特征值估计

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特征值范围估计

特征值范围估计特征值是矩阵的一个重要属性，并具有广泛的应用。

特征值与特征向量的求解是数学中的一个经典问题。

用于数值计算的矩阵通常是大型矩阵，因此求解其特征值和特征向量需要使用高效的算法。

在实际应用中，需要对特征值的范围进行估计，以确定有效的计算区间。

本文将介绍特征值范围估计的基本概念和方法。

特征值范围估计是指对一个矩阵的特征值的上下界进行估算，以便确定计算该矩阵特征值的有效区间。

在数学中，有多种方法对矩阵的特征值进行估计。

这些方法可以大致分为两类：直接方法和迭代方法。

下面分别介绍这两类方法。

直接方法是在不求解特征值和特征向量的情况下，在给定的一些限制条件下估算矩阵特征值的范围。

这些限制条件可以是矩阵的谱范数、对称性、压缩后的矩阵等等。

直接方法的优点是计算简单快速，通常用于对小型矩阵的特征值范围进行估算，但在求解大型矩阵的特征值时不太适用。

常见的直接方法包括以下几种。

1.圆盘定理圆盘定理是用于估算矩阵特征值上下界的一种常见方法。

该方法基于一个名为圆盘定理的性质。

圆盘定理是指对于一个n阶矩阵A和所有的x，其所组成的球形区域B是圆盘定理的开放。

2.双曲线定理双曲线定理是利用矩阵的谱范数估算特征值的上下界的方法。

其本质是矩阵范数不等式，根据Taussky-Todd定理的细节，可以得到这些结果。

3.对称矩阵定理对称矩阵定理是一个比较特殊的特征值范围估计方法，因为对称矩阵具有特殊的性质，使该方法适用于此类矩阵。

此类矩阵的特殊性质表明，它们的特征向量可以正交，自然的特征值也必须是实数。

这使得对称矩阵的特征值范围估计更加简单和可靠。

迭代方法是另一种近期广泛使用的特征值估计方法。

迭代方法通常适用于大型矩阵，其计算量较大。

在这种方法中，需要定义一个初值，通过迭代不断逼近特征值区间的上下界。

不同的迭代算法适用于不同类型的矩阵。

最常见的迭代算法是幂法。

幂法是一种求解矩阵特征值中最大特征值和对应特征向量的迭代方法。

其基本思想是通过不断地将向量乘以矩阵来逼近最大的特征值，并将得到的向量作为新的初始向量，直到收敛。

矩阵特征值的估计

解
A
m∞
= n max aij = 3 × 2 = 6,
1≤i , j ≤ n
1 A + AH 2 1 A − AH 2
m∞
m∞
1 0 m = 0, = ∞ 2 1 1 H = A− A = 2A m∞ 2 2
m∞
6, =
由定理2知， λ ≤ 6，Re λ = 0，Im λ ≤ 6.
由此可知，A的特征值为0或纯虚数.
= i 1= j 1
证
∑∑ a η η
ij i
n
n
j
≤ ∑∑ aij ηi η j
= i 1= j 1
n
n
≤ max aij
1≤i , j ≤ n
= i 1= j 1
∑∑ η
n
n
i
ηj
n n 1 2 ≤ max aij ∑∑ ηi + η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1
(
2
)
G′j = z ∈ C z − a jj ≤ R′j 为A的第j个列盖尔圆.
{
} ( j =1, 2, , n )
0.02 0.11 1 0.14 如A = 0.01 i 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 = G2 G3
i
R2 = 0.15
于是 AF =
n 2 = i 1 2
R F tr ( R H R ) =
2 1≤i < j ≤ n = i 1
= ∑ λi +
∑
rij ≥ ∑ λi .
2 2
n
§5.2 矩阵特征值的分布区域
一、圆盘定理 1. Gerschgorin圆（盖尔圆）定义1

