高二数学课件：抛物线及其标准方程
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3.3.1抛物线及其标准方程+课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
新知探究
l
F
思考：若定点F在定直线l上，M的轨迹又
是什么？
一条经过点 F
且垂直于 l
的直线
l
•
F
抛物线的定义
1．定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的
点的轨迹是抛物线．
l
焦点：点 F 叫做抛物线的焦点．
准线：直线 l 叫做抛物线的准线．
F
2.当 l 经过点 F 时，轨迹为经过 F 点且与 l 垂直的直线.
新知探究
2
例2 二次函数
=
( ≠ 0)的图象是抛物线吗？如果是，请
l
l
写出它的焦点坐标、准线方程.
解：∵
∴
= 2 ( ≠ 0)
2
= (
≠ 0).
1
焦点在轴上，焦点坐标为(0, )，准线方程为
4
=
1
− .
4
小结：
1.抛物线的几何特征是什么？
知识与方法
2.抛物线的标准方程是如何获得的？
新知探究
探究2 抛物线的标准方程
问题2：明确了定义，你能根据定义求出抛物线的标准方程吗？
思考：求轨迹方程的步骤是什么？
建系
设点
列式
化简
检验
思考：回顾一下推导椭圆和双曲线的标准方程时是如何建系的？
观察抛物线的几何特征，我们如何建立平面直角坐标系？
设焦点到准线的距离为 p, ( p 0)
H
O
l
y
3.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？如何区分？
思想：数形结合、化归、类比
作业
（1）课本138页复习巩固第1-4题
人教版高二数学课件抛物线及其标准方程
3．用坐标表示的焦半径公式 由教材中抛物线的定义可得抛物线的焦半径公式如下： 若点 M(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点， 抛物线的焦点为 F，准线为 l，则线段 MF 叫作抛物 线的焦半径．如图所示，过点 M 作 l 的垂线段 MH， 由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|＝x0＋p2.
探究 3 一般方程标准化是基本的解题方法． 思考题 3 (1)抛物线 y＝－16x2 的焦点坐标是________，准
线方程是________．
(2)已知抛物线的方程为 y2＝ax(a≠0)，求它的焦点坐标和准 线方程．
【思路分析】 由题设参数 a≠0，有两种情况 a＞0 或 a＜0， 需分别求解．
【解析】 ①当 a＞0 时，∵2p＝a，∴p＝2a. ∴焦点坐标为 F4a，0，准线方程为 x＝－4a. ②当 a＜0 时，y2＝－(－a)x， ∵2p＝－a，∴p＝－2a. ∴焦点坐标为 F4a，0，准线方程为 x＝－4a. 综上所述，抛物线的焦点坐标为4a，0，准线方程为 x＝－4a.
抛物线 y2＝mx 的焦点为m4 ，0，准线为 x＝－m4 ；抛物线 x2 ＝my(m≠0)的焦点为0，m4 ，准线为 y＝－m4 .
小值为点 F 和点(0，2)之间的距离，即
122＋（－2）2＝
17 2.
题型三 抛物线的焦点和准线
互动 1 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位 置和开口方向？
【解析】 一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴(或 y 轴)上； 若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上．焦 点确定，开口方向也随之确定．
(2)已知点 M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线 y2＝2x
的焦点为 F，点 Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小
3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)
抛物线的标准方程
图形
标准方程 ④ y2=2px(p>0)
焦点坐标
p 2
,0
y2=-2px(p>0)
⑤
-
p 2
,0
准线方程 x=- p
2
p
x= 2
x2=2py(p>0)
0,
p 2
p
⑥ y=-2
续表
图形
标准方程 ⑦ x2=-2py(p>0)
焦点坐标
0,-
p 2
准线方程 y= p
2
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” 。 1.抛物线的焦点到准线的距离是p. ( √ )
a
0,
1 4a
,准线方程是y=-
1 4a
.
