第七章 系统函数

输出对输入序列的相移
• H ejω 即h(n)的DTFT • ejω 为周期函数，所以 H ejω 为周期函数，其周期为 2π 。
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入xn ejn
为本征函数
xn hn yn
hn为稳定的因果系统
yn hn xn
h m ejωnm e j n h m ejω m
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
ω
O
1
ω
式中：V2＝ 1 V1 RC
1 M
, ＝ －θ 1
45
RC
90
低通网络，截止频率位于ω 1 处 RC
例研究右图所示二阶RC系统
的频响特性H
jω
V2 jω V1 jω
,
注意，图中kv3是受控电压 v1t
R1 C1
v3t
C2 kv3 R2
v2 t nO Nhomakorabean
θ2
ω
ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系 统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系 统的频率响应特性:
H ej H z z ejω H ejω ejω H ejω ~ ω ：幅频特性
输出与输入序列的幅度之比
ω ~ ω ：相频特性
limh(t) →∞
t→∞
2.离散系统:
Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)=
1 3
k
(k)
→0
单位圆上:p=1,h(k)=1k (k),有限值.
单位圆外:p=2,h(k)= 2 k (k) →∞
z平面
-1/3 0 1 2
极点位置与h(n)形状的关系
j Im z
1
O
1
Re z
利用z～s平面的映射关系
§7.1系统函数与系统特性
一.系统函数的极点和零点.
1.连续系统:
bmsm bm1sm1 ... b1s b0
H(S)=B(S)/A(S)= sn an1sn1 ... a1s a0
极点:A(S)=0的根，p1,p2,…,pn. H(pi) →∞ 零点:B(S)=0的根, 1, 2,…, m. H(i)=0
极点：p1
1 R1C1
，
90 45 O
45
p2
1 R2C 2
90
零点：z1 0
1
ω
R1C1
m
2.离散系统:bm
e jT j
H(e jT)=
j 1
n e jT pi
i 1
= bm B1B2...Bme j12 ...m
A1A2...Ane j
幅频响应: ︱H(e j
1 2 ...n
2.离散系统: ①时域充要条件:
绝对可和: h(k ) ＜M←→稳定系统 k
②z域充要条件: H(Z)的极点在单位圆内←→稳定系统 H(Z)的极点在单位圆上(一阶) ←→临界系统 H(Z)的极点在单位圆上(二阶) H(Z)的极点在单位圆外←→不稳定系统
三.连续系统的稳定性准则—— 罗斯—霍尔维兹准则.
波网络的频响特性。
解:
H
jω
V2 V1
jω jω
v1t
R
C v2t
写出网络转移函数表达式
H s
V2 s V1 s
1 RC
s
1 1
RC
1 RC
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
M1
θ1
1 RC
jω
O
σ
频响特性
V2
jω
1 V1
M1
1
2
θ1
1 RC
O
σ
O1 RC
ω
H
jω
1 RC
例: u1(s) + -
R 1/sc
u2(s)
1 sc H(S)=u2(s)/ u1(s) = R 1 sc
11 = Rc s 1 Rc
极点:p=-1/Rc,左半开平面.
11
H(j)= Rc j 1 Rc
1 定量: ︱ H(j) ︱= Rc
()=0-arctg 1 Rc
1
2 1 Rc2
定性: 从0~∞变化.︱H(j) ︱= 1 1
•当ejω 点旋转到某个极点 pi 附近时，如果矢量的长度
Bi最短，则频率响应在该点可能出现峰值。 • 若极点pi越靠近单位圆，Bi愈短，则频率响应在峰
值附近愈尖锐； • 若极点pi落在单位圆上，B＝ i 0，则频率响应的峰值
趋于无穷大。 • 零点的作用与极点相反。
§7.2 系统的稳定性
H(S)=B(S)/A(S)
m
=bmssp1
1s 21 ...s
s p2 ...s pn
m
=
bm s j
j 1 n
s pi
i 1
极点类型: 一阶:实数,虚数,复数.
多阶:实数,虚数,复数.