必修3数学§80

练习3.特征值估计
1.聚中(稳定)性特征值估计众数, 中位数, 平均数
2.离散(波动)性特征值估计极差, 方差, 标准差
① 课本P：74 例
X甲 X 乙
② 课本P：77 例2
2 乙
注：我们一般碰到的习题大多数是：
S S
2 甲 2 甲
若是： X甲 X 乙若是： X甲 X 乙
S S
2000
1500
（1）求该公司职员月工资的平均数，中位数，众数（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数，中位数，众数又是什么
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合问题谈一谈你的看法
解:
(1)平均数为2091元，中位数为1500元，众数为1500元 (2)平均数为3288元，中位数为1500元，众数为1500元
已知某组数据Y1,Y2,Y3,„„的平均值为μ ,标准差为σ 则在正常状态下，可以认为： ①数值Yi分布在区间（μ-σ,μ+σ)内的概率为0.6826
②数值Yi分布在区间（μ-2σ,μ+2σ)内的概率为0.9544 ③数值Yi分布在区间（μ-3σ,μ+3σ)内的概率为0.9974
即在正常状态下，可以认为：
数据Yi的取值几乎全部集中在区间(μ -3σ ,μ +3σ )内而落在该区间之外的可能性不到3‟ 这在统计学上称为3σ 准则(三倍标准差原则)，也称3σ 原则，或3σ 规则，3σ 原理
练习3.特征值估计
1.聚中(稳定)性特征值估计众数, 中位数, 平均数
2.离散(波动)性特征值估计极差, 方差, 标准差 3.结构性特征值估计频率, 3δ 原则

第5章特征值的估计

在例 5.2.1 中，圆盘 S1 与 S 2 相交，S1 S 2 构成一个连通区域，而 S 3 与
S 4 是孤立的．
一般地，由矩阵的 k 个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连通部分，并说它是由 k 个盖尔圆组成．一个孤立的盖尔圆组成一个连通部分．圆盘定理 5.2.1 只说明矩阵的特征值均在其全部盖尔圆的并集内，并没有明确指出哪个盖尔圆中有多少个特征值，圆盘定理 5.2.2 更准确地说明特征值的分布情况．
第5章特征值的估计
矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的，但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数
比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因
此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得尤为重要．本章将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以及谱半径的估计．
5.1 特征值界的估计
则有
U H BU U H U H CU U H
n
A AH T T H U ， 2 2 A AH T T H U ， 2 2
2
| Re k | | Re i | |
2 i 1 n
n
i i
2
i 1 n
t ii t ii 2 | | | ， 2 i 1
设 A, B, C 的特征值分别为
k , k ， i k （ i 1, k 1,2,n) ，且满足 | 1 || 2 | | n | ， 1 2 n ，
1 2 n ．
定理 5.1.2 设 A (aij ) C 则
值，于是
2 2 2 2 | | | t | | t | | t | i ii ii ij T i 1 n

12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理

第十二讲矩阵特征值估计特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。

一、特征值界的估计定理1. 设n n A R ⨯∈，λ为A 的任意特征值，则有()Im Mλ≤其中，ij ji1i ,j na a Mm a x2≤≤-=证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A xx=λ，Hx x 1=，则 Hx A xλ=→()()HHHH Hx A x xA x x A xλ===()()()HHHT2jIm xAAxxAAx λ-λ=λ=-=-将x 写成[]T12n x,,,=ξξξ()()nnHTi ij ji ji 1j 1xAAx a a ==-=ξ-ξ∑∑()()()n ni ij ji ji 1j 1nn i ij ji ji 1j 12I m a a a a ====λ=ξ-ξ≤ξ-ξ∑∑∑∑n'i j ij jii ,j 1a a ==ξξ-∑（'∑表示不含i ＝j ）n'i ji ,j 12M=≤ξξ∑()2n22'i j i ,j 1I m M=⎛⎫λ≤ξξ ⎪⎝⎭∑()n22'i ji ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑()n222'iji ,j 1M n n 1==-ξξ∑nnnnn2222424'ijijiiii ,j 1i ,j 1i 1i 1i 1=====ξξ=ξξ-ξ≤ξ-ξ∑∑∑∑∑()n22iii 11==ξ-ξ∑不妨写为： ()()()n2222221122ii i 3111==ξ-ξ+ξ-ξ+ξ-ξ∑()()()222222n112222iii 311122=⎛⎫⎛⎫ξ+-ξξ+-ξ ⎪⎪≤++ξ-ξ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑12≤取等号的条件为221212ξ=ξ=，但2x1=，所以其它2iξ=∴()Im Mλ≤定理2. 设n n A R ⨯∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ()R e n λ≤τ ()I m n sλ≤其中，ij1i,j nm a x a ≤≤ρ=，ij ji1i,j nm a x a a ≤≤τ=+，ij ji1i,j nsm a x a a ≤≤=-二、盖尔圆法定义：设()n nijn nAa C⨯⨯=∈,由方程nii i ijj 1i jz a R a =≠-≤=∑所确定的圆称为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。

