电子科技大学2016数值分析研究生期末考试
电子科技大学期末数字电子技术考试题a卷-参考答案
电子科技大学二零零九至二零一零学年第 二 学期期 末 考试数字逻辑设计及应用 课程考试题 A 卷（120分钟）考试形式：闭卷 考试日期2010年7月12日课程成绩构成：平时 20 分， 期中 20 分， 实验 0 分， 期末 60 分一、To fill your answers in the blanks （1’×25）1. If [X]10= - 110, then [X]two's-complement =[ ]2,[X]one's-complement =[ ]2. (Assumed the number system is 8-bit long) 2. Performing the following number system conversions: A. [10101100]2=[ 0 ]2421B. [1625]10=[01001 ]excess-3C. [ 1010011 ]GRAY =[10011000 ]8421BCD3. If ∑=C B A F ,,)6,3,2,1(, then F D ∑=C B A ,,( 1，4，5，6 )=C B A ,,∏(0，2，3，7 ).4. If the parameters of 74LS-series are defined as follows: V OL max = 0.5 V , V OH min = 2.7 V , V IL max = 0.8 V , V IH min = 2.0 V , then the low-state DC noise margin is 0.3V ,the high-state DC noise margin is 0.7V .5. Assigning 0 to Low and 1 to High is called positive logic. A CMOS XOR gate in positive logic is called XNOR gate in negative logic.6. A sequential circuit whose output depends on the state alone is called a Moore machine.7. To design a "001010" serial sequence generator by shift registers, the shift register should need 4 bit as least.8. If we use the simplest state assignment method for 130 sates, then we need at least8state variables.9. One state transition equation is Q*=JQ'+K'Q. If we use D flip-flop to complete the equation, the D input terminal of D flip-flop should be have the function D= JQ'+K'Q.10.Which state in Fig. 1 is ambiguous D11.A CMOS circuit is shown as Fig. 2, its logic function z= A’B’+ABFig. 1 Fig. 212.If number [A]two's-complement =01101010 and [B]one's-complement =1001, calculate [A-B]two's-complement and indicate whether or not overflow occurs.(Assumed the number system is 8-bit long)[A-B]two's-complement = 01110000, overflow no13. If a RAM’s capacity is 16K words × 8 bits, the address inputs should be 14bits; We need 8chips of 8K ⨯8 bits RAM to form a 16 K ⨯ 32 bits ROM..14. Which is the XOR gate of the following circuit A .15.There are 2n－n invalid states in an n-bit ring counter state diagram.16.An unused CMOS NOR input should be tied to logic Low level or 0 .17.The function of a DAC is translating the Digital inputs to the same value of analogoutputs.二、Complete the following truth table of taking a vote by A,B,C, when more than two of A,B,C approve a resolution, the resolution is passed; at the same time, the resolution can’t go through if A don’t agree.For A,B,C, assume 1 is indicated approval, 0 is indicated opposition. For the F,A B C F三、The circuit to the below realizes a combinational function F of four variables. Fill in the Karnaugh map of the logic function F realized by the multiplexer-based circuit. (6’)四、(A) Minimize the logic function expressionF = A·B + AC’ +B’·C+BC’+B’D+BD’+ADE(H+G) （5’）F = A·B + AC’ +B’·C+BC’+B’D+BD’ = A·(B ’C )’ +B’·C+BC’+B’D+BD’= A +B’·C+BC’+B’D+BD’+C ’D (或= A +B’·C+BC’+B’D+BD’+CD ’)= A +B’·C+BD’+C ’D (或= A + BC’+B’D +CD ’)(B) To find the minimum sum of product for F and use NAND-NAND gates to realize it （6’）),,,(Z Y X W F Π(1,3,4,6,9,11,12,14)------3分 F= X ’Z ’+XZ -----2分 =( X ’Z ’+XZ)’’=(( X ’Z ’)’(XZ)’)’ ------1分五、Realize the logic function using one chip of 74LS139 and two NAND gates.