循环矩阵在密码学中的应用
对“改进遍历矩阵和像素值扩散的图像加密算法”的密码分析
对“改进遍历矩阵和像素值扩散的图像加密算法”的密码分析杨吉云;田维兴;周发贵【摘要】最近提出了一个基于混沌的改进遍历矩阵和像素值扩散的图像加密算法,该加密算法首先将Logistic混沌映射构造一个遍历矩阵用于在图像空域迭代置换,然后再采用一个新的混沌序列对像素值进行扩散.通过对该加密算法的分析,找出了该算法存在的安全漏洞,从而提出了选择明文/已知明文的攻击方法,通过选择特殊的明文图像及其对应的密文图像,可在未知密钥的条件下对同样大小的密文图像进行破解.仿真实验结果表明这种攻击方法非常有效.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2014(034)009【总页数】3页(P2656-2658)【关键词】混沌;图像加密;密码分析;选择明文攻击;遍历矩阵【作者】杨吉云;田维兴;周发贵【作者单位】重庆大学计算机学院,重庆400044;重庆大学计算机学院,重庆400044;78020部队,昆明650223【正文语种】中文【中图分类】TP309.70 引言随着Internet 技术的飞速发展，数字多媒体传输的安全越来越受到人们的关注。
由于传统的加密方法都是针对文本信息来设计的，无法对像图像这样数据量大、相邻像素之间相关性大、数据冗余度高的信息进行加密。
于是针对图像数据的特点，如何设计一个好的图像加密方案成为了研究焦点。
混沌系统产生的混沌信号具有随机性、对初值和参数的敏感性、遍历性等特性，而这些特性又满足Shannon 理论关于混乱和扩散［1］的要求，因此在1989 年Mattews［2］首次提出基于混沌的加密方法。
而1997 年Fridrich［3］在图像加密中运用了混沌映射后，引发了一股混沌图像密码的加密设计与安全分析的研究热潮，各种各样的混沌系统被引入到图像加密中，如文献［4 -5］用到了帐篷映射(tent map)，文献［6 -8］用到了Logistic 映射，文献［9］用到了陈氏系统(chen system)，还有许多加密算法采用了超混沌系统［10］以及其他的各种混沌系统［11］。
数学与密码学的联系
数学与密码学的联系数学与密码学是两个看似独立而又紧密相关的领域。
数学作为一门科学，在密码学领域扮演着重要的角色。
本文将介绍数学与密码学之间的联系，并探讨数学在密码学中的应用。
一、数学的基础与密码学密码学作为一门研究保护信息安全的学科，需要借助数学的基础理论来构建密码系统。
数学提供了密码学所需要的工具和方法，使得密码学能够在世界各地得到广泛应用。
1.1 数论与密码学数论是研究整数性质及其相互关系的数学分支。
它在密码学中扮演着基础的角色，通过数论的方法可以构建安全的加密算法。
首先，素数在密码学中起着重要的作用。
素数是只能被1和自身整除的整数，它们的特殊性质使得它们被广泛用于加密算法中的关键位置。
例如，RSA算法中需要选择两个大素数，而这些素数往往具备难以被因数分解的特点，增加了密码系统的安全性。
其次，模运算也是密码学中常用的数论方法。
模运算是一种将数字对某个模数取余的运算方式。
在密码学中，模运算可用于构建循环密码算法和生成伪随机数，从而增强密码系统的复杂性和随机性。
1.2 线性代数与密码学线性代数是研究向量空间及其线性变换的数学分支。
它在密码学中的应用主要体现在矩阵运算和线性相关性分析上。
矩阵运算在密码学中广泛应用于混淆和扩散（Confusion and Diffusion）步骤。
通过矩阵变换，可以使得明文和密文之间的关系显得复杂和随机，提高密码算法的安全性。
另外，线性相关性分析是密码破译中的一种重要方法。
通过线性代数的理论，攻击者可以分析密文和明文之间的线性关系，从而推测出密钥或者明文信息。
二、数学在密码学中的应用密码学的发展离不开数学的支持，因此数学在密码学中的应用不仅限于提供基础理论，还包括具体的密码算法和协议。
2.1 对称密钥密码算法对称密钥密码算法是指发送方和接收方使用相同密钥进行加密和解密。
在对称密码算法中，数学在密码算法的设计和分析中发挥着重要作用。
例如，DES算法是一种经典的对称密钥密码算法，采用了Feistel结构和置换盒（S-box）的设计。
循环矩阵的性质及其应用概要
目录一. 相关概念 ................................................................. - 2 -定义 1.1 ............................................................................... -. .2. -定义 1.2 ............................................................................... -. .2. -定义 1.3 ............................................................................... -. .3. -定义 1.4 ............................................................................... -. .3. -二. 循环矩阵的性质......................................................... - 3 -2.1循环矩阵基本性质.............................................................. -. .3 -2.2关于循环矩阵的判定相关性质................................................ -.. 5 -2.3循环矩阵可逆的判定及互素推论 ............................................. -. 6 -2.4循环矩阵的一个定理及其得出的推论........................................ -. 6 -2.5循环矩阵对角化相关性质 ..................................................... -. .7 -2.6等比数列构成的循环矩阵相关性质 .......................................... -. 9 -2.7循环矩阵行列式与特征值相关性质 .......................................... -. 10 -2.8循环矩阵的奇异性.............................................................. -. .1 2 -2.9循环矩阵与向量空间相关性质................................................ -.. 12 -三．广义循环矩阵.......................................................... - 13 - 定义 3.1 ............................................................................... -. .1.3 -定义 3.2 ............................................................................... -. .1.3 -推论 3.1 ............................................................................... -. .1.4 -推论 3.2 ............................................................................... -. .1.4 -推论 3.3 ............................................................................... -. .1.4 -推论 3.4 ............................................................................... -. .1.4 -定义 3.2 ............................................................................... -. .1.4 -定义 3.3 ............................................................................... -. .1.5 -定义 3.4 ............................................................................... -. .1.5 -定义 3.5 ............................................................................... -. .1.5 -参考文献............................................................... ⋯ .. - 15 -循环矩阵的性质研究相关概念定义 1.1 [1]具有以下形式的 n阶方阵A 称为关于 a0,a1,a2, ,a n 1的循环矩显然，A 由首行元素惟一确定，因此可简记为 A circ ( a0 ,a1, a n 1).a0 a1 a2 a n 1a n 1 a0 a1 a n 2Aa n 2 a n 1 a0 a n 3a1 a2 a3 a0特别地， n 阶循环矩阵：0 1 0 00 0 1 00 0 0 0D0 0 0 0 11 0 0 0 0称为 n阶基本循环矩阵，简记为：D circ (0,1,0, ,0) 显然, D,D2,D3, D n I ( n阶单位矩阵 )都是循环矩阵 , 由此得 A a0I a1D a2D2a n 1D n 1,设f(x) a0 a1x a2 x2a n 1x n 1,则A f (D), 这时a0 a0I.记C n n为复数域C上的全体 n阶方阵，R n n为实数域上的全体 n阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的n2维向量空间，记tr ( A)为矩阵A的迹，A H为A 的转置共轭阵 .定义 1.2[2]设A C n n(R n n ),如果矩阵A的最小多项式等于特征多项式，则称 A 为循环矩阵 .定义 1.3[2] 设A 是n 维向量空间 V 上的一个线性变换，若存在向量 V ，使得 , A , ,A n 1 线性无关.则称 为A 的一个循环向量 .