=axe x﹣（a﹣1）（x+1）2（a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7181281…）．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=．（1）求曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于不同两点A，B，求tanα的取值范围．[选修4-5]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（5）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣|x|）}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（﹣1，1）D．（1，2]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出集合B，找出R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可．【解答】解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函数y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴C R B=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），则A∩（C R B）=[1，2）．故选B2．已知命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“∃x∈R，x2+2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+2＜3x”，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，再判断出复合命题真假即可．【解答】解：命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；是假命题；比如：a=1，b=﹣2，“∃x∈R，x2+2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+2≤3x”，故命题q：“∃x∈R，x2+2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+2＜3x”是假命题，故￢p∧￢q是真命题，故选：D．3．已知i是虚数单位，若复数，则z2+z+1的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出z2的值，然后代入z2+z+1计算．【解答】解：∵，∴=，则z2+z+1=．故选：C．4．设向量=（2，1），=（0，﹣2）．则与+2垂直的向量可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】求出+2=（2，﹣3），由此利用向量垂直的性质能求出与+2垂直的向量的可能结果．【解答】解：∵向量=（2，1），=（0，﹣2）．∴+2=（2，﹣3），∵（2，﹣3）•（3，2）=6﹣6=0，∴与+2垂直的向量可以是（3，2）．故选：A．5．已知双曲线上有一点M到左焦点F1的距离为18，则点M到右焦点F2的距离是（）A．8 B．28 C．12 D．8或28【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，可得||MF1|﹣|MF2||=2a=10，解方程可得所求值，检验M在两支的情况即可．【解答】解：双曲线的a=5，b=3，c==，由双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=10，即为|18﹣|MF2||=10，解得|MF2|=8或28．检验若M在左支上，可得|MF1|≥c﹣a=﹣5，成立；若M在右支上，可得|MF1|≥c+a=+5，成立．故选：D．6．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（）A．B．C．20 D．40【考点】8G：等比数列的性质．【分析】根据通项公式列方程组解出首项和公比，再计算a5．【解答】解：设公比为q，则q＞0，由题意得：，解得，∴a5=2×=，故选A．7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①② C．②③ D．①②③【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．8．已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4 B．C．8 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】先求出ab=1，从而求出的最小值即可．【解答】解：由，有ab=1，则，故选：B．9．如图所示是一个算法程序框图，在集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值作为x输入，则输出的y的值落在区间[﹣5，3]内的概率为（）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【考点】EF：程序框图．【分析】可得x的取值共21中可能，由程序框图可得x共17个，由概率公式可得．【解答】解：集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机地取一个数值共有21种可能，再由程序框图可知y=，要使y值落在区间[﹣5，3]内，需x=0或或，解得x=0，或x=﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，x=1，2，3，4，5，6，7，8，共17个，∴所求概率P=≈0.8．故选：A．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称且f（﹣）=0，如果存在实数x0，使得对任意的x都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+），则ω的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】HW：三角函数的最值；H6：正弦函数的对称性．【分析】由题意直线x=是对称轴，对称中心为（﹣，0），根据三角函数的性质可求ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于x=对称且f（﹣）=0，∴ω+φ=kπ+…①，﹣ω+φ=kπ…②，ωx0+φ≤+2kπ且（ωx0+φ）≥﹣+2kπ…③由①②解得ω=4，φ=kπ+，（k∈Z）当k=0时，ω=4，φ=，③成立，满足题意．故得ω的最小值为4．故选B．11．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆+=1上的一个动点，点A（1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（0，﹣1）和B'（0，1）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=4+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=4+|AB'|=5达到最大值，从而得到本题答案．【解答】解：∵椭圆+=1，∴焦点坐标为B（0，﹣1）和B'（0，1），连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=4，可得|PB|=4﹣|PB'|，因此|PA|+|PB|=|PA|+（4﹣|PB'|）=4+（|PA|﹣|PB'|）∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤2a+|AB'|=4+1=5．当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立．综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为5．故选：A．12．已知函数f（x）=x﹣e x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（m∈R），若对于任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]∪[e，+∞﹚B．[﹣e，e]C．﹙﹣∞，﹣2﹣]∪[﹣2+，+∞﹚D．[﹣2﹣，﹣2+]【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】利用导数求出函数f（x）在[﹣1，1]上的值域，再分类求出g（x）在[﹣1，1]上的值域，把对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立转化为两集合值域间的关系求解．【解答】解：由f（x）=x﹣e x，得f′（x）=1﹣e x，当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，∴f（x）在[﹣1，0）上为增函数，在（0，1]上为减函数，∵f（﹣1）=﹣1﹣，f（0）=﹣1，f（2）=1﹣e．∴f（x）在[﹣1，1]上的值域为[1﹣e，﹣1]；当m＞0时，g（x）=mx+1在[﹣1，1]上为增函数，值域为[1﹣m，1+m]，要使对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则[1﹣e，﹣1]⊆[1﹣m，1+m]，∴，解得m≥e；当m=0时，g（x）的值域为{1}，不合题意；当m＜0时，g（x）=mx+1在[﹣1，1]上为减函数，值域为[1+m，1﹣m]，对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则[1﹣e，﹣1]⊆[1+m，1﹣m]，∴，解得m≤﹣e．综上，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣e]∪[e，+∞﹚．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点A（1，0），过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，则m的取值范围是（2，+∞）．【考点】J7：圆的切线方程．【分析】过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，即为A在圆外，把已知圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r，列出关于m的不等式，同时考虑﹣1大于0，两不等式求出公共解集即可得到m的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+）2+y2=﹣1，所以圆心坐标为（﹣，0），半径r=，由题意可知A在圆外时，过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，所以d＞r即1+m+1＞0，且﹣1＞0，解得：m＞2，则m的取值范围是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．14．已知实数x，y满足，则的取值范围是[，] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率，联立方程组求得A（3，﹣1），B（3，2），又，．∴的取值范围是[，]．故答案为：[，]．15．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长为 2 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴+h2=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故答案为：2．16．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n}，b2020= 1 ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由题意可得数列从第三项开始，后一项为前两项的和，再分别除以3得到一个新的数列，该数列的周期为8，即可求出答案．【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…，此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n}，则{b n}，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，…，其周期为8，故b2020=b227×8+1=b1=1，故答案为：1三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，设{b n}的前n项和为S n．求最小的正整数n，使得．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；（2）求得==﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，再解不等式，即可得到所求n的最小值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依a2+a3=8，a5=3a2，有，解得a1=1，d=2，从而{a n}的通项公式为；（2）因为==﹣，所以=．令，解得n＞1008，故n的最小值为1009．18．已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．月份x 1 2 3 4利润y（单位：百万元） 4 4 6 6相关公式：==， =﹣x．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）结合图象读出结论即可；（2）根据图象累加判断结论即可；（3）分别求出对应的系数，的值，代入回归方程即可．【解答】解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．…（2）第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28（百万元），…第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31（百万元），…第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41百万元），…所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．…（3）∵，，1×4+2×4+3×6+4×6=54，∴，…∴，…∴，…当x=8时，（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．…19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD．（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）由已知可得AC，BC，CC1两两互相垂直，分别CA、CB、CC1所在直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，结合DC1⊥BD，利用向量垂直的坐标运算求得D的竖坐标，可得D 为AA1的中点；（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直线BC1与平面BDC所成角正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AC，BC，CC1两两互相垂直，分别以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，∴D（1，0，h），C1（0，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），∴=（﹣1，0，2﹣h），=（1，﹣1，h），∵DC1⊥BD，∴，得﹣1+h（2﹣h）=0，解得h=1，∴D为AA1的中点；解：（Ⅱ） =（0，﹣1，2），设面BDC的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，﹣1），设直线BC1与平面BDC所成角为θ，则sinθ===．∴直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小为．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆C'： =1的一个焦点重合，点A（x0，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．（1）求抛物线C的方程以及|AF|的值；（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若，|BM|2+|BN|2=40，求实数λ的值．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）依题意F（1，0），故，则2p=4，可得抛物线C的方程．将A（x0，2）代入抛物线方程，解得x0，即可得|AF|的值（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0，则=（m2+1）（16m2+8）+4m•4m+8=16m4+40m2+16=40，解得λ．【解答】解：（1）依题意，椭圆中，a2=6，b2=5，故c2=a2﹣b2=1，故，则2p=4，可得抛物线C的方程为y2=4x．将A（x0，2）代入y2=4x，解得x0=1，故．（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0．所以，①且，又，则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，代入①得，消去y2得，易得B（﹣1，0），则，则===（m2+1）（16m2+8）+4m•4m+8=16m4+40m2+16，当16m4+40m2+16=40，解得，故．21．已知函数f（x）=axe x﹣（a﹣1）（x+1）2（a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7181281…）．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）先求导，再令f'（x）=0得到x=﹣1或ae x﹣2a+2=0（*），根据ae x﹣2a+2=0（*）无解即可求出a的范围．【解答】解：（1）由题知，f（x）=﹣xe x+2（x+1）2，f'（x）=﹣e x﹣xe x+4（x+1）=（x+1）（4﹣e x），由f'（x）=0得到x=﹣1或x=ln4，而当x＜ln4时，（4﹣e x）＞0，x＞ln4时，（4﹣e x）＜0，列表得：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，ln4）ln4 （ln4，+∞）f'（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极大值↗极小值↘所以，此时f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），（ln4，+∞），增区间为（﹣1，ln4）；（2）f'（x）=ae x+axe x﹣2（a﹣1）（x+1）=（x+1）（ae x﹣2a+2），由f'（x）=0得到x=﹣1或ae x﹣2a+2=0（*）由于f（x）仅有一个极值点，关于x的方程（*）必无解，①当a=0时，（*）无解，符合题意，②当a≠0时，由（*）得e x=，故由≤0得0＜a≤1，由于这两种情况都有，当x＜﹣1时，f'（x）＜0，于是f（x）为减函数，当x＞﹣1时，f'（x）＞0，于是f（x）为增函数，∴仅x=﹣1为f（x）的极值点，综上可得a的取值范围是[0，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=．（1）求曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于不同两点A，B，求tanα的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的普通方程．（2）直线l的参数方程消去参数t，能化为普通方程，代入C的普通方程，得（4k2+3）x2+16kx+4=0，由此利用根的判别式能求出tanα的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2=．∴24=ρ2（7﹣cos2θ+sin2θ），∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲线C的普通方程为24=7（x2+y2）﹣x2+y2，即=1．（2）∵直线l的参数方程是（t为参数），将直线l的参数方程消去参数t，化为普通方程得y=kx+2（其中k=tanα），代入C的普通方程并整理得（4k2+3）x2+16kx+4=0，故△=162k2﹣16（4k2+3）＞0，解得k＜﹣或k＞，∴tanα的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．[选修4-5]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式等价于①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为2，可得 m2﹣m＜2，由此解得实数m的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或③．解①求得，解②求得，解③求得，因此不等式的解集为．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，∴m2﹣m＜2，解得﹣1＜m＜2，即实数m的取值范围为（﹣1，2）．。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学下学期复习考试试题理含解析
黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学下学期复习考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D 【解析】 【分析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =.故选D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( ) A. 221167x y +=B. 221716x y +=C. 2251162x y +=D.2212516x y += 【答案】A 【解析】由题意知，2a=8，∴a=4，又34e =，∴c=3，则b 2=a 2﹣c 2=7． 当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为221167x y +=；故答案为221167x y +=．故答案为A ．4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A.116B.1124C.1324D.516【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.【详解】图①小球落在阴影部分的概率为：212213214464P πππ-⋅⋅=⋅=⋅ 图②小球落在阴影部分的概率：213P =∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为31131111111632424⎛⎫⎛⎫--⨯-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用.5.在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别在是线段11AB BC ，的中点，以下结论：①直线BD 丄直线MN ；②直线MN 与直线AC 异面；③直线MN 丄平面11BDD B ；④122MN AA =，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】在平面ABCD 内作出MN 的平行直线EF ，根据中位线得到//EF AC ，由此得到②错误.根据AC ⊥平面11BDD B 得到①③正确，利用中位线及勾股定理证得④正确.由此得出正确的个数为3个.【详解】过M 作MF AB ⊥交AB 于F ，过N 作NE BC ⊥交BC 于E ，连接11,,,EF ACBD B D .由于,M N分别为11,AB BC 的中点，故1111//////22NE CC BB MF ，故四边形MNEF 为矩形，故//MN EF ，由于//EF AC ，故②判断错误.由于1,AC BD AC BB ⊥⊥，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以MN BD ⊥且直线MN 丄平面11BDD B ，即①③正确.由勾股定理得12AC AA =，故11222EF AC AA ==，故④判断正确.综上所述，正确的个数为3个，故选C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线垂直的判断，考查直线与直线平行的判断，考查线面垂直的证明，属于基础题.要判断两条异面直线垂直，往往是通过线面垂直来证明，要证明线线平行，可以考虑用中位线来证明，要证明线面垂直则需要证明垂直平面内两条相交直线来证明. 6.设2(sin 56cos56)2a =-，cos50cos128cos 40cos38b =+，cos80c =,则a b c ，，的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. a c b >>【答案】B 【解析】2(sin 56cos56)sin(5645)sin112a =-=-= ，cos(9040)cos(9038)cos 40cos38sin 40sin 38cos 40cos38cos 78sin12b =-++=-+== ，cos80sin10c == ，sin12sin11sin10,b a c >>∴>> ，选B.7.已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =，1233OC OA OB =+，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（ ）. A. 3 B. 23C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB 为基底表示出OM ，由此求得OC OM⋅的值.【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB的中点，所以1122OM OA OB=+.所以OC OM⋅12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+21422cos603323=+⨯⨯⨯+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8.定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()2(2)2f x x f x +=-+，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+>.若3()(1)32f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是( ) A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. (],1-∞C. [)1,+∞D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】由()2f x x '+>，构造函数21()()22g x f x x x =+-，易得当1x ≤，()g x 为增函数，且由题设可得()(2)g x g x =-，所以函数()g x 的图象关于直线1x =对称，结合()g x 与()f x 的关系，函数的对称性与单调性性质，即可求解. 【详解】令21()()22g x f x x x =+-， 则()()2g x f x x ''=+-.∵当1x ≤时，恒有()2f x x '+>，即()0g x '>， ∴当1x ≤时，函数()g x 为增函数. 而21(2)(2)2(2)(2)2g x f x x x -=-+---， 21(2)(2)22g x f x x ∴-=--+——①(2)()22f x f x x -=+-——②把②代入①得：2(2)1()22f x xg x x +--= ∴()(2)g x g x =-.∴函数()g x 的图象关于直线1x =对称，∴函数()g x 在(],1-∞上为增函数，在[)1,+∞为减函数. 由3()(1)32f m f m m --≥-， 得2211()2(1)2(1)(1)22f m m m f m m m +-≥-+---， 即()(1)g m g m ≥-，∴|1||11|m m -≤--，解得12m ≥. ∴实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A【点睛】本题考查构造函数以及函数的导数、函数的对称性、单调性的综合运用，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于难题.9.已知函数()cos 33a x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()y g x =，则不等式()1g x ≤的解集是（ ）A. ()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ()3,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()37,84k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()52,262k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】把()f x 化为sin ,cos x x 的式子，然后由偶函数定义可求得a ，由图象平移变换得()g x ，再解不等式()1g x ≤即可．【详解】因为()11cos sin 22a x x x x f x ⎛⎫⎫=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭13cos sin 2222a x a x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以()()f x f x -=，0=，解得1a =-，所以()2cos f x x =-. 将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线2cos 2()2cos 2126y x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 则()2cos 26g x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.由()1g x ≤，得2cos 216x π⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，得1cos 262x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，则()22222363k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()5124x k k k Z ππππ≤≤+∈-. 不等式()1g x ≤的解集是()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力. 10.已知过点(0,2)-与曲线323()62a f x x x x =-+-(0)x >相切的直线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是( )A. {}2B. (2,)+∞C.)+∞D.【答案】C 【解析】 【分析】先设出切点坐标323,62a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭(0)t >，再求出()f x 的导数，由导数的几何意义知，()f t '是切线的斜率，写出切线方程，因切线过点(0,2)-，将点(0,2)-代入切线方程整理后可得324340t at -+=，由题意知关于t 的方程有324340t at -+=两个不等的正实数根，设32()434h t t at =-+(0)t >，结合函数求零点的知识，即可求解.【详解】∵323()62a f x x x x =-+-， ∴2()336f x x ax '=-+-.设切点323,62a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭(0)t >，则有2()336f t t at '=-+-，所以过点P 的切线方程为()32236336()2a y t t t t at x t ⎛⎫--+-=-+-- ⎪⎝⎭，又点(0,2)-在切线上，所以()322326336()2a t t t t at t ⎛⎫---+-=-+-- ⎪⎝⎭， 整理得324340t at -+=，由题意得方程324340t at -+=有两个不等的正实数根.设32()434h t t at =-+(0)t >，则2()1266(2)h t t at t t a '=-=-，要使32()434h t t at =-+(0)t >的图象与t 轴的正半轴有两个不同的交点，则需0a >. 所以函数()h t 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以3min()4024a a h t h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭，解得a >.即实数a的取值范围是)+∞.答案：)+∞【点睛】本题考查导数几何意义的运用，考查过某点的曲线的切线方程及已知函数零点个数，求参数范围的问题，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于中档题.11.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.12.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为(c,0)F ，弦PQ 过F 且垂直于x轴，过点P 、点Q 分别作为直线AQ 、AP 的垂直，两垂线交于点B ，若B 到直线PQ 的距离小于2()a c +，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A. 3)B. 3)C. (3,2)D.(3,)+∞【答案】B 【解析】【详解】由题意,B 在x 轴上,22,,,b bP c Q c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2AQ b a k a c=-， ∴22BPa ack b-=-， 直线BQ 的方程为()222b a acy x c a b--=--， 令y =0,可得()42b xc a a c =+-， ∵B 到直线PQ 的距离小于2(a +c )，∴()()422b a c a a c -<+-，∴b <，∴c <，∴e < ∵e >1，∴1e <<故选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在大题卡相应位置上. 13.已知随机变量X 服从正态分布()24,N σ，()60.78P X <=，则()2P X ≤=__________．【答案】0.22. 【解析】 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可． 【详解】()()2160.22P X P X ≤=-<=【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题． 14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增，若实数a 满足3log (2)(a f f >，则a 的取值范围是___.【答案】( 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及在区间(],0-∞上的单调性确定出()0,∞+上的单调性，再根据函数值之间的关系，将其转化为自变量之间的关系，求解出a 的范围即可.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数且在(],0-∞上递增，所以()f x 在()0,∞+上递减， 又因为()(3log 2af f >，所以3log 20a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩， 所以31log 2220a a ⎧⎪<⎨⎪>⎩，所以31log 20a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，所以(a ∈.故答案为：(.【点睛】本题考查根据函数的单调性和奇偶性求参数范围，难度一般.已知函数值的大小关系，可通过函数的单调性将其转变为自变量之间的关系.15.设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.=，则222a cb ac +-的取值范围为______.【答案】()()0,2【解析】 【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B =，即()2sin cos A C C B A =+=，又sin 0A >，所以cos 2C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而2222cos a c b B ac +-=，故()()2220,2a c b ac+-∈.故答案为：()()0,2．【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.16.如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积．若1(),2,2f M x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且18a x y +≥恒成立，则正实数a 的最小值是_____【答案】642-【解析】 【分析】由垂直关系可知PC ⊥平面PAB ，进而求得三棱锥P ABC -体积，通过体积桥可得421x y +=；利用()1142a a x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可构造出符合基本不等式的形式，得到14242aa a x y+≥++，由恒成立关系可得关于a 的不等式，解不等式求得最小值. 【详解】,,PA PB PC 两两垂直 PC ∴⊥平面PAB1113211332P ABC C PAB PAB V V S PC --∆∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=，即1212x y ++= 421x y ∴+=()11242442424224242a a y ax y axx y a a a a x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=+++≥++⋅=++ ⎪⎝⎭（当且仅当24y axx y=，即2y ax =时取等号） 又18ax y+≥恒成立，42428a a ∴++≥，解得：642a ≥- ∴正实数a 的最小值为642-【点睛】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“1”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从而求得结果.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分.17.已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点（1）求证：PA 平面MDB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）10【解析】 【分析】(1) 连结AC ，交BD 于O ，利用中位线定理证明MO PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可；(2)建立空间直角坐标系，利用坐标求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，即可求解. 【详解】（1）连结AC ，交BD 于O ，连接MO ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点 又M 为PC 的中点，∴MO PA ∥，又MO ⊂面MDB ，PA ⊄面MDBPA ∴平面MDB（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD ∆为正三角形，E 为AD 的中点．由于侧面PAD ⊥面ABCD ，由面面垂直的性质得PE ⊥面ABCD ，由AD PE AD PB ⊥⊥，，得AD PEB ⊥∴60AD EB EAB ︒⊥∴∠= 以E 为坐标原点，EP 为z 轴，EA 为x 轴，EB 为y 轴，建立空间直角坐标系．则(1,0,0),3,0),(3,0),3)A B C P -(3,0)AB =-，(1,0,3)PA =设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z = 由10n AB ⋅=及10n PA ⋅=得111100x x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取1x =PAB的一个法向量为)同理可求得平面PBC 的一个法向量(0,1,1)，由法向量的方向得知所求二面角的余弦值为1212n n n n ⋅-=-=. 【点睛】本题主要考查了线面平行以及二面角，(2)问中关键是建立空间直角坐标系来求解二面角的余弦值，属于中档题.18.已知数列{}n a 满足112a =，121nn n a a a +=+()*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：222212312n a a a a ++++<.【答案】（1）12n a n=；（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）由121n n n a a a +=+，两边取倒数可得1112n n a a +-=，可知数列1na 为等差数列，从而可求出1na 的表达式，进而可得到n a 的表达式；（2）利用放缩法，可得2211111441n a n n n ⎛⎫=⋅<- ⎪-⎝⎭（2n ≥，*N n ∈），进而可证明结论. 【详解】（1）由112a =，121nn na a a +=+，可知0n a >，对121n n n a a a +=+的等号两端同时取倒数得1112n n a a +=+，则1112n n a a +-=，所以数列1na 为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n n a =， 所以12n a n=. （2）依题可知222111111111244141n a n nn n n n ⎛⎫⎛⎫==⋅<⋅⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2n ≥，*N n ∈）， 所以222212311111111442231n a a a a n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭1111114424n n⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 故222212312n a a a a ++++<.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用放缩法证明数列不等式，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.19.