圆中的分类讨论(多解问题)

圆中的分类讨论(多解问题)

一、由于点与圆的位置关系的多样性引起的不唯一性

方法归纳：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，但圆上的点具有唯一性．所以，只考虑点在圆内和点在圆外两种情况．

【例1】已知点A到⊙O的最近距离和最远距离分别是3 cm和9 cm，求⊙O的半径．

1．点A到圆的最近距离是a，最远距离是b，则该圆的直径是__________．

2.已知：⊙O的直径为14cm，弦AB=10cm，点P为AB上一点，OP=5cm，则AP的长为______cm．

3.已知∆A B C内接于圆O，∠=︒

O

B

C3

5，则∠A的度数为_______

4.已知△ABC中，AB=15，BC=14，△ABC的面积为84，⊙A的半径为13，则点C与⊙A的位置关系是

_____________________________________________.

二、由于圆的对称性引起的不唯一性

方法归纳：平行弦位于圆心O的同侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之差；平行弦位于圆心O的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和．

【例2】已知，⊙O的直径是10 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，求AB与CD之间的距离．

5．如图，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD

的上方，则AB和CD的距离为________．

6．在半径为5 cm的⊙O中，如果弦CD＝8 cm，直径AB⊥CD，垂足为E，那么AE的长为________．

7．如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A，B分别为切点，C为⊙O上不与A，B重合的另一点，

若∠ACB＝120°，则∠APB＝________．

8．在半径为1的⊙O中，弦AB＝2，AC＝3，那么∠BAC＝________．

6.已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2

的弦AB，连接PB，则PB的长为______．

三、由于一弦对二弧而引起的不唯一性

方法归纳：一弧对一圆心角和一圆周角，但一弦却对一圆心角和二圆周角，且同弦所对两圆周角互补．【例3】弦AB的长等于半径，则AB所对的圆周角等于多少度？

9．⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A＝________．

四、由于动点问题而引发的直线与圆位置关系的不唯一性

方法归纳：由于动点的移动而导致的图形整体运动，要抓住在图形变化时几种特殊静态位置的关键要素．从而分类型以静态位置的条件达到解题的目的．

【例4】如图，P为正比例函数y＝3

2x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为

(x，y)．求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标．

10．(无锡期中)如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm，AB 为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开

始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终

点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，问：

(1)t为何值时，P，Q两点之间的距离为10 cm?

(2)t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？相离？相交？

11.已知△ABC内接与圆O，AB=AC=a，BC=b，AE切○O于点A，BC∥AE，在射线AE上是否存在一点P，使得以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似？若不存在，请说明理由；若存在，求出AP的长。

12、如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t (s)，当t=0s 时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？（2）当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

13如图,在平面直角坐标系中,已知⊙C的半径为r,直线l:

4

y=x-4

3

,与x轴、y轴分别交于A、B两点. （1）当r=1.5时，将⊙C从点C与坐标原点重合开始, 沿y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,点C移动的距离是________

（2）若点C位于坐标原点O,当⊙C与△OAB的斜边AB有1个公共点时,r的取值范围是________（3）若点C位于坐标原点O,当⊙C与△OAB的边有2个交点时,r的取值范围是____________

x

y

B

A

O