矩阵代数基本知识
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
矩阵代数的基本概念与应用
矩阵代数的基本概念与应用矩阵代数是现代数学的一个重要分支，是数学、物理、工程等领域中不可或缺的工具。
在计算机图像、多维数据分析、神经网络及人工智能等领域，矩阵代数的应用越来越广泛。
一、矩阵的定义及运算矩阵是一个由数个数构成的矩形排列，即由$m$行$n$列的数排成一个$m\times n$的矩形，通常用大写字母表示，如$A$，$B$等。
矩阵的加法：设$A=(a_{ij})$,$B=(b_{ij})$是同型矩阵，则$A+B=(a_{ij}+b_{ij})$。
矩阵的数乘：设$k$是一个实数，则$kA=(ka_{ij})$。
矩阵的乘法：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$矩阵，$B=(b_{ij})$是$n\times p$矩阵，则$AB=C$是$m\times p$矩阵，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。
矩阵的转置：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$的矩阵，则$A^T=(a_{ji})$是$n\times m$的矩阵。
二、矩阵的行列式及特征值矩阵的行列式：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，则$A$的行列式$\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$，其中$S_n$表示$n$个元素的置换群。
矩阵的特征值和特征向量：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，若存在一个非零向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$和一个标量$\lambda$，使得$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$是对应于$\lambda$的特征向量。
三、矩阵的求逆矩阵的逆：设$A$是$n$阶方阵，若存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$B$是$A$的逆矩阵，$A$可逆。
线性代数知识点总结第二章
线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵概念 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a 称为m 行n列矩阵。
简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，简记为()()m n ij ij m n A A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作：A n 。
行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。
记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引发混淆时，也可表示为E )（讲义P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式通过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数能够不同。
第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B+，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
（讲义P33） 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪ ⎪---⎝⎭设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。
线性代数中的矩阵：概念与基本性质
线性代数中的矩阵：概念与基本性质矩阵是线性代数中最基本、也是最常用的概念之一。
它是由若干个按照规定大小和次序排列的数构成的矩形阵列，常用大写字母表示。
下面将介绍矩阵的概念与基本性质。
一、矩阵的定义设有m行n列的数a_ij排成一个m×n的矩形阵列，则称这个m×n的阵列为一个矩阵，记作A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵A中，a_ij称为矩阵A的第i行第j列的元素，第i行的元素排列在一起，构成了矩阵A的第i行，第j列的元素排列在一起，构成了矩阵A的第j列。
二、矩阵的基本性质1、矩阵的加法设矩阵A=(a_ij)与B=(b_ij)的大小及相对应的元素都相同，则A 与B的和C=A+B的元素c_ij=a_ij+b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵加法具有结合律、交换律和分配律。
2、矩阵的数乘设k是一个数，矩阵A=(a_ij)，则kA的元素为(k·a_ij)，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵数乘同样具有分配律和结合律。
3、矩阵的乘法设矩阵A=(a_ij)的大小为m×p，矩阵B=(b_ij)的大小为p×n，矩阵C=(c_ij)的大小为m×n，则称C=AB，如果c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj，1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵C中，第i行第j列的元素c_ij是矩阵A的第i行的元素和矩阵B的第j列的元素的乘积和。
矩阵乘法不具有交换律。
4、矩阵的转置设矩阵A=(a_ij)的大小为m×n，则称A的转置矩阵为A^T=(b_ij)，大小为n×m，其中b_ij=a_ji。
矩阵的转置具有分配律和结合律。
5、矩阵的逆设方阵A的大小为n×n，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵，那么称矩阵A是可逆的。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
如果矩阵A是可逆的，则其逆矩阵唯一。
大学线性代数2矩阵代数知识点总结
2矩阵代数1. 设A，B为可以相乘的矩阵，AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。
同样，AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A的对应行的元素为权。