设椭圆22221x x ab +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 点A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值. 【答案】(Ⅰ)22194x y +=；(Ⅱ)12或1128．【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a =3，b =2．则椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由题意可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，可得1y =．由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，可得221k y k =+．据此得到关于k 的方程，解方程可得k 的值为12或1128．详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）． 由已知有y 1>y 2>0，故12PQ sin AOQ y y ∠=-． 又因为2y AQ sin OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ sin AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0， 由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+． 由5y 1=9y 2，可得5（k +1）= 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为12或1128．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至2019年10月27日在中国武汉举行，第七届世界军人运动会是我国第一次承办的综合性国际军事体育赛事，也是继北京奥运会之后我国举办的规模最大的国际体育盛会.来自109个国家的9300余名军体健儿在江城武汉同场竞技、增进友谊.运动会共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.经过激烈角逐，奖牌榜的前6名如下：某大学德语系同学利用分层抽样的方式从德国获奖选手中抽取了9名获奖代表.（1）请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人？（2）从这9人中随机抽取3人，记这3人中银牌选手的人数为X，求X的分布列和期望；（3）从这9人中随机抽取3人，求已知这3人中有获金牌运动员的前提下，这3人中恰好有1人为获铜牌运动员的概率.【答案】（1）金牌人数为2人、银牌人数为3人、铜牌人数为4人；（2）分布列见解析，()1E X ；（3）47.【解析】【分析】（1）根据分层抽样的抽取规则，结台各奖牌的获奖人数，即可计算出这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数；（2）随机变量X的可能取值分别为0,1,2,3，分别计算出对应概率，列出分布列，求期望即可；（3）依题意，可分为2金1铜和1金1银1铜两种情况讨论，再结合条件概率公式，即可求解.【详解】(1)由题意可知，德国获奖运动员中， 金牌、银牌、铜牌的人数比为2:3:4，所以这9名获奖运动员中金牌人数为2人、银牌人数为3人、铜牌人数为4人； (2)X 的可能取值为0,1,2,3，则：3639C 205(0)C 8421P X ====，123639C C 4515(1)C 8428P X ====，213639C C 183(2)C 8414P X ====，33391(3)84C P X C ===，X 的分布列为：1531()1231281484E X ∴=⨯+⨯+⨯=. （3）记事件A 为“3人中有获金牌运动员”， 事件B 为“这3人中恰好有1人为获铜牌运动员”，37397()112C P A C =-=，()2111223439C C C 1()C 3C P AB +==，()4(|)()7P AB P B A P A ==. 【点睛】本题考查了分层抽样，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望及条件概率，主要考查分析解决问题和解决问题的能力及运算求解能力,属于中档题．21.已知a R ∈，函数()ln xa e f x a x x-=+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，且()()()2111x e F x x mx f x x ⎛⎫-=-+-- ⎪⎝⎭在()0,2m ∈时有极大值点()001x x ≠，求证：()01F x >.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分1a ≤，1a e <<，a e >，a e =进行讨论，可得函数()f x 的单调性；（2）将1a =代入()F x ，对()F x 求导，可得()2(1)ln F x x m x '=--，再对()2(1)ln F x x m x '=--求导，可得函数()F x 有唯一极大值点101,x x x =，且0000002(1)()2(1)ln 0(01)ln 2x m F x x m x m x x -'=--=⇒=<<<. 可得222000000000222()1(2ln )ln ln x x x F x x x x x x --=-+=--,设2()2ln h x x x =--，对其求导后可得0()1F x >.【详解】解：（1）222()(1)(1)(1)()()x x x x a e x a e a x e x x a e f x x x x x -⋅---+---'=+==， 又0x ，1x e ∴>，1a ∴≤时，0x a e -<，所以可解得：函数()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减；经计算可得，1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减；a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减； a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减.综上：1a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递增，(1,)+∞单调递减；1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减； a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减.（2）若1a =，则221()(1)(1())(1)(1ln )x e F x x mx f x x mx x x -=-+--=-+-， ()2(1)ln F x x m x '∴=--，设()2(1)ln ,(0)H x x m x x =-->，则()2m H x x '=-， 当(0,)2m x ∈时，()0()H x H x '<⇒单调递减，即()F x '单调递减， 当(,)2m x ∈+∞时，()0()H x H x '>⇒单调递增，即()F x '单调递增. 又因为02,01,2m m <<∴<<由(1)0F '=可知：()02m F '<， 而2222()2(1)ln 20m m m m F e em e e ----'=--=⋅>，且201m e e -<=， 21(,)2m m x e -∴∃∈，使得1()0F x '=，且1(0,)x x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增， 1(,1)x x ∈时，()0,()F x F x '<单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， 所以函数()F x 有唯一极大值点101,x x x ∴=， 且0000002(1)()2(1)ln 0(01)ln 2x m F x x m x m x x -'=--=⇒=<<<. 220000000002(1)()(1)(1ln )(1)(1ln )ln x x F x x mx x x x x -∴=-+⋅-=-+⋅- 220000221ln x x x x -=-+. 所以222000000000222()1(2ln )ln ln x x x F x x x x x x --=-+=--, 设2()2ln h x x x =--（01x <<），则22212()0x h x x x x -'=-=>， ()h x ∴在(0,1)单调递增，()(1)0h x h ∴<=，0()0h x ∴<，又因为0ln 0x <， 0()10F x ∴-> 0()1F x ∴>.【点睛】本题主要考查导数、函数的单调性等知识，考查方程与函数、分类与整合的数学思想，考查学生的推理论证能力与运算求解能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4—4：坐标系与参数方程22.[选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为12sin cos ρθθρ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上任取一点P ，过点P 作x 轴，y 轴的垂直，垂足分别为A ，B ，求矩形OAPB 的面积的最大值.【答案】(1)12cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩.(2)max 3S =+.【解析】分析：（1）先根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出圆的参数方程，（2）根据题意得()()12cos 12sin S θθ=++，再根据同角三角函数关系得213222S t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，sin 4t cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，最后根据二次函数性质求最值.详解：（1）由12sin cos ρθθρ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭得()22sin cos 1ρρθρθ=++，所以22222x y x y +=++，即()()22114x y -+-=，故曲线C 参数方程1212x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）； （2）由（1）可设点P 的坐标为()12cos ,12sin θθ++，[)0,2θπ∈，则矩形OAPB 的面积为()()12cos 12sin S θθ=++ 12sin 2cos 4sin cos θθθθ=+++.令sin 4t cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，212sin t cos θθ=+， 22131222222S t t t ⎛⎫=++-=+- ⎪⎝⎭，故当t =时，max 3S =+点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：cos (sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数）， 圆参数方程：cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数），直线参数方程：00cos (sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数） 选修4—5：不等式选讲23.已知函数()|1|||f x x x a =+-+.（1）若1a =-，求不等式()1f x -的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）[]2,0-【解析】【分析】 （1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集. （2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，只需满足()max |21|f x a +即可.【详解】解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩ 由()1f x -，得12x.故不等式()1f x -的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，所以()max |21|f x a +.因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-，所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+，所以()()22121a a -+， 即220a a +≤，解得20a -，即a 的取值范围为[]2,0-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.。
大庆实验中学2020届高三综合训练(二)数学(文)试题答案
PB / /OE ,
由 PB 平面 A C E, OE 平面 A C E PB / / 平面 A C E
（2）取 AB 中点 F ,连结 PF ,由 PAB 为正三角形，则 PF AB ,
面 PAB 面 ABCD ，面 PAB 面 ABCD AB ，
PF 平面 ABCD ，且 PF
3
2Tn 20
1 24 (2n 9) 2n1 (2n 7) 2n (2n 5) 2n1 ，②
令① ② Tn 10 8 2 24 2n (2n 5) 2n1
24 1 2n3
2 2
2n 5 2n1 3 4 2n
7 n21
1 2
可得 Tn
34
2
2
2
x a 1 5a 1 5a 1 ，
2
2
2
当 x 1 a 时，等号成立，∴ f x 的值最小为 5a 1 . …………8 分
2
2
∴ 1 5a 2 ， 解得 a 2 或 a 6 ．……………………………………9 分
2
5
5
∴
实数
a
的取值范围是
,
2 5
6 5
,
…………10
c,e ， c, f ， d, e ， d, f ， e, f ，15 种可能，
其中满足要求的有 6 种，由古典概型可知 P 6 2 . 15 5
18.解：（1）连结 BD 交 AC 于点 O ，连结 OE
BC / / AD BO = BC 1 , OD AD 3
由 PD 4PE , 则 PE BO 1 ED OD 3
大庆实验中学 2020 届 高三综合训练（二） 数学（文）参考答案
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2
黑龙江省大庆实验中学2020届高三毕业班下学期5月第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意画出图形，可得四边形 为矩形，则 ，结合 ， ， ，列式可得 关于 的三角函数，利用辅助角公式化简后求解椭圆离心率的取值范围.
【详解】设椭圆的另一焦点为 ，连接 ， ， ，
设椭圆的焦距为 ，由题意则四边形 为矩形，∴ ，
， .
结合椭圆定义，可知 ，即 ，则 ，
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
在 ，由正弦定理可知： ，即可求得 值，根据诱导公式化简 ，即可求得答案.
【详解】在 ，由正弦定理可知：
，
，
又
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
对于事件 ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件 ，
， ，故选A.
【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
10.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【详解】∵点 和 在直线 的两侧，
黑龙江省大庆实验中学2020届高三5月模拟测试文科数学试题(含答案)
又 M 、 E 为 AD 、 BC 的中点，
∴ ME 为梯形的中位线，∴ ME//AB ，
又 ∠ABC =90° ，
∴ ME ⊥ BC ，
PB = PC ， E 为 BC 的中点
大庆实验中学 2020 届 高三综合训练（一）
数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求。
1．已知集合 A x Z x2 4 ， B x 4 x 2 ．则 A B
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18. （12 分） 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台。已知经销某种商品的电商在任何一
个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润 0.5 万元，未售出的商品，每1吨亏损 0.3 万元．根据往年的销售经验，得 到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130 吨该商品。现以 x （单位：吨，100 x 150 ）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经
所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 万元的概率的估计值为 0.7 （3）估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数为
x = 105× 0.1+115× 0.2 +125× 0.3 +135× 0.25 +145× 0.15 = 126.5 （吨）；
由频率分布直方图易知，由于 x ∈[100,120) 时，对应的频率为 (0.01+ 0.02)×10 = 0.3 < 0.5 ，
大庆实验中学 2020 届 高三综合训练（一） 数学（文）参考答案
2020届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学(文)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{2,4,6,8}A =，{|26}B x x =<≤，则A B =I （ ） A ．{}2,4 B ．{}2,4,6C ．{}4,6D ．{}2,6【答案】C【解析】利用交集的运算，即可得到结果. 【详解】∵集合{2,4,6,8}A =，{|26}B x x =<≤， ∴{}4,6A B =I ， 故选：C 【点睛】本题考查交集的概念与运算，属于基础题. 2．设复数z 满足(1)2i z i -=，则||z =（ ）A B ．2C ．12D ．2【答案】A【解析】()()()()1i 2i,1i 1i 1i 2i z z Q -⋅=∴+-⋅=+⋅,化为()221i ,1i z z =-+∴=-+，z ∴== A.3．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】函数()f x lnx 2x 6=+-在其定义域上连续，同时可判断f （2）＜0，f （3）＞0；从而可得解． 【详解】函数f （x ）＝lnx 2x 6+-在其定义域上连续， f （2）＝ln 2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0，f （3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；故函数()f x lnx 2x 6=+-的零点在区间（2，3）上， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题．4．下列函数中，定义域和值域相同的函数是（ ）A ．3x y =B ．12log y x =C ．y =D ．tan y x =【答案】C【解析】分别求出四个函数的定义域及其值域分析得答案． 【详解】3x y =的定义域为R ，值域为()0,∞+，不符合题意； 12log y x =的定义域为()0,∞+，值域为R ，不符合题意；y =R ，值域为R ，符合题意；tan y x =的定义域为,2x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，值域为R ，不符合题意，故选：C 【点睛】本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查了学生对基本函数的图象与性质的掌握情况.5．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则,p q 均为假命题；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥”；④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件.其中正确的命题是（ ） A ．②③④ B ．①③④C ．①②④D ．①②③【答案】A【解析】①根据复合命题与简单命题之间的关系进行判断．②根据否命题的定义进行判断．③根据含有量词的命题的否定进行判断．④根据正弦定理及充要条件的定义进行判断． 【详解】解：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题，∴①错误．②根据命题的否命题可知，命题“若a ＞b ，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a ≤b ，则2a≤2b﹣1”，∴②正确．③特称命题的否定是全称命题，得③“∃x ∈R，x 2+1＜1”的否定是“∀x ∈R，x 2+1≥1”． ∴③正确．④在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔sin A •2R ＞sin B •2R ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，∴④正确； 故②③④正确； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，复合命题与简单命题之间的关系以及含有量词的命题的否定，充要条件的定义，比较基础．