《大学基础物理学》教学课件：统计物理学2

i kT
2
2.2.3 理想气体的内能
内能——物质内分子(原子）的各种动能、势能及分子间 势能的总和。 理想气体的内能只是分子各种运动动能的总和。 1mol理想气体的内能：
U mol
N0
i 2
kT
i 2
RT
质量为M，摩尔质量为m 的理想气体的内能：
U
M
U mol
M
i RT 2
例题：某容器内装有氧气1mol，p=1atm，T=27℃，求：
F 应具有F eE / kT 的形式，其中E是分子的总能量.
例如，考虑大气中分子的分布时，能量E中就应
包含势能项P mgh. 并且，除考虑与动能有关的速
度区间外，还应考虑与位置有关的坐标区间.
玻耳兹曼提出，分布在 x dx, y dy, z dz
和速度区间 vx dvx , vy dvy , vz dvz 内的气体
oγ β α
刚体绕自身转轴转动角度：j
{ 平动
刚体： 转动
} 3个 6个自由度 3个
φ
y
气体分子的自由度
He
1 .单原子分子的自由度 （3个平动自由度）
O2
H2O
（He、Ne、Ar等惰性气体）
2 .双原子分子自由度 （H2、O2、CO）
（3个平动+2个转动= 5个自由度）
3 .多原子分子的自由度 （3个平动+3个转动= 6个自由度）
分子数为
dN
n0
(
m 2πk
T
)3
2
e
k
kT
p
dv
x
dv
y
dv
z
dxdydz
此即玻耳兹曼分布律. 式中n0是 P 0 处的分子
数密度.
玻耳兹曼分布律是一条经典统计规律，它表明，
在平衡态下，能量越高的粒子数越少.
大气中越高的地方分子密度越小就是一个实例.
• 根据波尔兹曼分布律可以导出理想气体分子在重力场 或带电离子处在电场中，此时分子按势能分布规律。
讨论气体分子数随分子速率的分布情况 2.3.1 麦克斯韦速率分布函数
处在平衡态的气体，设其分子总数为N,则分布在v—v+dv 区间的分子数占总分子数的比率dN/N,只与v有关，即：
dN f (v)dv N
f (v)— 称为速率分布函数（概率密度）
f (v) 4π(
m
)
3 2
e
mv2 2kT
v
2
2πkT
RT 1.60
8.31 300 32 103
m/s
446m/s
v2 1.73
RT 1.73
8.31 300 32 103
m/s
483m/s
*四、 玻耳兹曼能量分布
注意到
f
(v)
4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2
2πkT
指数
中 mv2 / 2 为分子的平动动能，玻耳兹曼将此分布推
广到各种运动自由度的情形，而认为一般的分布函数
dN x,y,z
n0
(
m 2πk
T
)3
2
k p
e kT dvxdvydvz dxdydz
Ep
dNx,y,z n0e kT dxdydz
Ep
n n0e kT
应用：估计海拔高度
mgh
gh
p nkT n0kTe kT p0e RT
h RT ln p0
g p
2.4 分子碰撞的统计分布
2
2πkT
vdN
v 0 vf (v)dv
8RT
N
0
π
2.求分子方均根速率
v2
1
v2dN
v2 f (v)dv
3RT
N0
0
例 计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率、 方均根速率。
v p 1.41
RT 1.41
8.31 300 32 103
m/s
394m/s
v 1.60
u v1 v2
(u )
2
(v1
v2
)2
(v1
源自文库
)
2
2v1
v2
(v
2
)2
u2
v12
2v1 v2
v22
u2
v12
2v1
v2
v22
v12 v22 v2
速率分布曲线 （ f(v)~v 曲线）
v = 0， f(v)= 0 ；
f(v)
v = ∞， f(v)= 0；
f (v) 4π(
m
)
3 2
e
mv2 2kT
v
2
2πkT
v=vp ，f(v)最大。
由：df (v) 0， dv
dS
可得：vp
2kT m
2RT
O
vp v v+dv
v
dS f (v)dv
一.平均碰撞频率： 定义：单位时间内单个分子与其他分子的平均碰撞次数。 导出思路： 假定分子为弹性小球，有效直径为d。
d
d d
d
d
讨论A分子，设其它分子静止，A分子速率为u 凡分子中心与A分子中心相距为d的分子均要与A分子相撞。 碰撞截面的面积为πd 2
Δt时间内(A所在)碰撞截面扫过的体积为：
πd 2ut
平均相对速率与平均速率之间有：
u 2v
设分子数密度为n ，则Δt时间内的碰撞次数：
πd 2utn 2πd 2vtn
平均碰撞频率：
次数 Z
2πd 2n v
t
平均相对速率
v2
v2
与平均速率：
u
由于v1、v2的相对独立性， 根据概率论原理可知：
分子2 分子1
v1
v1
u也符合麦克斯韦速度分布率。
分子速度空间
2.2 能量均分定理 理想气体的内能
2.2.1 自由度 定义：确定一物体在空间位置所需要的独立坐标数
例如：火车 轮船 飞机
在平直的轨道上运行—— 1个自由度 在水面上航行—— 2个自由度 在空中自由飞翔—— 3个自由度
刚体的自由度：
z
①平动：x、y、z (质心位置)
②转动轴线方位：a、b、g
cos2 a cos2 b cos2 g 1 x
2.2.2 能量均分定理
vx2
v
2 y
vz2
1 v2 3
1 2
mvx2
1 2
mvy2
1 2
mvz2
1 3
1 2
mv2
再由： 1 mv2 3 kT
2
2
得：
1 2
mvx2
1 2
mv
2 y
1 2
mvz2
1 2
kT
平衡状态下，分子每个自由度上具有相同的平均动能：
1 kT 2
如果气体分子有i个自由度，则每个分子的总平均动能：
、n、 、 、U
解： 1. pV M RT
p RT
p 1.3kgm 3
RT
2. p nkT n P 2.451025 m3 kT
3. 3 kT 6.211021J
2
4. e =5/2kT=1.035×10-20J
5. U = 5/2 RT = 6.23×103J
2.3 麦克斯韦速率分布律
S f (v)dv 1
0
某气体温度变化时对速率分布曲线的影响
vp
2kT m
2RT
f(v) T1 T1<T2<T3 T2 T3
O
v
大气中不同气体分子速度分布
vp
2kT m
2RT
f(v) CO2
O2 N2
O
v
三.应用 1.求分子平均速率
f (v) 4π(
m
)
3 2
e
mv2 2kT
v