（8’）∑=)6,2(),,(C B A F ∑=)3,2,0(),,(E D C GF(A,B,C)=C’∑(1,3) ---- 3分 G(C,D,E)=C’∑(0,2,3) ----3分-六、Design a self-correcting modulo-6 counter with D flip-flops. Write out the excitation equations and output equation. Q2Q1Q0 denote the present states, Q2*Q1*Q0* denote the next states, Z denote the output. The state transition/output table is as following.（10’）Q2Q1Q0Q2*Q1*Q0*Z000 100 0100 110 0110 111 0111 011 0011 001 0001 000 1激励方程式：D2=Q0’（2分，错-2分）D1=Q2 （2分，错-2分）D0=Q1 （2分，错-2分）修改自启动：D2=Q0 +Q2Q1’（1分，错-1分）D1=Q2+Q1Q0’（1分，错-1分）D0=Q1+Q2Q0 （1分，错-1分）输出方程式：Z=Q1’Q0 （1分，错-1分）得分七、Construct a minimal state/output table for a moore sequential machine, that will detect the input sequences: x=101. If x=101 is detected, then Z=1.The input sequences DO NOT overlap one another. The states are denoted with S0~S3.（10’）For example:X：0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 ……Z：0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ……state/output table八、Please write out the state/output table and the transition/output table and theexcitation/output table of this state machine.（states Q2 Q1=00~11, use the state name A~D ）（10’）Transition/output table State/output table Excitation/output table（4分） （3分） （3分）评分标准：转移/输出表正确，得4分；每错一处扣0.5分，扣完4分为止；由转移/输出表得到状态/输出表正确，得3分；每错一处扣0.5分，扣完3分为止；激励/输出表正确，得3分；每错一处扣0.5分，扣完3分为止。
西安电子科技大学 研究生 电磁场数值分析期末考试题
西安电子科技大学何超电磁场数值分析考点1：矩量法的一般过程（算子方程、离散化过程、选配过程、矩阵方程求解）。
给定算子方程和基函数，采用伽略金法，计算阻抗矩阵和激励电压矩阵，从而求得电流系数矩阵，即得到方程的近似解。
（矩阵维数一般为2×2，或3×3，便于计算）。
1/link?url=oRwkn_6gajdEKC3YUFvvipOKLuZJXnVk43odUwyDWYRao nT1SlZLKEq9PCQba5xPYg_7mXpK8pZW0R-_RfT5EOXLvj0BKqKmQ6cfXMuW8P7有3个矩量法例题考点2：ScaLAPACK 的矩阵分布方式。
给定进程网格，矩阵分块大小，要求能写出按ScaLAPACK矩阵分布方式，每个进程对应的矩阵元素。
？1 并行矩阵填充在PC集群系统中MPI并行矩量法研究36 37考点3：temporary block column 对active block column 分解产生的影响.对于当前活动列块（即正在进行LU分解的列块），要能够分析其左侧临时列块对其LU分解所产生的影响。
？英文书写得很详细了啊45--55有lu分解将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵。
当A 的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LU，且当L的对角元全为1时分解唯一。
其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
4阶矩阵的LU分解[1]高斯消元法见数值分析教材考点4：积分方程的建立要求掌握EFIE 、MFIF 、PMCHW（电场、磁场、表面积分方程）根据等效原理建立的过程，即对于给定的问题（PEC （理想导体）或介质）能根据等效原理建立积分方程（不要求写出场的位函数表达式，主要考察方程建立的思想）。
看矩量法的书那个英文书只有EFIE 等效原理EFIE考点 5：RWG 基函数考察 RWG 基函数的 表达式，以及其 特点，对于给定的一个三角形网格图要能够标出哪些地方（ 公共边上） 存在基函数。
电子科技大学数值分析研究生期末考试习题二
习 题 二请尽可能提供程序1、假设)(x f 在[]b a ,上连续，求)(x f 的零次最佳一致逼近多项式。
2、选择常数a ，使得ax x x -≤≤310max 达到极小，又问这个解是否唯一？3、如何选取r ，使r x x p +=2)(在[]1,1-上与零偏差最小？r 是否唯一？4、设在[]1,1-上543238401653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ，试将)(x ϕ降低到3次多项式.求a 、b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 为最小。
5、设{}x span ,11=ϕ，{}1011002,x x span =ϕ，分别在21,ϕϕ上求一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳平方逼近，并比较其结果。
6、用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
i x 19 25 31 38 44i y19.0 32.3 49.0 73.3 97.87、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh++-≈--⎰8、用辛普森公式求积分1x e dx -⎰并估计误差。
9、求近似求积公式)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f +-≈⎰的代数精度。
10、用三个节点（2=n ）的Gauss 求积公式计算积分)2(14112π=+=⎰-dx x I 。
11、试确定常数A ，B ，C 和α，使得数值积分公式)()0()()(22ααCf Bf Af dx x f ++-=⎰-为Gauss 型公式。
12、用三点公式求2)1(1)(x x f +=在1.1,0.1=x 和1.2处的导数值，并估计误差，)(x f 的值由下表给出：X1.0 1.11.2 1.3 1.4)(x f0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.173613、就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
复旦大学《数值分析》2016-2017学年第二学期期末试题(B卷)
