圆周角定理的证明

第三章圆

圆周角定理

一、学情分析

学生的知识技能基础：学生在本章的第二节课中，通过探索，已经学习了圆心角定理及其推论，并对其进行了严密的证明，通过练习已具备了灵活应用解决问题的基本能力.

学生活动经验基础：在之前的学习过程中，学生已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学方法，获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验.

二、教学任务分析

本节主要内容是圆周角定理的证明，并在定理的证明中渗透数学思想。具体地说，本节课的教学目标为：

知识与技能

理解并掌握圆周角定理.

过程与方法

1．培养学生观察、分析想象、归纳和逻辑推理及理解问题的能力.

2．渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法

情感态度与价值观：培养学生的逻辑推理能力和归纳能力.

教学重点：圆周角定理的证明.

教学难点：圆周角定理证明过程中由“特殊到一般”、“完全归纳法”和“分类讨论”思想的渗透.

三、教学设计分析

本节课设计了三个教学环节：知识回顾——定理证明——方法小结

第一环节知识回顾

活动内容：

1.证明命题的步骤：分析---画图---写已知、求证---证明

第二环节 定理证明

（三）圆周角定理

一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半. 符号语言： （2）圆周角和圆心有几种不同的位置关系？

三种：圆心在圆周角一边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外.

（二）证明定理：

已知：如图，∠ACB 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角， 求证： 分析：1.首先考虑一种特殊情况：

当圆心(O )在圆周角(∠ACB )的一边(BC )上时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系.

∵∠AOB 是△ACO 的外角 ∴∠AOB =∠C +∠A ∵OA=OC ∴∠A =∠C

∴∠AOB =2∠C

2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB )的内部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?

老师提示:能否转化为1的情况（过点C 有一条直径）? 作直径CD .由1可得:

C

AB ⌒ AB ⌒

12

ACB AOB

∠=∠1

2

ACB AOB ∠=∠即

11,22

ACD AOD BCD BOD

∠=∠∠=

∠()

1

2

ACD BCD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠

●

O

C

A

C

B

1

2

ACB AOB ∠=

∠

3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?

老师提示:能否也转化为1的情况?

作直径CD.由1可得:

活动目的：本活动环节，首先通过对特殊图形的研究，得出一个特殊的关系，然后观察一般图形得到一般的规律. 将一般图形转换为特殊图形，并对三种情况逐一加以演绎推理，证明定理.

活动的注意事项：本环节有不少的数学思想方法，教师在教学中要注意逐一渗透.在（一）中注意渗透类比思想，在（二）中注意渗透“分类讨论”思想，在（三）中注意渗透“特殊到一般”思想。

第三环节 方法小结

活动内容：

思想方法：分类讨论，“特殊到一般”的转化

活动目的：通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用.

活动的注意事项：多让学生用自己的语言表述当中用到的方法，然后教师再进行深加工.

1

2

ACB AOB

∠=∠即11

,22ACD AOD

BCD BOD

∠=∠∠=∠()1

2

ACD BCD AOD BOD ∴∠-∠=

∠-∠12

ACB AOB ∠=∠即C

化

归

化归

D

D

第四环节：定理应用

巩固练习

如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD=100°， 求∠BOD 与∠BAD 的大小

四、教学设计反思

在证明定理时，学生往往会直接进行证明，这对于简单问题可行，对于复杂问题就不好做了，因此要让学生从特殊图形入手得到结论，再将一般转化为特殊再进行严密的几何证明.。最后运用完全归纳法得到定理结论。达到了分化难点，突出重点的效果。

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