矩阵理论3.1 特征值界的估计

第三部分矩阵特征值的估计引言：矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是很重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是很大的。

幸好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特征值，而只需有一个粗略的估计就够了。

比如：在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A 的特征值是否有负实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内；在差分方程的稳定性理论以及自动控制理论中都需要估计矩阵的特征值是否在复平面上的某一确定的区域中。

§1. 特征值的界的估计引理1. n 阶复矩阵A ，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A 的特征值。

即存在一个酉矩阵U 和三角矩阵T ，使T AU U T =引理2. 设nn n n ij Ca A ⨯⨯∈=)(，则∑∑====n i nj F ij HA a AA tr 1122)(Proof :设n n ij H b AA B ⨯==)(则∑∑===++==nj j n n nj j j a a a a a a a a a b 121111212111111111∑∑====nj jn j j j a a a b 12212222∑∑====nj ij n j ij ij ii a a a b 121∑∑∑======ni nj ij ni ii Ha b B tr AA tr 1121)()(引理3. A 为正规矩阵⇔A 酉相似于对角矩阵。

（注：正规矩阵：A A A A H H ⋅=⋅）即存在酉矩阵U 使),,,(21n H diag AU U λλλ =Th 1.设A 为n 阶矩阵，n λλλ,,,21 为其特征值，则：⇔=≤∑∑∑===ni n i nj F ij i A a 111222λA 为正规矩阵，等号成立。

Proof:由引理1.存在酉阵U ，使T AU U H =（三角阵）——①对①两边取共轭转置：U A U AU U T H H H H H ==)(——② ①⨯②得 H H H H T T U A U AU U ⋅=⋅)()(H H H T T U AA U ⋅=⇒（为酉阵）)()()(H H H H T T tr AA tr U AA U tr ⋅==⇒即∑∑∑∑∑∑=======≥=n i nj ni ni i ii ij n i nj ij t t a 1111222112λ设nn CA ⨯∈，令2,2HH A A C A A B -=+=，则A =B +C ：其中B 为Hermit 阵（即H B B =）实 C 为反Hermit 阵（即H C C -=）虚注：引入B ,C 的目的是为了研究A 的特征值的实部和虚部的估计。

估计矩阵特征值的范围例题

估计矩阵特征值的范围例题估计矩阵特征值的范围是一个重要的数学问题，它在实际应用中具有广泛的意义。

在估计矩阵特征值的范围时，可以采用多种方法。

其中一种常见的方法是使用Gershgorin圆盘定理。

该定理指出，对于一个n阶矩阵A，其特征值位于以矩阵A的每行对角线元素为圆心、以该行对角线元素绝对值之和为半径的圆盘内。

因此，通过计算每行对角线元素的绝对值之和，可以得到特征值的范围估计。

另外，还可以利用Rayleigh商来估计矩阵特征值的范围。

Rayleigh商是一种特征值的估计方法，通过对矩阵A和一个非零向量x计算Rayleigh商的方式来估计特征值。

具体而言，对于非零向量x，其Rayleigh商定义为x^T A x / (x^T x)，其中^T表示向量的转置。

通过对不同的非零向量x计算Rayleigh商，可以得到特征值的范围估计。

此外，还可以利用幂法等数值方法来估计矩阵特征值的范围。

幂法是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵A的幂次方和向量的乘积来逼近矩阵A的主特征值和对应的特征向量。