2.离散系统: H(Z)=B(Z)/A(Z)
m
bm z j j 1
=n
z pi
系统
yf(t)有界
1.连续系统:
定义:若︱f(t)︱＜Mf,则︱ yf(t) ︱＜Mf ←→稳定系统
①时域充要条件:
绝对可积 h(t) dt ＜M←→稳定系统
只能保证衰减函 数可积
t
h(t)
t
因果稳定系统: h(t) dt＜M←→稳定系统
②s域充要条件: 0 H(S)的极点在左半开平面←→稳定系统 H(S)的极点在虚轴上(一阶) ←→临界系统 H(S)的极点在虚轴上(二阶以上) H(S)的极点在右半开平面 ←→不稳定系统
yf(t)=h(t)*f(t)= h f t d
t
t＞0, yf(t) 存在
= h f t d =
0
t＜0 ,yf(t)=0
理想 ︱H(j) ︱
h(t)
- c 0 - c
0
②s域充要条件: H(S)的收敛域Re[s] ＞0 ←→因果性
j
0
其收敛域为收敛坐标0以右的半平面,即H(S) 的极点都在收敛轴Re[s] =0 的左边.
O ωc
ωs 2
H ejω
O
ωs 2
H ejω
ωs
ω
ωs
ω
高通 带阻
O
ωs 2
H ejω
O
ωs 2
H ejω
ωs
ω
ωs
ω
全通
O
ωs 2
ωs
ω
二．频响特性的几何确定法
M
Hz
z
r 1
N
z
zr pk
k 1
H ej
M
r 1
ejω
zr
N
k 1
ejω
pk
H ejω
ej ω
s平面
z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
原点时 左半平面
ut 1
s 衰减
θ0 z 1
单位圆内
un z
z1 减幅
右半平面 增幅
单位圆外 增幅
三、极点零点与频域响应的关系:
定义
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态 响 应随频率的变化情况。
前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
()=0-
Rc A
j
A
j
-1/Rc 0
︱H(j) ︱ 1
0
()
0
-/2
例: 全通函数. ︱H(j) ︱=常数 设二阶系统H(S).左半开平面,有一对极点,
p1,2=-±j, 右半开平面,有一对零点, 1,2=-±j
H(S)= s 1 s 21
s p1 s p2
H(j)=
j j
时域： lim ht 0 t
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。 其收敛域包括虚轴：
拉氏变换 存在 傅里叶变换 存在
1.H(s)和频响特性的关系
设系统函数为Hs，激励源et Em sinω0t
系统的稳态响应
rmmt EmH0 sinω0t 0
其中H s
s 频响特性
jω0
H jω0
H0
2.离散系统:
定义:若f(k)=0,k＜0,则yf(k)=0,k＜0 ①时域充要条件:h(k)=0, k＜0 ←→因果系统
②z域充要条件:H(Z)的收敛域︱Z︱ ＞0
Z平面
←→因果系统
0
其收敛域为半径等于0的圆外区域,即H(Z)的 极点都在收敛圆︱Z︱ =0的内部.
二.系统的稳定性(可用性)
f(t)有界
H(S)=B(S)/A(S),
A(S)= ansn an1sn1 an2sn2 a1s a0
H(S)的极点就是A(S)=0的根，因此为判断系 统是否稳定,即H(S)的极点是否都在左半开平 面,只需判断A(S)=0的根,即特征根是否都在 左半开平面,并不须知道各特征根的确切位置. 所有的根均在左半开平面的得多项式称为罗 斯—霍尔维兹多项式.
e j 0
H s
H jω H jω ej ω
s jω
Hjω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
2．几种常见的滤波器
H j 低通滤波器
Hj
高通滤波器
通带
阻带
O
c
截止频率
O
c
Hj 带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c2
O
c1
c2
3.极点零点与频率响应:
1.连续系统: H(S)=
H(j)=H(S)︱s=j =
i 1
二、极点零点与时域响应的关系:
几种典型情况
j
jω0
α
O
jω0
α
①极点在左半开平面. ＞0 在实轴上: 一阶极点:p=- ,H(S)=b/(s+),h(t)=b (t) 二阶极点:p=- (二阶),H(S)= h(t)=t ,limh(t)=0
t→∞
多阶极点: p=- (高阶),H(S)=
t e h(t)= r1 t limh(t)=0
t→∞
不在实轴上:
一阶共轭复数:p1,2=-±j,h(t)= etcos(t+)
limh(t)=0
t→∞ 二阶共轭复数:p1,2=-±j(二阶),
h(t)=t et cos(t+)
limh(t)=0
t→∞
②在虚轴上: 一阶极点:p=0,H(S)=k/s,h(t)=(t), limh(t)=有限值 t→∞ 一阶共轭:p=±j,h(t)=cos(t+), limh(t)=有限值 t→∞
1 j 21
p1 j p2
=
B B e 1 2 j 1 2 1 2 A1 A2
A1=B1, A2 =B2, ︱H(j) ︱=B1 B2/ A1 A2=1 结论:凡极点位于左半开平面,零点位于右半
开平面,且所有的零点与极点对于j轴
为一一镜像对称的系统函数即为全通函数.