定义 1.4[4] 已知 n 阶基本循环矩阵0 1 00 0 10 0 0D0 0 0 011 0 0 0并令I i D i (i 1,2, ,n)，称 I,I 1,I 2 ,I n 1为循环矩阵基本列（其中 I D n I n 为单位矩阵） .. 循环矩阵的性质2.1 循环矩阵基本性质[3]循环矩阵基本列 I,I 1,I 2 ,I n 1是线性无关的 .[3]任意的 n 阶循环矩阵 A 都可以用循环矩阵基本列线性表出， 即A a 0I a 1I 1a n 1I n 1.a0 a1 a2 an 1bb1 b2 bn 1a n 1 a 0a 1 an 2bn 1 b 0b 1 bn 2 ABan 2an 1a 0an 3+bn 2bn 1b 0bn 3a1a2a3ab1b2b3ba0 a1 a2 an 1bb1 b2 bn 1a n 1 a 0a 1 an 2bn 1 b 0b 1 bn 2 证明 设 Aan 2an 1a 0an 3，B=bn 2bn 1b 0bn 3a 1a 2 a 3 a 0b 1 b 2 b 3 b 0性质 2.1.3 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵 .，则性质 2.1.1性质 2.1.2显然 A B 为循环矩阵 .定理 2.1.1 设 A 、B 为n 阶循环矩阵，则有： (1) 乘积 AB 仍是循环矩阵，且满足乘法交换律， (2)若 A 可逆，则 A 的逆矩阵也是循环矩阵； 证明 (1) 设 A a 0I a 1D a 2D 2a n 1D n 1 f (D)，B b 0I b 1D b 2D 2b n 1D n 1 g(D)，因为 D n D n k (其中 K 为非负整数，D I )，所以AB f(D)g(D) g(D) f(D) h(D) BA ，此处 h(P)为不高于 n 1次的多项式，因此 AB 为 n 阶循环矩阵，且 AB BA .要使 AB I ，则以下方程组必须成立：a 0b 0 a n 1b 1 a 1b n 1 1 a 1b 0 a 0b 1a 2b n 1 0a n 1b 0 a n 2b 1a 0b n 1 0解以上方程组可转化为求解： A T (b 0,b 1,b 2, b n 1)T (1,0, 0) T ，因为 A 可逆，所b0 a1 b1 a2b2 an 1 bn 1bn 1 ab0 a1 b 1 an 2 bn 2 bn 2an 1b n 1a 0b 0a n 3bn 3b1a2b2a3b3aba0 a n 1an 2AB BA ；(2) 设 A 为 n 阶可逆循环矩阵，欲求 A 的逆矩阵，需求得矩阵满足条件 AB I 即可 .b 0 b 1 b 2 b n 1 b 0 b 1 Bb n 2b n 1 b 0 b 1 b 2 b 3bn 1b n 2b n 3 ，b设 A a 0I a 1D a 2D 2a n 1D n 1，Bb 0I b 1D b 2D 2 b n 1D n 1，有 AB ( a 0I a 1D a 2D 2a n 1D n 1)(b 0I b 1D b 2D 2b n 1D n 1)(a 0b 0a n 1b 1 a 1b n 1)I (a 1b 0 a 0b 1a 2b n 1)D(a n 1b 0 a n 2b 1 a 0b n 1)Dn1以A T A 0 ，因此方程有唯一的解 b0,b1,b2, b n 1 ，可得到唯一的矩阵B，B为A的逆矩阵，且B为循环矩阵 .性质 2.1.4 n阶循环矩阵A的伴随矩阵A *也是循环矩阵 .证明伴随矩阵 A* AA 1，由定理 2.1.1 可知A 1 b0I b1D b2D2b n 1D n 1为循环矩阵，因此A* A(b0I b1D b2D 2b n 1D n 1) Ab0I Ab1D Ab2D 2Ab n 1D n 1也是循环矩阵 .2.2关于循环矩阵的判定相关性质由定义 1.2 ，有如下性质：引理 2.2.1 [2]设 A C n n(R n n),则 rank(A H A) rank(AA H) rank(A) .定理 2.2.1 [2]设 A C n n(R n n),则A为循环矩阵的充要条件是矩阵tr(I H I) tr(I H A) tr(I H A n 1)H H H n 1tr(A H I) tr(A H A) tr(A H A n1)tr (A n 1)HI tr (An 1)HA tr (An 1)HAn 1是满秩的 .由定义 1.3 ，有如下性质：引理 2.2.2 [2]设A 是n维向量空间V上的一个线性变换，A 有一个循环向量的充要条件是A 的最小多项式等于特征多项式 .由此可知A 为循环矩阵的充要条件是A 有一个循环向量 .定理 2.2.2 设A C nn(R n n ), rank(A n) rank(A n-1) ，则A为循环矩阵.证明由于rank(A n) rank(A n-1 ) ，故n - rank(A n-1) n rank(A n)，即A n 1的核空间的维数小于A n的核空间的维数 . 所以必存在向量C n(R n) ，使得A n 10 ，而A n0.下面证明就是A的一个循环向量，即 ,A , ,A n 1线性无关.设 x1,x2, ,x n C(R) ，且满足 x1 x2A x n A n 1 0，则A n 1(x1 x2A xnAn 1) x1An 1x2AnxnA2n 2x1An 1所以 x10 ， x2 A x n A n 1 0 ，从而A n 2 (x2 A x n A n 1 ) 0，即 x2A n 1 0，所以 x2 0，x3A2x n A n 1 0.依次类推下去，可得 x1 x2x n 0，因此 ,A , ,A n 1线性无关，即为A的一个循环向量，所以A是循环矩阵 .2.3循环矩阵可逆的判定及互素推论推论 2.3.1 [5]循环矩阵A 可逆的充要条件是方程 a0 a1x a2x2a n x n 0无单位根 .推论 2.3.2 设A是以 a1,a2, ,a n为元素的 n阶循环矩阵，则A 可逆的充要条件是f(x) a1 a2x a3x2a n x n 1与x n1互素，即 ( f (x),x n 1) 1.证明由 A f( 1)f( 2) f ( n)，A可逆的充要条件是 A 0，即f(x) a1 a2x a3x2a n x n 1与x n1没有公共根，从而 (f (x),x n 1) 1.推论 2.3.3 若 f(x) a1 a2x a3x2a n x n 1与x n1互素，则f1(x) a n a1x a2x2a n 1x n 1，f2(x) a n 1 a n x a1x2a n 2x n 1⋯⋯ f n 1(x) a2 a3 x a4x2a1x n 1都与x n1互素.证明因为分别以 f1 (x), f2(x), ,f n 1(x)的系数为元素的循环矩阵和以f(x) 的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论 2.3.2 便可推出此推论 .2.4循环矩阵的一个定理及其得出的推论为所有 n 1 次单位根 .表示的意义均和 定理 2.4.1 相同 .推论 2.4.1 [5] 循环矩阵 A 的秩为 1, 2 , , n 中非零数的个数 .2.5 循环矩阵对角化相关性质性质 2.5.1 任何一个循环矩阵 A 在复数域上都与一个对角矩阵相似 . 证明 n 阶循环矩阵 D 的特征值为 2k 2k 2 k cos i sin (k 0,1,2, ,n 1)(i 2 1) nn由于 k j (k j),又因 D 相似于对角矩阵diag 0, 1, , n 1即存在可逆矩阵 P ， P 1DP .设 A a 0I a 1D a 2D 2 a n 1D n1 f ( D)是任意一个循环矩阵，则 A 相似于对角矩阵diag f( 0), f( 1), f ( n 1)事实上， D P P 1A f(D) f(P P 1) a 0I a 1P P 1 a n 1P n1P 1定理 2.4.1 [5] 设循环矩阵 Aaan 1 an 2a1 aan 1a 2 a1 aan 1a n 2 an 3，则a2 a3anj010 2 010n 2 n01 0 011n 2 nn n其中 ia j i ,i 0,1,2, ,n; j ei 2j n11, j 0,1,2, ,n ， 即 0 , 1,我们不难由 定理 2.4.1 得到如下推论， 这里证明略 .在下面推论中， A ， i 所P diag f ( 0 ), f ( 1), f( n 1) P定理 2.5.1 任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵 . 证明 设 是n 阶对角矩阵diag 1, 2, , n其中 1, 2, , n 为复数 .2 n 1a 0 a 1 n 1 a 2 n 21a n 1 n n 11其中 0, 1, n 1是n 阶循环矩阵 D 的特征值k cos 2k isin 2k (k 0,1,2, ,n 1) nn则以a 0,a 1, a n 1为未知数的上述方程组有且仅有唯一解， 因为它的系数行列式是 范德蒙行列式，且 0, 1, n 1互不相等，从而系数行列式不为零 .构造 n 阶循环矩阵 则 A 的特征值为 1, 2, , n .由性质 2.5.1 ， A 相似于对角矩阵diag 1, 2, , n推论 2.5.1 n 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 相似于某个循环矩 阵. 证明 充分性：若 A 相似于循环矩阵 B ，由性质 2.5.1 ，B 与某对角矩阵 相似. 根据相似关系的可传递性知， A 相似于对角矩阵 .必要性：若 A 相似于对角矩阵 ，由定理 2.5.1 知，对角矩阵 相似于某个 循环矩阵 B . 根据相似关系的可传递性知， A 相似于循环矩阵 .性质 2.5.2 复数域上任意一个 n 阶矩阵都可以对角化， 更一般地，可由同一 个复 n 阶可逆矩阵，使复数域上任意 n 阶循环矩阵同时对角化 .