大涡模拟简单介绍

《粘性流体力学》小论文

题目：浅谈大涡模拟

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完成时间：2010/12/16

浅谈大涡模拟

丁普贤

（中南大学,能源科学与工程学院，湖南省长沙市，410083）

摘要：湍流流动是一种非常复杂的流动，数值模拟是研究湍流的主要手段，现有的湍流数值模拟的方法有三种：直接数值模拟、大涡模拟和雷诺平均模型。本文主要是介绍大涡模拟，大涡模拟的思路是：直接数值模拟大尺度紊流运动，而利用亚格子模型模拟小尺度紊流运动对大尺度紊流运动的影响。大涡模拟在计算时间和计算费用方面是优于直接数值模拟的，在信息完整性方面优于雷诺平均模型。本文还介绍了对N-S方程过滤的过滤函数和一些广泛使用的亚格子模型，最后简单对一些大涡模拟的应用进行了阐述。

关键词：计算流体力学；湍流；大涡模拟；亚格子模型

A simple study of Large Eddy Simulation

DING Puxian

(Central South University, School of Energy Science and Power Engineering, Changsha, Hunan,

410083)

Abstract：Turbulent flow is a very complex flow, and numerical simulation is the main means to study it. There are three numerical simulation methods: direct numerical simulation, large eddy simulation,Reynolds averaged Navier-Stokes method. Large eddy simulation (LES) is mainly introduced in this paper. The main idea of LES is that large eddies are resolved directly and the effect of the small eddies on the large eddies is modeled by subgrid scale model. Large eddy simulation calculation in computing time and cost is superior to direct numerical simulation, and obtain more information than Reynolds averaged Navier-Stokes method. The Navier-Stokes equations filtering filter function and some extensive use of the subgrid scale model are simply discussed in this paper. Finally, some simple applications of large eddy simulation are told.

Key words：computational fluid dynamics; turbulence; large eddy simulation; subgrid scale model

0 引言

无论是在自然界还是在工程中，流体的流动很多都是湍流流动，例如，山中的流水，飞流直下的瀑布，飞机机翼旁边的气体流动，喷嘴的射流，炉内的气体流动等等。湍流是一种非常复杂的流动，复杂性表现在于湍流流动的随机性、有旋性、统计性。虽然已经可以用N-S 方程描述各种流动，但是由于方程组的强耦合性和非线性，这样对于解这些偏微分方程带来很大的困难，所以研究湍流的方法主要是实验和数值模拟。但是由于有些实验难以实现，例如机翼附近的空气流动，故数值模型的方法得到了研究人员的青睐。

现有的湍流数值模拟方法有3种[1]：直接数值模拟，大涡数值模拟和雷诺平均模拟。直接数值模拟不需要对湍流建立模型，采用数值计算直接求解流动的控制方程；工程中广泛应用的湍流数值模拟方法采用雷诺平均模型，这种方法将流动的质量、动量和能量输运方程进行统计平均后建立模型；大涡数值模拟的主要思想是：大尺度湍流直接利用数值求解，只对小尺度湍流脉动建立模型。

由于直接数值模拟需要较大计算机内存和时间，而雷诺平均模型得到信息不够多，但是大涡数值模拟(LES)有两者的优点，所以对于大涡模拟的研究是相当有必要的。本文将对大涡模拟及其应用和亚格子模型进行简单的介绍。 1 大涡模拟

目前计算机的计算能力仍对数值模拟紊流时所采用的网格尺度提出了严格的限制条件。人们可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构，但却无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。大涡模拟的思路是：直接数值模拟大尺度紊流运动，而利用次网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度紊流运动的影响[2]。大涡模拟较直接数值模拟占计算机的内存小，模拟需要的时间也短，并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息。所以随着计算机的发展，大涡模拟越来越收到国内外研究者的关注，并且认为大涡模拟将是最有前景的湍流模型。

使用大涡模拟的时候，要注意以下4个问题[3]:

1) 用于N-S 方程进行过滤的函数。

2) 彻底经过经验封闭的模型(包括传统亚格子模型和其它封闭方法)。

3) 足够多的边界条件和初始条件。

4) 使控制方程在空间和时间上离散的合适数值方法。

不可压缩常粘性系数的紊流运动控制方程为N-S 方程[4]：

(1-1)j ij i j j i i x S x P x u u t u ∂•∂+∂∂-=∂∂+∂∂)2(1γρ

式中：S 拉伸率张量，表达式为：2/)//(i j j i ij x u x u S ∂∂+∂∂=；γ分子粘性系数；ρ流体密度。根据LES 基本思想，必须采用一种平均方法以区分可求解的大尺度涡和待模化的小尺度涡，即将方程(1-1)中变量u 变成大尺度可求解变量u 。与雷诺时间平均不同的是LES 采用空间平均方法。设将变量i u 分解为方程(1-1)中i u 和次网格变量(模化变量)'i u ,即'+=i i i u u u ,i u 可以采用leonard 提出的算式表示为:

(1-2)

式中)(x x G '-称为过滤函数，显然G(x)满足

常用的过滤函数有帽型函数(top —hat)、高斯函数等。帽型函数因为形式简单而被广泛使用

(1-3)

这里∆为网格平均尺度，三维情况下，3/1321)(∆∆∆=∆，1∆，2∆，3∆分别为x 1，x 2，x 3 方向的网格尺度。当0→∆时，LES 即转变为DNS 。

将过滤函数作用与N-S 方程的各项，得到过滤后的紊流控制方程组：

(1-4) 由于无法同时求解出变量i u 和j i u u ，所以将j i u u 分解成ij j i j i u u u u τ+•=，ij τ即称为次网格剪切应力张量(亦称为亚格子应力)。

由此动量方程又可写成：

(1-5)

式中ij τ代表了小窝对大涡的影响。

上述叙述的过滤器属于非均匀过滤器，实际应用中还有均匀过滤器，例如盒式过滤器、高斯过滤器、谱空间低通过滤器等等。

为了能够对ij τ进行模化，学者们提出了亚格子模型。

x d x u x x G x u i i '''-=

⎰+∞∞-)()()(⎰+∞∞-=1)(dx x G ⎪⎩⎪⎨⎧∆>'-∆≤'-∆='-2/02//1)(x x x x x x G j ij i j j i i x S x P x u u t u ∂•∂+∂∂-=∂∂+∂∂)

2(1)(γρj ij j ij i j j i i x x S x P x u u t u ∂∂-∂∂+∂∂-=∂•∂+∂∂τγρ)2(1)(