例如，AB的第m列是以B的第m列为权的A的各列的线性组合；AB的第n行是以A的第n行为权的B的各行的线性组合。
2. 矩阵乘法恒等式：I m A = A = AI n3. 逆矩阵的概念仅对方阵有意义。
4. 若A可逆，则对每一R n中的b，方程Ax=b有唯一解x=A-1b5. 初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。
6. 对mxn矩阵A进行初等行变换所得的矩阵，等于对单位矩阵进行相同行变换所得初等矩阵与A相乘的结果。
设对单位矩阵I m进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。
因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。
设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。
因此，每个初等矩阵均可逆。
7. 当n阶方阵A行等价于I n时，A可逆。
此时，将A变为I n的一系列初等行变换同时将I n变为A-1。
8. 求A-1：将增广矩阵[A I] 进行行化简，若A可逆，则[A I] ~ [I A-1]将 [A I] 行变换为[I A-1]的过程可看作解n个方程组：Ax=e1, Ax=e2, ... Ax=e n这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩阵[A e1 e2 ... e n] = [A I]如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=e j，而不需要求出整个A-1。
[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]9. 可逆矩阵定理对于n阶方阵，以下命题等价：a) A可逆b) A与n阶单位矩阵等价c) A有n个主元位置d) 方程Ax=0仅有平凡解e) A各列线性无关f) 线性变换x|->Ax是一对一的g) 对R n中任意b，Ax=b至少有一个解（有且仅有唯一解？）h) A各列生成R ni) 线性变换x|->Ax将R n映上到R nj) 存在nxn阶矩阵B，使AB=BA=Ik) A T可逆l) A的列向量构成R n的一个基m) ColA=R nn) dim(Col(A))=no) rank(A)=np) Nul(A)=0q) dim(Nul(A))=0r) det(A)≠0 <=> A可逆s) A可逆当且仅当0不是A的特征值t) A可逆当且仅当A的行列式不等于零再次强调，以上命题仅对n阶方阵等价。
线性代数知识点汇总1
第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
大一线性代数矩阵知识点总结
大一线性代数矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，它是一种方便表示和处理线性变换的数学工具。
在大一线性代数课程中，我们将学习矩阵的相关知识，本文将对一些重要的矩阵知识点进行总结。
1. 矩阵的定义和表示方式- 矩阵是由m行n列元素排列成的矩形阵列，用大写字母表示，如A、B等。
- 矩阵可以用方括号表示，如A=[a_ij]，其中a_ij代表矩阵A 的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算- 矩阵的加法：对应元素相加。
- 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素乘以相同的数。
- 矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行乘法运算，结果的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
3. 矩阵的特殊类型- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
- 方阵：行数等于列数的矩阵。
- 单位矩阵：主对角线元素为1，其它元素为0的方阵，用I 表示。
4. 矩阵的转置- 矩阵的转置就是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵，用A^T表示。
5. 矩阵的行列式- 行列式是一个标量，表示一个方阵所围成的平行四边形的有向面积。
- 行列式常用符号为|A|或det(A)，其中A为方阵。
6. 逆矩阵- 对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
- A的逆矩阵记为A^{-1}。
7. 矩阵的特征值和特征向量- 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax=λx，其中λ为标量，则称λ为A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
8. 矩阵的特征分解- 对于一个可对角化的矩阵A，存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得A=PDP^{-1}，其中D为对角矩阵，P为特征向量矩阵。
9. 矩阵的秩- 矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，用rank(A)表示。
10. 线性方程组与矩阵- 线性方程组可以用矩阵的形式表示，例如AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
以上是大一线性代数矩阵知识点的简单总结。
矩阵在线性代数中起着重要的作用，它不仅可以用于表示线性变换，还可以用于解决线性方程组和求解特征值等问题。
线性代数知识点全面总结
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
反证法.
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。 3、n阶矩阵A可逆⇔ |A| ≠ 0 ⇔ R(A)=n ⇔ A为满秩矩阵。 4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
0 D= B
1 x1 x
2 1
A (1)mn A B 。 0
1 x2 x2
2
4、范德蒙得行列式 1 xn xn
2
( xi x j )。
n i j 1
x1n-1
x2 n-1 xn n-1
四、典型例题
1、3～4阶的行列式
2、简单的n阶行列式
3、用公式
5、若A可逆，则存在有限个初等方阵P1,P2,…,Pl,使 A ＝ P1P2…Pl 。 6、n 元齐次线性方程组Am×nx = 0 有非零解的充分必 要条件是系数矩阵的秩r(A) < n 。
7、n 元非齐次线性方程组Am×nx = b 有解的充分必要 条件是系数矩阵的秩r(A) 等于增广矩阵r(A，b) 的秩。
秩：矩阵非零子式的最高阶数.
