《全等三角形》常见的辅助线作法----例题精讲

《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形,可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形，利用的思维模式是全等 变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

５、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、 差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来, 利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线(线段）造全等 （一）例题讲解例1、（“希望杯”试题)已知,如图ABC ∆中，5=AB ，3=AC ,求中线AD 的取值范围。

分析：本题的关键是如何把AB ,ＡＣ,ＡD 三条线段转化到同一个三角形当中。

解：延长ＡＤ到E ,使DA DE =，连接ＢE 又∵CD BD =，CDA BDE ∠=∠ ∴()SAS CDA BDE ∆≅∆，3==AC BE∵BE AB AE BE AB +- (三角形三边关系定理） 即822 AD ∴41 AD经验总结：见中线，延长加倍。

例2、如图，ABC ∆中,E 、Ｆ分别在A Ｂ、ＡC 上,DF DE ⊥，Ｄ是中点，试比较CF BE +与EF 的大小。

证明:延长FD 到点Ｇ,使DF DG =,连接BG 、EG ∵CD BD =,DG FD =,CDF BDG ∠=∠ ∴CDF BDG ∆≅∆E C ABDA∴CF BG = ∵DF DE ⊥ ∴EG EF =在BEG ∆中，EG BG BE + ∵CF BG =,EG EF = ∴EF CF BE +例3、如图,ABC ∆中,AC DC BD ==,E 是DC 的中点，求证:A Ｄ平分BAE ∠.证明方法一:利用相似论证。

证明:∵AC DC BD == ∴BC AC 21=∵Ｅ是DC 中点∴AC DC EC 2121==，BCA ACE ∠=∠∴BCA ∆∽ACE ∆ ∴CAE ABC ∠=∠ ∵DC AC =∴DAC ADC ∠=∠，BAD ABC ADC ∠+∠=∠ ∴CAE DAE BAD ABC ∠+∠=∠+∠ ∴DAE BAD ∠=∠ 即AD 平分BAE ∠证明方法二:利用全等论证。

证明:延长A Ｅ到M ,使AE EM =，连结ＤＭ 易证CEA DEM ∆≅∆ ∴MDE C ∠=∠，DM AC = 又∵AC DC BD == ∴DM BD =,CAD ADC ∠=∠又∵CAD C ADB ∠+∠=∠，ADC MDE ADM ∠+∠=∠ ∴ADB ADM ∠=∠ ∴ADB ADM ∆≅∆ ∴DAE BAD ∠=∠ 即A Ｄ平分BAE ∠(二)实际应用:1、（2009崇文二模)以ABC ∆的两边ＡB 、AC 为腰分别向外作等腰Ｒt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,︒=∠=∠90CAE BAD ，连接DE ，Ｍ、Ｎ分别是BC 、ＤＥ的中点。

探究:AM 与DE 的位置关系及数量关系。

(１）如图1 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与ＤE 的数量关系是 ;E CADME CABD图 1M NCABDNECA B DM 图 2（2）将图１中的等腰Ｒt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(︒︒︒900 θ)后，如图2所示,(1）问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由。

∴DE AM ⊥,DE AM 21=二、截长补短 （一)例题讲解例1、如图，ABC ∆中,AC AB 2=,ＡD 平分BAC ∠,且BD AD =,求证：AC CD ⊥证明：过D 作AB DM ⊥,垂足为M ∴︒=∠=∠90BMD AMD 又∵BD AD =,DM DM = ∴BDM ADM ∆≅∆ ∴BM AM = ∵AC AB 2= ∴AM AC = ∵ＡD 平分BAC ∠ ∴CAD BAD ∠=∠ 在ADC ∆和ADM ∆中AM AC =,CAD BAD ∠=∠,AD AD =∴ADC ADM ∆≅∆ ∴︒=∠=∠90ADM ACD 即： AC CD ⊥例2、如图,BD AC //,EA ，EB 分别平分CAB ∠,DBA ∠,CD 过点E ,求证：BD AC AB +=证明:在A Ｂ上截取AC AF =,连接EF 在CAE ∆和FAE ∆中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE CAE AF AC ∴FAE CAE ∆≅∆ ∴FEA CEA ∠=∠∴︒=∠+∠=∠+∠90FEB FEA BED CEA 即DEB FEB ∠=∠ 在DEB ∆和FEB ∆中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DBE FBE BEBE DEB FEB ∴FEB DEB ∆≅∆（ＡS Ａ） ∴BF BD =∴BD AC BF AF AB +=+=例3、如图,已知在ABC ∆内,︒=∠60BAC ,︒=∠40C ,P ,Q 分别在B Ｃ，C Ａ上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线。