抛物线的定义及应用
1.利用定义解决与抛物线有关的轨迹问题 先将几何条件转化,其关键是根据几何性质,将几何条件化为抛物线的定义:动点到定点的 距离等于到定直线的距离,且定点不在定直线上;再利用抛物线的定义写出标准方程,写标 准方程时要注意:先定性、再定量. 2.利用抛物线的定义解决抛物线的焦半径问题 (1)抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点的距离及与准线的距离的转化,通过转 化可以求最值、参数、距离.
由抛物线的定义知,点P到准线x=
1 2
的距离|PD|等于点P到焦点F
-
1 2
,0
的距离|PF|,因此点P
到点M(0,2)的距离与点P到准线x= 1 的距离之和等于点P到点M(0,2)的距离与点P到点
2
F
-
1 2
,0
的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F
-
1 2
,0
的距离(当点P位于P'的位置时),即最小
2.7.1抛物线的标准方程高二数学(人教B版选择性必修第一册)课件
点、方向为 轴正方向的射线，且不包括端点，如图
所示；
当 ≤ 0 时，方程可变为 2 = −8，
这表示的是焦点为 0， − 2 的抛物
线，如图所示.
随堂练习.分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-1);
(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
解:(1)因为点(-3,-1)在第三象限,
准方程 .
类似地，如果按照图（2）的方式建立平面直角
坐标系，则抛物线的焦点为
为=
−
2
0，
2
，准线
；只要将①中的 x 与 y 互换即可得
到抛物线的方程为 2 = 2 .
③
通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标
准方程 .
如果按照图（3）的方式建立平面
直角坐标系，则抛物线的焦点为
势，且 = 4，从而所求抛物线的标准方程是
2 = 8.
(2)因为双曲线的焦点坐标为（0，-5），（0，5），所以抛物线的标准方程具有
2 = −2或 2 = −2的情势，而且 = 5，因此 = 10，从而所求抛物线的标
2
准方程是
2 = −20或 2 = 20.
例3
的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，
定直线 l 称为抛物线的准线.
动画演示
尝试与发现
怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的
点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？
同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与
发现中的问题，并求出抛物线的标准方程.
为了方便，过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ，设
所示；
当 ≤ 0 时，方程可变为 2 = −8，
这表示的是焦点为 0， − 2 的抛物
线，如图所示.
随堂练习.分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-1);
(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
解:(1)因为点(-3,-1)在第三象限,
准方程 .
类似地，如果按照图（2）的方式建立平面直角
坐标系，则抛物线的焦点为
为=
−
2
0，
2
，准线
；只要将①中的 x 与 y 互换即可得
到抛物线的方程为 2 = 2 .
③
通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标
准方程 .
如果按照图（3）的方式建立平面
直角坐标系，则抛物线的焦点为
势，且 = 4，从而所求抛物线的标准方程是
2 = 8.
(2)因为双曲线的焦点坐标为（0，-5），（0，5），所以抛物线的标准方程具有
2 = −2或 2 = −2的情势，而且 = 5，因此 = 10，从而所求抛物线的标
2
准方程是
2 = −20或 2 = 20.
例3
的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，
定直线 l 称为抛物线的准线.
动画演示
尝试与发现
怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的
点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？
同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与
发现中的问题，并求出抛物线的标准方程.
为了方便，过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ，设
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件3.1抛物线及其标准方程
物线的标准方程是( D )
A.x2=4y
B.y2=8x
C.x2=8y
D.y2=4x
解析 由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),且p=2,则抛物线方程为y2=4x,
故选D.
1 2 3 4 5
3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=
为 x=-1 .
解析 ∵抛物线 y =2px
由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的
一条抛物线,其方程为x2=-12y.
规律方法 解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利
用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于动点
到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行
这样可以减少讨论情况的个数.
变式训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
2
(1)准线方程为y= 3 ;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.
解 (1)易知抛物线的准线交 y
准方程为 x
轴于正半轴,且
2
=
2
,则
3
4
p= ,故所求抛物线的标
3
8
=- y.
3
2
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的
(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y;
当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x.
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
规律方法 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
A.x2=4y
B.y2=8x
C.x2=8y
D.y2=4x
解析 由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),且p=2,则抛物线方程为y2=4x,
故选D.