大一线性代数矩阵知识点
大一线性代数矩阵知识点在大一的学习中，线性代数是一门基础而重要的数学课程。
其中，矩阵是线性代数的核心概念之一。
本文将介绍大一线性代数中的矩阵知识点，包括矩阵的基本概念、运算规则以及特殊类型的矩阵。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数按照一定顺序排列成的矩形阵列。
矩阵的行数和列数分别构成矩阵的维数。
一个m × n的矩阵有m行n列，通常用A、B、C等大写字母表示矩阵。
二、矩阵的运算规则1. 矩阵加法矩阵加法是指将两个行列相等的矩阵按照相同位置的元素进行相加。
若A与B是同维数的矩阵，则它们的和A + B的第i行第j列元素是A和B的对应元素之和。
2. 矩阵数乘矩阵数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个常数。
若A是一个m ×n的矩阵，k是一个常数，则kA是一个同维数的矩阵，它的第i行第j列元素等于k乘以A的第i行第j列元素。
3. 矩阵乘法矩阵乘法是指将一个m × n的矩阵A与一个n × p的矩阵B相乘得到一个m × p的矩阵C。
其中，C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
三、特殊类型的矩阵1. 零矩阵零矩阵是指所有元素都为0的矩阵。
零矩阵通常表示为O。
2. 单位矩阵单位矩阵是指主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的矩阵。
单位矩阵通常表示为I，它是一个方阵。
3. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身的矩阵。
即A的转置等于A，通常表示为A^T = A。
4. 逆矩阵对于一个方阵A，若存在一个方阵B，使得AB = BA = I，那么B称为A的逆矩阵，记为A^(-1)。
四、矩阵的应用矩阵在许多领域中有着广泛的应用，例如线性方程组的求解、向量空间的研究、图像处理等。
通过矩阵的运算，我们可以描述、分析和解决各种实际问题。
结语矩阵作为线性代数的核心概念之一，在大一的线性代数课程中扮演着重要的角色。
本文介绍了矩阵的基本概念、运算规则，以及几种特殊类型的矩阵。
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
矩阵代数知识点总结
矩阵代数知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数域中的元素排成的矩形阵列。
通常记作一个大写字母加括号，如A=(a_ij)，其中a_ij表示矩阵的第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的元素对于一个m×n的矩阵A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n，a_ij称为矩阵A的元素。
1.3 行向量和列向量行向量指的是只有一行的矩阵，列向量指的是只有一列的矩阵。
1.4 矩阵的维数矩阵A的维数通常表示为m×n，其中m表示矩阵行数，n表示矩阵列数。
1.5 零矩阵所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
1.6 方阵如果一个矩阵的行和列相等，则称该矩阵为方阵。
1.7 对角矩阵具有形如a_ii=0(i≠j)的矩阵称为对角矩阵。
1.8 单位矩阵对角矩阵的对角元素都为1的矩阵称为单位矩阵，通常用I表示。
1.9 转置矩阵若A=(a_ij)是一个m×n的矩阵，其转置矩阵记作A^T=(b_ij)，其中b_ij=a_ji，即A的第i行第j列的元素等于A^T的第j行第i列的元素。
1.10 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
1.11 矩阵的加法对于两个维数相同的矩阵A=(a_ij)和B=(b_ij)，它们的和记作C=A+B，其中c_ij=a_ij+b_ij。
1.12 矩阵的减法同样是维数相同的矩阵A和B，它们的差记作C=A-B，其中c_ij=a_ij-b_ij。
1.13 矩阵的数乘对于一个维数为m×n的矩阵A=(a_ij)，以及一个实数k，它们的数乘记作B=kA，即b_ij=ka_ij。
1.14 矩阵的乘法对于一个维数为m×n的矩阵A=(a_ij)和一个维数为n×p的矩阵B=(b_ij)，它们的乘积记作C=AB，其中c_ij=∑(a_ik * b_kj)，即C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵的基本运算与应用知识点总结
矩阵的基本运算与应用知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
它不仅在数学领域有重要作用，还在物理学、统计学、计算机科学等领域得到广泛应用。
