七年级下数学：一元一次不等式组(基础) 知识讲解

一元一次不等式组（基础）知识讲解
【学习目标】
1.理解不等式组的概念；
2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；
3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．
【要点梳理】
要点一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式
组．如
25
62010
x
x
->
⎧
⎨
-<
⎩
，
70
2116
3159
x
x
x
->
⎧
⎪
+>
⎨
⎪+<
⎩
等都是一元一次不等式组．
要点诠释：
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
要点二、解一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
要点诠释：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
要点三、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
要点诠释：
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．
【典型例题】
类型一、不等式组的概念
1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．
【答案与解析】
解：依题意得：8482(8)34.
x x >⎧⎨+<⎩
【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．
举一反三：
【变式】直接写出解集：
(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩
的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩
的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩
的解集是_______；
(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩
的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．
类型二、解一元一次不等式组
2. 解下列不等式组
(1) 3131
1212
3x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①② （2）213(1)4x x x +>-≥-．
【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．
【答案与解析】
解：(1)解不等式①，得x ＜-2
解不等式②，得x ≥-5
故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2．
其解集在数轴上表示如图所示．
（2）原不等式可变为：
213(1)
3(1)4
x x
x x
+>-
⎧
⎨
-≥-
⎩
①
②
解①得：4
x<
解②得：
1
2 x≥-
故原不等式组的解集为
1
4 2
x
-≤<．
【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：
(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．
(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．
举一反三：
【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示
出来．
【答案】
解：，
∵解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．
在数轴上表示不等式组的解集为：
类型三、一元一次不等式组的应用
3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；
第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；
最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，
这样，我们就探求到第一个不等量关系：
最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，
即(4x +37)＞6（x-1）；
第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.
到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．
【答案与解析】
解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩
（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121；
不等式（2）的解集是：x ＞20，
所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2
121，
因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）
答：这批树苗共有121棵.
【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：
【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？
【答案】
解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得： 88%303010%90%303020%
x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<
答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．
4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；
（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．
【答案与解析】
解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，
可得：，
解得：，
答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；
（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：
， 解得：，
因为取整数，
所以x 取26，27，28；
方案一：文学名著26本，动漫书46本；
方案二：文学名著27本，动漫书47本；
方案三：文学名著28本，动漫书48本．
【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
举一反三：
【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．
（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？
【答案】
解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：
42(10)302(10)13
x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7，
∴有三种方案：
方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；
方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；
方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．
（2）运输费用：
方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；
方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；
方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．
∴方案1运费最少，应选方案1．。