1 2 3 4 5
3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=
为 x=-1 .
解析 ∵抛物线 y =2px
由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的
一条抛物线,其方程为x2=-12y.
规律方法 解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利
用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于动点
到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行
这样可以减少讨论情况的个数.
变式训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
2
(1)准线方程为y= 3 ;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.
解 (1)易知抛物线的准线交 y
准方程为 x
轴于正半轴,且
2
=
2
,则
3
4
p= ,故所求抛物线的标
3
8
=- y.
3
2
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的
(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y;
当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x.
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
规律方法 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
3.3.1抛物线及其标准方程课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
这就是所求的轨迹方程.
三、抛物线的标准方程
把方程 y 2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程， 其中 p 为正常数，表示焦点在 x 轴正半轴上.
p的几何意义是: 焦点到准线的 距 离
焦点坐标是
p 2
,
0
准线方程为: x p
2
y l
Ko F
x
三三. 、不同抛位物置线的抛的物标线准方程
y
图
OF
x
形
l
y
y
一次项变量看l 对Oy称轴
x
F O x开口方F 向看正F负
O
x
四l 分l 一：焦点坐标
焦点位置
x轴的 正半轴
x轴的准线方y轴程的：相y轴反的数
负半轴
正半轴 负半轴
标准方程 y2=2px
焦点坐标 准线方程
F ( p , 0) 2
xP 2
y2=2px
F ( p , 0) 2
x P 2
x2=2py
解:依题意,点M与点F的距离等 x+4=0
于 它 到 直 线 x+4=0 的 距 离 , 根 据
y
抛物线定义,点M的轨迹是以点 x+5=0
M
F(4,0)为焦点的抛物线.
∵p/2=4,
∴p=8. ∵焦点在x轴的正半轴,
o F(4,0)
x
∴点M的轨迹方程为
y2=16x
练习、M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点
准线方程是 x 2 .
y
P Q
O 2F 4x
由定义知：P到焦点 F 的距离等于 P到准线 l 的距离 . 即 | PF || PK | .
| PF | | PQ | | PK | | PQ |
高二数学选修抛物线及其标准方程-PPT
M(x,y) 为x轴,垂足为K、以F,K得中点O
Ko F
为坐标原点建立直角坐标系xoy、
x 设 M( x, y), FK p ,
l
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p
2
2
依题意得 ( x p )2 y2 | x p |
2
2
两边平方,整理得
y2 2 px( p 0)
这就就是所求得轨迹方程、
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线得标准方 程、其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上、
且 p得几何意义就 焦点到准线得距离
想是:一焦点想坐:标坐是标(系2p得, 0建) ,立准还线有方没程有为其: 它x 方案2p也
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程得形式简单 ？
y
y
y
l
(p>0)
(0，p ) 2
yp 2
方程得特点: (1)左边就是二
次式,
y
O F
l
x
x2=-2py (0， p )
(p>0)
2
y p
(2)右边就是一 次式;决定了焦
2 点得位置、
P66思考:
二次函数 y ax2 (a 0) 得图像为什么
就是抛物线？
y ax2 (a 0) x2 1 y 1 2 p
a
a
当a>0时与当a<0时,结论都为:
焦点（0，1 )准线y=- 1
4a
4a
例1
(1)已知抛物线得标准方程就是 y 2 = 6 x ,求它得
焦点坐标及准线方程
焦点F (
3 2
,0)
准线：x =－
3 2
抛物线及其标准方程(共32张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
(1)椭圆的离心率范围为0<e<1 ;(2) 双曲线的离心率的范围是e>1 ;(3)当e=1 时，它的轨迹是什么? 抛物线我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、 双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线.
