八年级数学竞赛辅导讲义 培优辅导训练导学案 专题01 整式的乘除

专题01 整式的乘除
例题与求解
【例1】（1）若n 为不等式200
3006n
>的解，则n 的最小正整数的值为 ．
（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）
（2）已知21x x +=，那么432
222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题）
（3）把26
(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a ++
+++，则
121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）
（4）若5
4
3
2
37629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则
ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题）
解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．
【例2】已知252000x
=，802000y
=，则
11
x y
+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．
12 D ．
3
2
（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy
++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．
【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432
,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）
解题思路：设5
4
20
3
2
6
,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．
【例4】已知多项式2
2
23286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求321
1
m n +-的值．
解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．
【例5】是否存在常数,p q 使得4
2
x px q ++能被2
25x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说
明理由．
解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．
【例6】已知多项式4
3
2
237x x ax x b -+++能被2
2x x +-整除，求
a
b
的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．
能力训练
A 级
1．（1）24
23
4(0.25)1⨯--= ． （福州市中考试题） （2）若23n a
=，则621n a -= ． （广东省竞赛试题）
2．若2530x y +-=，则432x
y
．
3．满足200
300(1)
3x ->的x 的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）
4．,,,a b c d 都是正数，且2
3
4
5
2,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ．
（“英才杯”竞赛试题）
5．探索规律：1
33=，个位数是3；2
39=，个位数是9；3
327=，个位数是7；4
381=，个位数是1；
53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字
是 ． （长沙市中考试题） 6．已知31
41
61
81,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．a b c <<
D ．b c a >>
7．已知5544
33
22
2,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ）
A ．a b c d <<<
B ．a b d c <<<
C ．b a c d <<<
D ．a d b c <<<
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
8．若1
122
2,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）
A ．4x y =
B ．4y x =
C ．12x y =
D ．12y x =
（江苏省竞赛试题）
9．已知23,26,212,a
b
c
===则,,a b c 的关系是（ ）
A ．2b a c <+
B ．2b a c =+
C ．2b a c >+
D ．a b c +>
（河北省竞赛试题）
10．化简4322(2)
2(2)
n n n ++-得（ ）
A ．1
12
8
n +- B ．1
2
n +-
C ．
78
D ．
74
11．已知2
2
3
3
4
4
7,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，
试求17
1995()6()2
x y xy a b ++-+的值．
12．已知2
2
67314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．
13．已知3
23x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．
（香港中学竞赛试题）
B 级
1．已知23,45,87,a
b
c
===则28a c b
+-= ．
2．（1）计算：1998
20002000
2000
2000
73153735+⎛⎫⨯ ⎪
+⎝⎭
= ． （第16届“希望杯”邀请竞赛试题） （2）如果555555555555555
4444666666233322
n
++++++++⨯=+++，那么n = ． （青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）
3．（1）16
15与13
33的大小关系是16
15 13
33（填“＞”“＜”“＝”）．
（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是：200020013131++ 2001200231
31
++（填“＞”“＜”“＝”）．
4．如果2
10,x x +-=则32
23x x ++= ． （“希望杯”邀请赛试题）
5．已知55432
(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ．
（“五羊杯”竞赛试题）
6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且2
36,a
b c -==则abc 的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．
1
2
（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）
7．若3210x x x +++=，则27
261226271x
x x x x x x ---+++++++
++的值是（ ）
A ．1
B ．0
C ．—1
D ．2
8．如果3
2
8x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ）
A ．7
B ．8
C ．15
D ．21
（奥赛培训试题）
9．已知12319961997,,,
,a a a a a 均为正数，又121996231997()()M a a a a a a =++++++，
121997231996()()N a a a a a a =++
+++
+，则M 与N 的大小关系是（ ）
A ．M N =
B ．M N <
C ．M N >
D ．关系不确定
10．满足2
2
(1)1n n n +--=的整数n 有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55
ax by +的值．
12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，5222220
8
x
y
z
w
+++=，求2010(1)x y z w +++-的值． （美国犹他州竞赛试题）
13．已知,,a b c 为有理数，且多项式3
2
x ax bx c +++能够被2
34x x +-整除． （1）求4a c +的值； （2）求22a b c --的值；
（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．
（四川省竞赛试题）。