课程编号：A072121复旦大学2016-2017学年第二学期2016级《数值分析》期末试卷(B 卷)（本试卷共6页、八个大题，满分100分；答题前请检查是否有漏印、缺页和印刷不清楚的情况，如有此种情况，请及时向监考教师反映）一、求解下列各题（每小题6分）1.已知直线3221:+==-z m y x L 与平面02:=++-D z y x π平行，且L 到π的距离为6,求m 与D 的值.2.设)()(1y x y xy f xz ++=ϕ,其中ϕ,f 二阶可导,求y x z ∂∂∂2.3.计算第二类曲线积分dy y xdx y x I L ⎰+= 2 ，其中L 是曲线x y =上从点)1 , 1(A 到点)2 , 4(B 的弧段.4.设有级数)11ln(1)1(11n n n pn +-∑∞=-,指出p 在什么范围内取值时级数绝对收敛,在什么范围内取值时级数条件收敛,在什么范围内取值时级数发散(要说明理由).二、解下列各题（每小题7分）1.已知n是曲面1222=+-z y x 在点)1 , 2 , 2(处指向z 增大方向的单位法向量,z z xy u ln 2-=,求)1 ,2 , 2(nu∂∂.2.将函数231)(2++=x x x f 展开成)1(-x 的幂级数,并求收敛区间及)1()5(f 的值.3.计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV x I 2,其中Ω是由柱面2x y =与平面1=y ,0=z ，2=z 所围成的立体.4．求二元函数y x y x x y x f z 293),(223+---==的极值点与极值.三、(8分)设1)(2+=x x f ，ππ≤≤-x ,将)(x f 展开成以π2为周期的傅里叶级数.四、（8分）设V 是由曲面222y x z --=与22y x z +=围成的立体,求V 的表面积.五、(8分)计算第二类曲面积分⎰⎰++=Sdxdy dzdx y dydz x I 33,其中S 是曲面22y x z +=)10(≤≤z 的下侧.六、（8分）求幂级数∑∞=+12)(n n x n n 的收敛域与和函数.七、(8分)已知在半平面0>x 内dy y x y x dx y x y x λλ))(())((2222++++-为二元函数),(y x f 的全微分.(1)求λ的值；(2)求)0 , 2()3 , 1(f f -的值.八、（8分）设}|),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，其中0>t .已知)(x f 在) , 0[∞+内连续，又设⎰⎰⎰Ω++=)( 222)()(t dxdydz z y x f t F .（1）求证：)(t F 在) , 0(∞+内可导，并求)(t F '的表达式；（2）设0)0(≠f ，求证：级数∑∞=-'111(n n F n λ在0>λ时收敛，0≤λ时发散.(此页纸不够时可写到背面)2016级《数值分析》期末试卷(B 卷)参考答案与评分标准一．求解下列各题1.直线过点(1,0,-2)，方向向量}3,,2{m s = ，平面法向量}2,1,1{-=n--------------------2分062}3,,2{}2,1,1{=+-=⋅-⇒⊥m m s n8=⇒m ------------------------------------4分6411|401|=+++--=D d 3,9-=⇒D ------------------------------------------------------6分或过)2,0,1(-与π,L 垂直的直线方程为22111+=-=-z y x 与π交点：321,615,69-=-=-=D z D y D x 6)2321()65()169(222=+-+-+--=D D D d .9,3-=⇒D 2.)()()(12y x y xy f x yxy f x x z +'+'+-=∂∂ϕ------------------------------------------------3分)()()(2y x y y x xy f y yx z+''++'+''=∂∂∂ϕϕ------------------------------------------------6分3.dy y x dx y x L+⎰2=dxxx x x x ⎰⋅+41221(-------------------------------------------------3分10139]2152[4125=+=x x -------------------------------------6分4.11)11ln(1lim 1=++∞→p pn n n n∑∑∞=∞=++-11)11ln(1|)11ln(1)1(|n pn p nn n n n 与有相敛散性----------------------------------2分1)0>p ，绝对收敛；2)01≤<-p ，条件收敛；3)1-<p ，发散。
2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷
2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14点 至 16 点 ，共 2小时）课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式： （学生填写）1．把方程22222320u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂化为标准型，指出其类型，求出其通解. (10分)2.设定解问题：(10分)2000(),0,0,,0(),(),0.tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ϕψ====⎧-=<<>⎪⎪==>⎨⎪==≤≤⎪⎩将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。
学 号 姓 学 院 教 座位……………………密……………封……………线……………以……………第 1页3．长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ϕ，求杆内温度分布(,)u x t .(20分)4．求下面的定解问题：（10分）22009,(,0)18,sin 18tttxx t t t u u x e x R t u x x u x ==⎧-=∈>⎪⎨=++=+⎪⎩.第2页5．求22cos()a e x d ϖτϖϖ+∞-⎰.（10分）6． 22223()(22)(25)s s F s s s s s ++=++++，求Laplace 逆变换1(())L F s -.（10分）第3页7．写出球形域的Dirichlets 问题对应的：(1) Green 函数及其定解问题. (2) Green 函数相对于边界外侧的方向导数.（10分）8．设n ϖ(n=1,2,…)是0()0J x =的所有正根，将函数2()1(01)f x x x =-<<展开为Bessel 函数0()n J x ϖ的级数.（10分）9．（1）写出Legendre 多项式的一般形式或罗德利克表示形式； （2）将函数2()23,1f x x x x =++≤用Legendre 多项式展开.（10分）第4页。
电子科技大学2016数值分析研究生期末考试
《数值分析》复习题
Ex1.证明方程 1 – x – sin x = 0 在区间[0，1]上有一 根。使用二分法求误差不大于0.5×10-4的根需二分 多少次？
Ex2. 对于二元方程G(x，y)=0，已知（x0，y0）满 足方程。如果在点x0附近有函数y =y(x)，则根据隐 函数存在定理，对于接近于x0的自变量x，试构造 牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。
初值问题?
