1.4.2 充要条件(课件)

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第一章 集合与常用逻辑用语
课时作业(六)
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第一章 集合与常用逻辑用语
探究二 充要条件的证明
已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明 先证必要性：因为a＋b＝1， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－ a2－b2＝0. 所以必要性成立． 再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
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第一章 集合与常用逻辑用语
又因为 ab≠0，所以 a≠0 且 b≠0. 从而 a2－ab＋b2＝a－b22＋b42≠0. 所以 a＋b－1＝0，即 a＋b＝1.故充分性成立． 所以 a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
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[方法总结] 判断充要条件的解题思路以及注意事项
(1)思路： 充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样． (2)注意事项： ①在定义法中，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要 性； ②在推出法中，使用的是双向推出法，而不是单向推出法； ③在集合法中，判断的是两个集合互为子集，即判断两个集合相等．
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第一章 集合与常用逻辑用语
[跟踪训练2] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件 是ac＜0.
证明 必要性：由于方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个正根和一负根． 所以 Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝ac＜0(x1，x2 为方程的两根)，所以 ac＜0. 充分性：由 ac＜0，可推得 b2－4ac＞0，及 x1x2＝ac＜0(x1，x2 为方程的两根)． 所以方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相异实根，且两根异号． 即方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根． 综上可知：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根的充要条件是 ac＜0.
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第一章 集合与常用逻辑用语
随堂本课小结
1．充要条件的概念 既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系 (1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的必要不充分条件 (3)p是q的充分必要条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
[方法总结] 充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个 命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同 的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结
栏目索引
第一章 集合与常用逻辑用语
课前自主预习
知识点 充要条件 1 ． 如 果 “ 若 p ， 则 q” 和 它 的 逆 命 题 “ 若 q ， 则 p” 均 是 真 命 题 ， 即 既 有
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第一章 集合与常用逻辑用语
[跟踪训练1] 下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为______．(填序号) ①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ②p：|x|＞3，q：x2＞9. 解析 ①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． ②由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件． 答案 ①②
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第一章 集合与常用逻辑用语
3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆 命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎样的一个式子成立．“A的 充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性，B⇒A证明了充分性；“A是B的 充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性，B⇒A证明了必要性．
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第一章 集合与常用逻辑用语
[微体验]
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 |x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|.
2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______．
解析 因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．
答案 充要条件
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第一章 集合与常用逻辑用语
3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)． (1)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (2)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c. 解析 在(1)中，q⇒p，q p，所以(1)中 p 不是 q 的充要条件，在(2)中，p⇔q， 所以(2)中 p 是 q 的充要条件． 答案 (2)
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第一章 集合与常用逻辑用语
课堂互动探究
探究一 充要条件的判断
(1)“m＞14”是“一元二次方程 x2＋x＋m＝0 无实数解”的(
)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B 解析 方程 x2＋x＋m＝0 无实根⇔Δ＝1－4m＜0⇔m＞14.
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第一章 集合与常用逻辑用语
(2)a、b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 C．a2＋b2＝0
B．ab＞0 D．a2＋b2＞0
答案 D 解析 a2＋b2＞0，则a、b不同时为零；a、b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞
0.
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第一章 集合与常用逻辑用语
____p_⇒_q______，又有____q_⇒__p_____，就记作___p_⇔__q______，此时，p既是q的充分条 件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为____充__要____条件．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那 么p与q___互__为__充__要__条__件_____.