6．已知向量(3,2)a =-r，(1,)b m =r ，且()a b a +⊥r r r ，则m =（ ）A ．-8B ．-6C ．6D ．8【答案】D【解析】利用向量的加法与数量积运算即可得到结果. 【详解】∵向量(3,2)a =-r，(1,)b m =r ，∴()4,2a b m +=-r r，又()a b a +⊥r r r ，∴()12220m --=， ∴8m =， 故选：D 【点睛】本题考查平面向量的运算，考查向量垂直的等价条件，考查计算能力.7．已知各项均不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】A【解析】化简得到27704a a =-，计算得到74a =，再利用等比数列的性质得到21137b b a ⋅=得到答案.各项均不为0的等差数列{}n a ，223711777240204a a a a a a -+=∴=∴-=221137716b b b a ⋅===故选：A 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，意在考查学生对于数列性质的综合应用. 8．某组合体的三视图如图所示，外轮廓均是边长为2的正方形，三视图中的曲线均为14圆周，则该组合体的体积为（ ）A ．283π-B ．483π-C ．246π-D ．242π-【答案】B【解析】根据题意知：几何体为边长为2的正方体除去八个四八分之一半径为1的球形成的几何体，计算体积得到答案. 【详解】 根据三视图知：几何体为边长为2的正方体除去八个八分之一半径为1的球形成的几何体 故3442833V ππ=-=- 故选：B 【点睛】本题考查了三视图和几何体体积，判断几何体的形状是解题的关键. 9．函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =-对称 D ．关于直线7π12x =对称【解析】根据函数()f x 的最小正周期为π，求出ω，向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，求出ϕ，可得出()f x 的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案. 【详解】根据三角函数的图象与性质2||Tπω=，可得||2ω=，因为0>ω，所以2ω= 所以()sin(2)f x x ϕ=+ 设()f x 的图象向左平移6π个单位后得到的函数为()g x 则()sin 2sin 2263g x x x ϕππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 若()g x 为奇函数，则(0)0g =,故3k πϕπ+=(k Z ∈)，即(),3k k Z πϕπ=-+∈因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由23x k ππ-=,(k Z ∈)解得62k x ππ=+,所以()f x 关于点,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,(k Z ∈)对称A 项，不存在整数k ，使得76212k πππ+=，故A 项错误； B 项，不存在整数k ，使得6212k πππ+=-，故B 项错误； 由232x k πππ-=+(k Z ∈)解得5122k x ππ=+,所以()f x 关于直线5122k x ππ=+(k Z ∈)对称 C 项，当1k =-时，12x π=-，故()f x 关于直线12x π=-对称，故C 项正确；D 项，不存在整数k ，使得5712212k πππ+=，故D 项错误. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心，对称轴的求法，涉及的知识点较多，综合性较强，属于中等题. 10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，若对任意的12,x x R ∈，都有()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9[,3)4C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】由任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x ＞--0成立，得到函数f （x ）单调递增，从而列出不等式组，解不等式组组则可得答案． 【详解】解：∵对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x ＞--0成立，∴函数f （x ）单调递增， 又函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩， ∴()130733a a a a ⎧⎪-⎨⎪--≤⎩＞＞， 解得：1394a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥⎩＞＜．∴实数a 的取值范围是：94≤a ＜3． 故选：B ． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，函数单调性的应用，属于中档题．11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若BC b =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．23B ．433C ．2D ．72【答案】A【解析】由题意可知：ABC V 为边长为b 的等边三角形，即(),0A a 到渐近线的距离为3b，从而可得双曲线C 的离心率. 【详解】由题意可知：ABC V 为边长为b 的等边三角形， ∴(),0A a 到渐近线的距离为3b（等边三角形的高）， 设双曲线的一条渐近线为0by ax -=，∴2232ab b b a=+，即3ab b c =， ∴双曲线C 的离心率233e =， 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的转化能力与计算能力，属于中档题．12．如图，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD ，NB⊥平面ABCD ，且MD=NB=1，E 为MC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．平面BCE ⊥平面ABNB ．MC AN ⊥C ．平面CMN ⊥平面AMND ．平面BDE //平面AMN【答案】C【解析】将几何体补成正方体后再进行判断． 【详解】分别过A ，C 作平面ABCD 的垂线AP ，CQ ，使得AP=CQ=1，连接PM ，PN ，QM ，QN ，将几何体补成棱长为1的正方体．∵BC⊥平面ABN ，BC ⊂平面BCE ， ∴平面BCE⊥平面ABN ，故A 正确；连接PB ，则PB∥MC，显然PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B 正确； 取MN 的中点F ，连接AF ，CF ，AC ．∵△AMN 和△CMN 2 ∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC 为二面角A-MN-C 的平面角， 6，22+CF 2≠AC 2，即∠AFC≠2π，∴平面CMN 与平面AMN 不垂直，故C 错误； ∵DE∥AN，MN∥BD，∴平面BDE∥平面AMN ，故D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，在解题时能运用补的思想将其补成一个正方体，然后求解二、填空题 13．已知函数23(0 x y aa -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log (3)f =______. 【答案】2【解析】根据指数函数过定点()0,1,求出函数23x y a -=+过定点()2,4.即可求出幂函数2()f x x =，代入 3log (3)f 即可得出答案. 【详解】函数23x y a -=+过定点()2,4.将()2,4代入幂函数()a f x x =，即(2)2=42af a =⇒=.所以233log (3)log 3=2f =.故填：2. 【点睛】本题考查指数型函数的定点、幂函数、对数恒等式,属于基础题.需要注意的是指数型函数的定点求法：令指数位置等于0.属于基础题.14．已知直线l ：()2y k x =-与圆221x y +=相切，则直线l 的倾斜角大小为__________． 【答案】30°或150︒【解析】利用圆心到直线的距离等于半径得到直线的斜率，进而得到直线的倾斜角. 【详解】∵直线l ：()2y k x =-与圆221x y +=相切，=1，解得k 3=±， ∴直线l 的倾斜角大小为30°或150︒， 故答案为：30°或150︒ 【点睛】本题主要考查直线和圆相切的应用，利用直线相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径进行求解是解决本题的关键．15．已知,,A B C 为直线l 上的不同三点，O 为l 外一点，存在实数(),0,0m n m n >>，使得4OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r成立，则14m n+的最小值为__________． 【答案】16【解析】由条件可得41m n +=，巧用“1”结合均值不等式得到最小值.【详解】∵,,A B C 为直线l 上的不同三点，且4OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r， ∴41m n +=，又0,0m n >>，∴()14141648816n m m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当16n m m n =即142n m ==时等号成立， ∴14m n+的最小值为16， 故答案为：16 【点睛】本题考查向量共线定理，考查了均值不等式求最值，属于常考题型. 16．已知点,O F 分别为抛物线21:4C y x =的顶点和焦点，直线314y x =+与抛物线交于,A B 两点，连接AO ，BO 并延长，分别交抛物线的准线于点,P Q ，则||||BP AQ +=__________．【答案】254【解析】直线与抛物线方程联立，求出,A B 坐标，进而得到,P Q 的坐标，从而得到结果. 【详解】联立方程：214314y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得：44x y =⎧⎨=⎩，或114x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 不妨设：()14,4,1,4A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭易得：()()1,1,4,1P Q ---， ∴525||||544BP AQ +=+=， 故答案为：254【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质，考查计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2na n nb a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =.（2）(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据等差数列公式得到()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案.（2）12nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得220d d +-=.∵0d >，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-= 即数列{}n a 的通项公式n a n =. （2）1222nna n n nb a n n --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，12n n T b b b =+++L 211221122nn ⎛⎫⎛⎫ ⎪=+++ +++⎪⎝⎭⎝⎭L ， ()231111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L 11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．已知函数21()cos sin 22f x x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且212f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭26f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值；（2）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足c =()1f C =,求+a b的取值范围.【答案】（1）2（2）【解析】（1）化简得到()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入数据计算得到sin α，cos α=，cos β=，sin β=，再利用和差公式展开得到答案.（2）根据()1f C =得到3C π=，利用余弦定理得到()233a b ab =+-，再利用均值不等式得到答案. 【详解】（1）1cos(2)1()222x f x x π-+=-+1cos 21122cos 2222x x x x +=-+=-sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵2125f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴sin α=.∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴cos α=.∵26f βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭,∴sin 2πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos β=∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴sin β=.∴531025102sin()sin cos cos sin 5105102αβαβαβ+=+=⨯+⨯=（2）∵()sin 26f C C π⎛⎫=-⎪⎝⎭,∴sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵(0,)C π∈,∴112,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,∴262C ππ-=,即3C π=. ∵2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-,∴()233a b ab =+-∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取“=”. ∴2222313()3()()()44a b ab a b a b a b =+-≥+-+=+ ∴()212a b ≥+，即23a b +≤，当且仅当a b =时取“=”. 又∵3a b c +>=，∴+a b 的取值范围是(3,23]. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，,D E 分别是线段AB ，1BB 的中点.（1）证明：1BC P 平面1A CD ；（2）当三棱柱的各棱长均为2时，求三棱锥1C A DE -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】（1）连接1AC 与1A C 相交于点F ，连接DF ，易得1DF BC P ，从而得证； 【详解】（1）证明：连接1AC 与1A C 相交于点F ，连接DF ， 由侧面11ACC A 为平行四边形可得F 是线段1AC 的中点， 又因为D 是线段AB 的中点，∴1DF BC P ， ∵1BC ⊄平面1A DC ，DF ⊆平面1A DC ， ∴1BC P 平面1A CD .（2）∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊆平面ABC ，∴1AA CD ⊥ ∵AC BC =，D 是线段AB 的中点，∴AB CD ⊥∵1AB AA A =I ，1,AB AA ⊆平面11A ABB ，∴CD ⊥平面11A ABB ， ∴线段CD 为三棱锥1C A DE -的高， ∵2AB BC AC ===，∴3CD =，∵1AA ⊥平面ABC ，AB ⊆平面ABC ，∴1AA AB ⊥， ∵三棱柱的各棱长均为2，∴四边形11A ABB 为正方形， ∴11113221211122222A DE S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∴11113333322A DE C A DE V S CD ∆-=⨯⨯=⨯⨯=三棱锥【点睛】本题考查线面平行的证明，三棱锥体积的计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.20．已知点()2,0P 为平面内一定点，动点(),M x y 为平面内曲线C 上的任意一点，2222(2)(2)4x y x y -+++=，过原点的直线交曲线C 于,A B 两点. （1）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）设直线PA ，PB 交直线3x =于E 、F 两点，求线段EF 长度的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】（1）由题意可知点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，设()11,A x y ，则()11,B x y --，可得21112111224PA PBy y y k k x x x -⨯=⨯=----，利用点在椭圆上可得定值； （2）由（1）可设直线PA ：()2y k x =-，则直线PB ：()122y x k=--，分别求出E 、F 的坐标，表示线段EF 长度，利用均值不等式求最值即可.【详解】（1）设1(F，2F ， 由题意可知124MF MF +=，且124F F =<，所以，点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且长轴长为4，焦距为 即2a =，c =b =所以，曲线C 的轨迹方程为22142x y +=.由已知,A B 两点关于原点对称，不妨设()11,A x y ，则()11,B x y --， 所以，21112111224PA PBy y y k k x x x -⨯=⨯=----， 又因为，点A 在曲线C 上，所以，2211142x y +=，解得，22211142142x x y ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭， 所以，2121142y x =--， 所以，直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值12-. （2）由第（1）可得，12PA PB k k ⨯=-， 所以，不妨设直线PA ：()2y k x =-，则直线PB ：()122y x k =--， 将3x =分别代入直线PA ，直线PB 的方程得，()3,E k ，13,2F k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 11||||22EF k k k k=+=+，因为，||0k >，所以，11||2||222k k k k+≥⨯=， 当且仅当1||||2k k =，即2k =±时，取得最小值2. 【点睛】本题考查定义法求椭圆方程，椭圆中的定值问题与最值问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题． 21．已知函数，斜率为的直线与相切于点.（Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当实数时，讨论的极值点。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(三)数学(文)试题
13．已知 x 轴为曲线 f (x) 4x3 4(a 1)x 1的切线，则 a 的值为
．
14．已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2a8 2a3a6 ， S5 62 ，则 a1
．
15．如图，为测量高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，
从 A 点测得 M 点的仰角 MAN 600 ， C 点的仰角 CAB 45，
构成种类繁多的精美图案.如图所示的窗棂图案，是将边长为 2R 的正方形的内切圆
六等分，分别以各等分点为圆心，以 R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形，
若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为
A．1 3 3
B． 3 3 24
C． 2 3 3
D． 3 24
5．已知 m, n 是两条不重合的直线，, 是两个不重合的平面，下列命题正确的是
A． 41
B．17
C．12
D． 3
7．记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和，若 a4 a5 24 ， S6 48 ，则{an} 的公差为
A．1
B． 2
C． 4
D． 8
8． 已知向量 AB 1, 2 ， BC x, 4 ，若 A ， B ， C 三点共线，则 AC BC
A．10
，其外接球的表面积为
.
