三角函数与导数的综合题

三角函数与导数的综合题

1. 已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．

（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．

2. 设函数sin ()2cos x f x x

=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求实数a 的取值范围． .

3. 已知函数，

其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；

（Ⅱ）令，讨论的单调性并求极值.

4. 已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．

证明：（1）()f x '在区间(1,

)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．

()22cos f x x x =+()()cos sin 22x g x e x x x =-+-2.71828e =()y f x =()()()()h x g x af x a R =-∈()h x

5. 设函数()e cos (),x f x a x a R -=∈+

6. 设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.

（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭

； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭

内的零点，其中n N ∈， 证明：20022sin cos n n n x x e x π

π

π-+-<-.

7. 已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+2()3()cos 4(1sin )ln(3)x g x x x x x π=--+-. 证明：（1）存在唯一0(0,

)2x π∈，使0()0f x =； （2）存在唯一1(

,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.

8. 已知函数()()()[]3

21,12cos .0,12

x

x f x x e g x ax x x x -=+=+++∈当时， （I ）求证：()11-;1x f x x

≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围.

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