通过幂法得到的特征值的估计值，可以帮助我们对矩阵特征值的范围进行估计。

除了上述方法外，还有一些其他的方法可以用来估计矩阵特征值的范围，比如使用Hilbert-Schmidt范数、谱半径等。

这些方法在不同的情况下都有其适用的场景，可以根据具体的问题和矩阵的性质来选择合适的方法进行估计。

总的来说，估计矩阵特征值的范围是一个复杂而重要的数学问题，需要结合矩阵的特点和具体的应用背景来选择合适的方法进行估计。

不同的方法有不同的优缺点，可以相互印证，以得到更加准确和全面的特征值范围估计。

矩阵论-特征值的估计

故i
n
G
i
n
G'i .
i1 i1
2)取适当正数d1, d2 ,
, dn , 令D=diag{d1, d2 ,
, dn}.则B=DAD-1= aij
di dj
nn
.
B的盖尔圆的圆心仍为aii (1 i n).A与B相似故有相同的特征值.通常
选取di的办法为：
若取di 1，其余为1，则使第i个盖尔圆Gi缩小，其余放大. 若取di 1，其余为1，则使第i个盖尔圆Gi放大，其余缩小.
9 1 1
例3：估计
A=
1
i
1 的特征值分布范围.
1 1 3
解 A 的三个盖尔圆为： G1：z 9 2, G2：z i 2, G3：z 3 2.
G2
G3
G1
我们希望G2与G3变小，不相交，故令D=diag{2,1,1}.
9 2 2
则B=DAD-1
=
0.5
i
1 .B 的三个盖尔圆为：
n
定义（盖尔圆盘）设A=(aij ) Cnn，令i＝ aij (即第i行非对角线 j 1
ji
元素的模的和)，i=1, ,n.令
Gi {z C | z aii i},i=1, ,n.
即G
i为复平面上以aii为圆心，
为半径的闭圆盘,称之为
i
A的一个盖尔圆.A有n个盖尔圆.
定理2：(盖尔圆盘定理)设A=(aij ) Cnn的n个盖尔圆为G1， , Gn,则
0.5 1 3
G'1：z 9 4, G'2：z i 1.5, G'3：z 3 1.5.
G '2
G '3
G '1

特征值估计

特征值估计一、特征值的概念在线性代数中，特征值是矩阵运算中一个重要的概念。

对于一个n 阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个标量，那么k就是矩阵A的特征值，x就是对应的特征向量。

特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的变换规律和性质。

特征值估计是通过数值计算的方法，来估计矩阵的特征值。

特征值估计的基本原理是利用矩阵的特征向量和特征值之间的关系，通过迭代计算的方式逼近矩阵的特征值。

特征值估计的过程中，需要选择一个合适的迭代方法和初始向量，以便得到较为准确的特征值估计结果。

三、特征值估计的常用方法1. 幂法幂法是一种最简单和最常用的特征值估计方法。

幂法的基本思想是通过不断迭代矩阵和向量的乘积，来逼近矩阵的特征向量和特征值。

幂法的迭代公式为：x(k+1) = A * x(k)其中x(k)为第k次迭代的向量，A为待估计特征值的矩阵。

幂法通常需要对向量进行归一化处理，以防止迭代过程中向量趋于无穷大或无穷小。

2. 反幂法反幂法是幂法的一种变形方法，用于估计矩阵的最小特征值。

反幂法的基本思想是通过计算矩阵的逆，然后按照幂法的迭代公式进行迭代，最终得到矩阵的最小特征值和对应的特征向量。

3. QR算法QR算法是一种迭代方法，用于计算矩阵的所有特征值和特征向量。

QR算法的基本思想是通过矩阵的QR分解，将原矩阵迭代转化为上三角矩阵的迭代过程，从而逐步求得矩阵的特征值和特征向量。

四、特征值估计的应用特征值估计在科学计算和工程领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，特征值估计可以用于计算量子力学中的波函数和能量本征值；在机器学习和数据分析中，特征值估计可以用于降维和特征提取；在网络分析和图像处理中，特征值估计可以用于图的聚类和分割等。

特征值估计的准确性和稳定性是评价其性能的重要指标。

在实际应用中，我们需要选择合适的特征值估计方法，并进行数值计算来得到较为准确的结果。

此外，特征值估计的计算复杂度也是需要考虑的因素，因为对于大规模矩阵，特征值估计可能需要耗费大量的计算资源和时间。

总体特征值的估计

总体特征值的估计
总体特征值是统计中一个重要的概念，是应用统计学研究中常用的一类参数，它提供了关于总体本身的全面信息，包括总体位置参数和离散程度参数，例如均值、方差、百分位数、偏度和峰度等，因此总体特征值的估计变得尤为重要。

一、总体特征值估计的重要性
总体特征值估计可以帮助了解一个总体的某些特性，如均值、方差、偏度和峰度，这些特征值的参数可以帮助研究人员了解样本数据的结构和变化特征，以及和其他总体的比较。

此外，均值、方差等特征值可以用来估计总体参数，从而为研究开展提供线索和启示。

二、均值的估计
均值是总体特征值之一，它表示样本数据的中心位置，是衡量一组数据的整体水平的重要参数。

常用的均值估计方法有：最大似然法、最小二乘法、贝叶斯估计法和蒙特卡洛估计法等。

三、方差的估计
方差也是总体特征值之一，它表示样本数据的离散程度，是衡量一组数据波动程度的重要参数。

常用的方差估计方法有：无偏样本方差估计、偏权无偏方差估计、最大似然估计和蒙特卡洛估计法等。

四、偏度和峰度的估计
偏度和峰度是总体中的重要特征值，它们分别描述了样本数据的分布偏移程度和波动程度。

常用的偏度和峰度估计方法有：最大似然估计、最小二乘估计、贝叶斯估计、正态分布模型估计等。

五、小结
总体特征值估计是统计学研究中重要的一环，是评价样本数据分布状况和总体特征值的重要参考，通常利用最大似然法、最小二乘法、贝叶斯估计法和蒙特卡洛估计法等方法估计总体的均值、方差、偏度和峰度等参数。