P
D
A
B
C
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题都必须作答， 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共 60 分 17．（12 分）
交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行.机动车行 经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让.我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定 的称为“不礼让斑马线”.下表是大庆市某十字路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计 数据：
黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(二)数学(文)答案
c,e ， c, f ， d, e ， d, f ， e, f ，15 种可能，
其中满足要求的有 6 种，由古典概型可知 P 6 2 . 15 5
18.解：（1）连结 BD 交 AC 于点 O ，连结 OE
BC / / AD BO = BC 1 , OD AD 3
由 PD 4PE , 则 PE BO 1 ED OD 3
2Tn 20
1 24 (2n 9) 2n1 (2n 7) 2n (2n 5) 2n1 ，②
令① ② Tn 10 8 2 24 2n (2n 5) 2n1
24 1 2n3
2 2
2n 5 2n1 3 4 2n
7 n21
1 2
可得 Tn
34 (2n
由bn等比，设公比为 q ，
b1 2 ， b2 23 2
22 2
4 ，q b2 b1
2 ，bn 2n .
（2） cn 2n 5 2n ，当 n 1时，T1 6 ；当 n 2 时， T2 10 ；
当 n 3时， 2n 5 0 ， Tn 10 1 23 3 24 (2n 7) 2n1 (2n 5) 2n ，①
y
4
2t 2
由 sin2 2cos ，两侧乘 得 2 sin2 2 cos ，
sin y, cos x 代入化简得，曲线 C 的直角坐标方程为 y2 2x .
（2）将
x
2
2 2
t
代入
y2
2x
，得
t2
5
2t 20 0 .
y
4
2t 2
2
设 P,Q 两点所得的参数分别为 t1 ， t2 ，则 t1 t2 10 2 ， t1t2 40 ，
故 | MQ | | MP | t12 t22 t1 t2 2 2t1t2
2020年5月黑龙江省大庆实验中学2020届高三下学期高考综合训练(三)数学试题答案详解
【答案】B【详解】 作出 中在圆 内部的区域,如图所示,因为直线 , 的倾斜角分别为 , ,所以由图可得 取自 的概率为 .故选：B
6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约 千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验,专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高,若某运动员跑完一次全程马拉松用了 小时,则他平均每分钟的步数可能为（）
A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 【答案】C
【详解】设直线的倾斜角为 ,则 ,
所以 , ,即 ,
所以直线 的方程为 .当直线 的方程为 ,
联立 ,解得 和 ,所以 ；
同理,当直线 的方程为 . ,综上, 或 .选C.
12．已知四棱锥 的四条侧棱都相等,底面是边长为 的正方形,若其五个顶点都在一个表面积为 的球面上,则 与底面 所成角的正弦值为（）
（2）若曲线 上任意一点处的切线为 ,总存在 上一点处的切线 ,使得 ,则实数 的取值范围为________.
【答案】－2 【详解】(1) ,则曲线 在 处的切线的斜率 ,
在 处的切线的斜率 ,依题意有 ,即 ;
(2)曲线 上任意一点处的切线的斜率 ,则与 垂直的直线的斜率为 ,
而过 上一点处的切线的斜率 ,
A． , B． C． , D． ,
【答案】A【详解】根据题意为了计算7个数的方差,即输出的 ,
观察程序框图可知,应填入 , ,故选：A.
10．已知双曲线 ： 的左、右两个焦点分别为 , ,若存在点 满足 ,则该双曲线的离心率为（）
A．2B． C． D．5【答案】B
【详解】 .选B.
11．已知抛物线 ： 的焦点为 ,过点 的直线 交抛物线 于 , 两点,其中点 在第一象限,若弦 的长为 ,则 （）
2020届黑龙江省大庆市实验中学高三下学期复学考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前黑龙江省大庆实验中学2020届高三毕业班下学期复学考试数学(文)试题(解析版)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数,然后求z 的共轭复数,即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意,()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题．2.设全集U =R ,(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤,A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D【解析】【分析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =.故选D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围.3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是（ ） A. 221167x y += B. 221716x y += C. 2216428x y += D.2212864x y += 【答案】A【解析】【分析】由椭圆的长轴长及离心率的值,可求出,,a b c ,进而结合椭圆的焦点在x 轴上,可得出椭圆的标准方程.详解】由题意知,28a =,∴4a =,又34e =,∴3c =,则2227b a c =-=. 因为椭圆的焦点在x 轴上时,所以椭圆方程为221167x y +=. 故选：A .【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,考查学生的计算求解能力,属于基础题.4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三毕业班下学期5月高考综合训练(二)数学(理)试题(解析版)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 ，利用正弦定理边化为角得 ，整理为 ，根据 ，得 ，再由余弦定理得 ，又 ，代入公式 求解.
【详解】由 得 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，
由余弦定理 ，所以 ，
由 的面积公式得
故选：A
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
故答案为D.
【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
7.若 ， ，且直线 与圆 相切，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由圆的标准方程求出圆心坐标和半径 ，利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径以及点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，再设 ，得到关于 的不等式，解不等式即可.
【详解】由圆 ，得 ，
2.已知 为虚数单位，若复数 （ ）的虚部为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先化简复数z,再根据复数z的虚部为-1求a的值.
详解：由题得 =
故答案为C
点睛：（1）本题主要考查复数的除法和复数的实部与虚部，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)复数 的实部是a,虚部是b，不是bi.
3.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 ，以下结论中不正确的为（ ）
黑龙江省大庆市实验中学2020届高三数学下学期二模考试试题 文(含解析)
黑龙江省大庆市实验中学2020届高三数学下学期二模考试试题 文（含解析）一、单选题（共12小题，共60分）1.设全集U ＝{x N ∈|﹣1＜x ＜5}，集合A ＝{1，3}，则集合∁U A 的子集的个数是（ ） A. 16 B. 8C. 7D. 4【答案】B 【解析】因为{}{}|1501234U x N x ，，，，=∈-<<=，{}13A =，，所以{}024U C A =，，，集合U C A 的子集的个数是32=8 ，故选B.2.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. i （1+i ）2 B. i 2（1﹣i ）C. （1+i ）2D. i （1+i ）【答案】C 【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ 2i (1i)1i -=-+ ,2(1i)2i += ,i(1i)1i +=-+ ,所以选C.3.数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2﹣28n ，则数列{a n }各项中最小项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项【答案】B 【解析】二次函数()2328f x x x =-的对称轴为281424633x -=-==， 数列中的项为二次函数自变量为正整数时对应的函数值， 据此可得：数列{}n a 各项中最小项是第5项. 本题选择C 选项.4.在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若AB AF ⋅=u u u v u u u v则AE BF ⋅u u u v u u u v的值（ ）A. 2B. 2C. 0D. 1【答案】A 【解析】 【分析】以A 为原点建立直角坐标系，可以得到各点的坐标，然后表示出相应向量的坐标，再对向量进行坐标运算，得到结果.【详解】建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ，()20B，，()2,1E，(),2F x ，()2,0AB ∴=u u u v，(),2AF x =u u u v，22AB AF x ∴⋅==u u u v u u u v解得1x =，()1,2F ∴()2,1AE ∴=u u u v ，()12,2BF =-u u u v，()212122AE BF ∴⋅=-+⨯=u u u v u u u v.故选A 项．【点睛】本题考查通过建立直角坐标系，将向量问题坐标化后解决，考查了向量坐标的线性运算和数量积，属于中档题.5.已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A. ()()=44xxf x x -+B. ()()244log x xf x x -=-C. ()2()44log ||x xf x x -=+D. ()12()44logx xf x x -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据图像得到函数()f x 为偶函数，而且1x =时，()0f x =，通过排除法排除掉A 、B 选项，然后通过判断()0,1x ∈时，()f x 的值，排除D 选项，从而得到答案.【详解】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项．【点睛】本题考查函数图像的性质，函数的奇偶性，零点和值域，属于简单题.6.某程序框图如图所示，若输出S ＝3，则判断框中M 为（ ）A. k ＜14？B. k≤14？C. k≤15？D. k ＞15？【答案】B 【解析】 【分析】由框图程序可知12231S k k =++++++L 结合循环结构的终止条件可得解【详解】由框图程序可知12231S k k =++++++L 11n n n n =+++所以213243111S n n n =+=+L 所以113S n =+=，解得15n =，即当15n =时程序退出，故选B ．【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.实数x ，y 满足1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩……„，则z ＝4x+3y 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 18D. 24【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件x y1x y12x y2+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩的平面区域，如图所示：，由x y12x y2-=-⎧⎨-=⎩，解得A（3，4），由z＝4x+3y得l：y 4 3=-x13+z，平移l结合图象得直线l过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，准确画出可行域，确定最优解是关键，是一道中档题．8.在区间[﹣2，2]上随机取一个数b，若使直线y＝x+b与圆x2+y2＝a有交点的概率为12，则a＝（）A.14B.12C. 1D. 2【解析】 【分析】由直线y x b =+与圆22x y a +=有交点可得2,2a a ⎡⎤-⎣⎦，利用几何概型概率公式列方程求解即可.【详解】因为直线y x b =+与圆22x y a +=有交点，所以圆心到直线的距离2bd a =≤，2,2b a a ⎡⎤∴∈-⎣⎦， 又因为直线y x b =+与圆22x y a +=有交点的概率为12， 221122a a a +∴=⇒=，故选B.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及几何概型概率公式的应用，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（ ）A. 34πB. 32πC. 17πD.172π 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M半径为r ，球心到底面距离为32设球心为O ，根据勾股定理列出方程即可. 【详解】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的， 如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M 半径为r ，球心到底面距离为32设球心为O ，由勾股定理得到2222225334()()(),4342224h R r S R ππ=+=+=== 故选A.【点睛】这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期复习考试数学(文)试题
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期复习考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，AB =（ ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤<C ．{}1D ．{}0,1 3．已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（ ） A ．221167x y += B ．221716x y += C ．2216428x y += D ．2212864x y += 4．如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．1124C ．1324D ．5165．长方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A B C D6．设56cos56)a =-，cos50cos128cos 40cos38b =+，cos80c =,则a b c ，，的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>7．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =，1233OC OA OB =+，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（ ）.A B ．C ．2 D ．38．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()f x '满足()2()1xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ）A ．(,2021)-∞-B ．(2021,0)-C ．(2021,2020)--D ．(2020,0)-9．已知函数()cos 33a x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()y g x =，则不等式()1g x ≤的解集是（ ）A ．()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()3,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()37,84k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．()52,262k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦10．已知函数()ln f x ax x b =+在(1,1)处的切线方程过(3,5)，则函数()f x 的最小值为（ ）A ．21e -B ．1C ．2e - D ．11e-11．若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A ．1-B ．1C ．10D ．1212．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为(c,0)F ，弦PQ 过F 且垂直于x 轴，过点P 、点Q 分别作为直线AQ 、AP 的垂直，两垂线交于点B ，若B 到直线PQ 的距离小于2()a c +，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A．B． C．2) D．)+∞二、填空题13．甲、乙两支足球队进行一场比赛，,,A B C 三位球迷赛前在一起聊天.A 说：“甲队一定获胜.”B 说：“甲队不可能输.”C 说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增，若实数a满足3log (2)(a f f >，则a 的取值范围是___.15．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______. 16．如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积．若1(),2,2f M x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且18a x y+≥恒成立，则正实数a 的最小值是_____三、解答题17．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点.（1）求证：//PA 平面MDB ；（2）求点P 到平面BDM 的距离.18．已知数列{}n a 满足112a =，121n n n a a a +=+()*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：222212312n a a a a ++++<. 19．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽数之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了明天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，求事件“,m n 均不小于25”的概率；（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5填中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，ˆˆˆybx a =+. （参考公式：1122211()()()n n i i i ii i n n i i i i x y nxy x x y y b xnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-）.20．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1.（1）求椭圆C 的方程； （2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,则1F AB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知a 为常数，函数2()ln .f x x ax x =+-（1）过坐标原点作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求0x ；（2）令()()x f x F x e=，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调减函数，求a 的取值范围. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为12sin cos ρθθρ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上任取一点P ，过点P 作x 轴，y 轴的垂直，垂足分别为A ，B ，求矩形OAPB 的面积的最大值.23．已知函数()|1|||f x x x a =+-+.（1）若1a =-，求不等式()1f x -的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.参考答案1．B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．D【分析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =.又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ , 所以{}0,1AB =. 故选D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围.3．A【分析】由椭圆的长轴长及离心率的值，可求出,,a b c ，进而结合椭圆的焦点在x 轴上，可得出椭圆的标准方程.【详解】由题意知，28a =，∴4a =，又34e =，∴3c =，则2227b a c =-=.因为椭圆的焦点在x 轴上时，所以椭圆方程为221167x y +=. 故选：A .【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4．B【分析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.