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
高二数学抛物线及其标准方程ppt
y
F
x
y
F
O
l
x
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
五.例题讲 解 例1：⑴根据下列条件求抛物线的标
y2=8x 准方程： x2=-12y ①已知抛物线的焦点坐标是 ⑵求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： F(2,0); ① y2=6x ② y= 6x2 ②已知抛物线的准线方程是 小结:求抛物 y=3;
想一想：在平面内,与一个定点
F和一条定直线l(l经过点F )的距
离相等的点的轨迹是什么？
抛物线的生活实例
卫 星 接 收 天 线
灯
喷
泉
二 探究抛物线的标 准方程
想一想求曲线方程的基本步骤是怎样的？ 1. 建立适当的直角坐标系，设动点 M 为(x,y)
H
F · 2.写出适合条件的x,y的关系式
2 2
两边平方,整理得
x
y 2 2 px ( p 0)
比较探究结果：
y
●
M(x,y)
y
M(x,y)
y
M(x,y)
F
o F
K
x
K
F
x
K o
x
y
2
2 px
p
2
y
2
2 px
p
2
y 2 px
2
方程最简洁 抛物线的标准方程
获知二 抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）表示抛物 线，其焦点F位于x轴的正半轴上， y 其准线交于x轴的负半轴
x
图 l y
O
形
标准方程
抛物线及其标准方程 课件
则a22＝m·－a4，所以m＝－a. 即抛物线方程为x2＝ －ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，
即y＝－0.a82.
欲使卡车通过隧道，应有y－
－a4
＞3，即
a 4
－
0.82 a
＞
3.
因为a＞0，所以a＞12.21.所以a应取13.
归纳升华 1．考查抛物线知识的实际应用时，首先要建系， 将题目转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的知识解 答． 2．在建立抛物线的标准方程时，应以抛物线的顶 点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样 可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方 程不含常数项，形式更为简单，便于应用．
类型2 抛物线定义的应用(互动探究) [典例2] 设P是抛物线y2＝4x上一个动点，若B(3， 2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 解析：如图所示，过点B作BQ垂直准线 于Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 答案：4
类型3 抛物线的实际应用 [典例3] 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为 抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口 宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值． 解：如图所示，以隧道顶点为原点，拱 高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的 坐标为a2，－a4. 设隧道所在的抛物线方程为x2＝my，
2．抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p＞0)
p2，0
y2＝－2px(p＞0) －p2，0
x2＝2py(p＞0)
0，p2
抛物线及其标准方程(优秀课件)
形状和性质
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
抛物线及其标准方程ppt课件
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24
抛物线及其标准方程(课件)-高二数学同步精品课件(人教A版2019选择性必修第一册)
4 问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
分析：建系→设方程→求抛物线方程→解决实际问题．
解析：如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－
2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝
8 5
，∴抛物线方程
为x2＝－156y.
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)， 由22＝－156yA，得yA＝－54.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
答案：(1)C
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为 ________.
解析：(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝ 2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满 足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－ 10y.
变式训练 3 如图是抛物线型拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水 面 2 米，水面宽 4 米，若水面下降 0.42 米后，则水面宽为( )
A．2.2 米 B．4.4 米 C．2.4 米
D．4 米
解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将 A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2，
∴x2＝－2y，代入B(x0，－2.42)得x0＝2.2， 故水面宽为4.4 m，故选B. 答案：B
探究 2 待定系数法求抛物线方程
例 2 (1)顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是
() A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x 或 x2＝4y
D．y2＝4x 或 x2＝－4y
解析：(1)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)， 把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
分析：建系→设方程→求抛物线方程→解决实际问题．
解析：如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－
2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝
8 5
，∴抛物线方程
为x2＝－156y.
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)， 由22＝－156yA，得yA＝－54.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
答案：(1)C
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为 ________.
解析：(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝ 2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满 足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－ 10y.
变式训练 3 如图是抛物线型拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水 面 2 米，水面宽 4 米，若水面下降 0.42 米后，则水面宽为( )
A．2.2 米 B．4.4 米 C．2.4 米
D．4 米
解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将 A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2，
∴x2＝－2y，代入B(x0，－2.42)得x0＝2.2， 故水面宽为4.4 m，故选B. 答案：B
探究 2 待定系数法求抛物线方程
例 2 (1)顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是
() A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x 或 x2＝4y
D．y2＝4x 或 x2＝－4y
解析：(1)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)， 把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.( × )
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
抛物线的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册
焦点确定，开口方向也随之确定.