本文将对矩阵的基本运算和应用进行总结。
一、矩阵的定义与表示矩阵是一个由m行和n列元素排列成的矩形数组。
一个m×n矩阵的大小通常表示为m×n。
矩阵中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
矩阵常用大写字母表示，如A、B。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
设A、B是同型矩阵，则它们的和A+B也是同型矩阵，其定义为：(A+B)ij = Aij + Bij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，也是对应元素相减。
两个矩阵相减要求行数和列数相等。
设A、B是同型矩阵，则它们的差A-B也是同型矩阵，其定义为：(A-B)ij = Aij - Bij。
3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个实数或复数称为数乘。
设A为一个矩阵，k为实数或复数，则数乘后的矩阵kA，其中矩阵kA 的每个元素均为k乘以A相应元素的积。
4. 矩阵的乘法矩阵的乘法不同于数乘，它是指矩阵之间的乘法运算。
设A为m×n 矩阵，B为n×p矩阵，那么它们的乘积AB为m×p矩阵，其定义为：(AB)ij = ΣAikBkj，其中k的范围是1到n。
三、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵在线性方程组的求解中发挥着重要作用。
通过矩阵的系数矩阵和常数矩阵，可以将线性方程组转化为矩阵乘法的形式，进而用矩阵运算求解方程组的解。
2. 特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。
特征值表示了矩阵的某个线性变换的影响程度，而特征向量表示了在该变换下不变的方向。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
转置后的矩阵在一些应用中具有特殊的性质，并且在计算中常常用到。
矩阵知识知识点总结手写
矩阵知识知识点总结手写一、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按矩形排列所得到的数表。
一般用大写字母A、B、C...表示矩阵，元素用小写字母aij，bij，cij...表示。
2. 矩阵的阶：矩阵A中有m行n列，就称A是一个m×n（读作“m行n列”）的矩阵，m、n分别称为矩阵的行数和列数，记作A[m×n]。
3. 矩阵的元素：A[m×n]＝[aij]，其中i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n，称aij为矩阵A的第i行第j 列元素。
4. 矩阵的相等：两个矩阵A，B的阶都相同时，如果相应元素都相等，则称矩阵A，B相等，记作A＝B。
5. 矩阵的转置：将矩阵A的行、列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。
6. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
7. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作O。
8. 单位矩阵：主对角线上元素全为1，其它元素均为0的矩阵称为单位矩阵，记作E或In。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：设A[m×n]＝[aij]，B[m×n]＝[bij]，则矩阵C=A＋B的第i行第j列元素为：cij=aij+bij，即C[m×n]＝[aij+bij]。
2. 矩阵的数乘：数k与矩阵A[m×n]相乘的结果记作kA，即kA[m×n]＝[kaij]。
3. 矩阵的乘法：设A[m×n]，B[n×p]，那么它们的乘积C=A×B[m×p]的第i行第j列元素为：C[i][j]=a[i][1]×b[1][j]+a[i][2]×b[2][j]+…+a[i][n]×b[n][j]。
4. 矩阵的转置：若A[m×n]，则A的转置矩阵是AT[n×m]，其中a[i][j]=a[j][i]。
5. 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为零，那么A存在逆矩阵A-1，使得A×A-1=A-1×A=I。
矩阵代数知识复习
Joe Shen Email: shenjinzhou7@ Phone: 15018711931
术语与概念
• 矩阵：对数字的矩形排列，一般记为
⎡a11, a12,....a1K ⎤ ⎢a21, a22,....a2 K ⎥ ⎥ A=⎢ ⎢. ⎥ .... ⎢ ⎥ ⎣an1, an 2,.....anK⎦