能够有效、准确的估计总体参数，是做出正确统计研究判断和决策的关键所在，也是实现成功研究的一大条件。

特征值的估计

其中T 为上三角矩阵，T 的对角线元素 tii (i 1,2,, n) 为 A 的特征
值，于是
n
n
n
| i |2
| tii |2
| tii |2
| tij
|2
T
2．
F
（7.1.2）
i 1
i1
i1
i j
由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以
n
| i |2 T
2 F
A2． F
i 1
由（7.1.2）式知结论中等号成立当且仅当
| tij |2 0 ．
i j
即 T 为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当 A 酉相似于对角阵，即 A 为正规矩阵．
例 7.1.1 已知矩阵
3 i 2 3i 2i
A 1
0 0
0
1
0
的一个特征值为 2，估计其它两个特征值的上界．
解记 1 2 ，A 的其它两个特征值为 2 ，3 ，由定理 7.1.1 得
n
n
| k
|2
| i
i 1
|2
| aij
i, j 1
|2
n2 max i, j
| aij
|2 ，
即
|
k
|
n max | i, j
aij
|．
由舒尔定理，存在酉矩阵U 使得
U H AU T ， U H AHU T H ，其中T 为上三角矩阵，T 的对角线元素 tii (i 1,2,n) 为 A 的特征值，
定理 7.1.2 效果好得多．例 7.1.2 设矩阵
0 0.2 0.1 A 0.2 0 0.2
0.1 0.2 0
估计特征值的实部与虚部的范围．