15/15
第五章 思考题 1. 代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的 2. 拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？ 3. Runge反例主要说明一个什么样的问题？ 第六章 思考题
1. 多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数 有何特点？
2. 曲线拟合的最小二乘法有何特点？ 3. 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？
Ex 27 将积分上限函数
f ( x) exp( x2 ) x exp( t 2 )dt 0
转化为常微分方程初值问题。并确定一种可求解的二 阶方法
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第一章 思考题
1.在科学计算中，一般误差的来源有几种？列出部分 数值分析课中主要讨论误差。
2.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述 3.什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例
Ex 18.已知实验数据如下： x1 2 3 4
y 10 30 50 80
求二次多项式拟合函数P(x) = a + b x2 Ex 19 利用数据表 t –2 –1 0 1 2
y yk-2 yk-1 yk
yk+1 yk+2
成都电子科技大学数学分析2005-2016年考研初试真题+答案
共2页第1页 电子科技大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目: 601 数学分析注： 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、 填空题(每小题5分, 共25分)1. 极限()=-→2tan 12lim x x x π .2. 若直线x y =与曲线x y a log =相切，则=a ，切点坐标为 .3. 抛物线642+-=x x y 与直线2+=x y 所围成的图形面积=A .4. 设函数),(y x f z =由方程z y x xe z y x 2+-=--所确定，则=∂∂xz . 5. 设区域D 由直线x y =，2=x 及曲线2=xy 所围成，则二重积分⎰⎰Dy x y x f d d ),(先对x后对y 的累次积分为 .二、计算题（每小题7分, 共14分）1. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧==,sin ,cos t at y t at x 所确定，求22d d x y ； 2. 求幂级数∑∞=--11212n n n x 的和函数及定义域. 三、计算题（每小题8分, 共16分） 1. 计算⎰-107d x a x x ，其中a 为常数；2. 计算第二类曲线积分[]()⎰-++-=L x x y ax y e x y x b y eI d cos d )(sin ，其中b a ,为正常数，L 为曲线22x ax y -=上从)0,2(a 到)0,0(的一段.四、（14分）证明：3)(x x f =在),[∞+a （0>a ）上一致连续.五、（12分）设函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，且在),(b a 内可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得)(')()(')()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f -=.六、（12分）证明：函数项级数∑∞=+12821n x n x n 在),(∞+-∞上一致收敛. 七、（14分）证明：曲面a z y x =++（0>a ）上任意一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a . 八、（15分）计算三重积分⎰⎰⎰Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x z y x I d d d 5222，其中Ω为球体}2|),,{(222z z y x z y x ≤++.。
电子科技大学数值分析研究生期末考试习题一
电子科技大学数值分析研究生期末考试习题一习题请尽可能提供程序1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差05.0<。
2. 为求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：1）2/11x x +=，迭代公式21/11k k x x +=+；2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+；3）112-=x x ，迭代公式1/11-=+k k x x ；4）132-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 。
试分析每种迭代公式的收敛性。
3. 给定函数)(x f ，设对一切x ，)(x f '存在且M x f m ≤'≤<)(0，证明对于范围M /20<<λ内的任意定数λ，迭代过程)(1k k k x f x x λ-=+均收敛于)(x f 的根*x 。
4.设a 为正整数，试建立一个求a1的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑公式的收敛性。
请提供程序。
5.用Gauss 消去法求解方程组：-=????? ??????? ??----503121312111321x x x （请提供程序）用列主元Gauss 消去法求解下列方程组：（1）=????? ??????? ??13814142210321321x x x （请提供程序）6.用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中--------=2100012100012100012100012A ，=00001b 。
7.设n n R P ?∈且非奇异，又设x 为n R 上一向量范数，定义Px xp =。
试证明px 是n R 上向量的一种范数。
8.用平方根法（Cholesky 分解）求解方程组：=????? ??????? ??7351203022323321x x x9.用改进的平方根法（T LDL 分解）求解方程组：=????? ??????? ??3016101795953533321x x x 。
电子科技大学 数值分析研究生期末考试
1 0 2 0
1
A
0 1
1 2
0 4
1
3
,
b
0 4
0
1
0
3
2
计算矩阵 A 的 LU 分解，并求出方程的解.
解：矩阵 A 的 LU 分解为
1
1 0 2 0
A
LU
0 1
1 2
1
1
0
1
2 1
0
1
0
1
2
方程组的精确解为 x （1，-1,1,1）T .