1, 若A为n × m矩阵， B为m × s矩阵，应有： i) ０≤ r( A ) ≤ min( m, n) ii)r( AB ) ≤ min( r ( A ), r (B)) iii) 若Pn × n与Qm × m 都为满秩矩阵，则 r ( AQ ) = r (PΑ ) = r ( Α )
证明：iii)令M = PA ⇒ r (M ) ≤ r ( A) 又A = P −1M ⇒ r ( A) ≤ r (M ), 所以r ( A) = r (M ) = r (PA ) 同理，r ( A) = r ( AQ)
证明：i)由定义可得。
矩阵的秩
• 一些性质：
1, 若 A为n × m矩阵， B 为m × s矩阵，应有： i) ０≤ r( A ) ≤ min( m, n ) ii)r( AB ) ≤ min( r ( A ), r (B )) iii) 若P n × n与 Qm × m都为满秩矩阵，则 r ( AQ ) = r ( PΑ ) = r ( Α )
定理１：若A可对角化，则λ 1, λ 2.....λn为A的特征根， P的每列为A的特征向量。 证明： A可对角化 ⇒ 存在可逆矩阵 P使得 P −1AP = Λ ⇒ AP = PΛ，i.e. A (p1, p2,....p n ) = (p1, p2,....p n ) Λ ⇒ Ap i = piλi（i = 1,2...n)
矩阵代数知识简介
矩阵代数知识简介矩阵：由mn个元素排列起来的长方形阵列称为矩阵。
记作a ij是第i行和第j列的元素，其中i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …,n。
A表示的是mn阶矩阵。
它包括m行n列，共有mn个元素。
方阵：若矩阵的行数等于其列数，即m = n, 则称此矩阵为方阵。
当A为方阵时，i = j的元素，即a11, a22, …, a nn，称作主对角线元素。
当m = n = 1时，A减化为一个标量。
行向量：仅有一行的矩阵称作行向量。
列向量：仅有一列的矩阵称作列向量。
单位矩阵：一个方阵，若其主对角线元素都为1，其余元素都为零，则称此矩阵为单位矩阵，记为I。
对角矩阵：若n阶方阵中的元素满足条件当i j时，a ij = 0，（i, j = 1, 2, …, n），则称为对角矩阵。
由此可知，单位矩阵是对角矩阵的一个特例。
零矩阵：元素全为零的矩阵称作零矩阵，记为0。
对称矩阵：若n阶方阵A中的元素满足条件a ij = a ji，(i j，i, j = 1, 2, …, n), 则称A为n阶对称矩阵。
矩阵相等：如果两个矩阵A = (a ij)mn和B = (b ij)mn同阶且所有对应元素相等，即a ij = b ij，(i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n), 则称矩阵A与B相等，记为A = B。
矩阵加法与减法：两个同阶矩阵A = (a ij)mn和B = (b ij)mn对应元素相加（减）得到的矩阵称作A与B的和（差）。
记为A + B（或A - B）。
矩阵加法的性质：若A、B、C、0都是mn阶矩阵，则(1) A + B = B + A （交换律）(2) A +（B + C）=（A + B）+ C （结合律）(3) A - A = 0 或A + 0 = A标量与矩阵相乘：标量k与矩阵A相乘是k与A的所有元素相乘，记为k A，即k A = k (a ij)mn = (ka ij)mn标量与矩阵相乘的性质（k, l是自然数）：(1) k A = A k(2) k (A + B) = k A + k B(3) k l A = k (l A)(4) (-1) A = - A矩阵的乘法：设矩阵A = (a ij)mr，B = (b ij)rn，则规定A和B的乘积是A B = C = (c ij)mn，其中即两个矩阵的乘法要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，积的元素是由左边矩阵的行元素乘以右边矩阵的相应列元素，并将所有积相加得到。
矩阵理论 线性代数相关知识
1,2, ,n
k11 k22 knn
则称 1
为向量
,在2,基 底,n1为,V2,
的 ,一个n下基的底坐；标(。k1,此k时2,我 们, kn
)T
称 V 为一个n 维线性空间，记为dimV n.
线性空间的子空间
定义 设 V 为数域 P 上的一个 n 维线性空间， W 为 V 的一个非空子集合，如果对于任意的
矩阵的特征值与特征向量
定义 设 ACnn ，如果存在 C 和非零向量 x Cn， 使 Ax x ，则 叫做 A 的特征值，x 叫做 A 的属于特 征值 的特征向量。
矩阵的特征值与特征向量的性质：
再（添1上）零n向阶量矩，阵可A以的组属成于R特n 的征一值个0子的空全间部，特称征之向为量矩
阵A
对于这个内积成为一个欧氏空间。
的集合 Cmn 为 上的线性空间。
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间.