作者编号：、32200
课题探究
例1 求下列抛物线的焦点坐标、准线方程和焦点到准线的距离：
(1)y2=12x；
(2)2y2-x=0.
解：(1)焦点为(3,0)，准线方程为x=-3，焦点到准线的距离为6；
1
8
1
8
(2)焦点为( ,0)，准线方程为x=- ，焦点到准线的距离为
一定点F(即焦点)；
一定直线l(即准线)；
一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).
作者编号：、32200
课题探究
交流讨论：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标
系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并
以线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy.
− ，0
2
x＝
________
2
________
________
作者编号：、32200
p
准线方程
p
p
课题探究
概念生成
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
x2＝2py(p>0)
p
F(0， )
________
2
p
y＝－
2
________
p
F(0，－ )
________
2
p
y＝
________
2
________
将点M(-6，6)的坐标代入，可得36=2p×6，解得p=3，
∴抛物线的方程为x2=6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.
作者编号：、32200
课题探究
例1 求下列抛物线的焦点坐标、准线方程和焦点到准线的距离：
(1)y2=12x；
(2)2y2-x=0.
解：(1)焦点为(3,0)，准线方程为x=-3，焦点到准线的距离为6；
1
8
1
8
(2)焦点为( ,0)，准线方程为x=- ，焦点到准线的距离为
一定点F(即焦点)；
一定直线l(即准线)；
一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).
作者编号：、32200
课题探究
交流讨论：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标
系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并
以线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy.
− ，0
2
x＝
________
2
________
________
作者编号：、32200
p
准线方程
p
p
课题探究
概念生成
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
x2＝2py(p>0)
p
F(0， )
________
2
p
y＝－
2
________
p
F(0，－ )
________
2
p
y＝
________
2
________
将点M(-6，6)的坐标代入，可得36=2p×6，解得p=3，
∴抛物线的方程为x2=6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.
抛物线及其标准方程 课件
抛物线及其标准方程
（一）抛物线的定义 l
平面内与一个定点F和
N
一条定直线l 的距离相
等的点的轨迹叫做抛
物线。 （定点F不在定 直线l 上）
K
F
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准
线。
一条经过点F且 垂直于l 的直线
想一想：定义中当直线l 经
过定点F，则点M的轨迹是
什么?
M
l
·F ······
· N M
· O
x
K
F
想一想：p的几何意义？
设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为(
p
p 2
,0),准
线 l 的方程为x=－ 2 。
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离
为d=|MN|
由抛物线的定义，
| MF | d
∵
| MF |
(x p)2 y2 2
(x p )2 y2 | x p |
（二）抛物线的标准方程
l
· N M ·F
想一想：求抛物线方程时该如何 建立直角坐标系？
y
y=ax2
y=axy2=+acx2+bx+c
oxBiblioteka 思考： 抛物线是一个怎样 的对称图形？
求抛物线的方程
y
为什么？ l
如图所示，以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O， 则O是线段KF的中点，以O为 原点,建立直角坐标系。
2
2
d | x p | 2
化简后得 :
y
l
· N M
· O
x
K
F
y2 2 px
（一）抛物线的定义 l
平面内与一个定点F和
N
一条定直线l 的距离相
等的点的轨迹叫做抛
物线。 （定点F不在定 直线l 上）
K
F
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准
线。
一条经过点F且 垂直于l 的直线
想一想：定义中当直线l 经
过定点F，则点M的轨迹是
什么?
