理论力学 空间力系

M O ( F ) = M x ( F ) i M y ( F ) j M z ( F )k = Fb sin i Fa sin j
( Fb cos sin Fa cos cos ) k
例题3
已知： F 、 a、b、c 求： 力F 对OA轴之矩
§6-1 空间汇交力系
1、空间力的投影与分解
直接投影法
z
Fx = F cos Fy = F cos Fz = F cos
x

O
F

y
二次投影法
z
Fx = F sin cos Fy = F sin sin Fz = F cos
M O (F ) r F i x Fx j k y Fy z
M x(F)= yFz zFy M y(F)= zFx xFz M z(F)= xFy yFx
Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
x
F3
F2
n FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
= Fxi i + Fyi j + Fzi k
i =1
2、空间汇交力系的合成与平衡条件
平衡
平衡条件：
n FR Fi 0 i =1
平衡方程：
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0
F
O B
y
x M AC ( F ) M D ( F ) nAC Fb Fb Fb 1 1 ( i j k ) ( i k) 2 2 2 2 2 2 2 Fb 4
§6-3 空间力偶
空间力偶的定义:
(1) 力偶矩的大小；
(2) 力偶的转向； (3) 力偶作用面的方位。
j b k 0
A
F
O B
D
y
x
0 F / 2 F / 2 Fb Fb Fb i+ j+ k 2 2 2 2 2
Fb Fb Fb M D (F ) i+ j+ k 2 2 2 2 2
z
C
1 n AC = 1 i + k 2 2
D A
例题 1
求：绳的拉力和墙体的约束力。
FE
z
解：取球体为研究对象
Fz = 0, FE cos P = 0 Fx = 0, FA FE sin cos45o = 0 Fy = 0, FB FE sin sin45o = 0
E

A C
例题2
已知：F、 a、b、、
求：MO(F)
解：(1) 直接计算
i MO(F)rF x Fx xa yb z0 Fx = F cos sin
Fy = F cos cos Fz = F sin
j k y z Fy Fz
M O ( F ) Fb sin i Fa sin j
2、空间汇交力系的合成与平衡条件
合成
Fn
O
z
FR
F1
y
空间汇交力系的合力等 于各分力的矢量和，合力的 作用线通过汇交点。
FR = ( Fx ) 2 + ( Fy ) 2 + ( Fz ) 2 Fx cos( FR , i ) = FR Fy cos( FR , j ) = FR Fz cos( FR , k ) = FR
z
解：（1）计算 MO(F)
A
M O (F ) = r F = 0 b 0 0 0 F Fbi
（2）利用力矩关系
i
j k
F
c a y
O

b
x
M OA ( F ) = M O ( F ) cos = Fab a 2 + b2 + c2
● 力对点的矩矢在通过 该点的某轴上的投影，等 于力对该轴的矩。
MO(F)x =M x(F) MO(F) y =M y(F) MO(F)z =M z(F)
MO(F)=2 OAB
M z(F)=MO(Fxy) =2Oab


§6-4 空间任意力系的简化结果分析
FR 0 ,MO 0 FR 0 ,MO 0 FR 0 ,MO 0 FR 0 ,MO 0
MO
z
1. 空间任意力系简化为一合力偶的情形
★ 须用一矢量表征
x
MO(F)=Fh=2OAB
r=xi+yj+zk F=Fi+Fy j+Fk x z
i x Fx j k y Fy z
z
MO(F)
B
F
M O (F ) = r F
O
r
h
A(x,y,z) y
Fz x ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
MO(F)
定位矢量
2.力对轴的矩
M z(F)=MO(Fxy) =Fxyh=2OAb
Mz(F)
z
Fz
O
F
B
★ 力对轴的矩等于力在垂直于该 轴的平面上的投影对轴与平面交 x 点的矩。
注：
h
A
b Fxy
y
☆ 力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。 ☆ 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
力对轴之矩的解析表达式
F=F+Fy+Fz x =Fxi+Fy j+Fzk
M z(F)=MO(Fxy)=MO(Fx)+MO(Fy) = xFy yFx
x