4. 给定求积公式 1 f (x)dx Af (0) Bf (0.5) Cf (0) ，试确定 A, B, C ，使其代数精度尽可能的高，并 0
指明此时求积公式的代数精度.
解：分别将 f (x) 1, x, x2 ，代入求积公式，可得
1
A B
1
2
B 1B 4
C
1 0
1 dx 1,
解：由于高斯求积公式为
1
f (x)dx
1
n
Ak
k 0
f (xk ) ,其中 xk 是 Pn1 (x) 的零点.
首先将积分区间转化
为[1,1] .令 x t 2 则 x [1,3] 时 t [1,1] .而
I 3 e x sin xdx 1 et2 sin(t 2)dt 令 g(t) et2 sin(t 2)
yn1
yn
h[f 2
(xn ,
yn )
f
(xn1, yn1)]
是二阶的，并求出局部截断误差的主项.
证：局部截断误差为
Tn1
y(xn1)
y(xn )
电子科大数值分析期末试卷及评分细则2
一、填空题：（30分，每空3分）1. 迭代公式11,01n n n p p λλ-=<<，设01p =，若0p 有误差，按照迭代公式生成的数列误差随着n的增大而_____增大2. 线性方程组Ax b =，其中410141014A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，565b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，如果采用Jacobi 迭代法解该线性方程组，其迭代矩阵为00.2500.2500.2500.250-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3.一个问题是否病态与 问题本身 有关4.当1,3,4x =时，()3,6,2f x =，则()f x 的二次拉格朗日插值多项式2()L x =21153246x x -+- 5. 矩阵123635301⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的1l 范数等于 10 6. 三次样条插值具有 2 阶光滑性7. 如果插值求积公式()()1n b k k a k f x dx A f x =≈∑⎰为高斯公式，那么其求积公式具有 2n+1 次代数精度。
8. 线性方程组Ax b =中，1203A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则()A ρ= 3 9. 对于插值型积分公式，其积分节点越多，积分精度 不确定 。
(越高，越低，不确定)10.对于微分方程初值问题()2,01y xy y '=-=，取步长0.1h =，则其显式Euler 方法的计算公式为()10.201n n n n y y x y y +=-⎧⎨=⎩二、判断题：错误用“×”、正确用“√”示意（10分，每小题2分）1. 解线性方程组Ax b =的迭代法收敛的充分必要条件为()1A ρ< （ × ）2. 如果线性方程组Ax b =中矩阵A 为严格对角占优矩阵，那么对于任意迭代格式都是收敛的。
（ × ）3. 只要插值节点是互异的，则一定存在唯一的插值多项式满足插值条件。
（ √ ）4. 曲线拟合比三次样条插值好的一个原因是曲线拟合的计算量小。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
电子科技大学数值分析研究生期末考试习题答案
1 0 0
4 4
1
4
1
1
0
0
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0 1 0
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2
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1 0 0 0 1
3
1 0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
0 1 2 1 0
0 0 1 2 0
2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1
0
1
1 4 3 40
0 0 0 1 0 10
2 0 0
1 2 0
x(k
)
5 1 20 1
40
1 4 3
12 0 20 1 3
40 10
0
0
0
2 1
12
角阵.
3 3 5 1
3
1 1 5
3
3 5 9 1 1 2 1 2
5
9 17
5 3
2 1
数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案
7,,3]= ,,3]=8个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是。
标准答案一． 填空1. 舍入误差2. 729，1，03. 54.21cos 2sin k kk k k kx x x x x x +-=-+ 5. 6，3二． 计算1. 构造重节点的差商表：所以，要求的Hermite 插值为：222()2(1)23H x x x x =+-=-+2(1.5)(1.5) 2.25f H ≈=2.2()()(1)(2)3!f R x x x ξ'''=-- 证明：由题意可知2()()()R x f x H x =-由插值条件知：(1)0,(1)0,(2)0,R R R '===所以，可设：2()()(1)(2)R x k x x x =-- （＃） 构造函数：22()()()()(1)(2)t f t H t k x t t ϕ=----易知：,1,2t x =时，()0t ϕ=，且(1)0ϕ'=()0t ϕ'''⇒=至少有一个根ξ，即()0ϕξ'''⇒= 对（＃）式求三阶导，并代入得：()()3!f k x ξ'''= 所以，2()()(1)(2)3!f R x x x ξ'''=-- 2. 解：设2()ln 4,f x x x =+-则1()2,f x x x'=+ 牛顿迭代公式为：1()()k k k k f x x x f x +=-'2ln 412k k k k kx x x x x +-=-+325ln 21k k k k k x x x x x +-=+将0 1.5x =代入上式，得1 1.8667x =，2 1.8412x =，3 1.8411x =3230.000110x x --=<所以，方程的近似根为：3 1.8411x =3.