M
l
·F ······
· N M
· O
x
K
F
想一想：p的几何意义？
设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为(
p
p 2
,0),准
线 l 的方程为x=－ 2 。
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离
为d=|MN|
由抛物线的定义，
| MF | d
∵
| MF |
(x p)2 y2 2
(x p )2 y2 | x p |
（二）抛物线的标准方程
l
· N M ·F
想一想：求抛物线方程时该如何 建立直角坐标系？
y
y=ax2
y=axy2=+acx2+bx+c
oxBiblioteka 思考： 抛物线是一个怎样 的对称图形？
求抛物线的方程
y
为什么？ l
如图所示，以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O， 则O是线段KF的中点，以O为 原点,建立直角坐标系。
2
2
d | x p | 2
化简后得 :
y
l
· N M
· O
x
K
F
y2 2 px
高二数学选修2-1课件抛物线及其标准方程新人教A版1.ppt
例1. 若点M到定点F(5，0)距离和它到
定直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，
5
求点M的轨迹方程.
x2
y2
4
11Biblioteka 91、若点F是定直线l外一定点，动点M 到点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(e>1)，则点M的轨迹是双曲线
吗？ 是！称为双曲线的第二定义
试与椭圆的第二定义比较
B1
B
4. |
11 AF | | BF |
1 p
5.A,O, B1三点共线.
直线与抛物线的关系
尝试练习
已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.
移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|
的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( 1 ,1) )
5.已知M是抛物线
y
1
4
x2上一动点，M
4
到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的
距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2
y2 16x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到
直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨
迹方程.
yM
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图
所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴
定直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，
5
求点M的轨迹方程.
x2
y2
4
11Biblioteka 91、若点F是定直线l外一定点，动点M 到点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(e>1)，则点M的轨迹是双曲线
吗？ 是！称为双曲线的第二定义
试与椭圆的第二定义比较
B1
B
4. |
11 AF | | BF |
1 p
5.A,O, B1三点共线.
直线与抛物线的关系
尝试练习
已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.
移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|
的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( 1 ,1) )
5.已知M是抛物线
y
1
4
x2上一动点，M
4
到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的
距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2
y2 16x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到
直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨
迹方程.
yM
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图
所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴
抛物线及其标准方程 课件
【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】
抛物线及其标准方程课件
即 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的方程可设为 y2＝ax 或 x2＝by. 把点(3，－4)分别代入，可得 a＝136，b＝－94， ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15.
所以 m2＝24，所以 m＝±2 6，
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6.
题型三 抛物线定义的应用
例3 抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9， 求点P的坐标．
解析：点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x＝－2 的距离， 得 xp＝7，yp＝±2 14，点 P 的坐标为(7，±2 14)．
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点
到准线的距离等于到焦点的距离，由图可知，点 P，
点(0,2)，和抛物线的焦点12，0三点共线时距离
之和最小，所以最小距离 d＝
（0－12）2＋ （2－
）2＝
17 2.
变式 训练
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6. 方法二 设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标 F－p2，0，准线方程 x＝p2. 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5，
即点 M 到准线的距离等于 5，
则
p
3＋2＝5，所以
p＝4，所以抛物线方程为
y2＝－8x.
又点 M(－3，m)在抛物线上，
C．双曲线 D．抛物线
基础 梳理
2．如下图所示，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合， 得抛物线的标准方程为 y2＝2px，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是p2，0，它的准线方程是 x＝－p2.
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的方程可设为 y2＝ax 或 x2＝by. 把点(3，－4)分别代入，可得 a＝136，b＝－94， ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15.
所以 m2＝24，所以 m＝±2 6，
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6.
题型三 抛物线定义的应用
例3 抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9， 求点P的坐标．
解析：点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x＝－2 的距离， 得 xp＝7，yp＝±2 14，点 P 的坐标为(7，±2 14)．
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点
到准线的距离等于到焦点的距离，由图可知，点 P，
点(0,2)，和抛物线的焦点12，0三点共线时距离
之和最小，所以最小距离 d＝
（0－12）2＋ （2－
）2＝
17 2.
变式 训练
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6. 方法二 设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标 F－p2，0，准线方程 x＝p2. 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5，
即点 M 到准线的距离等于 5，
则
p
3＋2＝5，所以
p＝4，所以抛物线方程为
y2＝－8x.
又点 M(－3，m)在抛物线上，
C．双曲线 D．抛物线
基础 梳理
2．如下图所示，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合， 得抛物线的标准方程为 y2＝2px，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是p2，0，它的准线方程是 x＝－p2.
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