证明 由性质 2.5.1 易知，任意一个 n 阶矩阵 A 都可以对角化，由于 A 是任构造线性方程组a 2 02 a n 1 0n 1 12 A a 0I a 1D a 2 D 2a n 1Dn1a 0 a 1 0n1an 1 1意的，所有的结论全部得证 .2.6 等比数列构成的循环矩阵相关性质设序列 a i i n 1是公比为 q 的等比数列，把由该序列构成的循环矩阵记为矩阵 A 可逆时，其逆矩阵由序列 b i i n 1 构成，记为定理 2.6.1 若等比数列 a i i n 1满足 q 1，若n 为偶数时， q 1 ，则由该数 列构成的循环矩阵（ 1）的逆矩阵（ 2）存在，且b1 1n ， b 2qb 1qn， b 3b4b n .a 1(1 q n)a 1(1 qn ) 3即1q0 00 1 q111A 1n（3）a 1(1 qn)0 1 qq0 01证明 只须确定 b i （i 1,2, ,n ） ，由 A 1AE ，即 A（A1)E 知，A 乘(A 1)的第一列等于 E 的第一列可得 b i 满足的方程组 .A (b 1,b 2 , b n ) (1,0, ,0) (4)注意到 a i a i 1q （i 2,3, ,n ），a n a 1q n 1，对（ 4）的增广矩阵进行初等变换a1 a2 a3a n a 1a2Aa n 1ana1a2a3a4anan 1an 21）b 1 b 2 b 3 b n b 1 b 2A 1 b n 1 b n b 1b 2 b 3 b 4bnbn 1 bn 22）b12.7 循环矩阵行列式与特征值相关性质性质 2.7.1 若 A 为复数域上的 n 阶循环矩阵aa1 a2 an 1an 1 a 0a 1 an 2 Aan 2an 1a 0an 3a1a2a3a那么 A 的行列式a1 an an 1a3a2 1a2 a 1 an a 4 a 3 0a3a2a1a5a4Aan 1 an 2 an 3 a1 an 0a na n 1a n 2a 2a1a1anan 1a3a210 a 1(1 q n ) 00 q0 0a1(1 q n )0 0a 1(1 q n )0 0a 1(1 nq)q 1，知 a 1(1 q n ) 0，可得又 a 1 0,q 1，当 n 为偶数时， b3b4bnb2qa 1(1 q n ) 1b 1(1 a n b 2)a1a 1 1 a 1qn1a(1 qq n )a (11q n )a 1a 1(1 q ) a 1(1 q )定理及（ 3）式成立，证毕 .由上述定理及（ 3）式易得推论 2.6.1 [8] 若等比数列 a i i n 1满足公比 q 1，当n 为偶数时， q 1，则 由该数列构成的循环矩阵 A 及其逆矩阵 A 1的行列式分别为：A n n n1a 1n (1 q n )n 1，A 1n n n 1 a 1(1q )detA f ( 0) f ( 1) f ( n 1) ，这里 k cos2ki sin 2k(k 0,1,2, ,n 1) 是全部 n 次单位根，nn所以 det 0 ，从而证明 作 n 阶矩阵f (x) a 0 a 1x a 2 xn1a n 1x n 12kn1 1 n1 2 n1n1 n12k 2k 这里 k cos 2ki sin 2k(k 0,1,2, ,n 1) 是全部 n 次单位根，令 nn2 n 1f (x) a 0 a 1x a 2 x a n 1x ，由于 n 次单位根满足 0 1, k n 1,k 0,1,2, ,n 1，且对任意非负整数i ，ni knk n ,k0,1, ,n 1 ， 考察 A 与 的乘积an 1 aa 1 an 21 an 2an 1a 0an 31a1a2a3a1n1 2 n1n n 11f ( 0)f( 0) 02f( 0)f( 1) 1f( 1)2 12f ( 1)f( n 1)n1f( n 1) n1f( n 1) 0n 1f ( 0 )n1 n 1f ( n 1)f ( 0)n1 2 n1f( 1)n1 1n 1n1 n1f( n 1)diag( f ( 0),f( 1), ,f( n1)).由于矩阵 的行列式是一个范德蒙行列式，且当 i j 时，n 次单位根 ij，a 1a2An1 1aa n 1 1detA det det(A ) det (diag( f ( 0),f( 1), f( n 1)))n1f(x)a i X i ， 0, 1, , n 1是 1的全部 n 次单位根 .i0isin 2k(k 0,1,2, ,n 1) n这里 i 是虚数单位( i 2 1)，则 A 的 n 个特征值是：f( 0), f( 1), f( n 1),n1注意 detA f ( k ).k02.8 循环矩阵的奇异性定理 2.8.1 [9] 在定理 2.7.1 的条件下，循环矩阵 A 奇异的充要条件是存在 某个j(0 j n 1) ，使f ( j ) 0.由于对任意的自然数 n ， 0 1是 1的 n 次单位根，故有 n1推论 2.8.1 [9] 若 a i 0，则 A 奇异.i0n1推论 2.8.2 [9] 设n 为偶数，若 ( 1)i a j 0，则 A 奇异.i02.9 循环矩阵与向量空间相关性质定理 2.9.1 数域P 上的所有 n n 阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一 个向量空间，其基为循环矩阵基本列 I,I 1, ,I n1，零向量为 n 阶零方阵，负向量 为 A .aa1 a2an 1 an 1 a 0a 1 an 2 an 2an 1a 0an 3a1a2a3af( n 1).的循环矩阵，且设定理 2.7.1 [9] 设 A 是形如det f ( 0 ) f( 1)2k cos n证明 对于数域 P 上的所有 n n 阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩 阵相加还是循环矩阵， 循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵， 那么就得到了这个 定理.三．广义循环矩阵定义 3.1 若把 a 0,a 1, a 2,⋯,a n 推广为 m 阶方阵 A 0, A 1,⋯,A n 时，我们称矩为广义循环矩阵。
矩阵论在密码学中的应用 高等代数解决方案
矩阵论在密码学中的应用高等代数解决方案密码学作为信息安全领域中的重要学科，致力于通过各种方法和技术保护和保障信息的机密性、完整性和可用性。
矩阵论作为高等代数的一个分支，在密码学中发挥着重要的作用。
本文将探讨矩阵论在密码学中的应用，并介绍高等代数提供的解决方案。
1. 矩阵论在对称密码中的应用对称密码是一种常见的加密算法，其加解密过程使用相同的密钥。
在对称密码中，矩阵论被广泛应用于代换和置换的操作中。
代换操作是指将明文中的字符替换为密文中的特定字符。
矩阵论中的置换群理论提供了一种有效的方法来实现代换操作。
通过构建置换矩阵，可以对明文中的字符进行排列，从而实现替换操作。
这种方法不仅简单高效，而且具有较强的密码学安全性。
置换操作是指对明文中的字符进行位置调整，从而形成密文。
矩阵论中的置换矩阵和行变换提供了一种有效的实现方式。
通过对明文矩阵进行置换和行变换操作，可以实现对明文的混淆和位置调整，增强了密码算法的安全性。
2. 矩阵论在公钥密码中的应用公钥密码是一种使用两个密钥（公钥和私钥）进行加密和解密的密码算法。
在公钥密码中，矩阵论被应用于实现非对称加密和数字签名等重要操作。
非对称加密是指使用一对互相关联的密钥进行加密和解密的过程。
矩阵论中的模运算和群论为非对称加密提供了数学基础。
例如，RSA算法中使用了大素数的模幂运算，其中矩阵论中的模运算提供了实现加密和解密的数学运算方法。
数字签名是一种用于验证信息来源和完整性的重要技术。
实现数字签名的一种方法是使用矩阵论中的离散对数算法，例如椭圆曲线密码学中的离散对数问题。
通过基于矩阵论的离散对数算法，可以在不泄露私钥的情况下生成数字签名，从而保证信息的完整性和真实性。
3. 高等代数提供的解决方案除了矩阵论在密码学中的具体应用外，高等代数还提供了一些解决方案来解决密码学中的相关问题。
线性代数在密码学中的应用非常广泛。
矩阵论作为线性代数的核心内容，为密码学提供了一种简洁高效的数学工具。
《几类置换的密码学性质及其应用》
《几类置换的密码学性质及其应用》一、引言密码学是信息安全的核心，其中置换（Permutation）是密码学中一种重要的技术手段。
置换是一种将明文信息重新排列成密文信息的过程，以实现信息的加密保护。
本文将详细探讨几类置换的密码学性质及其应用。
二、置换的基本概念置换是密码学中一种重要的加密技术，它通过重新排列明文中的字符、符号或比特序列，使得密文呈现出与明文不同的顺序。
置换可以按照不同的方式进行分类，如循环置换、矩阵置换、多项式置换等。
（一）循环置换循环置换是一种简单的置换方式，即将明文中的字符按照一定的规则进行循环移动，从而生成密文。
循环置换具有计算简单、易于实现的特点，广泛应用于对称加密算法中。
（二）矩阵置换矩阵置换是一种利用矩阵运算进行置换的方法。
它将明文信息表示为矩阵形式，通过矩阵的行列变换实现信息的置换。
矩阵置换具有较高的复杂性和安全性，常用于公钥密码系统和数据加密标准（DES）等加密算法中。
（三）多项式置换多项式置换是一种基于数学多项式的置换方法。
它通过构造多项式函数，将明文信息映射到密文空间。
多项式置换具有较高的灵活性和安全性，常用于流密码和分组密码等加密算法中。
三、几类置换的密码学性质（一）安全性各类置换均具有较高的安全性，能够有效抵抗各种攻击手段，如穷举攻击、差分攻击和线性攻击等。
其中，矩阵置换和多项式置换由于具有较高的复杂性和灵活性，更难被破解。
（二）计算复杂性不同类别的置换在计算复杂性上有所不同。
循环置换计算简单，易于实现；而矩阵置换和多项式置换由于涉及复杂的数学运算，计算复杂度较高。
然而，高计算复杂度也意味着更高的安全性。
四、几类置换的应用（一）循环置换的应用循环置换广泛应用于对称加密算法中，如凯撒密码、栅栏密码等。
这些算法通过循环置换实现明文的加密，保证了信息传输的安全性。
（二）矩阵置换的应用矩阵置换常用于公钥密码系统和DES等加密算法中。
例如，在RSA公钥密码系统中，矩阵置换用于实现大整数的模幂运算，提高了加密过程的效率。
循环矩阵的性质及其应用
循环矩阵的性质及其应⽤\S 1循环矩阵的定义及多项式表⽰设\mathbb{K}为数域. 任取\mathbb{K}中n个数a_1,a_2,\cdots,a_n,下列矩阵称为\mathbb{K}上的n阶循环矩阵:A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \\ \end{pmatrix}.\quad(1)取a_2=1, a_1=a_3=\cdots=a_n=0, 则可得到如下基础循环矩阵:J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}.\quad(2)由复旦⾼代⽩⽪书的例 2.1 可知, J^k=\begin{pmatrix} 0 & I_{n-k} \\ I_k & 0 \\ \end{pmatrix}\,(1\leq k\leq n), 从⽽A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}.\quad(3)令g(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^{n-1}, 则g(x)是\mathbb{K}上次数不超过n-1的多项式, 使得A=g(J), 这就是循环矩阵关于基础循环矩阵的多项式表⽰.记C_n(\mathbb{K})为\mathbb{K}上所有n阶循环矩阵构成的集合, 容易验证: 在矩阵的加法和数乘下, C_n(\mathbb{K})是⼀个n维线性空间, 它的⼀组基为\{I_n,J,\cdots,J^{n-1}\}. 再任取循环矩阵B=h(J), 其中h(x)是\mathbb{K}上次数不超过n-1的多项式, 则利⽤多项式乘法和J^n=I_n可知AB=g(J)h(J)仍然是⼀个循环矩阵 (参考⾼代⽩⽪书的例 2.12). 因此, C_n(\mathbb{K})是\mathbb{K}上的n维交换代数, 同构于\mathbb{K}[x]/(x^n-1).