线性空间的基底，维数
定义 设 V 为数域 P 上的一个线性空间。如果在 V
中存在 n 个线性无关的向量1,2 , ,n 使得 V
中的任意一个向量 线性表出:
都可以由
11,12 , ,1q1 ; 21,22 , ,2q2 ;
r1,r2 , ,rqr
仍然是线性无关的。 （4） 任意一个特征值的几何重数不大于它的代数 重数。 （5）一个特征向量不能属于不同的特征值。
矩阵的相似与相似对角化
相似矩阵的性质：
相似矩阵有相同的特征多项式，有相 同的特征值，有相同的行列式值，有相同 的秩，有相同的迹，有相同的谱。
容而易R验n成证为(一个,欧氏)空1 是间。Rn如上果的规一定个内积，从
线性代数矩阵行列式向量知识点总结
线性代数第一章：行列式1.排列：任意两数字先大后小为一个逆序；一组无序数组逆序个数为奇数就是奇排列；反之为偶排列。
且一个数组任意两个数字调换，则奇偶调换。
排列决定行列式某一项的正负，若行标按标准次序，则列标的逆序数是奇数此项为负。
n n np p p p p p r a a a D ....)1(21)2121...(-∑=，每一项是n 个元素的乘积，每个元素取自不同的行不同的列。
行列式展开共有n!项，一半正，一半负。
注意：λλλλnD ....21=为矩阵的特征值2.nnnnnna a a a a a a a a ...... (221122211211)= 11,212)1(11,22111211..)1(................n n n n n n n na a a a a a a a a ----=3.行列式的性质：（1）行列式与其转置行列式值相等；（所以行的性质也是列的性质）（2）交换两行对应元素，行列式值变号。
（3）任意两行对应元素相等，成比例行列式值为0。
（4）例：nx yx nc ya dm bx dc b a nm c yx a dm c bx a nd m c yb x a +++=+++++=++++（5）把某行的k 倍加到另一行对应元素，行列式值不变。
4.余子式ij M ：去掉第i 行第j 列剩下的元素构成行列式的值。
代数余子式ij j i ij M A +-=)1(5.定理，行列式某行的代数余子式×另一行的对应元素值为0。
6.范德蒙德行列式)....)...()()()...()((.........................1. (1112242311312113121)12232221321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n nn n n nn ------==---- 例：240)32)(12)(13)(12)(13)(11(842149112311111184212793111111111=--+-+-----=----=----7.,00,0()0)in n i n n D A X b x D DA X D R n D n ⨯⨯==≠=≠==<。
矩阵与行列式的基本知识
矩阵与行列式的基本知识矩阵与行列式是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理、计算机科学等各个领域。
本文将介绍矩阵与行列式的基本知识，包括定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义和性质矩阵是由m行n列元素排列成的一个矩形数表。
常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，例如A, B, C等。
一个矩阵可以用一个m×n的数表表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是实数、复数或者其他数域中的元素。
矩阵中的元素可以用小写字母表示，例如a11, a12等。
矩阵中的元素按照行和列的顺序排列，例如矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]矩阵的运算包括矩阵加法、矩阵乘法以及数乘等。
矩阵加法的定义是对应元素相加，即若A和B是同型矩阵，则它们的和A + B的定义是一个矩阵，其中的每个元素是A和B中对应元素的和。
矩阵乘法的定义是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的对应元素相乘并求和。
若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB的定义是一个m×p的矩阵，其中的每个元素由矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的对应元素相乘并求和。
矩阵具有一些重要的性质，例如矩阵的转置、逆矩阵和对称矩阵等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于方阵（行数等于列数的矩阵），若存在逆矩阵，则称该矩阵是可逆的。
二、行列式的定义和性质行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵，它的行列式可以用|A|表示。
行列式的定义是一个关于矩阵元素的表达式。
|a11 a12 ... a1n||a21 a22 ... a2n||... ... ... ...||an1 an2 ... ann|一个2阶方阵A的行列式可以表示为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21行列式可以用于判断矩阵的某些性质，例如矩阵的可逆性和线性方程组的解的情况。
高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。
本文将对矩阵的基本概念、运算法则以及常见的矩阵类型进行归纳总结。
一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义：矩阵是由m行n列的元素排列而成的矩形阵列，用大写字母表示，如A。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
2. 元素：矩阵中的数值称为元素，用小写字母表示，如a。
矩阵A的第i行第j列的元素表示为a_ij。
3. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
4. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的矩阵，用I表示。