【详解】 图①小球落在阴影部分的概率为：212213214464P πππ-⋅⋅=⋅=⋅ 图②小球落在阴影部分的概率：213P = ∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为31131111111632424⎛⎫⎛⎫--⨯-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用.5．B【分析】建立D xyz -空间直角坐标系，分别写出1BC 、AE 向量，利用cos 〈1BC AE ，〉＝11||AE BC AE BC ⋅⋅即可求出答案.【详解】建立坐标系如图所示．则A (1，0，0)，E (0，2，1)，B (1，2，0)，C 1(0，2，2)，1BC ＝(－1，0，2)，AE ＝(－1，2，1)．cos 〈1BC AE ，〉＝11||AE BC AE BC ⋅⋅＝10. 故选：B .所以异面直线BC 1与AE . 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值.属于基础题.求异面直线所成角的两种思路：一、将异面直线平移到同一个平面，在同一个平面内求出线线角即为异面直线所成角.二、建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，利用cos ,,a b a b a b ⋅<>=即可解出异面直线所成角.6．B【解析】56cos56)sin(5645)sin112a =-=-= ，cos(9040)cos(9038)cos 40cos38sin 40sin 38cos 40cos38cos 78sin12b =-++=-+== ，cos80sin10c == ，sin12sin11sin10,b a c >>∴>> ，选B. 7．D 【分析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB 为基底表示出OM ，由此求得OC OM ⋅的值.【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+.所以OC OM ⋅12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+21422cos603323=+⨯⨯⨯+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．C【分析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，2()2()x f x xf x x -'<，进而构造函数2()()f x g x x =，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集.【详解】由题意知，当(,0)x ∈-∞时，()2()1xf x f x '->，可得2()2()x f x xf x x -'<， 设2()()f x g x x =，则243()2()1()0x f x xf x g x x x -=<''<，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减.不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，等价于2(2020)(1)(1)(2020)f x f g x +<-=-+， 即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-. 故选：C.【点睛】 本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x=是解决本题的关键，属于中档题. 9．A【分析】 把()f x 化为sin ,cos x x 的式子，然后由偶函数定义可求得a ，由图象平移变换得()g x ，再解不等式()1g x ≤即可．【详解】因为()11cos sin sin 2222a x x x x f x ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭13cos sin 2222a x a x ⎛⎛⎫=-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以()()f x f x -=，所以0a =，解得1a =-，所以()2cos f x x =-. 将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线2cos 2()2cos 2126y x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 则()2cos 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.由()1g x ≤，得2cos 216x π⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，得1cos 262x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，则()22222363k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()5124x k k k Z ππππ≤≤+∈-. 不等式()1g x ≤的解集是()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 故选：A .【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.10．A【分析】由()f x 过点(1,1)，可求出b ，进而对()f x 求导，可得到()f x 在(1,1)处的切线方程，再结合切线方程过(3,5)，可求出a 的值，从而可得到()f x 的表达式，进而判断单调性，可求出最小值.【详解】∵()ln f x ax x b =+过点(1,1)，∴()1ln11f a b =+=，解得1b =，∵()()ln 1f x a x '=+，∴()()1ln11f a a '=+=，则()f x 在(1,1)处的切线方程为()11y a x =-+，∵()11y a x =-+过(3,5)，∴2a =，∴()2ln 1f x x x =+，∴()()2ln 1f x x '=+，令0f x 得1e x =，∴()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴()f x 的最小值为1212ln 11e e e ef ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】 本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查利用函数的单调性求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.11．C【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.12．B【详解】由题意,B 在x 轴上,22,,,bb Pc Q c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2AQ b ak a c=-， ∴22BP a ac k b -=-， 直线BQ 的方程为()222b a ac y x c a b--=--， 令y =0,可得()42b x c a a c =+-， ∵B 到直线PQ 的距离小于2(a +c )，∴()()422b a c a a c -<+-，∴b <，∴c <，∴e <∵e >1，∴1e <<故选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13．甲胜【分析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.【详解】若甲队获胜，则A ，B 判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.故答案为：甲胜【点睛】本题考查了推理和证明中的合情推理，考查了学生推理证明，综合分析的能力，属于基础题. 14．(【分析】根据函数的奇偶性以及在区间(],0-∞上的单调性确定出()0,∞+上的单调性，再根据函数值之间的关系，将其转化为自变量之间的关系，求解出a 的范围即可.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数且在(],0-∞上递增，所以()f x 在()0,∞+上递减，又因为()(3log 2a f f >，所以3log 20a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩， 所以31log 2220a a ⎧⎪<⎨⎪>⎩，所以31log 20a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，所以(a ∈.故答案为：(.【点睛】本题考查根据函数的单调性和奇偶性求参数范围，难度一般.已知函数值的大小关系，可通过函数的单调性将其转变为自变量之间的关系.15．()()0,2 【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论． 【详解】=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B -=，即()2sin cos A C C B A =+=，又sin 0A >，所以cos C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而2222cos a c b B ac +-=，故()()2220,2a c b ac +-∈.故答案为：()()0,2．【点睛】 本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.16．6-【分析】由垂直关系可知PC ⊥平面PAB ，进而求得三棱锥P ABC -体积，通过体积桥可得421x y +=；利用()1142a a x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可构造出符合基本不等式的形式，得到142a a x y+≥++a 的不等式，解不等式求得最小值. 【详解】,,PA PB PC 两两垂直 PC ∴⊥平面PAB1113211332P ABC C PAB PAB V V S PC --∆∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=，即1212x y ++= 421x y ∴+=()112442424242a a y ax x y a a a x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++≥++++ ⎪⎝⎭（当且仅当24y ax x y=，即y =时取等号）又18a x y+≥恒成立，428a ∴++≥，解得：6a ≥- ∴正实数a 的最小值为6-【点睛】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“1”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从而求得结果.17．（1）详见解析；（2 【分析】（1）连结AC ，交BD 于O ，连接MO ，易知//MO PA ，进而可证明//PA 平面MDB ； （2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，易知PE ⊥平面ABCD ，由//PA 平面MDB ，可知111223P BDM A BDM M ABD P ABD BAD V V V V S PE ----∆====⨯⋅，设P 到平面BDM 的距离为h ，则111323BMD BAD S h S PE ∆∆⋅=⨯⋅，进而由题中关系，分别求出,,BMD BAD S S PE ∆∆，即可求出P 到平面BDM 的距离.【详解】（1）连结AC ，交BD 于O ，则O 为AC 中点，连接MO ，∵M 为PC 的中点，∴//MO PA ，又MO ⊂平面MDB ，PA ⊄平面MDB ，∴//PA 平面MDB .（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD ∆为正三角形，可知E 为AD 的中点， ∵侧面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD平面ABCD AD =，PE ⊂侧面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，连结BE ，∵AD PE ⊥，AD PB ⊥，PE PB P =，∴AD ⊥平面PEB ，而EB ⊂平面PEB ， ∴AD EB ⊥，在直角ABE △中，1cos 2EA EAB AB ∠==，∴60EAB ∠=︒，∴2BD =，BE = 连结CE ，因为1DE =，2CD =，120CDE ∠=︒，由余弦定理得2222cos120CE ED CD ED CD =+-⋅︒，计算可得CE =，在直角PCE ∆中，PC ===又因为PCD ∆为等腰三角形，M 为PC 的中点，所以DM ===因为PB ===2BC =，PC =所以222PB BC PC +=，所以90PBC ∠=︒，又因为M 是PC 的中点，所以BM =， 所以222BM MD BD +=，即90BMD ∠=︒，所以12BMD S BM MD ∆=⋅=1222BAD S =⨯⨯= 因为//PA 平面MDB ，所以111111223232P BDM A BDM M ABD P ABD BAD V V V V S PE ----∆====⨯⋅=⨯=，设P 到平面BDM 的距离为h ，则1132BMD S h ∆⋅=，则32h ==故P 到平面BDM 的距离为5.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离，考查三棱椎体积的计算，利用等体积法是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18．（1）12n a n =；（2）详见解析 【分析】（1）由121n n n a a a +=+，两边取倒数可得1112n n a a +-=，可知数列1n a 为等差数列，从而可求出1na 的表达式，进而可得到n a 的表达式； （2）利用放缩法，可得2211111441n a n n n ⎛⎫=⋅<- ⎪-⎝⎭（2n ≥，*N n ∈），进而可证明结论. 【详解】 （1）由112a =，121n n na a a +=+，可知0n a >， 对121n n n a a a +=+的等号两端同时取倒数得1112n n a a +=+， 则1112n n a a +-=，所以数列1n a 为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n n a =， 所以12n a n =. （2）依题可知222111111111244141n a n nn n n n ⎛⎫⎛⎫==⋅<⋅⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2n ≥，*N n ∈）， 所以222212311111111442231n a a a a n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭1111114424n n⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 故222212312n a a a a ++++<. 【点睛】 本题考查数列通项公式的求法，考查利用放缩法证明数列不等式，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.19．（1）3()10P A =（2）532y x =- 【解析】分析：（1）用数组m n （，）表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m n ，的所有取值情况，分析可得m n ，均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（2）根据所给的数据，先做出x y ，的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．详解：（1）所有的基本事件为()()()()23,25,23,30,23,26,23,16;()()25,30,25,26，()25,16;()()30,26,30,16;()26,16，共10个．设“,m n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为()25,30，()25,26，()30,26，共3个．故由古典概型公式得()310P A =. （2）由数据得，另3天的平均数12,27,3972x y xy ===，3322113432,977,434i i i i i x x y x =====∑∑，所以977972543443ˆ22b -==-， 5271232ˆa =-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ532y x =-. 点睛：本题考查回归直线方程的计算与应用，涉及古典概型的计算，是基础题，在计算线性回归方程时计算量较大，注意正确计算．20．（1）22143x y +=； （2）1F AB ∆的面积取得最大值3, 1x =.【分析】（1）利用待定系数法结合题意求解椭圆方程即可；（2）很明显直线l 的斜率不为零，设出直线方程的x 轴截距形式，得到面积函数，结合函数的性质确定面积最大时的直线方程即可.【详解】（1）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>> 因为12c e a ==，1a c -= 所以2,1a c == 即椭圆C ：22143x y += . （2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设 120,0y y ><由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=， 则12122269,3434m y y y y m m --+==++ ， ∴()1121221234F AB S F F y y m ∆=-=+，t =，可知1t ≥则221m t =-， ∴1212121313F AB t S t t t∆=+++令()13f t t t =+，则()213t f t =-＇， 当1t ≥时，()>0f t ＇，即()f t 在区间[)1,+∞上单调递增，∴()()14f t f ≥=，∴13F AB S ∆≤，即当1,0t m ==时，1F AB ∆的面积取得最大值3，此时直线的方程为1x =．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．（1）01x =；（2）2a ≤.【分析】（1）求出0(),()f x f x ''，求出切线的点斜式方程，原点坐标代入，得到关于0x 的方程，求解即可；（2）221(2)ln ln (),(),x x x a x a x x ax x x F x F x e e -+-+-++-'==设21()(2)ln h x x a x a x x=-+-+-+，由()h x '在(0,1)是减函数，()(1)2h x h a ''≥=-，通过研究2a -的正负可判断()h x 的单调性，进而可得函数()F x 的单调性，可求参数的取值范围.【详解】（1）1()2f x x a x'=+-， 所以切线的斜率为0001()2f x x a x '=+-， 切线方程为00001(2)()y y x a x x x -=+--。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学5月综合训练试题一文含解析
某某省某某实验中学2020届高三数学5月综合训练试题（一）文（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求． 1.设集合2{|4}A x Z x=∈，{|42}B x x =-<< ，则A B =（ ）A. {|22}x x -<≤B. {|42}x x -<≤C. {2,1,0,1,2}--D. {2,1,0,1}-- 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交运算，即可容易求得结果.【详解】{|22}{2,1,0,1,2}A x Z x =∈-=--≤≤ 故可得{}2,1,0,1A B ⋂=-- 故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题. 2.已知复数z 满足（1+i ）2•z ＝1﹣i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，由此求得z ，进而求得z 对应点的坐标及其所在象限.【详解】由（1+i ）2•z ＝1﹣i ，得z ()()2211111(1)2222i i i i i i i i ----====--+-，则1122z i =-+，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为（12-，12），位于第二象限． 故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题.3.已知向量,a b 满足a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则2a b +＝（ ） A.5B. 52C. 5D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案. 【详解】根据题意，a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则有a b ⋅=2+y ＝0，解可得y ＝﹣2，即b =（1，﹣2），则2a b +=（4，﹣3），故2a b +=169+=5； 故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.4.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）A. x x >甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B. x x >甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C. x x <甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D. x x <甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛【答案】B 【解析】 【分析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解. 【详解】由题得18+26+28+28+31+3382==63x 甲，12+18+19+25+26+32==226x 乙，所以x x >甲乙.从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定， 所以要派甲参加. 故选B【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知正方体1111ABCD A BC D -，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱11A D ，1CC 的中点.则异面直线1B M 与ON 所成角的余弦值为( )A.5C.