解：设()1f x =时，左10()1f x dx ==⎰，右A B C =++，左＝右得：1A B C ++=()f x x =时，左101()2f x dx ==⎰，右1Bx C =+，左＝右得：112Bx C += 2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右21Bx C =+，左＝右得：2113Bx C += 3()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右31Bx C =+，左＝右得：3114Bx C += 联立上述四个方程，解得：11211,,,6362A B C x ==== 4()f x x=时，左101()5f x dx ==⎰，右41425Bx C =+=，左≠右 所以，该求积公式的代数精度是3 4.解：Euler 公式是：100(,)()n n n n y y hf x y y x y +=+⎧⎨=⎩ 具体到本题中，求解的Euler 公式是：10.1()0.90.1(0)0n n n n n ny y x y y x y +=+-=+⎧⎨=⎩代入求解得：10y =20.01y = 30.029y =5.解，设A 可以三解分解，即111213212223313233111u u u A LU l u u ll u ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由矩阵的乘法及矩阵相等可得：121351L ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，1231424U ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭令,L ,Ux y Ax b y b Ux y ====则可转化为两个等价的三角方程组： 求解三角方程组：Ly b =，得：(14,10,72)y T =-- 求解三角方程组：Ux y =，得：(1,2,3)x T = 所以，原方程组的解为：(1,2,3)x T = 三． 证明证明：分别将1n y -，1n y -'，1n y +'在n x 处用Taylor 公式展开得：2331()2!3!nn n n ny y y y y h h h o h -''''''=-+-+ 221()2!n nn n y y y y h h o h -'''''''=-++ 221()2!nn n n y y y y h h o h +'''''''=+++将以上三式代入线性二步法中，得：23315()2!6nn n n ny y y y y h h h o h +''''''=++++ 又方程的真解的Taylor 展式为：2331()()()()()()2!3!n n n n n y x y x y x y x y x h h h o h +''''''=++++ 所以，局部截断误差为：331112()()3n n n n T y x y y h o h +++'''=-=-+ 所以，该方法是二阶的，局部截断误差首项为：323n y h '''-。
研究生数值分析期末考试试卷参考答案
研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。
电子科技大学-数值分析答案-钟尔杰
x1 =
2
计算，只需取D= 56 − 4 ≈55.96 四位有效数字即可保证方程的两个根均具有四位有效数 字。此时有，x1=0.01786，x2=55.98。 7 设s =
1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有±0.1 秒的误差，证明当 t 增加时 s 的绝 2
对误差增加，而相对误差减小。 证明 由于e(s) = g t e(t)，er(s) = 2 e(t) / t。而 | e(t)|≤0.1，所以，对这一问题，当t 增加 时s的绝对误差增加，而相对误差减小。
所以，计算y100 的误差界为
ε (Y100 ) ≤ δ = 0.5 × 0.001 = 5 × 10 −4
6 求方程 x – 56x + 1 = 0 的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D= b − 4ac 至少
2
2
1
要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故 D= 56 − 4 ≈55.96427，取七位有效数字。 由求根公式
2
x1 =
− b + b 2 − 4ac − 56 + 55.96427 − 0.03573 = = 2a 2 2
具有四位有效数字，而
x2 =
− b − b 2 − 4ac − 56 − 55.96427 − 111.96427 = = 2a 2 2 1 2 = x 2 56 + 56 2 − 4
则具有八位有效数字。 如果利用韦达定理，首先计算出x2，利用
2
ln( x − x 2 − 1) = − ln( x + x 2 − 1)
计算，求对数时误差有多大？ 解 令 y = x − x − 1 ，则当 x=30 时，y=30 – 29.9833=0.0167 有三位有效数字，其相对 误差为 10-3。由第一题结论，求对数时误差为 10-3。
2016年电子科技大学601数学分析真题
y z a （ a 0 ）上任意一点的切平面在各坐标轴上
八 、（ 15 分 ） 计 算 三 重 积 分 I
x2 y2 z 2 dxdydz ， 其 中 为 球 体
5
{( x, y, z ) | x y z 2 z} .
2 2 2
f ( x, y)dxdy 先对 x
.
x 2 n 1 的和函数及定义域. n 1 2n 1 三、计算题（每小题 8 分, 共 16 分）
2. 求幂级数
1. 计算
x
0
1
7
x a dx ，其中 a 为常数；
2. 计算第二类曲线积分 I
2
e
L
x
sin y b( x y ) dx e x cos y ax dy ， 其中 a, b 为正常数，
电子科技大学 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目: 601 数学分析
注： 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、 填空题(每小题 5 分, 共 25 分) 1. 极限 lim 2 x
x1
2
tan
x
2
， 切点坐标为
. . . .
