抽象函数奇偶性对称性周期性总结 知识点

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抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力

1、周期函数的定义:

对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使得恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期。

分段函数的周期:设是周期函数,在任意一个周期内的图像为

C:

。把个单位即按向量

在其他周期的图像:

2、奇偶函数:

①若

②若。

分段函数的奇偶性

3、函数的对称性:

(1)中心对称即点对称:

①点

(2)轴对称:对称轴方程为:。

关于直线

②函数

关于直线

成轴对称。

关于直线

成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论

(一)函数图象本身的对称性(自身对称)

若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。

1、图象关于直线对称

推论1:的图象关于直线对称

推论2、的图象关于直线对称

推论3、对称

2、的图象关于点对称

推论1、的图象关于点对称

推论2、的图象关于点对称

推论3、的图象关于点对称

(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)

1、偶函数与图象关于Y轴对称

2、奇函数与图象关于原点对称函数

3、函数与图象关于X轴对称

4、互为反函数与函数对称

5.函数与图象关于直线对称

推论1:函数与图象关于直线对称

推论2:函数与图象关于直线对称

推论3:函数与图象关于直线对称

(三)抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性

性质1若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(2a-x)=f(x) (3)f(2a+x)=f(-x)

性质2 若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:

(1)f(a+x)=-f(a-x)(2)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x)易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。

2、复合函数的奇偶性

定义1、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=f[g(x)],则复数函数y=f[g(x)]为偶函数。

定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=-f[g(x)],则复合函数y=f[g(x)]为奇函数。

说明:

(1)复数函数f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]而不是f[-g(x)]=f[g(x)],复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是

f[-g(x)]=-f[g(x)]。

(2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)

(3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数y=f(x)关于直线x=a 轴对称(或关于点(a,0)中心对称)

3、复合函数的对称性

性质3复合函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2轴对称性质4、复合函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中心对称

推论1、复合函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴轴对称

推论2、复合函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点中心对称

4、函数的周期性

若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。

①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x)

③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x)

5、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|

性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|

性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|

6、函数对称性的应用

(1)若

,即

(2)例题

1、

;

2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称:。

3、若

的图像关于直线对称。设

.

(四)常用函数的对称性

三、函数周期性的几个重要结论

1、( ) 的周期为,()也是函数的周期

2、的周期为

3、的周期为

4、的周期为

5、的周期为

6、的周期为

7、的周期为

8、的周期为

9、的周期为

10、若

11、有两条对称轴和周期

满足

12、有两个对称中心和周期

推论:奇函数满足周期

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