第7章特征值的估计

第7章特征值的估计在矩阵理论中，特征值是矩阵的一个重要属性，它具有许多重要的应用，如线性方程组的求解、矩阵的对角化等。

然而，精确计算特征值通常是一项困难的任务，特别是当矩阵的维度非常大时。

因此，需要开发一些有效的方法来估计特征值。

特征值的估计方法可以从多个角度进行分类。

首先，可以根据是否需要矩阵的全部特征值将其分为全局和局部估计方法。

其次，根据是否需要矩阵的特征向量，可以将其分为直接和迭代估计方法。

最后，还可以将其分类为基于矩阵本身的方法和基于矩阵的变换方法。

首先，我们讨论局部估计方法。

局部估计方法的目标是找到矩阵的一些局部特征值的估计。

这些方法通常基于一些已知的特征值或者一些已知的矩阵性质。

其中一个常用的局部估计方法是贝叶斯方法。

贝叶斯方法将特征值看作是一组随机变量，并根据观测到的特征值来估计未知的特征值。

贝叶斯方法的好处是可以有效地利用关于特征值的先验知识，从而提高估计的准确性。

接下来，我们讨论全局估计方法。

全局估计方法的目标是找到矩阵的全部特征值的估计。

全局估计方法通常基于矩阵的性质和结构。

其中一个常用的全局估计方法是迹估计法。

迹估计法基于特征值和矩阵的迹之间的关系，通过计算矩阵的迹来估计特征值的和。

然后，通过一些假设来估计特征值的积。

迹估计法的好处是简单易行，但通常只能得到特征值的下界估计。

其次，我们讨论直接估计方法。

直接估计方法是指直接根据矩阵的元素来估计特征值。

其中一个常用的直接估计方法是Gershgorin圆盘法。

Gershgorin圆盘法利用矩阵的元素来构造一系列圆盘，在每个圆盘内至少存在一个特征值。

通过计算这些圆盘的半径和中心点，可以估计相应特征值的范围。

Gershgorin圆盘法的好处是简单易行，但通常只能得到较粗略的特征值估计。

最后，我们讨论迭代估计方法。

迭代估计方法是指通过迭代运算逐步逼近特征值的估计。

其中一个常用的迭代估计方法是幂法。

幂法利用矩阵的幂向量来逐步逼近主特征值以及相应的特征向量。

M-矩阵(张量)最小特征值估计及其相关问题研究

M-矩阵(张量)最小特征值估计及其相关问题研究1.引言M-矩阵(张量)最小特征值估计及其相关问题是数值线性代数和数值计算中的重要研究方向。

M-矩阵是一类特殊的稀疏矩阵，具有广泛的应用背景，如有限元方法、图像处理、机器学习等。

M-矩阵的最小特征值估计是求解线性方程组和特征值问题中的关键步骤，对于提高算法效率、减少计算量具有重要意义。

2.M-矩阵及其性质2.1 M-矩阵定义M-矩阵是指一类具有特殊形式的稀疏实对称正定矩阵。

对于一个n×n的实对称正定矩阵A，如果存在一个正实数p，使得A中每个元素a_ij(i≠j)满足|a_ij|≤p*min(a_ii,a_jj)，则称A为一个M-matrix。

2.2 M-矩阵性质M-矩阵具有许多重要性质。

首先，M-矩阵的主对角元素都是非负的，即a_ii≥0，对于所有的i。

其次，M-矩阵的非主对角元素满足a_ij≤0，对于所有的i≠j。

第三，M-矩阵是正定的，即对于所有的x≠0，x^T A x>0。

最后，M-矩阵是可被分解的，即存在正定矩阵D和上三角矩阵U，使得A=D-U。

3.M-矩阵最小特征值估计方法3.1幂迭代法幂迭代法是最简单且最常用的M-矩阵最小特征值估计方法之一。

它的基本思想是通过迭代得到一个向量序列，使得向量序列的极限向量为M-矩阵的最小特征值对应的特征向量。

幂迭代法通过不断迭代计算A与一个初始向量之间的乘积，使得初始向量逐渐趋近于M-矩阵A的最小特征值对应的特征向量。

3.2反幂迭代法反幂迭代法是一种用于估计M-矩阵逆矩阵最大特征值的方法，通过将幂迭代法应用于矩阵的逆来实现。

反幂迭代法的基本思想是通过迭代计算矩阵逆与一个初始向量之间的乘积，使得初始向量逐渐趋近于M-矩阵逆矩阵的最大特征值对应的特征向量。

3.3 Rayleigh商迭代法Rayleigh商迭代法是一种基于Rayleigh商的特征值估计方法。

Rayleigh商是一个用于估计对称矩阵特征值和特征向量近似值的重要工具。

特征值估计和表示

7. 定义5.2 设ACn×n，假如AT按行严格对角占优，则称A按列严格对角占优；假如AT按行(弱)对角占优、
则称A按列(弱)对角占优。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
二、特征值旳包括区域
1. 定义5.3 设A=(aij)Cn×n，称区域 Gi: |z-aii|Ri 为矩阵A旳第i个盖尔圆，其中 Ri=ji|aij| 称为盖尔圆Gi旳半径(i=l，…，n)。
向量系x1，…，xn称为按B原则正交化向量系。 2. 按B原则正交化向量系旳性质： • 性质1 xj0 (j=1, 2, …, n) (j=1，…，n)； • 性质2 x1，…， xn线性无关。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
§5.3 对称矩阵特征值旳极性
一、实对称矩阵旳Rayleigh商旳极性
Ax
|
x
Vk
,
||
x
||2
1}
k
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
二、广义特征值旳极小极大原理
1. 定义：设A，B为n阶实对称矩阵，且B正定， xRn．称R(x)=(xTAx)/(xTBx)， x0为矩阵A相对于矩阵B旳广义Rayleigh商．．
2. 广义Rayleigh商能够只在椭球面SB={x|xRn, xTBx =1}上讨论。
j 1
|2
2
|
j
|
max
1i, jn
|
aij
|
n
2
n
|| B ||m
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
4. 定理5.2：设ACn×n，则A旳任一特征值满足 (1) ||||A||m (2) |Re()|0.5||A+AH||m (3) |Im()| 0.5||A－AH||m。

