函数的对称性(课堂PPT)
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反比例函数的对称性课件
k x
动脑筋: 你能根据学过的反比例函数的图象,在下列图象中
1 选出y= x 的图象吗?
(A)
(B)
(C)
(D)
例题: 2 观察y= x 的图象,回答下列问题: (1)点A(2,m)在反比例函数y=
k x
的图象上,则m= 1
.
(2)你能写出A点关于原点对称点A’的坐标吗?点A’在 函数反比例y= 2 的图象上吗?
x
(3)点A和A’的连线一定经过哪一点? (4)分别过A和A’作x轴的垂线,垂足分别为B、B’，则下 y 列关系正确的是（ ）. A.OA=OA’ B.∠AOB=∠A’OB’ A C.A、O、A’在同一条直线上. B’ (5) 你能求出S△ABC= . o B A’
变式题： k2 如果一次函数y=k1 x+1与y= 的图象交于A（1，3） x 与点B 。 （1）分别写出这两个函数的表达式； (2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？ 与同伴进行交流。
通过做上面两道题,你能的到什么结论?
练一练: 1.某函数具有下列两条性质:①图象关于原点对称 ②当x>0时,y随x 的增大而减小 请你写出符合条件的一个函数解析式 . 2.P是反比例函数图象上的一点,且点P到x轴的距离 为2,到y轴的距离为3,则反比例函数解析式为 . 点P关于原点的对称点在此反比例函数图象上吗? 为什么? k 3.反比例函数y= x 与正比例函数函数y=2x的图象 . 有交点,则k的取值范围是 若反比例函数y= 与一次函数y=kx+2的图象有交点, 则k的取值范围是 .
x
(6).如图,四边形ABA’B’ x
做一做: k2 如图,正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=
x
的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（ 3 ， 2 （1）分别写出这两个函数的表达式； y
动脑筋: 你能根据学过的反比例函数的图象,在下列图象中
1 选出y= x 的图象吗?
(A)
(B)
(C)
(D)
例题: 2 观察y= x 的图象,回答下列问题: (1)点A(2,m)在反比例函数y=
k x
的图象上,则m= 1
.
(2)你能写出A点关于原点对称点A’的坐标吗?点A’在 函数反比例y= 2 的图象上吗?
x
(3)点A和A’的连线一定经过哪一点? (4)分别过A和A’作x轴的垂线,垂足分别为B、B’，则下 y 列关系正确的是（ ）. A.OA=OA’ B.∠AOB=∠A’OB’ A C.A、O、A’在同一条直线上. B’ (5) 你能求出S△ABC= . o B A’
变式题： k2 如果一次函数y=k1 x+1与y= 的图象交于A（1，3） x 与点B 。 （1）分别写出这两个函数的表达式； (2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？ 与同伴进行交流。
通过做上面两道题,你能的到什么结论?
练一练: 1.某函数具有下列两条性质:①图象关于原点对称 ②当x>0时,y随x 的增大而减小 请你写出符合条件的一个函数解析式 . 2.P是反比例函数图象上的一点,且点P到x轴的距离 为2,到y轴的距离为3,则反比例函数解析式为 . 点P关于原点的对称点在此反比例函数图象上吗? 为什么? k 3.反比例函数y= x 与正比例函数函数y=2x的图象 . 有交点,则k的取值范围是 若反比例函数y= 与一次函数y=kx+2的图象有交点, 则k的取值范围是 .
x
(6).如图,四边形ABA’B’ x
做一做: k2 如图,正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=
x
的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（ 3 ， 2 （1）分别写出这两个函数的表达式； y
反比例函数性质-对称性与几何意义ppt
的面积求K值时，一定要注意图像所在 的象限，从而确定K的符号。
能力提高,拓展思维--典型例题 确定解析式
反比例函数
k y= x
与一次函数y=-x-k的图象相交
于点A，过点A作AB垂直于x轴于点B，已知三角形AOB 的面积等于2，直线y=-x-k与x轴相交于点C，求反比 例函数与一次函数的解析式。 y
4 2.若在反比例函数 y 中也用同样的方法分别 x 取P，Q两点填写表格： 4 y x
P（1,-4） Q（2,-2）
S1的值 4
S2的值
S1与S2 关系
与k的关 系
4
s1=s2
s1=s2=|k|
于是：我们发现了反比例函数的几何意义
k 对于反比例函数 y x 点Q是其图像上的任意 一点，作QA垂直于y轴， 作QB垂直于X轴，矩 形QABO的面积与k有 |k| 什么关系SAOBQ= 三角形QAO与三角形 QBO的面积和k又有什 K 么关系呢？SQAO=SQBO=
如图,点M是反比例函数 为 2 .
y=
4 x
图象上的一
点,MP⊥x轴于P.则△POM的面积
y
M
o P
x
应用新知,加深理解--几何意义应用
应用三、已知面积，求K
﹣ 12 下面各点 PA⊥x轴于A.则△POA的面积为6,则k= --------。
也在这个反比例函数图象上的是（ B ）
A（2,3） B（-2,6） C（2,6）
y A
o C x
（2）若一次函数y=ax+1经过A
点，求此一次函数的解析式。 B
（3）若一次函数与x轴相交于点C,
求∠AOC的度数和|AO|: |AC|的值
K
高中数学人教A版必修1《函数的对称性与周期的应用研究》PPT
函数图象能够直观形象的表示出函数 的变化情况，可以帮助我们理解抽象函 数关系的意义，同时函数图象又是运用 数形结合思想方法的基础，利用函数图 象可以更好的研究函数的性质；
当我们面对一个函数的图象的
时候，也是要学会利用图象去研究 这个函数的有关的性质，而不是计 算求值.
