人教版高中数学-基本不等式

《不等式的性质》教学设计

一. 教学内容解析；

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5）》（人教A 版）第三章第一节的第二课《不等式的性质》。

这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质。

二．教学目标设置；

1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．

2.理解并掌握比较两个实数大小的方法．

3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．

三．学生学情分析；

在初中的学习中，学生已将掌握了不等式关于加减和乘除的性质，本节课所需要解决的问题是（1）利用公理化的体系构建学生对于所学不等式性质的认识，让学生更好的从本质上体会不等式的性质，（2）学习关于不等式原来不完善的地方，比如对称性和传递性，还要学习两个不等式间的加减乘除次方开方运算。教学难点是让学生体会公理化体系下不等式性质的证明及其应用．

四．教学策略分析；

这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质．通过求解方程和求解不等式相对照，梳理初中已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，猜想不等式的基本性质，并给出证明。让学生体会“运算”在研究不等式性质中的关键作用。 为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，要通过公理化的论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．

五．教学过程设计；

引入：

1．古诗横看成岭侧成峰，远近高低各不同，引出不等关系。

2.求解方程213132

x x +-=和不等式213132x x +->梳理初中已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，

讲解新课：

1．通过实例，2,3比较大小，22,2a a +比较大小引出判断两个实数大小的充要条件是：

2.利用判断大小的运算方法证明不等式的性质：

性质3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b a+c>b+c

证明：∵a>b ， ∴a-b>0，

∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c

性质4 如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ；

如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．

在解不等式的过程中4554x x ->⇒<-，可以吗？可以证明吗？

性质1：如果a>b ，那么bb ．(对称性)

即：a>b bb

证明：∵a>b ∴a-b>0

由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0

即b-a<0 ∴b

两个事物不容易比大小的时候，我们经常寻找中间量，这体现了怎样的数学思想呢？ 性质2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)

即a>b ，b>c a>c

证明：∵a>b ，b>c ∴a-b>0， b-c>0

根据两个正数的和仍是正数，得

(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0

∴a>c

性质5：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)

即a>b ， c>d a+c>b+d ．

证法一： a+c>b+d

证法二：

a+c>b+d 例 已知a>b ，cb-d ．(相减法则)

分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的

证法一：∵a ＞b ，c ＜d

∵a －b ＞0，d －c ＞0

∴（a －c ）－（b －d ）

＝（a －b ）＋（d －c ）＞0(两个正数的和仍为正数)

>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a ⇒>-+-⇒⎭

⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a

故a －c ＞b －d

思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的

证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d

又∵a ＞b

∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ）

∴a －c ＞b －d

对于两个不等式的运算我们知道有加法减法，那么有没有乘法呢？我们一起研究一下 性质6：相乘法则 a>b >0，且c>d>0⇒ac>bd

性质7：如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn ＞ｂn （ｎ∈N ，且ｎ＞0）

性质8： 如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N ，且ｎ＞1）．

小结 ：本节课我们学习了不等式的性质，理解不等式性质的反对称性(a ＞b b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c a ＞c )、可加性(a ＞b a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法

六．课堂教学目标检测

1.下列说法正确的是________．

①若a >b ，则ac 2>bc 2；

②若a >b ，则1a <1b

； ③若ac 2>bc 2，则a >b ；

④若a ab >b 2；

⑤若c >a >b >0，则a c －a >b c －b

； ⑥若a >b 且1a >1b

，则a >0，b <0；⑧若a >b ，则lg a >lg b . 2.已知－6

的取值范围．

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