《全等三角形》常见的辅助线作法----例题精讲

《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】

1、遇到等腰三角形,可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形，利用的思维模式是全等 变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形

全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 ５、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、 差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来, 利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线(线段）造全等 （一）例题讲解

例1、（“希望杯”试题)已知,如图ABC ∆中，5=AB ，3=AC ,求中线AD 的取值范围。

分析：本题的关键是如何把AB ,ＡＣ,ＡD 三条线段转化到同一个三角形当中。 解：延长ＡＤ到E ,使DA DE =，连接ＢE 又∵CD BD =，CDA BDE ∠=∠ ∴()SAS CDA BDE ∆≅∆，3==AC BE

∵BE AB AE BE AB +- (三角形三边关系定理） 即822 AD ∴41 AD

经验总结：见中线，延长加倍。

例2、如图，ABC ∆中,E 、Ｆ分别在A Ｂ、ＡC 上,DF DE ⊥，Ｄ是中点，试比较CF BE +与EF 的大小。

证明:延长FD 到点Ｇ,使DF DG =,连接BG 、EG ∵CD BD =,DG FD =,CDF BDG ∠=∠ ∴CDF BDG ∆≅∆

E C A

B

D

A

∴CF BG = ∵DF DE ⊥ ∴EG EF =

在BEG ∆中，EG BG BE + ∵CF BG =,EG EF = ∴EF CF BE +

例3、如图,ABC ∆中,AC DC BD ==,E 是DC 的中点，求证:A Ｄ平分BAE ∠.

证明方法一:利用相似论证。 证明:∵AC DC BD == ∴BC AC 2

1

=

∵Ｅ是DC 中点

∴AC DC EC 21

21==，BCA ACE ∠=∠

∴BCA ∆∽ACE ∆ ∴CAE ABC ∠=∠ ∵DC AC =

∴DAC ADC ∠=∠，BAD ABC ADC ∠+∠=∠ ∴CAE DAE BAD ABC ∠+∠=∠+∠ ∴DAE BAD ∠=∠ 即AD 平分BAE ∠

证明方法二:利用全等论证。

证明:延长A Ｅ到M ,使AE EM =，连结ＤＭ 易证CEA DEM ∆≅∆ ∴MDE C ∠=∠，DM AC = 又∵AC DC BD == ∴DM BD =,CAD ADC ∠=∠

又∵CAD C ADB ∠+∠=∠，ADC MDE ADM ∠+∠=∠ ∴ADB ADM ∠=∠ ∴ADB ADM ∆≅∆ ∴DAE BAD ∠=∠ 即A Ｄ平分BAE ∠

(二)实际应用:

1、（2009崇文二模)以ABC ∆的两边ＡB 、AC 为腰分别向外作等腰Ｒt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,︒=∠=∠90CAE BAD ，连接DE ，Ｍ、Ｎ分别是BC 、ＤＥ的中点。探究:AM 与DE 的位置关系及数量关系。

(１）如图1 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与ＤE 的数量关系是 ;

E C

A

D

M

E C

A

B

D

图 1

M N

C

A

B

D

N

E

C

A B D

M 图 2

（2）将图１中的等腰Ｒt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(︒︒︒900 θ)后，

如图2所示,(1）问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由。

∴DE AM ⊥,DE AM 2

1

=

二、截长补短 （一)例题讲解

例1、如图，ABC ∆中,AC AB 2=,ＡD 平分BAC ∠,且BD AD =,求证：AC CD ⊥

证明：过D 作AB DM ⊥,垂足为M ∴︒=∠=∠90BMD AMD 又∵BD AD =,DM DM = ∴BDM ADM ∆≅∆ ∴BM AM = ∵AC AB 2= ∴AM AC = ∵ＡD 平分BAC ∠ ∴CAD BAD ∠=∠ 在ADC ∆和ADM ∆中

AM AC =,CAD BAD ∠=∠,AD AD =

∴ADC ADM ∆≅∆ ∴︒=∠=∠90ADM ACD 即： AC CD ⊥

例2、如图,BD AC //,EA ，EB 分别平分CAB ∠,DBA ∠,CD 过点E ,求证：BD AC AB +=

证明:在A Ｂ上截取AC AF =,连接EF 在CAE ∆和FAE ∆中 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE CAE AF AC ∴FAE CAE ∆≅∆ ∴FEA CEA ∠=∠

∴︒=∠+∠=∠+∠90FEB FEA BED CEA 即DEB FEB ∠=∠ 在DEB ∆和FEB ∆中 ⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠DBE FBE BE

BE DEB FEB ∴FEB DEB ∆≅∆（ＡS Ａ） ∴BF BD =

∴BD AC BF AF AB +=+=

例3、如图,已知在ABC ∆内,︒=∠60BAC ,︒=∠40C ,P ,Q 分别在B Ｃ，C Ａ上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠的

角平分线。求证:BP AB AQ BQ +=+

证明：延长AB 到D ，使BP BD =,连接PD ．则5∠=∠D

∵A Ｐ，B Ｑ分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线，︒=∠60BAC ，︒=∠40C ∴︒=∠=∠3021,︒=︒-︒-︒=∠804060180ABC ,C ∠=︒=∠=∠4043 ∴QC QB =

又︒=∠+∠=∠+∠80435D

M

C

A

B

D

F

E

D

A B

C

2 3 A

B

1