O
F
y
Fxy
F = Fx + Fy + Fz = Fxi + Fy j + Fz k
F = Fx2 + Fy2 + Fz2 Fx cos( F,i ) = F Fy cos( F, j ) = F Fz cos( F,k ) = F
MO(F)
例题4
已知： OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 求：力 F 对OA 边的中点D之矩在AC方向的投影。
z
C
解：利用力矩关系
M D ( F ) rB F i b / 2
2 Fj + 2 Fk F 2 2 b i + bj rB 2
F2
B O z
M3
z
F1
A
y
M2
F2
O x
M1
MO
z
FR
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F1
y
O x
C
x
F1 F1 , F2 F2 , , Fn = Fn M1 M O ( F1 ) , M 2 M O ( F2 ) , , M n M O ( Fn ) n n FR 主矢 FR Fi M O M O ( Fi ) 主矩 MO i =1 i =1
自由矢量
两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。
空间力偶系的合成与平衡
合力偶矩矢：
M = M1 + M 2 + + M n = M i
M M xi M y j M z k
M x = M 1x + M 2 x + + M nx = M ix M y = M 1 y + M 2 y + + M ny = M iy M z = M 1z + M 2 z + + M nz = M iz
Mn
M2
B O
z
M1
A
y
C
x
M3
2 M = M x2 + M y + M z2 Mx cos( M,i ) = M My cos( M, j ) = M Mz cos( M,k ) = M
§6-4 空间任意力系的简化结果分析
F
B
M
右手螺旋
A
F
M2
F2
力偶矩矢：
F2
M(F,F) 或 M
空间力偶矩矢为自由矢量，即可以在保证大小和方向不 变的情况下在刚体内任意移动。
证明：
F
B
FR F2
O
F1
B1
A
A1
F
FR
F1
F2
M
空间力偶的等效条件:
O B x
FB
y
解得：
FA
FE = P / cos 2 FA = FB = P tan 2
P
§6-2 力对点之矩与对轴之矩
1.力对点的矩
空间的力对O点之矩取决于： （1）力矩的 大小； （2）力矩的 转向； （3）力矩 作用面方位。
O z
B
MO(F)
F
r
h
A(x,y,z) y
M x ( F ) = yFz zFy M y ( F ) = zFx xFz M z ( F ) = xFy yFx
x
z
Fz
F
B
Fx
O a y
A(x,y,z)
Fy
y
x
Fy b Fxy
Fx
3.力对点之矩与力对轴之矩的关系
( Fb cos sin Fa cos cos ) k
(2) 利用力矩关系
M x ( F ) = Fz b = Fb sin M y ( F ) = Fz a = Fa sin M z ( F ) = aFy bFx = Fb cos sin Fa cos cos
Mz(F)
(x,y,z)
OAB cos Oab
Fxy
M O ( F ) cos = M z ( F )
MO(F) z=Mz(F)
MO(F)x=M x(F) MO(F) y =M y(F) MO(F)z =M z(F)
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理论力学
Theoretical Mechanics
静力学 第六章 空间力系
Noncoplanar Force System
目录
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 §6-7 空间汇交力系
2
空间力对点之矩与对轴之矩 空间力偶理论 空间任意力系的简化及结果分析 空间任意力系的平衡问题 平行力系的中心与重心 结论与讨论
F3
F3
FR ( Fx ) 2 + ( Fy ) 2 + ( Fz ) 2 z MO Fx FR ,i ) cos( FR FR Fy cos( FR , j ) y O FR Fz x cos( FR , k ) FR n 2 2 2 M O = [ M x ( F )] +[ M y ( F )] +[ M z ( F )] FR Fi i =1 M x (F ) cos( M O ,i ) = n MO M O ( Fi ) = M x Fi ) M M ( F ) ( x O O i M y (F ) i =1 cos( M O , j ) = MO FR 主矢 M z (F ) cos( M O , k ) = 主矩 MO MO