求证:BP AB AQ BQ +=+证明：延长AB 到D ，使BP BD =,连接PD ．则5∠=∠D∵A Ｐ，B Ｑ分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线，︒=∠60BAC ，︒=∠40C ∴︒=∠=∠3021,︒=︒-︒-︒=∠804060180ABC ,C ∠=︒=∠=∠4043 ∴QC QB =又︒=∠+∠=∠+∠80435DMCABDFEDA BC2 3 AB1∴︒=∠40D 在APD ∆与APC ∆中AP AP =，21∠=∠，︒=∠=∠40C D∴APC APD ∆≅∆(AAS ） ∴AC AD =即QC AQ BD AB +=+ ∴BP AB AQ BQ +=+例4、如图，在四边形ABCD 中，BA BC ，CD AD =，BD 平分ABC ∠.求证:︒=∠+∠180C A解：过点D 作BC DE ⊥于E ,过点D 作AB DF ⊥交BA 的延长线于F ∵B Ｄ平分ABC ∠∴DF DE =，︒=∠=∠90DEB F 在CDE Rt ∆和ADF Rt ∆中 ⎩⎨⎧==DF DE CDAD ∴≅∆CDE Rt ADF Rt ∆(HL ) ∴C FAD ∠=∠∴︒=∠+∠=∠+∠180FAD BAD C BAD 例5、如图，在ABC ∆中,AC AB ，CAD BAD ∠=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：PC PB AC AB --∴PC PE =在PBE ∆中,PE PB BE - ，即PC PB AC AB --(二)实际应用如图,在四边形ＡBCD 中,BC AD //,点E 是AB 上一个动点，若︒=∠60B ，BC AB =,且︒=∠60DEC ，判断AE AD +与BC 的关系并证明你的结论。

分析：此题连接AC ，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。

解:有AE AD BC +=连接ＡC ,过E 作BC EF //并AC 于Ｆ点 则可证AEF ∆为等边三角形 即EF AE =，︒=∠=∠60AFE AEFEF DCAB三、平移变换 （一)例题讲解例1、AD 为ABC ∆的角平分线,直线AD MN ⊥于A .E 为MN 上一点,ABC ∆周长记为A P ，EBC ∆周长记为B P .求证：A B P P .证明：延长ＢA 到F ，使AC AF =，连接EF ∵AD 为ABC ∆的角平分线 ∴CAD BAD ∠=∠ ∵AD MN ⊥∴CAE CAD BAD FAE ∠=∠-︒=∠-︒=∠9090 ∵AC AF =,AE AE = ∴ACE AFE ∆≅∆ ∴EC EF = ∵BF EF BE +∴AC AB AF AB EC BE +=++∴BC+ＢE+CE>AB ＋ＡＣ＋BC BC AC AB BC EC BE ++++ ∴ABC ∆的周长小于EBC ∆的周长，即A B P P例2、如图，在ABC ∆的边上取两点D 、E ,且CE BD =，求证:AE AD AC AB ++ .解析:先连接AF 并延长至G ,使AF FG =,其中F 是BC 的中点，连接ＧB ,GC ,GD ，GE .可知四边形A ＢGC ,四边形ADGE 是平行四边形，延长AD 至Ｈ，交B Ｇ于H ．运用三角形的三边关系:“两边之和大于第三边”即可进行证明。

证明：连接AF 并延长至G ，使AF FG =,其中Ｆ是ＢＣ的中点，连接ＧB ,ＧC ,G Ｄ,GE ∵CE BD = ∴EF DF =∴四边形ＡBG Ｃ,四边形ＡＤGE 是平行四边形AFN MDEACB∴AC BG =,AE DG = 延长AD 至H ,交BG 于H∵DH AD BH AB ++ ，DG HG DH + ∴DG DH AD HG DH BH AB +++++ ∴DG AD BG AB ++ 即AE AD AC AB ++点评:本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键.本题借助辅助线DH 起枢纽作用。

四、借助角平分线造全等 （一）例题讲解例1、如图，已知在ABC ∆中,︒=∠60B ，ABC ∆的角平分线AD ，ＣＥ相交于点O ．求证：OD OE =证明:在ＡＣ上取点F ，使AE AF =,连接OF ∵AD 是A ∠的平分线 ∴FAO EAO ∠=∠ ∵AO AO = ∴AFO AEO ∆≅∆∴FO EO =,AOF AOE ∠=∠ ∵CE 是C ∠的平分线 ∴FCO DCO ∠=∠ ∵︒=∠60B∴︒=∠+∠120ACB BAC ∴=∠+∠=∠OCA CAO COD ()︒=∠+∠6021ACB BAC ∴︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠606060180180AOF COD COF ∴COD COF ∠=∠ ∵OC OC = ∴OCF OCD ∆≅∆FO DEABO P AMNEBCD FACEFBD 图①图②图③ ∴OF OD =∴CD AE CF AF AC +=+=，OD OE = 即：CD AE AC +=例2、如图，ABC ∆中,A Ｄ平分BAC ∠,BC DG ⊥且平分BC ,AB DE ⊥于E ,AC DF ⊥于F ． （1)说明CFBE =的理由；（2）如果a AB =，b AC =，求ＡE 、ＢE 的长。