5. 行向量和列向量：只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法：两个相同维数的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
2. 矩阵的减法：两个相同维数的矩阵相减，即对应位置的元素相减。
3. 矩阵的数乘：用一个数乘以矩阵的每个元素。
4. 矩阵的乘法：矩阵乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
若A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么A与B的乘积AB是m×p的矩阵，且AB的第i行第j列元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
5. 转置：将矩阵的行和列对调得到的矩阵称为原矩阵的转置。
若A为m×n的矩阵，其转置记作A^T，即A的第i行第j列元素等于A^T的第j行第i列元素。
三、常见的矩阵类型1. 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的方阵称为对角矩阵。
3. 上三角矩阵：主对角线以下的元素都为0的方阵称为上三角矩阵。
4. 下三角矩阵：主对角线以上的元素都为0的方阵称为下三角矩阵。
5. 对称矩阵：元素满足a_ij=a_ji的方阵称为对称矩阵。
6. 反对称矩阵：元素满足a_ij=-a_ji的方阵称为反对称矩阵。
7. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的方阵称为单位矩阵。
四、矩阵的性质1. 矩阵的零点乘法：任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵。
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附录I 矩阵代数基本知识矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。
一、 向量矩阵的定义 将n p ⨯个实数111212122212,,,,,,,,,,,,p p n n np a a a a a a a a a 排成如下形式的矩形数表，记为A111212122212p p n n np a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则称A 为n p ⨯阶矩阵，一般记为()ij n p a ⨯=A ，称ij a 为矩阵A 的元素。
当n p =时，称A 为n 阶方阵；若1p =，A 只有一列，称其为n 维列向量，记为11211n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若1n =，A 只有一行，称其为p 维行向量，记为()11121,,,p a a a当A 为n 阶方阵，称1122,,,nn a a a 为A 的对角线元素，其它元素称为非对角元素。
若方阵A 的非对角元素全为0，称A 为对角阵，记为11221122(,,,)nn nn a a diag a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A进一步，若11221nn a a a ====，称A 为n 阶单位阵，记为n I 或=A I 。
如果将n p ⨯阶矩阵A 的行与列彼此交换，得到的新矩阵是p n ⨯的矩阵，记为112111222212n n p pnp a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 称其为矩阵A 的转置矩阵。
若A 是方阵，且'=A A ，则称A 为对称阵； 若方阵()ij n n A a ⨯=，当对一切i j <元素0ij a =，则称11212212n n nn a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 为下三角阵；若'A 为下三角阵，则称A 为上三角阵。
二、 矩阵的运算1．对()ij n p a ⨯=A 与()ij n p b ⨯=B 的和定义为： ()ij ij n p a b ⨯+=+A B2．若a 为一常数，它与矩阵n p ⨯阶矩阵A 的积定义为： ()ij n p a aa ⨯=A3．若()ik p q a ⨯=A ，()kj q n b ⨯=B ，则A 与B 的积定义为： 1()qik kjp n k ab ⨯==∑AB根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律：1．加法满足结合律和交换律 ()()++=++A B C A B C+=+A B B A2．乘法满足结合律()()a a ββ=A A ， ()()()a a a ==AB A B A B ()()=A BC AB C3．乘法和加法满足分配律()a a a +=+A B A B ， ()a a ββ+=+A A A()+=+A B C AB AC ，()+=+A B C AC BC 4．对转置运算规律()'''+=+A B A B ， ()()a a ''=A A()'''=AB B A ， ()''=A A另外，若()ij n n a ⨯=A 满足''==A A AA I ，则称A 为正交阵。
三、 矩阵分块对于任意一个n p ⨯阶矩阵A ，可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩阵，即：111212122212p p n n np a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 写成11122122⎛⎫= ⎪⎝⎭AA A A A其中1111(ij n p a ⨯=A )，1212(ij n p a ⨯=A )， 2121(ij n p a ⨯=A )，2222(ij n p a ⨯=A )，且12n n n +=，12p p p +=。
分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。
不难证明：11122122''⎛⎫'= ⎪''⎝⎭A A A A A 。
四、 方阵行列式的性质一个n 阶方阵()ij n n a ⨯=A 中的元素组成的行列式，称为方阵A 的行列式记为A 或det A 。