2. 若直线 y x 与曲线 y log a x 相切， 则a 4. 设函数 z f ( x, y) 由方程 xe x y z x y 2 z 所确定， 则
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(a, b) ，使得
f (a)
f (b)
g (a) g (b)
(b a)
f (a)
f ' ( )
2016数值分析研究生试卷
h
h
f ( x )dx
六.(10 分) 设有线性方程组 Ax b ，其中
1 3 5 2 A 3 10 15 , b 8 5 5 15 30
（1）求 A LU 分解; (2) 求方程组的解。
七.(10 分) 证明 线性二步法 yn1 (b 1) yn byn1 当 b 1 时方法为三阶。
（1）写出 Jacbo 迭代公式和 Gauss-Seidel 迭代公式，
（2）对于初值 x
(0)
0 0 ,应用 Jacbo 迭代公式和 Gauss-Seidel 迭代公式分别计算 x (1) （保留小数点后五位数字）， 0
（3）说明两种方法的收敛性。
试卷类型：（ 4 页
第 4页
h 4 h f ( h) f (0) f ( h) 具有__________阶代数精度。 3 3 3
作一次消元后得到的方程组是________________________________。
x1 2 x 2 x 3 0 3、用列主元消去法解线性方程组 2 x 1 2 x 2 3 x 3 3 x 3 x 2 2 1
四.(12 分) (1) 用 Romberg 方法计算
3
1
1 dx ,将计算结果填入下表(*号处不填)。 x
k
0 1 2 3
电子科技大学研究生数值分析期末试卷
电子科技大学研究生数值分析期末试卷一、（15分）（1）牛顿迭代法的主要思想是什么？如何将其推广到二维问题的求解？ （2）求证：迭代公式x k+1=x k (x k 2+3a 2)3x k2+a 2，a>0，是计算a 的三阶方法。
二、（15分）已知实验数据如下：（1） 求二次拟合函数y (x )=ax 2+bx +c 。
（2） 请简单叙述插值、拟合、函数逼近三者之间的区别与联系。
三、（15分）（1）拉格朗日插值与牛顿插值有何异同？ （2）已知函数f(0)=1，f(1)=3，f(2)=9，f(3)=25，求3次插值多项式P 3(x)，并计算P 3(0.5)。
四、（10分）用列主元高斯消元法求解下面的线性方程组：{x 1− x 2 + x 3=−45x 1−4x 2+3x 3=−122x 1+ x 2 + x 3=11五、（15分）给定求积公式∫f (x )dx 10=Af (0)+Bf (0.5)+Cf ′(0)，试确定A 、B 、C ，使其代数精度尽可能的高，并指明此时求积公式的代数精度。
六、（15分）给定方程组{x 1+ 2x 2−2x 3 =5x 1+ x 2+ x 3 =12x 1+ 2x 2 + x 3=3（1） 用LU 分解法求此方程组；（2） 写出解此方程组的雅克比迭代公式，说明收敛性；并取初始向量x 0=(0,0,0)T ，求其满足‖x k+1−x k ‖<10−1的近似解。
七、（15分）设微分方程{y′′′=6y 2y′y (0)=1,y ′(0)=−1,y ′′(0)=2（1） 把该微分方程写为一阶常微分方程的初值问题； （2） 写出用二阶R-K 法：K 1=f(x n ,y n )，K 2=f(x n +ℎ,y n +ℎK 1)，y n+1=y n +ℎ2(K 1+K 2)求解的迭代公式。
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Ex26.试推导数值微分公式
1 f ( x 0 ) [ f ( x 0 2h) 8 f ( x 0 h) 8 f ( x 0 h) f ( x 0 2h)] 12h
的截断误差。 Ex 27 将积分上限函数
f ( x ) e xp( x ) e xp( t 2 )dt
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Ex17．已知函数f(x) 在三个相异结点 x0，x1，x2，处 的函数值 y0，y1，y2，且函数在点x1处的导数值为m1， 推导三次插值多项式P(x)及其插值余项R(x)的表达式.