\S 2循环矩阵的性质下⾯将依次研究循环矩阵的特征值、特征向量和可对⾓化等性质, 由此可得循环矩阵的⾏列式、秩和⾮异性等信息. 这些内容包含在⾼代⽩⽪书的例 2.52, 例 6.9, 例 6.32 和例 6.39 的推论中.容易计算出基础循环矩阵J的特征多项式|\lambda I_n-J|=\lambda^n-1, 从⽽J在复数域中有n个不同的特征值, 即n次单位根\omega_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\,(0\leq k\leq n-1), 因此J在复数域上可对⾓化. 经计算可知, 特征值\omega_k的特征向量是\alpha_k=(1,\omega_k,\omega_k^2,\cdots,\omega_k^{n-1})'. 将这些特征向量按列分块拼成⼀个矩阵: P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & \omega_1 & \omega_2 & \cdots & \omega_{n-1} \\ 1 & \omega_1^2 & \omega_2^2 & \cdots & \omega_{n-1}^2 \\ \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \omega_1^{n-1} & \omega_2^{n-1} & \cdots & \omega_{n-1}^{n-1} \\ \end{pmatrix},\quad(4)则由Vandermonde ⾏列式或特征值特征向量的性质可知, P是⾮异阵, 并且满⾜P^{-1}JP=\mathrm{diag}\{1,\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_{n-1}\},\quad(5)从⽽P^{-1}AP=P^{-1}g(J)P=g(P^{-1}JP)=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}.\quad(6)由 (6) 式可知循环矩阵A=g(J)具有如下基本性质:(P1) A的特征值为g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1}), 对应的特征向量是\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1};(P2) |A|=g(1)g(\omega_1)g(\omega_2)\cdots g(\omega_{n-1});(P3) 循环矩阵A可对⾓化;(P4) r(A)=\sharp\{0\leq k\leq n-1\mid g(\omega_k)\neq 0\};(P5) A⾮异当且仅当g(\omega_k)\neq 0\,(0\leq k\leq n-1), 也即当且仅当(\lambda^n-1,g(\lambda))=1.定理 1 n阶复循环矩阵全体C_n(\mathbb{C})与n阶复对⾓矩阵全体D_n(\mathbb{C})之间存在⼀个⾃然的代数同构\xi.证明n阶复对⾓矩阵全体在矩阵的加法、数乘和乘法下成为复数域上的代数. 我们通过 (6) 式来定义映射\xi, 即\xi: C_n(\mathbb{C})\toD_n(\mathbb{C})定义为\xi(A)=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}. 容易验证\xi保持矩阵的加法、数乘和乘法, 从⽽是⼀个代数同态. 对任⼀\Lambda=\mathrm{diag}\{\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_{n-1}\}, 利⽤ Lagrange 插值公式可知, 存在次数不超过n-1的复系数多项式h(\lambda), 使得h(\omega_k)=\lambda_k(0\leq k\leq n-1). 令B=h(J), 则\xi(B)=\Lambda, 即\xi是满射. ⼜\dim C_n(\mathbb{C})=\dim D_n(\mathbb{C})=n, 从⽽\xi是⼀个线性同构, 从⽽是代数同构. \Box推论 2 n阶复矩阵B可对⾓化的充要条件是B相似于某个循环矩阵.证明由定理 1 中的代数同构\xi是通过相似变换实现的即得结论. \Box推论 3 设A\in C_n(\mathbb{K}), 则A^*也是循环矩阵.证法 1 由 (6) 式可知P^*A^*(P^*)^{-1}=(P^{-1}AP)^*=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}^*仍为对⾓阵. 注意到P^*=|P|P^{-1}, 故上述等式可化为P^{-1}A^*P=(P^{-1}AP)^*=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}^*.因此由定理 1 可知, A^*=\xi^{-1}\bigg(\xi(A)^*\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由⾼代⽩⽪书的例 6.62 可知, 存在多项式h(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得A^*=h(A). 设A=g(J), 则A^*=h(A)=h(g(J))仍为J的多项式, 从⽽是循环矩阵.证法 3 设A=(a_{ij})的代数余⼦式为A_{ij}\,(1\leq i,j\leq n), 要证A^*是循环矩阵, 根据定义只要证明: 对任意的1\leq i,j\leq n,A_{ij}=A_{i+1,j+1}成⽴即可, 其中若i+1>n或j+1>n, 则需要把i+1或j+1换成i+1-n或j+1-n. 证明A_{ij}=A_{i+1,j+1}只需要简单的⾏列式计算即可. ⽐如先把A_{ij}的最后⼀列经过n-2次相邻对换换⾄第⼀列, 再把得到⾏列式的最后⼀⾏经过n-2次相邻对换换⾄第⼀⾏, 最后就能得到A_{i+1,j+1}. 我们把验证的细节留给读者完成. \Box推论 4 若A\in C_n(\mathbb{K})是⾮异阵, 则A^{-1}也是循环矩阵.证法 1 由定理 1 可知, A^{-1}=\xi^{-1}\bigg(\xi(A)^{-1}\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由 Cayley-Hamilton 定理可知, 存在多项式h(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得A^{-1}=h(A) (参考⾼代⽩⽪书的例 6.61). 设A=g(J), 则A^{-1}=h(A)=h(g(J))仍为J的多项式, 从⽽是循环矩阵.证法 3 设A=g(J), 则由A⾮异可知(\lambda^n-1,g(\lambda))=1. 由互素多项式的性质可知, 存在u(\lambda),v(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得(\lambda^n-1)u(\lambda)+g(\lambda)v(\lambda)=1. 令\lambda=J, 代⼊上式可得g(J)v(J)=I_n, 从⽽A^{-1}=v(J)也是循环矩阵.证法 4 由A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*以及推论 3 即得结论. \Box推论 5 \mathbb{K}上的n阶⾮异循环矩阵全体GC_n(\mathbb{K})在矩阵乘法下成为⼀个 Abel 群.推论 6 设A为n阶复循环矩阵, f(z)是收敛半径等于+\infty的复幂级数, 则f(A)也是循环矩阵.证法 1 注意到f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P, 从⽽f(A)=\xi^{-1}\bigg(f(\xi(A))\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由可知, 存在多项式h(z), 使得f(A)=h(A)也是循环矩阵.证法 3 设f(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^i, f_p(z)=\sum\limits_{i=0}^p a_iz^i为f(z)的部分和多项式. 设A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}, 则f_p(A)=b^{(p)}_1I_n+b^{(p)}_2J+b^{(p)}_3J^2+\cdots+b^{(p)}_nJ^{n-1}. 由于矩阵序列\lim\limits_{p\to\infty}f_p(A)收敛到f(A), 故每个数列\lim\limits_{p\to\infty}b^{(p)}_i都收敛. 若设\lim\limits_{p\to\infty}b^{(p)}_i=b_i\,(1\leq i\leq n), 则f(A)=\lim\limits_{p\to\infty}f_p(A)=b_1I_n+b_2J+b_3J^2+\cdots+b_nJ^{n-1}仍为循环矩阵. \Box\S 3循环矩阵的应⽤下⾯我们给出循环矩阵的⼀个应⽤.命题 7 设有\mathbb{K}中n^2\,(n\geq 2)个不同的数, 则存在⼀个全排列, 记为a_1,\cdots,a_{n^2}, 使得\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_{n+1} & a_{n+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n^2-n+1} & a_{n^2-n+2} & \cdots & a_{n^2} \\\end{vmatrix}\neq 0.证明对n进⾏归纳. n=2时, 先取到a_1,a_2, 使得a_1+a_2\neq 0, 从⽽\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_1 \\ \end{vmatrix}=(a_1-a_2) (a_1+a_2)\neq 0, 于是B=\{(a_1,a_2),(a_2,a_1)\}是\mathbb{K}^2的⼀组基. 注意到(a_3,a_4)\neq 0, 故由基扩张定理, 必可从基B中选取⼀个基向量, 不妨设为(a_1,a_2), 使得\{(a_1,a_2),(a_3,a_4)\}成为\mathbb{K}^2的⼀组新基, 因此\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\\end{vmatrix}\neq 0. 设n-1时结论成⽴, 现证n的情形.