它有以下我们熟知的性质： 1．若A 的某行（或列）为零，则0=A ； 2．'=A A ；3．将A 的某行（或列）乘以数c 所得的矩阵的行列式等于c A ； 4．若A 是一个n 阶方阵，c 为一常数，则nc c =A A 5．若A 的两行（或列）相同，则0=A ；6．若将A 的两行（两列）互换所得矩阵的行列式等于-A ；7．若将A 的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上，所得的矩阵的行列式不变，仍等于A ；8．若A 和B 均为n 阶方阵，则=AB A B ； 9．若A 为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则1niii a==∏A10．0'≥AA11．若A 和B 都是方阵，则==A CA 0A B 0B C B12．若A 和B 分别是n p ⨯和p n ⨯的矩阵，则n p +=+I AB I BA五、 逆矩阵设A 为n 阶方阵，若0≠A ，则称A 是非退化阵或称非奇异阵，若0=A ，则称A 是退化阵或称奇异阵。
若A 是n 阶非退化阵，则存在唯一的矩阵B ，使得n ==AB BA I ，B 称为A 的逆矩阵，记为1-=B A 。
逆矩阵的基本性质如下： 1．11--==AAA A I2．11()()--''=A A3．若A 和B 均为n 阶非退化阵，则 111()---=AB B A4． 设A 为n 阶非退化阵，b 和a 为n 维列向量，则方程：=Ab a 的解为1-=b A a 5．11--=AA6．若A 是正交阵，则1-'=A A7．若A 是对角阵，1122(,,,)nn diag a a a =A 且0ij a ≠，1,,i p =，则11111122(,,,)nn diag a a a ----=A。
8．若A 和B 非退化阵，则11111-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C A A CB 0B 0B11111-----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A 0A 0C B B CAB 9．设方阵A 的行列式A 分块为：11122122=A A A A A若11A ，22A 是方阵且是非退化，则1111222111122211122221--=-=-A A A A A A A A A A A六、 矩阵的秩设A 为n p ⨯阶矩阵，若存在它的一个r 阶子方阵的行列式不为零，而A 的一切(1)r +阶子方阵的行列式均为零，则称A 的秩为r ，记作()rk r =A 。
它有如下基本性质：1．()0rk =A ，当且仅当=A 0；2．若A 为n p ⨯阶矩阵，则0()min(,)rk n p ≤≤A ；3．()()rk rk '=A A ；4．()min((),())rk rk rk ≤AB A B ； 5．()()()rk rk rk +≤+A B A B ；6．若A 和C 为非退化阵，则()()rk rk =ABC B 。
七、 特征根和特征向量设A 为p 阶方阵，则方程0p λ-=A I 是λ的p 次多项式，由多项式理论知道必有p 个根（可以有重根），记为1λ，2λ…，p λ，称为A 的特征根或称特征值。
若存在一个p 维向量i u ，使得()0i p i λ-=A I u ，则称i u 为对应于i λ的A 的特征向量。
特征根有如下性质：1．若A 为实数阵，则A 的特征根全为实数，故可按大小次序排列成12p λλλ≥≥≥，若i j λλ≠，则相应的特征向量i u 与j u 必正交。
2．A 和'A 有相同的特征根。
3．若A 与B 分别是p q ⨯与q p ⨯阶阵，则AB 与BA 有相同的非零特征根。
实际上，因为p p p q q q λλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭I A I A I AB 00I B I B I p p p q q q λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭I 0I A I A B I B I 0I BA所以p p q q λλλλλ-=-I AB 0I AB I 0I BAq p p q λλλλ-=-I AB I BA那么，两个关于λ的方程0p λ-=I AB 和0q λ-=I BA 有着完全相同的非零特征根（若有重根，则它们的重数也相同），从而AB 和BA 有相同的非零特征根。
4．若A 为三角阵（上三角或下三角），则A 的特征根为其对角元素。
5．若1λ，2λ…，p λ是A 的特征根，A 可逆，则1-A 的特征根为11λ-，12λ-，…，1p λ-。
6．若A 为p 阶的对称阵，则存在正交矩阵T 及对角矩阵=Λ 1(,,)p diag λλ，使得'=A T ΛT实际上，将上式两边右乘T ，得=AT T Λ将T 按列向量分块，并记为12(,,,)p =T u u u ，于是有112120(,,,)(,,,)0p p p λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭A u u u u u u121122(,,,)(,,,)p p p λλλ=Au Au Au u u u那么i i i λ=Au u ， 1,2,,i p =这表明12,,p λλλ是A 的p 个特征根，而12,,,p u u u 为相应的特征向量。
这样矩阵A 可以作如下分解：111210(,,,)0p p p pi i ii λλλ='='⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭'=∑A TAT u u u u u u u称之为A 的谱分解。
八、 矩阵的迹若A 是p 阶方阵，它的对角元素之和称为A 的迹，记为1()piii tr a==∑A 。
方阵的迹具有下述基本性质：1．若A 是p 阶方阵，它的特征根为1λ，2λ…，p λ，则1()pii tr A λ==∑；2．()()tr tr =AB BA ； 3．()()tr tr '=A A4．()()()tr tr tr +=+A B A B 5．()()tr tr αα=A A九、 二次型与正定阵 称表达式11ppij i j i j Q a x x ===∑∑为二次型，其中ij ji a a =是实常数；1x ，2x ，…，p x 是p 个实变量。
若()ij p p a ⨯=A 为对称阵，1(,,)p x x '=X ，则11ppij i j i j Q a x x =='==∑∑X AX若方阵A 对一切0≠X ，都有0'>X AX ，则称A 与其相应的二次型是正定的，记为0>A ；若对一切0≠X ，都有0'≥X AX ，则称A 与二次型是非负定的，记为0≥A 。