第一课时 n次方根

第四章指数函数与对数函数

[数学文化]——了解数学文化的发展与应用

对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，

1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的

局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天

文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.Napier也是一位

天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦

恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍.”经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》(“Mirifici logarithmorum canonis descriptio”)中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(Nap-logX).

[读图探新]——发现现象背后的知识

1.细胞分裂的个数可以用指数函数模型来研究.

2.宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成

二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只

要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止呼

吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代.这就是考古学家常用的碳14测年法.

3. 溶液pH值的变化规律可以用对数函数模型来表示.

问题1：你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律的吗？

问题2：人们经常用光年来表示距离的遥远，用天文数字来表示数字的庞大

.古时

候，人们是如何来计算这些“天文数字”的呢？

问题3：你知道同底的指数函数与对数函数有什么关系吗？

链接：对数的发明让天文学家欣喜若狂，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数字，简化了数的运算.

在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长，放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律，在本章我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化进行比较，并学着选择合适的函数关系构造函数模型解决上面提出的问题.

4.1指数

4.1.1n次方根与分数指数幂

4.1.2无理数指数幂及其运算性质

第一课时n次方根

课标要求素养要求

1.理解n次方根、n次根式的概念.

2.能正确运用根式运算性质化简求值. 理解n次方根及n次根式的概念，正确运用根式运算性质，化简求值，发展数学抽象及数学运算素养.

新知探究

公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成

员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生.

希帕索斯

问题 若x 2＝3，这样的x 有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？ 提示 这样的x 有2个，它们都称为3的平方根，记作±3.

1.n 次方根，n 次根式 (1)a 的n 次方根的定义

一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)a 的n 次方根的表示 求解a 的n 次方根时要注意对n 的奇偶性讨论

n 的奇偶性 a 的n 次方根的表示符号

a 的取值范围

n 为奇数 n

a

R n 为偶数

±n

a

[0，＋∞)

(3)式子n

a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根.

(2)0的任何次方根都是0，记作n

0＝0. (3)(n

a )n ＝a (n ∈N *，且n >1). (4)n a n ＝a (n 为大于1的奇数).

(5)n

a n＝|a|＝

⎩

⎨

⎧a，a≥0，

－a，a<0

(n为大于1的偶数).

拓展深化

[微判断]

1.当a≥0时，n

a表示一个数.(√)

2.实数a的n次方根有且只有一个.(×)

提示当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.

3.当n为偶数，a≥0时，n

a≥0.(√)

4.n

a n＝(

n

a)n.(×)

提示当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立. [微训练]

1.15的平方根为________.

答案±15

2.－243的5次方根为________.

答案－3

3.化简（x＋3）2－3

（x－3）3得________.

解析原式＝|x＋3|－(x－3)，

当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.

答案6或－2x

[微思考]

1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n 为偶数呢？

提示当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为n

a，但当n为

偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a>0时，a才有n次方根，可

表示为±n

a .

2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题？

提示 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论.

题型一 由根式的意义求范围

【例1】 求使等式（a －3）（a 2－9）＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围. 解

（a －3）（a 2－9）＝

（a －3）2（a ＋3）＝|a －3|

a ＋3，

要使|a －3|a ＋3＝(3－a )

a ＋3成立，

需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，

解得a ∈[－3，3]. 规律方法 对于n

a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0才有意义；(2)只要n a 有意义，n

a 必不为负.

【训练1】 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围. 解 ∵

a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，

∴a －1≥0，∴a ≥1.

题型二 利用根式的性质化简或求值 【例2】 化简： (1)4

（3－π）4； (2)（a －b ）2(a >b )；

(3)(a －1)2＋（1－a ）2＋3

（1－a ）3.

解 (1)

4

（3－π）4＝|3－π|＝π－3.