总体特征值的估计

总体特征值的估计总体特征值是指总体中的一些特征的数值。

例如，人口年龄分布中的平均年龄、产品的平均销售量等。

由于我们无法对整个总体进行测量，我们通常通过从总体中抽取样本来进行估计。

总体特征值的估计就是通过样本数据来推断总体特征值的方法。

最简单的总体特征值估计方法是使用样本均值进行估计。

样本均值是样本观察值的算术平均数。

我们可以假设样本均值近似于总体均值，并用样本均值来估计总体均值。

这是因为中心极限定理告诉我们，当样本大小足够大时，样本均值的抽样分布将接近正态分布，且以总体均值为中心。

这就允许我们使用样本均值来估计总体均值。

除了使用样本均值进行估计外，我们还可以使用样本中位数来估计总体中位数。

样本中位数是样本数据按照大小排列后处于中间位置的数值。

在总体分布不满足正态分布的情况下，样本中位数可能更适合作为估计总体中位数的方法。

此外，我们还可以使用样本百分位数来进行总体特征值的估计。

百分位数是指在有序的观察值中，一些特定百分比的观察值所对应的数值。

例如，第25百分位数是指将观察值按照大小排序后，处于第25%位置的数值。

通过计算样本的百分位数，我们可以对总体的分布进行描述，并推断总体特征值。

除了以上提到的方法，还存在其他一些方法可以用于总体特征值的估计。

例如，最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）和贝叶斯估计（Bayesian Estimation）等。

总体特征值的估计是统计学中一项重要的任务，它可以帮助我们对未知总体的一些特征进行推断。

然而，需要注意的是，估计的准确性取决于样本的大小和抽样方法的合理性。

当样本足够大且抽样方法得当时，我们可以更有效地估计总体特征值。

所以，在进行总体特征值的估计时，我们应该在理论和实践上都要进行合理的选择与判断。

第五章特征值估计及对称矩阵的极性-1

三,广义特征值分解算法
3. GEVD的总体最小二乘算法: 步一,对阵A进行SVD: A=U∑VH≈U1∑1V1H , 其中∑1是的主奇异值阵; 步二 , 把 A-λB 左乘 U1H 并右乘 V1 , 得 ∑ 1λU1HBV1 , 从而转化成新的矩阵束 (∑1 , λU1HBV1)的GEVD问题. 该方法适合于有噪情况下的主特征对的计算. 参见张贤达的《矩阵分析与应用》的第8 参见张贤达的《矩阵分析与应用》的第8.8节.
Api=λipiR(pi)=λi.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
推论1:在S上p1和pn分别是R(x)的一个极小点和极大点,即R(p1)=λ1,R(pn)=λn 推论2 若λ1=…=λk (1≤k≤n).则在||x||2=l上R(x)的所有极小点为[p1,…,pk]β,||β||2=1. 定理:设x∈L(pr,…,ps) , 1≤r≤s≤n ,则有 ∈ ≤≤≤ minxR(x)=λr,maxxR(x)=λs Courant-Fischer定理:设实对称矩阵A的特征值按升序排列,则A的第k个特征值λk=minVkmax{xTAx |x∈Vk, || x||2=1},其中Vk是Rn的任意—个k维子空间 ,1<k<n.
2.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
性质 3 x∈L(x0)( x0≠0) 时 , R(x) 是一常数. 性质4 R(x)的最大值和最小值存在,且能够在单位球面S={x|x∈Rn,||x||2=1}上达到. 证: S 是闭集,在 S 上 R(x)=xTAx 连续,所以必有 x1 , x2∈S ,使得 minx∈SR(x)=R(x1) , n maxx∈SR(x)=R(x2) ; 任取 0≠y∈R , 令 y0=Ν(y) , 则 y0∈S , 根据性质 3 , 有 R(y)=R(y0),从而R(x1)≤R(y)≤R(x2).

圆盘定理估计特征值的范围

圆盘定理估计特征值的范围
圆盘定理是一种用于估计特征值范围的重要方法。

在数学中，特征值是矩阵或线性变换的性质之一，它们可以告诉我们关于这些对象的重要信息。

而圆盘定理则提供了一种简单而有效的方式来估计特征值的范围。

圆盘定理的基本思想是将矩阵或线性变换视为一个圆盘，特征值则是这个圆盘的边界上的点。

根据定理的定义，特征值的范围应该在这个圆盘内。

为了更好地理解圆盘定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设我们有一个2x2的矩阵A，我们想要估计它的特征值范围。