例 研究下图所示RC低通滤
二阶:
k
p=0(二阶),H(S)= s2 , h(t)=t(t),
limh(t) →∞
t→∞
p=±j(二阶),h(t)=tcos(t+),
limh(t) →∞
t→∞
t(t)
t
③右半开平面 :
e 实数: p=,h(t)= t
limh(t) →∞
t→∞
复数: p=±j,h(t)= etcos(t+)
m
m
H z h(m) z m单位圆上 H ejω H z zejω
H ejω 为输入序列的加权，
体现了系统对信号的处理功能。
yn ej n H ejω
H ejω 是 Hz 在单位圆上的动态，
取决于系统的特性。
离散系统（数字滤波器）的分类
H ejω
低通 带通
E
令 ejω zr Ar ej r
ejω pk Bk ejk
幅频响应 H ejω
M
Ar
r 1 N
Bk
k 1
M
N
相位响应 r k
r 1
k 1
jImz
D ejω
B1
p1
1
B2 O
p2 2
A1 1
z1 ω
A2 2
z2
C
1 Rez
几点说明
• 位于z 0处的零点或极点对幅度响应不产生作用， 因而在z 0处加入或去除零极点，不会使幅度响应发生 变化，但会响应相位响应。
矢量分析法: Ai j
I
pi
︱pi︱
i
0
e e 令j-pi= Ai ji j-j=Bj j j
H(j)=
bm B1B2...Bme j12 ...m A1 A2...Ane j12 ...n
bm B1B2...Bm 幅频: ︱ H(j) ︱= A1 A2... An
相位:()=(1+…+m)-(1+…+n) 分析: 从0~∞
) ︱= bm B1
B2
...
Bm
m
n A1 A2... An
相频响应:()= j i
j 1
i 1
Z平面
Bj
j 0
e jT
1 Ai
I
1
正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）
xn
H z
yzs n
稳定的因果
xn
A
ω
Asinnω θ1
离散系统 yzs n
B
B sinnω θ 2
O θ1 ω
源，且R1C1 R2C2。
解：
其转移函数为
低通滤波器 高通滤波器
Hs
V2 s V1 s
1 R1C1
s
1 1
k s
s 1
R1C1
R2 C 2
相当于低通与高通级联构成的带通系统。
频响特性
R1C1 R2C2
V2
jω
k V1
k
M1
M2
N1
2
1
1
R1C1
2 1
1 O σ R2C2
O
1
R2 C 2
ω
一.系统的因果性(物理可实现性)
1.连续系统:
定义:若f(t)=0,t＜0,则yf(t)=0, t＜0 →因果 系统
①时域条件:(充要)
当h(t)=0, t＜0←→因果系统
因果系统,(t)=0, t＜0 yf(t)= h(t)=0, t＜0
f(t)
←→因果
当h(t)=0, t＜0 ;f(t)=0, t＜0
第七章 系统函数
§7.1系统函数与系统特性 §7.2 系统的稳定性 §7.3 信号流图
LTI:
连续系统
时域分析: 冲激响应h(t)
复频域分析: H(S)
频域分析: H(j) =H(S) ︱s=j
离散系统 单位响应h(k)
H(Z)….系统函数
H(e jT )…频率响应
=H(Z) ︱z=e jT
1.系统函数------时域响应，频率响应. 2.系统的因果性和稳定性，判据. 3.信号流图. 4.系统的模拟.