证法 1 先取到a_1,a_2,\cdots,a_n, 使得a_1+a_2\omega_k+\cdots+a_n\omega_k^{n-1}\neq 0对0\leq k\leq n-1都成⽴. 这⼀定能做到, ⽐如先选定a_2,\cdots,a_n, 则不满⾜上述条件的a_1最多只有n个, 从⽽可取到满⾜上述条件的a_1. 由循环矩阵的性质可知, (1) 式中的循环矩阵A是⾮异阵, 特别地, A的n个⾏向量\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}是\mathbb{K}^n的⼀组基. 由归纳假设, 可从剩下n^2-n个数中选出(n-1)^2个数的全排列, 使得\begin{vmatrix} a_{n+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n^2-n+2} & \cdots & a_{n^2} \\\end{vmatrix}\neq 0,后⾯随便选取a_{n+1},\cdots,a_{n^2-n+1}, 均可使n-1个⾏向量(a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_{2n}), \cdots, (a_{n^2-n+1},a_{n^2-n+2},\cdots,a_{n^2})线性⽆关 (参考复旦⾼代教材的习题 3.4.9). 因此由基扩张定理, 必可从基\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}中选出⼀个基向量, 不妨设为\beta_1, 使得\{(a_1,a_2,\cdots,a_n), (a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_{2n}), \cdots, (a_{n^2-n+1},a_{n^2-n+2},\cdots,a_{n^2})\}构成\mathbb{K}^n的⼀组新基, 从⽽结论得证.证法 2 ⽤反证法, 设对n^2个数的所有全排列, 对应的⾏列式都等于零, 我们来推出⽭盾. 先取到a_1,a_2,\cdots,a_n, 使得a_1+a_2+\cdots+a_n\neq 0, 再由归纳假设, 不妨设取到的⾏列式中, a_1的代数余⼦式A_1\neq 0. 设其余元素a_i的代数余⼦式为A_i\,(2\leq i\leq n), 因此a_1A_1+a_2A_2+\cdots+a_nA_n=0. 在取到的⾏列式中, 对换第⼀⾏的a_1与a_i\,(2\leq i\leq n), 其余n^2-2个元素保持不变, 则有a_iA_1+\cdots+a_1A_i+\cdots+a_nA_n=0. 由此可得(a_1-a_i)(A_1-A_i)=0, 但a_1\neq a_i, 从⽽A_1=A_i\,(2\leq i\leq n). 最后,0=a_1A_1+a_2A_2+\cdots+a_nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)A_1\neq 0, ⽭盾. \Box注 1 命题 7 的证法 1 是构造性的, 利⽤这⼀证法可以给出满⾜条件的全排列的总个数的⼀个粗略估计. 命题 7 的证法 2 由复旦数学学院 16 级本科⽣朱民哲提供.注 2 本⽂的主要结论还可以推⼴到特征零的域或者特征p>0的域 (要求p\nmid n) 及其分裂域或代数闭包上. 另外, ⾼代⽩⽪书第⼆章的解答题 13 还给出了b-循环矩阵的推⼴. 有兴趣的读者可以⾃⾏学习和验证这些结论.参考⽂献[1] ⾼代教材: 姚慕⽣, 吴泉⽔, 谢启鸿编著, ⾼等代数学 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2014.[2] ⾼代⽩⽪书: 姚慕⽣, 谢启鸿编著, 学习⽅法指导书: ⾼等代数 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2015.Processing math: 0%。
hill密码-矩阵应用
13
信源 → 加密 → 信道 → 解密 → 信宿
1
1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息 年 希尔（ 矩阵理论对传输信息 ）通过矩阵理论 进行加密处理，提出了在密码史上有重要地位的希尔 进行加密处理，提出了在密码史上有重要地位的希尔 加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。 加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。 【准备】若要发出信息 action，现需要利用矩阵 准备】 ， 乘法给出加密方法和加密后得到的密文， 乘法给出加密方法和加密后得到的密文，并给出相应 的解密方法。 的解密方法。
2
【假设】（1）假定 个英文字母与数字之间有以 假设】 ）假定26个英文字母与数字之间有以 下的一一对应关系： 下的一一对应关系：
A վ 1
B վ 2
C վ 3
⋯ ⋯ ⋯
X վ 24
Y վ 25
Z վ 26
个字母分为一组， （2）假设将单词中从左到右，每3个字母分为一组， ）假设将单词中从左到右， 个字母分为一组 并将对应的3个整数排成 维的行向量，加密后仍为3 个整数排成3维的行向量 并将对应的 个整数排成 维的行向量，加密后仍为 维的行向量，其分量仍为整数。 维的行向量，其分量仍为整数。
是事先约定的， 称为解密的钥匙 解密的钥匙， 可逆矩阵 A 是事先约定的，这个可逆矩阵 A 称为解密的钥匙， 或称为“密匙” ）．即用 或称为“密匙” ）．即用
1 −1 0 A −1 = 2 − 2 − 1 −1 1 1
从密码中恢复明码： 从密码中恢复明码：
1 −1 67 1 67 0 81 9 A−1 44 = 2 −2 −1 44 = 3 , A−1 52 = 15 43 −1 1 1 43 20 43 14
矩阵分解在密码中应用研究_张焕国
cryptosystems are highly secure, such as McEliece public key cryptosystem and Lattice-based cryptosystem. While some others are not, such as some knapsack public-key cryptosystems. Because the matrix calculation is very efficient, this advantage makes it highly efficient in matrix-based cryptosystems. Another advantage of matrix-based cryptosystems is that it has the potential to resist known quantum algorithms attacks. Advances in quantum computers threaten to break the currently used public key cryptosystems on commutative algebraic structures such as RSA, ECC, and EIGamal. This is because of Shor’s quantum algorithms for integer factoring and solving the DLP, the known public-key systems will be insecure when quantum computers become practical, while no quantum algorithms are found to solve certain mathematical problems on non-commutative algebraic structures. Most of experts believe that many public-key cryptosystems (such as Code-based cryptography, Lattice-based cryptography, MQ-based cryptography) on non-commutative algebraic structures used today have the potential to resist known quantum algorithms attacks. Multiplication of matrices have non-commutative attribute, so matrix-based cryptosystems have the potential to resist known quantum algorithms attacks. In order to construct a secure cryptosystem, especially design of a secure cryptography against the threat of quantum computing attacks, it is necessary to study matrix decomposition problems and computational complexity relating to the matrix decomposition. Taking into account the above scenarios, after introducing the methods and computational complexity relating to the matrix decomposition, design and cryptanalysis of matrix decomposition-based cryptosystems, are analyzed and reviewed in detail. At last, some challenges, together with the future directions of content-matrix decomposition-based cryptography are discussed. Key words: cryptography; post-quantum cryptography; computational complexity; matrix decomposition; equations solving
矩阵在Hill密码的应用
矩阵运算在Hill密码中的应用摘要代数研究最多最基本的便是矩阵。
矩阵是代数最基本的概念，矩阵的运算是代数运算的基本内容。
矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。