根据圆盘定理，我们可以将矩阵A视为一个圆盘，而特征值则是这个圆盘上的点。

为了估计特征值的范围，我们可以找到矩阵A的特征多项式，并计算它的系数。

通过观察这些系数，我们可以得出特征值的一些性质。

例如，如果特征多项式的系数都是正数，那么特征值的范围应该在圆盘内。

如果系数有正有负，那么特征值可能会超出圆盘的范围。

除了特征多项式的系数，我们还可以通过计算矩阵A的迹和行列式来进一步估计特征值的范围。

这些运算可以提供关于特征值的一些重要信息，从而帮助我们更准确地估计特征值的范围。

总的来说，圆盘定理是一种重要的工具，可以帮助我们估计特征值
的范围。

通过将矩阵或线性变换视为一个圆盘，我们可以利用特征多项式的系数、矩阵的迹和行列式等信息来进行估计。

这种方法简单而直观，可以在实际问题中得到广泛应用。

无论是在物理、工程还是经济学领域，圆盘定理都是一种重要的工具，可以帮助我们更好地理解和分析问题。

特征值的估计

⎫⎛⎪⎪⎭⎝=∑∑==ni in i ii r 1212λ)/2, λ1, λ2, , λn 为;,n ;,n前节是对特征值的模长实部和虚部进行估计本第二节圆盘定理前一节是对特征值的模长、实部和虚部进行估计，本节则是对特征值的位置分布进行估计定义：设A =(a ij )∈C n ⨯n , R i =|a i 1|+ +|a i ,i -1|+|a i ,i -1|+ +|a in | , (i =1,2, ,n ), 称复平面上的圆域G i ={z ∈C| |z -a ii |≤R i |} (i =1,2, ,n )为矩阵A 的第i 个Gerschgorin 圆盘，简称盖尔圆。

定理(圆盘定理1)：矩阵A ∈C n ⨯n 的n 个特征值λi (i =1,2, ,n )个盖尔圆的并集中即12n都在它的n 个盖尔圆的并集中，即λi ∈(i =1,2, ,n )。

证明：设λ为A 的任一特征值，0 ≠x =(x 1, , x j , , x n )∈C nkk G 1= 为A 的属于特征值λ的特征向量, 即Ax =λx .设0n≠0. 由于, 所以||max ||j j k x x =i j j ij x x a λ=∑=1=⇒=n nx x a x x a )/(λλ∑∑==j k j kj k j j kj 11从而knkj nk j kj kk R a x x a a =≤≤-∑∑|||/|||||λ即：λ∈G k ，从而，λ∈在n 个盖尔圆的并集之中。

kj j kj j ≠=≠=,1,1∙当a kk ：是实数时，G k ，关于实轴对称。

当A 为实矩阵时，A 的盖尔圆为圆心都在实轴上的圆的并集。

定义：设矩阵A 的盖尔圆中，相交在一起的盖尔圆构成的最大连通区域称为一个连通部分；规定孤立的盖尔圆也是个连通部分一个连通部分。

G 1G 2G G 34λ1G1 G2510λ2能否做到每个盖尔圆内只有一个特征值？设D =diag(d 1,d 2, , d n ), 其中d 1,d 2, , d n 皆为正数。

第四章特征值的估计与摄动-1

1 , 2 ,, n , 则
1) | i | n max | aij |,
i, j
2) | Re i | n max | bij |,
i, j
3) | Im i | n max | cij |,
i, j
返回
定理 3 (Bendixson)
设A R
akj x j xk
j 1 jk
j 1 n
xk ( akk )
akj x j
jk jk
| xk || akk | | akj x j |
| akj || x j || xk | | akj |
jk
返回
| akk | Rk
例 1 估计矩阵
1 1 A 2 0 1 1 2 3 2 i 2 0 1 2 i 5 0 0 0 i 2 5i
的特征值的分布范围
返回
解：
S1 :| z 1| 1;
3 3 S2 :| z | ; 2 2
5
S4
返回
A (aij ) C nn 定义 2
行对角占优列对角占优行严格对角占优列严格对角占优
| aii | Ri | aii | Ci
j 1,n i j

n
| aij | (i 1, 2, , n) | a ji | ( i 1, 2, , n) | aij | (i 1,2, , n) | a ji | (i 1,2, , n)
返回
an ,n

a 22

a kk
a11 G

ak 1, k 1
返回
推论 2 设A C nn ,则A的任一特征值

特征值估计

特征值范围估计

矩阵特征值的估计

必修3数学§80

第5章 特征值的估计

12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理

矩阵理论3.1 特征值界的估计

估计矩阵特征值的范围例题

矩阵论-特征值的估计

特征值估计

总体特征值的估计

特征值的估计

第7章特征值的估计

M-矩阵(张量)最小特征值估计及其相关问题研究

特征值估计和表示

总体特征值的估计

第五章 特征值估计及对称矩阵的极性-1

圆盘定理估计特征值的范围

特征值的估计

第四章 特征值的估计与摄动-1

第5章特征值的估计

第五章特征值估计及对称矩阵的极性-1

第四章特征值的估计与摄动-1