Ex 18.已知实验数据如下： x 1 2 3
y 10 30 50
4
80
求二次多项式拟合函数P(x) = a + b x2 Ex 19 利用数据表
《数值分析》复习题
Ex1.证明方程 1 – x – sin x = 0 在区间[0，1]上有一 根。使用二分法求误差不大于0.5×10-4的根需二分 多少次？ Ex2. 对于二元方程G(x，y)=0，已知（x0，y0）满 足方程。如果在点x0附近有函数y =y(x)，则根据隐 函数存在定理，对于接近于x0的自变量x，试构造 牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。 Ex3. 各主要迭代法的收敛性如何？极小化方法的 等价性是怎么回事？
2 0
x
转化为常微分方程初值问题。并确定一种可求解的二 阶方法
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第一章 思考题
1.在科学计算中，一般误差的来源有几种？列出部分 数值分析课中主要讨论误差。 2.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述 3.什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例 子说明 第二章 思考题 1.二分法收敛定理对于迭代数列的误差是如何估计的？ 2.牛顿迭代法和割线法各有什么特点？ 3.描述将牛顿迭代法推广到二元非线性方程组求解问 题的算法，以手机定位问题为例子，写出数学描述和 求解方法。
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Ex9.对任意x，y∈Rn，利用向量范数的三角形不 等式证明：
|| x || || y || || x y ||
Ex10.常用的插值法有哪些，特点是什么?几种插 值法的关系怎么样？
Ex11.拟合的基本思想、插值、拟合、函数逼近 三者的区别的联系？
5/15
Ex12.试构造一个不高于4次的Hermite插值多项式 H 4 ( x ), 使其满足条件 H 4 (0) 0,
' H4 (0) 0,
H 4 (1) 1,
' H4 (1) 1,
H 4 (2) 1,
EX13. 已知f(x)=ex 的数据点如下：
xi
0
1
1
2.7183
2
7.3891
3
20.0855
exi
（1）用x1, x2, x3构造二次Lagrange插值多项式L2(x)， 并计算e1.5的近似值L2(1.5) 。 （2）用事后误差估计方法估计L2(1.5)的误差。
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第五章 思考题
1. 代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的 2. 拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？
3. Runge反例主要说明一个什么样的问题？
第六章 思考题 1. 多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数 有何特点？
2. 曲线拟合的最小二乘法有何特点？
3. 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？
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Ex3.确定求解方程 f(x) = 0 的割线法计算公式
xn1 ( x n x n 1 ) xn f ( xn ) f ( x n ) f ( x n 1 )
(n = 0, 1, 2 , · · · · · )
的收敛阶
Ex4.证明矩阵A的谱半径与A的范数有如下关系 ρ(A) ≤ || A || 其中，|| A ||为A的任何一种算子范数。
1 2 B 3 4
2 3 4 3 4 5 4 4 5 5 5 7
Ex 8. 求上三角(下三角)矩阵的条件数
1 2 1 2 1 1 2 3 3 3
1 2 1 2 2 1 1 1 0 1
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第三章 思考题
1. 高斯消元法消元过程的目标是什么？消元过程需 用多少次乘除法？有何数学理论支持 2. 解三对角方程组的消元过程有何特点？ 3. 矩阵的范数和向量的范数有何联系，条件数是如 何定义的
第四章 思考题
1. 解线性方程组的迭代法有何特点？它与解方程组 的直接法有何不同？ 2. 解线性方程组的迭代法收敛定理对迭代产生的向 量序列的误差是如何估计的？ 3. 迭代法求解线性方程组的本质是什么？
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第七章 思考题
1. 插值型求积公式有何特点？ 2. 复合梯形公式有何特点？
3. 高斯型求积公式是如何构造的？
第八章 思考题 1. 求解常微分方程的数值方法有几种主要方法， 列出主要几种，它们各有何特点？ 2. 求常微分方程初值问题的数值求解公式的局部 截断误差指什么？ 3. 如何用龙格-库塔方法求解高阶常微分方程(组) 初值问题?
f ( ) f ( x )dx (b a ) f (a ) (b a ) 2 2
n 1 j 0
bx
b
a
Ex22. 求复合中矩形公式
的截断误差
b
a
f ( x )dx h f (a ( j 0.5)h)
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Ex23.取h=(b – a)/3，令x0= a，xj= a + jh （j =0，1， 2，3）。利用两点插值公式求下面开型数值求积 公式的系数A1、A2
t –2 yk-2 –1 yk-1 0 yk 1
yk+1
2
yk+2
y
求线性拟合函数P(t) = a0 + a1t 的常数项系数a0。
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Ex20. 已知数据表xi x0 , x1 , , xm , yi y0 , y1 , , ym , 用公式s(x)=ae 拟合所给数据。
Ex21.推导左矩形求积公式
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Ex14. 求经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三个样 点的插值多项式
Ex 15. 已知函数y = f(x)的数据如下表
x –1 -1 0 0 0 1 1
y y’
确定三次插值多项式P3(x)及其插值误差R(x) Ex16.求证:两点Hermite插值的误差
f ( 4 ) ( ) R( x ) f ( x ) H 3 ( x ) [( x x0 )( x x1 )]2 4!
Ex5.若方程f ( x ) 0有m重根a( m Z ),证明牛顿迭代法 是线性收敛的,而改用修改的格式 f ( xk ) xk 1 xk m ' ( k 0)是局部平方收敛的. f ( xk ) 2/15
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Ex 7. 对下列矩阵做LU分解
2 1 2 5 A 2 2 3 1 1 2 3 2 3 5 2 3
b
a
f ( x )dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x 2 )
Ex24.给定积分
3Leabharlann 1e x sin xdx
当要求误差小于10-3时用复合梯形公式计算时, 需要 计算多少次函数值？
Ex25. 验证，复合梯形公式与复合Simpson 公式之 间有如下关系 1
S m [4T2 m Tm ] 3