【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出向量1B M 和ON 的坐标，然后利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以D 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，所以有1(0,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,0,2),(0,2,1)D O B M N ， 因此1(1,2,0)B M =--，(1,1,1)ON =-， 设异面直线1B M 与ON 所成角为α， 所以12222221(1)(1)(2)10115cos (1)(2)0(1)11B M ON B M ONα⋅-⨯-+-⨯+⨯===⋅-+-+⋅-++故选：C【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力. 6.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”.某高校学生小X 、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生.现知道： （1）教语文的没有分配到一中， （2）教语文的不是小孟， （3）教英语的没有分配到三中， （4）小X 分配到一中. （5）小盂没有分配到二中，据此判断.数学学科支教的是谁？分到哪所学校？（ ） A. 小X 三中B. 小李一中C. 小盂三中D. 小X 二中【解析】 【分析】由于小X 分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，问题得以解决.【详解】由于小X 分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中， 则可知小盂分配到三中，且教数学， 故选：C.【点睛】本题考查了合情推理的实际应用问题，其中解答中数练应用合理推理，结合题意求解是解答额关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．7.设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A. ,//,a b αβαβ⊥⊥ B. ,,//a b αβαβ⊥⊥ C. ,,//a b αβαβ⊂⊥ D. ,//,a b αβαβ⊂⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出a b ⊥成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】A. 由,//,a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（1），所以不正确. B. 由,,//a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（2），所以不正确. C. 由,//b βαβ⊥，可得b α⊥，又,a α⊂所以有a b ⊥，所以正确. D. 由,//,a b αβαβ⊂⊥，如图（3），所以不正确.【点睛】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的判断和空间想象能力，属于基础题.8.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f （﹣4）＝0，则使得xf （x ）＞0成立的x 的取值X 围是（ ） A. （﹣4，4）B. （﹣4，0）∪（0，4）C. （0，4）∪（4，+∞）D. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，求得不等式()x f x ⋅的解集.【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f （x ）是在（﹣∞，0）上是增函数，又f （﹣4）＝0，∴f （4）＝0，由xf （x ）＞0，得()00x f x ⎧⎨⎩＞＞或()00x f x ⎧⎨⎩＜＜，∴x ＞4或x ＜﹣4．∴x 的取值X 围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 故选：D【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.9.棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )A. 92B. 922C. 32D. 3【答案】A【解析】【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．【详解】由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABC DEF-，所得的组合体，其截面是一个梯形BCFE，22112+=222222+=故截面的面积19222S =⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.已知直线y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ） A. 566k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， B. 51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， C. 51166k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， D. 511612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求得ω，再根据单调区间的求法，求得()f x 的单调区间. 【详解】∵y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T ＝π，即2πω=π，得ω＝2，则f （x ）＝2sin （2x 3π-），由2k π2π-≤2x 3π-≤2kπ2π+，k ∈Z ，得k π12π-≤x ≤k π512π+，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[k π12π-，k π512π+]，k ∈Z ，故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题.11.若函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值X 围是（ ）A. （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B. （﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C. [﹣1，0）D. [0，+∞） 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值X 围.【详解】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若22PF c =，且1143PF QF =，则椭圆C 的离心率为（ ） A. 12B. 34C. 57D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据题意以及椭圆的定义，可得|PF 1|、|QF 1|、|QF 2|，并计算cos ∠PF 1F 2，cos ∠QF 1F 2，然后利用cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0化简，简单计算可得结果. 【详解】∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴|PF 2|＝2c ，则|PF 1|＝2a ﹣2c ．∵3|PF 1|＝4|QF 1|，∴|QF 1|3224a c =（﹣）32a c =-（），则|QF 2|＝2a 32a c --（）=322+a c ． 在等腰△PF 1F 2中，可得cos ∠PF 1F 2112122PF a c F F c-==． 在△QF 1F 2中，由余弦定理可得：cos ∠QF 1F 2=()22291()4(3)443222a c c a c c a c -+-+⨯⨯-，由cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，得()22291()4(3)4432222a c c a c a c c c a c -+-+-+=⨯⨯-0， 整理得：5706a c c -=，∴557,7c a c e a ∴==＝. 故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.若x，y满足约束条件1020220xyx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则3z x y=+的最大值是______.【答案】8 【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线13y x =-，找到一点使得直线13y x z=-+在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可.【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：在可行解域内平移直线13y x=-，当直线13y x z=-+经过A点时，直线在纵轴上的截距最大，A 点的坐标是方程组222y y x =⎧⎨=-⎩的解，解得22y x =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值是2328+⨯=.故答案为：8【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力. 14.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()3log (1)00x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩，，，则()8g f ⎡⎤-=⎣⎦____．【答案】-1 【解析】当0x <时，0x ->， ∴()()3log 1f x x -=-+，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()3log 1f x x -=-+，∴()()3log 1,(0)f x x x =--+<，即()()3log 1,(0)g x x x =--+< 由题意得3(8)(8)log 92f f -=-=-=-， ∴()38(2)log [(2)1]1g f g ⎡⎤-=-=---+=-⎣⎦． 答案：1-15.已知长方形ABCD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°，现将长方形ABCD 沿着对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则折后几何图形的外接球表面积为_____． 【答案】4π 【解析】 【分析】设出球心的位置，利用勾股定理列方程组，解方程组求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】长方形ABCD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°，可得BD ＝2，AD 3=， 作AE ⊥BD 于E ，可得AE •BD ＝AB •AD ，所以AE 3=，BE 2231142AB AE =-=-=，因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以AE ⊥面BCD ， 由直角三角形BCD 可得其外接圆的圆心为斜边BD 的中点O 1，且外接圆的半径r 12BD ==1，过O 1作OO 1垂直于底面BCD ，所以EO 1＝O 1B ﹣BE ＝11122-=， 所以OO 1∥AE ，取三棱锥外接球的球心O ，设外接球的半径为R ，作OF ⊥AE 于F ，则四边形EFOO 1为矩形，O 1E ＝OF ，EF ＝OO 1，则OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝R ，在△AFO 中，OA 2＝AF 2+OF 2＝（AE ﹣EF ）2+EO 12即R 2＝（3-OO 1）214+；①在△BOO 1中：OB 2＝OO 12+EO 12，即R 2＝OO 1214+；② 由①②可得R 2＝1，OO 1＝0，即外接球的球心为O 1，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π， 故答案为：4π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的有关计算，属于中档题.16.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+，*n N ∈，设1(1)n n n n b a a +=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2n T =______.【答案】()81n n +【解析】 【分析】首先由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出数列{}n a 的通项公式，即可得到{}n b 的通项，从而求出2n T ；【详解】解：当1n =时，211142a a a =+，得12a =，10a =（舍），由242n n n S a a =+，①当2n ≥时，211142n n n S a a ---=+，②①一②得2211422n n n n n a a a a a --=+--，化简得()()22111122n n n n n n n n a a a a a a a a -----=+-=+()12n n a a -=+.又因为数列{}n a 的各项均为正数， 所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是首项12a =，公差2d =的等差数列，即2n a n =， 所以()()()()1221411nnn b n n n n =-⋅⋅+=-⋅⋅+，所以()()()241223344521211221n T n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯-⋅⋅⋅---++⋅+⎡⎤⎣⎦()4222422n =⨯+⨯++⋅()()116812n n n n +=⨯=+.故答案为：()81n n +【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式，等差数列求和，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＝2b cos C +c sin B ．（Ⅰ）求tan B ； （Ⅱ）若C 4π=，△ABC 的面积为6，求BC ．【答案】（Ⅰ）tanB ＝2；（Ⅱ）【解析】 【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值.（II ）由tan B 的值求得,cos sinB B 的值，从而求得sin A 的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得a 也即BC 的值.【详解】（Ⅰ）∵2a ＝2b cos C +c sin B ，利用正弦定理可得：2sin A ＝2sin B cos C +sin C sin B ，又sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 化为：2cos B ＝sin B ≠0，∴tanB ＝2． （Ⅱ）∵tan B ＝2，B ∈（0，π），可得sinB =，cosB =．∴sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sinC =+= ∴a b sinA sinB =，可得：a 24b ==．又12ab sin 4π=6，可得b a=． ∴a =，即218a =，解得BC a =＝ 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品.现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）.【答案】（1）0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（2）0.7；（3）平均数为126.5（吨），估计中位数应为126.7（吨） 【解析】 【分析】（1）分别计算[)100,130x ∈和[]130,150x ∈时T 值，用分段函数表示T 的解析式；（2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值X 围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的矩形的面积（即频率）求和得出平均数，根据中位数两边频率相等（即矩形面积和相等）求出中位数的大小.【详解】解：（1）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-； 当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=，所以，0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩； （2）根据频率分布直方图及（1）知，当[)100,130x ∈时，由0.83957T x =-≥，得120130x ≤<， 当[]130,150x ∈时，由6557T =≥所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x ≤≤， 于是由频率分布直方图可知市场需求量[]120,150x ∈的频率为()0.0300.0250.015100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7； （3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.3x =⨯+⨯+⨯1350.251450.15126.5+⨯+⨯=（吨）由频率分布直方图易知，由于[)100,120x ∈时，对应的频率为()0.010.02100.30.5+⨯=<， 而[)100,130x ∈时，对应的频率为()0.010.020.03100.60.5++⨯=>，因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[)120130,，于是估计中位数应为()1200.50.10.20.03126.7+--÷≈（吨）.【点睛】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是中档题. 19.如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，33AB CD ==，2PA PD BC ===，90ABC ∠=︒，且PB PC =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求点D 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PME ，由线面垂直的性质定理可得PM BC ⊥，由线面垂直的判定定理得PM ⊥平面ABCD ，再由面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD 即可.（2）由P BCD D BCP V V --=，利用等体积法，即可求出点D 到平面PBC 的距离. 【详解】（1）解：取AD 、BC 的中点分别为M 、E ，连结PM ，PE ，ME ，因为//AB CD ，33AB CD ==， 所以四边形ABCD 为梯形， 又M 、E 为AD 、BC 的中点， 所以ME 为梯形的中位线， 所以//ME AB ， 又90ABC ∠=︒， 所以ME BC ⊥，因为PB PC =，E 为BC 的中点 所以PE BC ⊥， 又PEME E =，PE ⊂平面PME ，M E ⊂平面PME ，所以BC ⊥平面PME ， 又PM ⊂平面PME ， 故PM BC ⊥，因为PA PD =，M 为AD 中点， 所以PM AD ⊥，又AD ，BC 不平行，必相交于某一点，且AD ，BC 都在平面ABCD 上， 所以PM ⊥平面ABCD ， 又PM ⊂平面PAD ， 则平面PAD ⊥平面ABCD .（2）由（1）及题意知，PM 为三棱锥P BCD -的高，AD =，2ME =，PM =故PE =11222PBC S BC PE =⨯=⨯=△ 而1121122BCD S BC CD =⨯=⨯⨯=△， 设点D 到平面PBC 的距离为h ，由等体积法知：111113333P BCD D BCP BCD PBC V V S PM S h h --==⨯=⨯=⨯=△△，解得h ，所以点D 到平面PBC 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式以及利用等体积法求点到面的距离，考查了转化能力与推理能力，属于中档题.20.椭圆W ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，离心率为2，左、右顶点分别为A ，B .过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆W 截得的线段长为1. （1）求椭圆W 的标准方程；（2）经过点()1,0P 的直线与椭圆W 相交于不同的两点C 、D （不与点A 、B 重合），直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：A 、D 、M 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知可得221b a=，结合离心率和,,a b c 关系，即可求出椭圆W 的标准方程；（2）CD 斜率不为零，设CD 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，消去x ，得到,C D 纵坐标关系，求出BC 方程，令4x =求出M 坐标，要证A 、D 、M 三点共线，只需证0AD AM k k -=，将AD AM k k -分子用,C D 纵坐标表示，即可证明结论.【详解】（1）由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x ya b+=，得2b y a =±，由题意知221b a=，即22a b =.又c e a ==2a =，1b =. 所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（2）解法一：依题意直线CD 斜率不为0，设CD 的方程为1x my =+，联立方程22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(4)230m y my ++-=， 由题意，得>0∆恒成立，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 所以12224m y y m +=-+，12234y y m =-+ 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--.令4x =，得112(4,)2y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)()3y x y x y my y my +=--+--121226623()04m m my y y y m -+=-+==+， 0AD AM k k ∴-=.所以A ，D ，M 三点共线.解法二：当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C，(1,D ， 直线CB的方程为2)y x =-.则(4,M，(6,AM =，(3,AD =， 所以2AM AD =，即A ，D ，M 三点共线.