如果你了解原始数表的含义，而且你可以从中抽象出某种变化规律，你就可以用代数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的一些结论。
这次我们只是简单地介绍一下矩阵在密码学中的应用（与其说是简单介绍，不如说是我学习的不够深入，停在表面）。
自二战起，密码学飞速发展，时至今日，DES可能已经成为世上最为广泛的分组密码算法了。
此文所讲的是1997年为替代DES算法二创造的AES算法，其中涉及到矩阵运算、同余等知识，便以最基础的Hill密码为例。
正文在介绍之前，我们先用一个简单的例子让我们对Hill密码有一个初步的认识。
先设定26个英文字母与数字的对应关系如下：若要发出信息action ，使用上述代码，则此信息的编码是：1，3，20，9，15，14．可以写成两个向量:, 写成矩阵现任选一个加密矩阵，例如，我们对原文进行加密，然后再发送，即，或者。
对方收到信息后，可以依照事先规定的加密矩阵予以解密，我们取，以从中恢复明码， ，b b 12193,152014⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 193152014⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 123112012⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭Ab Ab 12123167123981112344,112155201220430121443⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB C123196781112315445201220144343⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 1011221111--⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭A A 116701167181944221443,52154311143204314---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭也即。
有限域中的循环矩阵在密码学方面的相关问题
有限域中的循环矩阵在密码学方面的相关问题最近，有限域中的循环矩阵在密码学方面的应用越来越多，越来越受到研究者和工程师们的关注。
有限域中的循环矩阵作为一种有效的加密算法，它是以加密强度高并且节约运算量为特点的数学结构。
本文主要介绍有限域中的循环矩阵在密码学方面的应用，探讨其特点和发展趋势，并给出一些关于有限域中的循环矩阵的研究结论。
有限域中的循环矩阵是一种有效的密码加密算法，它的主要特点是产生的结果的长度由秘钥长度决定，并且结果的复杂性要比其他一些常用算法更高，这使得加密所需要的资源更加少，可以有效降低加密算法对资源的消耗。
而且，有限域中的循环矩阵加密算法还具有易于设计和实现的特点，秘钥的长度可以由用户自行设置，这使得实现起来更加简单。
有限域中的循环矩阵在密码学方面的应用除了可以用于密码的加密外，还可以用于防止信息的伪造和破译，这就是密码学中常见的哈希函数（Hash Functions）应用。
哈希函数可以将任意输入的数据映射成特定的结果，而且哈希函数可以使用有限域中的循环矩阵实现，这是现在被广泛使用的一种哈希函数算法，可以有效降低伪造信息和破译的几率。
有限域中的循环矩阵还可以用于维护机密性质的数据，如网络传输中的私有数据，证件号等等，这些数据必须保证不被受方窃取。
这时候可以使用有限域中的循环矩阵来加密数据，这种加密算法使用秘钥进行加解密，可以有效防止私有数据被未经授权的人访问。
然而，由于有限域中的循环矩阵有密码强度高，可以节约资源的特点，它也存在一些缺点。
一方面，它的安全性依赖于秘钥的安全性，如果秘钥被破译，它的安全性就会受到极大的冲击。
再者，它在设计和实现上也比较复杂，在量化时候需要考虑大量的因素，这使得它的开发过程比较繁琐。
未来，有限域中的循环矩阵有望继续在密码学方面得到进一步的发展和改进。
随着研究者们对有限域中的循环矩阵的认识不断深入，有望采用新的方法更好地使用和利用它，实现更高的加密强度和更少的计算量，使得有限域中的循环矩阵在密码学方面得到更多而更广泛的应用。
循环置换矩阵-概述说明以及解释
循环置换矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述循环置换矩阵是一种特殊的方阵，其元素主要为0和1，其中每一行或列都只有一个元素为1，其余为0。
在循环置换矩阵中，该元素从一个行或列循环移动到另一个行或列，形成一个环形运动的特点。
本文将介绍循环置换矩阵的定义、性质和应用，旨在帮助读者更深入地理解这一重要的数学概念，并探讨其在各个领域中的实际应用。
通过本文的阐述，读者将对循环置换矩阵有一个更清晰的认识，同时也可以启发更多关于循环置换矩阵的未来研究方向。
1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将介绍循环置换矩阵的概念和背景，说明文章的目的和结构安排。
在正文部分，将详细介绍什么是循环置换矩阵，其性质以及应用领域。
通过分析循环置换矩阵的特点和作用，帮助读者更好地理解这一概念。
在结论部分，将总结循环置换矩阵的重要性，并展望未来可能的研究方向。
同时，通过对整篇文章的回顾和总结，为读者留下一个深入思考的结语。
1.3 目的本文的目的是探讨循环置换矩阵在数学和应用领域中的重要性和应用。
通过深入研究循环置换矩阵的性质和特点，我们可以更好地理解和应用这一数学概念，为解决实际问题提供有力的数学工具。
此外，我们还希望通过本文的介绍，能够激发读者对循环置换矩阵及其应用领域的兴趣，促进相关领域的研究与发展。
最终目的是为读者提供一个全面的了解循环置换矩阵的综合性指南，帮助他们在实际问题中更好地运用这一重要数学工具。
2.正文2.1 什么是循环置换矩阵:循环置换矩阵是一种特殊的置换矩阵，它将矩阵的元素按顺序进行置换，并且每个元素都会被移动到下一个位置，直到回到原始位置。
具体来说，循环置换矩阵是通过将每个元素与其相邻元素进行交换来构建的。
例如，对于一个3×3的矩阵：[1 2 3][4 5 6][7 8 9]一个循环置换矩阵的示例可能是：[0 1 0][1 0 1][0 1 0]其中，元素1与元素2位置进行置换，元素2与元素3位置进行置换，元素3与元素1位置进行置换。
矩阵及向量外积在密码学中的应用
密码学中矩阵及向量外积的应用摘要密码技术是一门古老而十分有用的技术，随着计算机通信技术的迅猛发展，大量的敏感信息通过公共设施或计算机网络进行交换。
特别是 Internet 的广泛应用、电子商务和电子政务的迅速发展，越来越多的信息需要严格的保密，如：银行账号、个人隐私等。
加密过程是实现安全系统的核心，矩阵在加密中起着重要作用，该论文结合矩阵加密的过程，利用向量的外积对通信信息进行加密，可以更好地提高密码的安全性能。
AbstractCryptography is an ancient and very useful technique, along with the rapid development of computer communication technology, a large amount of sensitive information is exchanged through public facilities or computer networks. Especially the rapid development of Internet application, e-commerce and e-government, more and more information needs strict confidentiality, such as: bank account, the personal privacy. The encryption process is the core of implementation of security system, matrix plays an important role in cryptography, the combining process matrix encryption, using a vector product to encrypt the communication of information, can better improve the safety performance of the password.Keywords: password; matrix; vector product1 绪论近几年来，信息安全成为全社会的需求，信息安全保障成为国际社会关注的焦点。
基于有限域中的循环矩阵密码学问题研究
F福建电脑UJIAN COMPUTER一、引言随着科学技术的发展,各行各业取得了长足的发展,很多前沿科学技术也开始得到了广泛的应用和推广。
基于有限域中的循环矩阵密码学问题受到广泛关注,正交循环矩阵在组合和编码等许多领域有非常广泛的应用,基于有限域中的循环矩阵密码学问题的研究有非常重要的理论意义和应用价值。
基于有限域中的循环矩阵密码学问题的研究和应用取得了良好的效果[1]。
例如Weinberger等对基于有限域中的循环矩阵密码学问题进行了分析,利用Hass变换在有限域上分解对称圆矩阵的充分必要条件。
Mac williams的实际应用中,采用较为理想的改进方法,基于有限域中的循环矩阵密码学问题对于正交循环矩阵群的构造方法进行了分析,并进行了计数结果的分析[2]。
基于有限域中的循环矩阵密码学问题的研究中,层结构较为复杂, Byrd和Vaughan借用了Mac williams等提出了较好的改进办法,采用有限域中的正交循环矩阵群的方法进行分析,形成有效的构造方法,对计数结果进行统计,构建起良好的问题研究分析方法。
基于有限域中的循环矩阵密码学问题解决为出发点,采用E q[x](x n-1)上运用提升理想的方法,对问题加以改进,结合逆傅立叶变换来对数据进行分析,以形成任意构造算法的分析,以对计数结果进行构建[3]。
基于有限域中的循环矩阵密码学问题的研究形成有限域中有序分析,对正交循环矩阵组进行研究,通过基于有限域中的循环矩阵密码学问题的研究,形成迭代式密码。
对迭代密码结构进行构建,基于有限域中的循环矩阵密码学问题的分析构建密码结构,形成整体的设计方案,构建起DES Fcistcl的结构,并对构造算法进行分析,得出有效的计数结果[4]。
本文对基于有限域中的循环矩阵密码学问题进行了研究。
二、基于有限域中的循环矩阵密码学的研究在对基于有限域中的循环矩阵密码学问题的研究中, Shannon提出了两种关于密码学的方法:即混淆和扩散。
代数在网络安全中的应用
