最新2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题

并估计这 40 名新生的高考数学分数
的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（ 3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查
4 名该校的大一理工科新生，记调查的 4 名
大一理工科新生中 “高考数学分数不低于 130 分 ”的人数为随机变量，求的数学期望 .
20．已知抛物线 （ 1）求 的方程；
∴ ?U M={x|x ≤０或 x ≥ 2，} 故选： C．
【点睛】
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解 答的关键．
3． D 【解析】
【分析】
设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为
.
观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案
16 ．已知函数
时，
的最大值为 ____________.
的图像关于直线
对称，当
三、解答题 17 ．如图，在
中， 是 边上的一点，
，
，
.
（ 1）求 的长；
（ 2）若
，求
的值 .
18 ．在
中， ， 分别为 ， 的中点，
起，使点 到达点 的位置，如图 2.
，如图 1.以 为折痕将
折
如图 1
（ 1）证明：平面
一、单选题
1．复数
在复平面内对应的点位于
A ． 第一象限
B． 第二象限
C． 第三象限
D ． 第四象限
2．已知全集 U=R ，
则
A．
B．
C．
或
D．
或
3．某地某所高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该
校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如下柱状图：
4．已知等差数列
的公差为 2，前 项和为 ，且
，则 的值为
A ． 11 B． 12 C． 13 D ． 14
5．已知
是定义在 上的奇函数，若
时，
，则
时，
A．
B．
C．
D．
6．已知椭圆 行，则椭圆 的离心率为
和直线
，若过 的左焦点和下顶点的直线与 平
A．
B．
C．
D．
7．如图，在平行四边形
中，对角线 与 交于点 ，且
（ 为参数），直线 与曲
线 分别交于 ， 两点 .
（ 1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（ 2）若点 的极坐标为
，
，求 的值 .
23．已知函数
.
（ 1）求不等式 （ 2）若函数
的解集； 的值域为 ，求实数 的取值范围 .
参考答案
1． D 【解析】
【分析】
直接由复数的乘法运算化简，求出 【详解】
，显然 2018
对于选项 C， 2015 年和 2018 年 .艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项
平面 ；
（ 2）若平面
平面
，求直线
与平面
如图 2 所成角的正弦值。
19．某高校为了对 2018 年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学， 从大一理工科新生中随
机抽取 40 名，对他们 2018 年高考的数学分数进行分析，研究发现这
40 名新生的数学分数 在
内，且其频率 满足
（其中
，
）.
（ 1）求 的值； （ 2）请画出这 20 名新生高考数学分数的频率分布直方图，
，则Leabharlann Baidu
A．
B．
C．
D．
8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体
A ． 有四个两两全等的面
B ． 有两对相互全等的面
C． 只有一对相互全等的面
D ． 所有面均不全等
9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元
222 年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，
介绍了 “勾股圆方图 ”，亦称 “赵爽弦图 ”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加
2015 年高考数据统计 则下列结论正确的是
2018 年高考数据统计
A ． 与 2015 年相比， 2018 年一本达线人数减少
B． 与 2015 年相比， 2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍
C． 与 2015 年相比， 2018 年艺体达线人数相同
D ． 与 2015 年相比， 2018 年不上线的人数有所增加
所成角为 ，则 的最大值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知实数 ， 满足约束条件
，则
的最小值为 ________.
14 ．已知数列
，若数列
的前 项和
，则 的值为 ________.
15．由数字 0， 1 组成的一串数字代码，其中恰好有 有 ____________个 .
7 个 1， 3 个 0，则这样的不同数字代码共
z 对应点的坐标，则答案可求．
复数
.对应的点为
，位于第四象限 .故选 D.
【点睛】 本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2． C 【解析】
【分析】
解二次不等式求出集合 M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．
【详解】 ∵全集 U=R ， M={x|x 2＜2x}={x|0 ＜ x ＜ 2} ，
.
【详解】
设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为
.
对于选项 A.2015 年一本达线人数为 本达线人数增加了，故选项 A 错误；
.2018 年一本达线人数为
，可见一
对于选项 B，2015 年二本达线人数为
，2018 年二本达线人数为
年二本达线人数不是增加了 0.5 倍，故选项 B 错误；
上中间的一个小正方形组成的） .类比 “赵爽弦图 ”，可类似地构造如图所示的图形，它是由
3 个全等
的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设
，若在大等边三角
形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是
A．
B．
C．
D．
10 ．已知函数
（ 为自然对数的底数），若关于 的方程
有两个
不相等的实根，则 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
11 ．已知双曲线
的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆
的
切线，交双曲线右支于点 ，若
，则双曲线的渐近线方程为
A．
B．
C．
D．
12 ．如图，在正方体
中，点 ， 分别为棱 ， 的中点，点 为上底面的
中心，过 ， ， 三点的平面把正方体分为两部分，其中含
的部分为 ，不含 的部分为 ，连
结 和 的任一点 ，设 与平面
的焦点为 ，
是 上一点，且
.
（ 2）设点 是上异于点 的一点，直线 点 ，证明：直线 过定点 .
与直线
交于点 ，过点 作 轴的垂线交 于
21．已知函数
（ 1）当
时，求证：
. ；
（ 2）讨论函数
的零点的个数。
22．在平面直角坐标系
中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐
标方程为
；直线 的参数方程为