当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 联立方程22 (1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 由题意，得>0∆恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--.令4x =，得112(4,)2y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++0= 所以0AD AM k k -=.所以A ，D ，M 三点共线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）＝axe x ，g （x ）＝x 2+2x +b ，若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）都过点P （1，c ）．且在点P 处有相同切线l ．（Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式k [ef （x ）]≥g （x ）对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，某某数k 的取值X 围．【答案】（Ⅰ）4x ﹣y ﹣2＝0；（Ⅱ）1e≤k ≤e 【解析】【分析】 （I ）根据切点和斜率列方程，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得切线方程.（II ）构造函数()()()h x k ef x g x =-⎡⎤⎣⎦，利用导数研究()h x 的单调性，对k 进行分类讨论，结合()0h x ≥恒成立，由此求得k 的取值X 围.【详解】（Ⅰ）∵f ′（x ）＝ae x （x +1），g ′（x ）＝2x +2，由已知可得()()()()'1'111f g f g c ⎧=⎪⎨==⎪⎩， 即243ae ae b c =⎧⎨=+=⎩，解得a 2e =，b ＝﹣1，c ＝2，∴切线的斜率g ′（1）＝4， ∴切线l 的方程为y ﹣2＝4（x ﹣1），即4x ﹣y ﹣2＝0，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f （x ）＝2xe x ﹣1，g （x ）＝x 2+2x ﹣1，设h （x ）＝k [ef （x ）]﹣g （x ）＝2kxe x ﹣（x 2+2x ﹣1），即h （x ）≥0，对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h （x ）min ≥0，∴h ′（x ）＝2k （x +1）e x ﹣2（x +1）＝2（x +1）（ke x ﹣1），①当k ≤0时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h （1）＝2ke ﹣2＜0，显然h （x ）≥0不恒成立，②当k ＞0时，h ′（x ）＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣lnk ，（i ）当﹣lnk ＜﹣1时，即k ＞e 时，h ′（x ）≥0，h （x ）单调递增，又h （x ）min ＝h （﹣1）2k e =-+2()2e k e-=＜0，显然h （x ）≥0不恒成立， （ii ）当﹣lnk ＝﹣1时，即k ＝e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴h （x ）min ＝h （﹣1）2k e =-+2()2e k e-==0，即h （x ）≥0恒成立，（iii ）当﹣lnk ＞﹣1时，即0＜k ＜e 时，当x ∈[﹣1，﹣lnk ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（﹣lnk ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴h （x ）min ＝h （﹣lnk ）＝-2lnk ﹣（ln 2k ﹣2lnk ﹣1）＝1﹣ln 2k ≥0，解得1e ≤k ≤e ，∴1e ≤k ＜e ， 综上所述得：1e≤k ≤e ． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C的参数方程为82x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求1C 和2C 的普通方程；（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=；（2）1)．【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=，可得1C 的普通方程，根据加减消元可得2C 的普通方程.（2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||||ON OM 的最小值. 【详解】（1）22cos 22cos 2sin 2sin x x y y αααα=+-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，得22(2)4x y -+= 曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；880x x y y ⎧=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=⎪⎩曲线2C 的普通方程为：80x y +-=．（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫=≤<≠∈ ⎪⎝⎭； 由22(2)4x y -+=得2240x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=在曲线1C 中，4|o |c s OM β=． 由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON ββ=+， 因此28||2sin cos ||4cos sin cos cos ββββββ+==+ON OM ， ||4||214πβ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭ON OM ， 当sin 214πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，则||||ON OM 1)=． 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.23.已知函数()|1||1|f x ax x =++-.（1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值X 围.【详解】（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩， 由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧⎪+>⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩()f x 的最小值为1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，(1)11f a =+>.所以()1f x >恒成立.当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意.当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意；若2a <-，则11f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值X 围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学综合训练试题(三)文(含解析)
在定义域 上是增函数，且 ，
，
可转化成 ，得到
，又 ，可以得到
故选D
【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知 轴为曲线 的切线，则 的值为________.
【点睛】本题考查复数的乘法和除法以及共轭复数、复数的虚部等概念，注意复数 的虚部为 ，不是 .
3.下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
依次判断函数的奇偶性和单调性得到答案.
【详解】A. ，偶函数，在 上单调递增，满足条件；
B. ，奇函数，在 上单调递增，排除；
故可得 ，
由 ，则 ，则 ，
则 的值域为 .
令 ， ，
则 ，由 ，则单调递增区间为 .
（2）因为 ，即可得 ，因为 ，故可得 .
由 ， 求得 ，
故可得 .
由正弦定理得 ，即 ，解得 .
又 ，
故 的面积 .
【点睛】形如 的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为 的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等，另外三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值.
， ， 点 ，
又 ， ，
直线 ，
令 可得 即点 ，
线段 .
故选：A.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题.
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2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期复习考试数学（文）试题一、单选题1．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =I （ ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤<C ．{}1D ．{}0,1【答案】D【解析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可. 【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ , 所以{}0,1A B =I . 故选D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围.3．已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（ ）A ．221167x y +=B ．221716x y +=C ．2216428x y +=D ．2212864x y +=【答案】A【解析】由椭圆的长轴长及离心率的值，可求出,,a b c ，进而结合椭圆的焦点在x 轴上，可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意知，28a =，∴4a =，又34e =，∴3c =，则2227b a c =-=. 因为椭圆的焦点在x 轴上时，所以椭圆方程为221167x y+=.故选：A . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4．如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．1124C ．1324D ．516【答案】B【解析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果. 【详解】图①小球落在阴影部分的概率为：212213214464P πππ-⋅⋅=⋅=⋅图②小球落在阴影部分的概率：213P =∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为31131111111632424⎛⎫⎛⎫--⨯-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用.5．长方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．3010C ．21510D ．310【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)，1BC u u u u r ＝(－1,0,2)，AE u u u r＝(－1，2,1)． cos 〈1BC u u u u r ，AE u u u r〉＝＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 6．设2(sin 56cos56)2a =-o o ，cos50cos128cos 40cos38b =+o o o o ，cos80c o =,则a b c ，，的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】B【解析】56cos56)sin(5645)sin11a =-=-=o o o o o ，cos(9040)cos(9038)cos 40cos38sin 40sin 38cos 40cos38cos 78sin12b =-++=-+==o o o o o o o o o o o o，cos80sin10c ==o o ，sin12sin11sin10,b a c >>∴>>o o o Q ，选B.7．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r，1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r的值为（ ）.AB．C ．2 D ．3【答案】D【解析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r的值.【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r.所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u uu u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB=+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()f x '满足()2()1xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ） A ．(,2021)-∞- B ．(2021,0)- C ．(2021,2020)-- D ．(2020,0)-【答案】C【解析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，2()2()x f x xf x x -'<，进而构造函数2()()f x g x x=，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集.【详解】由题意知，当(,0)x ∈-∞时，()2()1xf x f x '->，可得2()2()x f x xf x x -'<，设2()()f x g x x =，则243()2()1()0x f x xf x g x x x-=<''<，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减.不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，等价于2(2020)(1)(1)(2020)f x f g x +<-=-+，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-.故选：C. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x=是解决本题的关键，属于中档题.9．已知函数()cos 33a x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()y g x =，则不等式()1g x ≤的解集是（ ）A ．()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()3,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()37,84k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．()52,262k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】A【解析】把()f x 化为sin ,cos x x 的式子，然后由偶函数定义可求得a ，由图象平移变换得()g x ，再解不等式()1g x ≤即可． 【详解】 因为()11cos sin 22a x x x x f x ⎛⎫⎫=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭13cos sin 22a x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以()()f x f x -=，所以022a +=，解得1a =-，所以()2cos f x x =-. 将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线2cos 2()2cos 2126y x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 则()2cos 26g x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.由()1g x ≤，得2cos 216x π⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，得1cos 262x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，则()22222363k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()5124x k k k Z ππππ≤≤+∈-.不等式()1g x ≤的解集是()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.10．已知函数()ln f x ax x b =+在(1,1)处的切线方程过(3,5)，则函数()f x 的最小值为（ ） A ．21e-B ．1C ．2e-D ．11e-【答案】A【解析】由()f x 过点(1,1)，可求出b ，进而对()f x 求导，可得到()f x 在(1,1)处的切线方程，再结合切线方程过(3,5)，可求出a 的值，从而可得到()f x 的表达式，进而判断单调性，可求出最小值. 【详解】∵()ln f x ax x b =+过点(1,1)，∴()1ln11f a b =+=，解得1b =， ∵()()ln 1f x a x '=+，∴()()1ln11f a a '=+=，则()f x 在(1,1)处的切线方程为()11y a x =-+， ∵()11y a x =-+过(3,5)，∴2a =， ∴()2ln 1f x x x =+，∴()()2ln 1f x x '=+，令()0f x ¢=得1e x =，∴()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x 的最小值为1212ln 11e e e ef ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查利用函数的单调性求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.11．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．12【答案】C【解析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.12．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为(c,0)F ，弦PQ 过F 且垂直于x 轴，过点P 、点Q 分别作为直线AQ 、AP 的垂直，两垂线交于点B ，若B 到直线PQ 的距离小于2()a c +，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．3) B ．3)C ．3,2)D ．3,)+∞【答案】B 【解析】【详解】 由题意,B 在x 轴上,22,,,bb Pc Q c aa ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,∴2AQ b a ka c=-，∴22BPa ack b-=-， 直线BQ 的方程为()222b a acy x c a b--=--， 令y =0,可得()42b xc a a c =+-， ∵B 到直线PQ 的距离小于2(a +c )，∴()()422b a c a a c -<+-，∴b <，∴c <，∴e < ∵e >1，∴1e <<故选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题13．甲、乙两支足球队进行一场比赛，,,A B C 三位球迷赛前在一起聊天.A 说：“甲队一定获胜.”B 说：“甲队不可能输.”C 说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个） 【答案】甲胜【解析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解. 【详解】若甲队获胜，则A ，B 判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜. 故答案为：甲胜【点睛】本题考查了推理和证明中的合情推理，考查了学生推理证明，综合分析的能力，属于基础题.14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增，若实数a满足3log (2)(a f f >，则a 的取值范围是___.【答案】(【解析】根据函数的奇偶性以及在区间(],0-∞上的单调性确定出()0,∞+上的单调性，再根据函数值之间的关系，将其转化为自变量之间的关系，求解出a 的范围即可. 【详解】因为()f x 是R 上的偶函数且在(],0-∞上递增，所以()f x 在()0,∞+上递减，又因为()(3log 2af f >，所以3log 20a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩， 所以31log 2220a a ⎧⎪<⎨⎪>⎩，所以31log 20a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，所以(a ∈.故答案为：(. 【点睛】本题考查根据函数的单调性和奇偶性求参数范围，难度一般.已知函数值的大小关系，可通过函数的单调性将其转变为自变量之间的关系.15．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【答案】()()0,2U【解析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．【详解】因为2cos cos a B C-=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin 3sin cos 3sin cos A B C C B -=，即()2sin cos 3sin 3sin A C C B A =+=，又sin 0A >，所以3cos 2C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ， 而2222cos a c b B ac +-=，故()()2223,00,2a c b ac+-∈-U .故答案为：()()3,00,2-U ． 【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.16．如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积。