• 近年来, 基于（超奇异）椭圆曲线上双线性对的密码体制的研究 十分活跃, 解决了构造三方一轮Diffie－Hellman 密钥协议、短签名 方案和基于身份加密算法等长期悬而未决的公开问题．但是, 正 如Barreto－Lynn－Scott所指出, （超奇异）椭圆曲线上Weil 对与 Tate 对的运算成本经常使它成为基于双线性对密码系统的瓶 颈．寻找安全高效的双线性对已成为基于双线性对密码学的首要 问题．
所需存储的空间比较小，带宽要求较低
椭圆曲线密码体制的密钥长度与基于大合数因子分解困难性的公开 密钥密码体制相比就要小很多，这一点也可以从表1中看出来，比 如RSA需要512位元元而ECC只需要106位即可，这也就表明了ECC对 存储空间的需求要较小，在计算上的开销也很小，所以ECC会广泛 的应用在类似这些存储空间有限制的设备中。
目录
• 基于椭圆曲线的密码算法 • 循环矩阵在网络安全中的应用 • DES算法 • 基于双线性对的密码学 • 基于辫子群的密码体制 • AES算法 • RSA算法 • SHA-1算法 • 离散对数密码体制
椭圆曲线在网络安全中的应用
• 椭圆曲线的定义及点的加法运算
椭圆曲线其实并不是椭圆形状，只是因为椭圆曲线的方程和计算椭圆周长的 方程类似，所以称它为椭圆曲线，椭圆曲线的方程是：
• 椭圆曲线密码体制就是在这样的背景下开始逐渐受到重视的，是 一种以椭圆曲线相关数学知识为基础的公钥密码体制[4]。在公钥 密码体制中与其它算法相比较，椭圆曲线密码体制具有密钥短和 计算效率高等典型优点，而其本身的算法及其数学理论都是非常
安全性能较高，速度快，计算量小、效率 高
• 对于所有的密码体制而言，它的安全性能毫无疑问的成为了核心 的问题，对于椭圆曲线密码体制来说它的数学原理是对它安全性 能最有利的左证。该体制的核心是有限域上的离散对数问题[4]， 而这个问题是不能在多项式时间内使用所有的已知算法来求解的， 由此可见该体制的抗攻击性能与其它体制相比是占有绝对优势的。 下面通过一个表格可以更直观的感受椭圆曲线密码体制的这点优 势
密码学中的算法问题及矩阵分析
密码学中的算法问题及矩阵分析【摘要】本文关于密码学之中关于密码的破译，矩阵所起到的决定性的作用，来反映mod算法以及逆矩阵的运用。
针对希尔密码以及维吉尼亚密码进行解剖分析，从而得出在密码的破译之中，mod26伴随着逆矩阵共同分解，能够更快更高效地破解密码。
【关键词】mod26 逆矩阵希尔密码维吉尼亚密码一、利用mod算法进行密码分析14 98 210 210 56 182 210 252 126 196 98 7 19 105 105 28 91 105 126 63 98 49 我们可以看到，希尔密码是将数列排好，依次相乘。
得出的横列亦或者数列便是明文。
若当我们用普通的算法进行解析的话，估计要算得十分庞大，也抑或寻找不到其中的规律，如果用Mod 算法则容易得多。
这是使用正矩阵的，而逆矩阵的使用算法则更加容易。
假设密文为“FOAOESWO”FO AO ES WO6 1 5 2315 15 19 1537678390115135--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，783mod 2623W -==，135mod 265E ==所以密文“FOAOESWO”的明文为“WEREDONE”由此我们可见mod 算法与逆矩阵的效用，接下来是第二个密码的分析。
2.【维吉尼亚密码】频率的分析可以很好地打破密码的禁锢，然而，维吉利亚密码将密钥与矩阵相结合，创造出了新的密码，从中进行剖析。
加密算法：例如密钥的字母为[d]，明文对应的字母[b]。
根据字母表的顺序[d]=4,[b]=2，那么密文就是[d]+[b]-1=4+2-1=5=[e]，因此加密的结果为[e]。
解密即做此逆运算。
加密公式：密文 = (明文 + 密钥) Mod 26 - 1解密公式：明文 = [26 + (密文 - 密钥)] Mod 26 + 1假如对如下明文加密：to be or not to be that is the question当选定“have”作为密钥时，加密过程是：密钥第一个字母为[h]，明文第一个为[t]，因此可以找到在h行t列中的字母[a]，依此类推，得出对应关系如下：密钥：ha ve ha veh av eh aveh av eha vehaveha明文：to be or not to be that is the question密文：ao wi vr isa tj fl tcea in xoe lylsomvn维吉利亚密码的特点便是将密钥矩阵和mod26的算法很好地融合在一起。
循环矩阵行列式
循环矩阵行列式循环矩阵是一种特殊的矩阵，它的元素按照一定的循环规律排列。
循环矩阵的行和列是循环变换的关系，即每一行的元素都向左循环移动一位，并将第一列的元素放到最后一列。
同样地，每一列的元素向上循环移动一位，并将第一行的元素放到最后一行。
这种循环规律使得循环矩阵在一些特定的应用中具有重要的作用。
循环矩阵的行列式特性是很重要的，它可以用来解决一些与循环矩阵相关的问题。
计算循环矩阵的行列式涉及到将矩阵的元素按照特定规律进行排列，并进行求和运算。
使用行列式的定义可以得到循环矩阵的行列式公式。
对于一个n阶循环矩阵，它的行列式可以表示为det(A) = a_1 * a_2 * ... * a_n - a_n * a_1 * ... * a_{n-1}，其中a_i表示矩阵A第i行的元素。
这个公式的证明可以通过展开行列式或利用矩阵的性质进行推导。
循环矩阵的行列式具有一些特殊的性质。
首先，循环矩阵的所有行（或列）是相等的，因此行列式的值可以简化为n倍的任意一行（或列）的行列式。
其次，如果循环矩阵的元素满足一些特定的规律，比如等差数列或等比数列，那么行列式的计算可以更加简化。
此外，循环矩阵的行列式还满足行列式的性质，比如行列式的和、差、积等运算规则。
循环矩阵行列式在一些实际问题中有广泛的应用。
例如，在图像处理中，循环矩阵可以用来描述图像的平移操作；在信号处理中，循环矩阵可以用来表示周期性信号的运算；在密码学中，循环矩阵可以用来进行加密和解密操作。
通过研究循环矩阵行列式的性质和计算方法，可以更好地理解和应用这些领域的相关问题。
总之，循环矩阵的行列式是一种重要的数学工具，它具有特殊的性质和应用。
通过研究循环矩阵行列式的计算方法和性质，可以更深入地理解循环矩阵及其在实际问题中的应用。
循环矩阵的子矩阵
循环矩阵的子矩阵
循环矩阵的子矩阵是以两个阶段构成的，其中第一阶段是划分出
和原矩阵尺寸相同的一组子矩阵，它们具有相同的行数和列数，但行
数和列数可以不同。
第二阶段是将这组子矩阵进行循环，将每行的所
有子矩阵按一定顺序连接在一起，同样可以将每列的子矩阵按一定顺
序连接起来。
最后，将子矩阵重新拼接成原矩阵，形成循环矩阵。
循环矩阵的子矩阵有不同的用途，例如，它可以用于数据的压缩，在数学上可以认为它是一种归一化的矩阵，由于它的特殊性，在实际
应用中可以对大型矩阵进行加速处理。
此外，在网络化系统中，它也
可以用于快速构建一个节点之间的链接，以及最小化链路时间差，减
少系统的总延迟。
另外，循环矩阵的子矩阵还可以用于图像处理，因为它可以将输
入图像矩阵中的像素点划分为一个个独立的矩阵，从而更容易进行在
不同层次上的预处理，比如模糊、旋转、缩放等等。
此外，循环矩阵
还可以用于信号处理，有助于增强信号，提高信噪比。
总之，循环矩阵的子矩阵有很多应用，可以用于数据压缩、网络
化系统节点链接、图像处理和信号处理等方面。
它可以有效缩短处理
时间，提高系统性能，提升计算效率，为系统的数据处理带来更多的
便利。
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题目循环矩阵在密码学中的应用学生姓名韩媛媛学号 ********** 所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学1102指导教师潘平2015 年 5 月 10 日循环矩阵在密码学中的应用韩媛媛（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业1102班级，陕西 汉中 723000）指导教师：潘平[摘要]矩阵是线性代数的重要构成部分，而循环矩阵就是一类有特殊结构的矩阵，在许多实际问题中有广泛的应用，有关循环矩阵的问题仍是矩阵论研究中的热点。
在当今社会，随着科学技术水平的迅速发展，我们需要更深入的研究数学工具在现实中的实际应用。
密码学是研究编译密码和破解密码的尖端技术科学，与数学、信息学、计算机科学有着广泛而密切的联系，由于循环矩阵是现代科技工程中具有广泛应用的一类特殊矩阵，具有良好的性质和结构，因而关于循环矩阵的研究非常活跃，本文中简单介绍了ElGamal 密码体制，以及循环矩阵在ElGamal 中加密解密过程的描述。
利用循环矩阵在密码学中的研究，探索循环矩阵在几类典型密码中加密和破译的研究有着重要的现实意义。
[关键字]循环矩阵；密码学；有限域1. 循环矩阵的概念定义 1.1 ]1[设),(n n nn R CA ⨯⨯∈如果矩阵A 的最小多项式等于特征多项式，则称A 为循环矩阵.定义1.2 设A 是n 维向量空间V 上的一个线性变换，若存在向量V ∈α，使得,α αα1A ,,A -n 线性无关.则称α为A 的一个循环向量.定义1.3 已知n 阶基本循环矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00110000000001000010 D ， 并令),,2,1(n i D I i i ==，称121,,,-n I I I I 为循环矩阵基本列（其中n n I D I ==为单位矩阵）.2. 循环矩阵的性质2.1 循环矩阵基本性质 性质2.1.1 ]3[循环矩阵基本列121,,,-n I I I I 是线性无关的.性质2.1.2]3[任意的n 阶循环矩阵A 都可以用循环矩阵基本列线性表出，即11110--+++=n n I a I a I a A .性质2.1.3 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.证明 设=A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0321301221011210a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n ，B=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0321301221011210b b b b b b b b b b b b b b b b n n n n n n，则=+B A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0321301221011210a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n +⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0321301221011210b b b b b b b b b b b b b b b b n n n n n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++++++++------------00332211330011222211001111221100b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a n n n n n n n n n n n n显然B A +也为循环矩阵.定理2.1.1 设B A 、都为n 阶循环矩阵，则有：（1）乘积AB 仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，即BA AB =； （2）若A 可逆，则A 的逆矩阵也是循环矩阵；证明 (1)设)(112210D f Da D a D a I a A n n =+++=-- ， )(112210D g Db D b D b I b B n n =+++=-- ，因为k n n D D +=（其中K 为非负整数，I D =0），所以BA D h D f D g D g D f AB ====)()()()()(，此处)(P h 为不高于1-n 次的多项式，因此AB 为n 阶循环矩阵，且BA AB =.(2)设A 为n 阶可逆循环矩阵，欲求A 的逆矩阵，需求得矩阵=B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0321301221011210b b b b b b b b b b b b b b b b n n n n n n ，满足条件I AB =即可.设112210--+++=n n D a D a D a I a A ，112210--+++=n n D b D b D b I b B ，有 =AB (112210--+++n n D a D a D a I a )(112210--+++n n D b D b D b I b )=1101201121001111100)()()(-------+++++++++n n n n n n n D b a b a b a D b a b a b a I b a b a b a 要使I AB =，则以下方程组必须成立：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++------001101201121001111100n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a解以上方程组可转化为求解：TT n T b b b b A )0,0,1(),,,(1210 =-，因为A 可逆，所以0≠=A A T ，因此方程有唯一的解1210,,,-n b b b b ，可得到唯一的矩阵B ，B 为A 的逆矩阵，且B 为循环矩阵.性质2.1.4 n 阶循环矩阵A 的伴随矩阵*A 也是循环矩阵.证明 伴随矩阵1*-=A A A ，由定理2.1.1可知1122101---+++=n n D b D b D b I b A为循环矩阵，因此112210112210)(*----+++=+++=n n n n D b A D b A D b A I b A D b D b D b I b A A也是循环矩阵.2.2 关于循环矩阵的判定相关性质由定义1.2，有如下性质：引理2.2.1 ]2[设),(n n n n R C A ⨯⨯∈则rank(A))rank(AA A)rank(A H H ==.定理2.2.1 ]2[设),(n n n n R C A ⨯⨯∈则A 为循环矩阵的充要条件是矩阵[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111)()()()()()()()()(n H n Hn H n n H H Hn H H H A A tr AAtr IA tr A A tr A A tr I A tr A I tr A I tr I I tr是满秩的.由定义1.3，有如下性质：引理2.2.2]2[ 设A 是n 维向量空间V 上的一个线性变换，A 有一个循环向量的充要条件是A 的最小多项式等于特征多项式.由此可知A 为循环矩阵的充要条件是A 有一个循环向量.定理2.2.2 设),(n n n n R C A ⨯⨯∈)rank(A )rank(A 1-n n <，则A 为循环矩阵.证明 由于)rank(A )rank(A 1-n n <，故)rank(A )rank(A -n n 1-n -<n ，即1-n A 的核空间的维数小于n A 的核空间的维数.所以必存在向量)(n n R C ∈α，使得01≠-αn A ，而0=αnA .下面证明α就是A 的一个循环向量，即ααα1,,,-n A A 线性无关.设)(,,,21R C x x x n ∈ ，且满足0121=+++-αααn n A x A x x ，则0)(11222111211==+++=+++-----αααααααn n n n n n n n A x A x A x A x A x A x x A .所以01=x ，012=++-ααn n A x A x ，从而0)(122=++--ααn n n A x A x A ，即012=-αn A x ，所以02=x ，0123=++-ααn n A x A x .依次类推下去，可得021====n x x x ，因此ααα1,,,-n A A 线性无关，即α为A 的一个循环向量，所以A 是循环矩阵. 2.3 循环矩阵可逆的判定及互素推论推论2.3.1 ]5[循环矩阵A 可逆的充要条件是方程02210=+++nn x a x a x a a 无单 位根.推论 2.3.2 设A 是以n a a a ,,,21 为元素的n 阶循环矩阵，则A 可逆的充要条件是12321)(-+++=n n x a x a x a a x f 与1-n x 互素，即1)1),((=-n x x f .证明 由)()()(21n f f f A ωωω =，A 可逆的充要条件是0≠A ，即12321)(-+++=n n x a x a x a a x f 与1-n x 没有公共根，从而1)1),((=-n x x f .推论2.3.3 若12321)(-+++=n n x a x a x a a x f 与1-nx 互素，则112211)(--+++=n n n x a x a x a a x f ，122112)(---+++=n n n n x a x a x a a x f……1124321)(--+++=n n x a x a x a a x f 都与1-nx 互素.证明 因为分别以)(,),(),(121x f x f x f n - 的系数为元素的循环矩阵和以)(x f 的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论2.3.2便可推出此推论. 2.4 循环矩阵的一个定理及其得出的推论定理2.4.1]5[ 设循环矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0321301221011210a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n ，则110221212110221211110000000000111-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n nnn n n n n nn n n A ωωωωωωωωωλλλλωωωωωωωωω其中j n i j ji j nj i en i a 120;,,2,1,0,+===∑=πωωλ ，n j i ,,2,1,0,12=-=，即n ωωω ,,10为所有1+n 次单位根.我们不难由定理2.4.1得到如下推论，这里证明略.在下面推论中，A ，i λ所表示的意义均和定理2.4.1相同.推论2.4.1 循环矩阵A 的秩为n λλλ,,,21 中不是零数的个数. 2.5 循环矩阵对角化相关性质性质2.5.1 任何一个循环矩阵A 在复数域上都与一个对角矩阵相似. 证明 n 阶循环矩阵D 的特征值为)1)(1,,2,1,0(2sin 2cos2-=-=+=i n k nk i n k k ππλ 由于),(j k j k ≠≠λλ又因D 相似于对角矩阵{}110,,,-=Λn diag λλλ即存在可逆矩阵P ，Λ=-DP P 1.设)(112210D f Da D a D a I a A n n =+++=-- 是任意一个循环矩阵，则A 相似于对角矩阵 diag {})(),(),(110-n f f f λλλ事实上， 1-Λ=P P D=Λ++Λ+=Λ==-----1111101)()(P P a P P a I a P P f D f A n n{}1110)(),(),(--⋅⋅P f f f diag P n λλλ定理2.5.1 任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵.证明 设Λ是n 阶对角矩阵{}n diag λλλ,,,21 =Λ其中n λλλ,,,21 为复数.构造线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++---------n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a λωωωλωωωλωωω11121211021112121101101202010其中110,,-n ωωω 是n 阶循环矩阵D 的特征值)1,,2,1,0(2sin 2cos-=+=n k nk i n k k ππω 则以110,,-n a a a 为未知数的上述方程组有且仅有唯一解，因为它的系数行列式是范德蒙行列式，且110,,-n ωωω 互不相等，从而系数行列式不为零.构造n 阶循环矩阵112210--+++=n n D a D a D a I a A则A 的特征值为n λλλ,,,21 .由性质2.5.1，A 相似于对角矩阵{}n diag λλλ,,,21 =Λ推论2.5.1 n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 相似于某个循环矩阵.证明 充分性：若A 相似于循环矩阵B ，由性质2.5.1，B 与某对角矩阵Λ相似.根据相似关系的可传递性知，A 相似于对角矩阵Λ.必要性：若A 相似于对角矩阵Λ，由定理2.5.1知，对角矩阵Λ相似于某个循环矩阵B .根据相似关系的可传递性知，A 相似于循环矩阵.性质2.5.2 复数域上任意一个n 阶矩阵都可以对角化，更一般地，可由同一个复n 阶可逆矩阵，使复数域上任意n 阶循环矩阵同时对角化.证明 由性质2.5.1易知，任意一个n 阶矩阵A 都可以对角化，由于A 是任意的，所有的结论全部得证.3 公钥密码学的概念上图是密码体制的基本模型，我们要实现利用循环矩阵的性质，将其在公钥密码系统中完成加密，签名应用。