结束
谢谢！
函数y=f(x)关于点（1，2）对称
函数y=f(x)关于点（-1，-2）对称
t
f (x) f (6 x) (x 6)2 7(6 x) 4 x2 5x 2
x2 7x 4 x 3 f (x) x2 5x 3 x 3
在函数图象的变换中， “左加右减”
第二部分
二.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何研究函数问题
函数f(x)=
log2 x, x 0,
log
1 2
(
x),
x
0
f (x) f (0)
这是一种计算的思维！ 能不能运用函数的性质来理解和解决问题呢？
f (x) f (8)
利用函数的解析式研究函数的性质
结合函数的图象研究函数的性质.
f (x) f (x T )
y f (x)是奇函数
普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类）（北京卷）
y f (x)
y f (x)
小结：
(a x) (a x) a 2
要有能力把用自然语言所描述的函数性质 用数学的符号语言表达出来.
函数y=f(x)关于点（1，0）对称
2. 请你用数学符号语言表示奇函数的代数涵义 3．奇函数 y f (x) 的图象有什么特征呢？
代数特征：自变量互 为相反数，其对应函 数值也互为相反数.
代数特征：自变量 互为相反数，其 对应函数值相等， 定义域关于原点 对称
当我们面对一个函数的图象的
时候，也是要学会利用图象去研究 这个函数的有关的性质，而不是计 算求值.
结束
谢谢！
函数y=f(x)关于点（1，2）对称
函数y=f(x)关于点（-1，-2）对称
t
f (x) f (6 x) (x 6)2 7(6 x) 4 x2 5x 2
x2 7x 4 x 3 f (x) x2 5x 3 x 3
在函数图象的变换中， “左加右减”
第二部分
二.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何研究函数问题
函数f(x)=
log2 x, x 0,
log
1 2
(
x),
x
0
f (x) f (0)
这是一种计算的思维！ 能不能运用函数的性质来理解和解决问题呢？
f (x) f (8)
利用函数的解析式研究函数的性质
结合函数的图象研究函数的性质.
f (x) f (x T )
y f (x)是奇函数
普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类）（北京卷）
y f (x)
y f (x)
小结：
(a x) (a x) a 2
要有能力把用自然语言所描述的函数性质 用数学的符号语言表达出来.
函数y=f(x)关于点（1，0）对称
2. 请你用数学符号语言表示奇函数的代数涵义 3．奇函数 y f (x) 的图象有什么特征呢？
代数特征：自变量互 为相反数，其对应函 数值也互为相反数.
代数特征：自变量 互为相反数，其 对应函数值相等， 定义域关于原点 对称
函数的周期性和对称性PPT课件
13
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
函数的对称性课件——2025届高三数学一轮复习
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f (x－1)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．( × )
(2)若函数y＝f (x＋1)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称． ( √ )
(3)若函数f (x)满足f (x－1)＝f (x＋1)，则f (x)的图象关于y轴对称．
(1)B (2)1
[(1)因为f (5＋x)＝f (3－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝4对称，而f (x)＝
3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f (6)＝3|6-4|＋2＝11.故选B.
(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，∵g(1＋x)－g(1－x)
数f (x)关于点(1，0)对称，因为函数f (x)定义域为R，所以f (1)＝0，B正确；
又因为函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (3)＝0，由f (－3x＋1)＝－f (3x
2
3
＋1)，令x＝ ，可得f (－1)＝－f (3)＝0，D正确；
可构造函数f (x)＝cos
π
2
− 2 满足题意，此时f (2)＝cos 0＝1，f (0)＝cos (－π)
以将f (x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f (x＋1)＋
1，该函数的对称中心为点(0，0)，故y＝f (x＋1)＋1为奇函数．
(2)对于A，由二次函数的性质可知，函数f (x)＝2x2＋1无对称中心，故A错误；
对于B，函数f (x)＝x3是奇函数，故其图象关于原点对称，故B正确；
2+1 2−2+3
3
＝
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的对称性和周期性27页PPT
，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
函数的对称性和周期性
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
函数的对称性和周期性
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
二次函数图象中的“对称性” ppt课件
（2）求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线。
（3）求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成中心对称的抛物线。
（4）求抛物线y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180°得到的抛物线。
▲ 抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y)
y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.
变式训练:已知二次函数的图像经过A（-1,0）、 B（3,0）,且函数有最小值-8，试求二次函数 解析式.
y 2(x 1)2 8
ppt课件
12
巧用“对称性” 化繁为 简
6、求代数式的值
▲ 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且
经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ B ）
（1）设抛物线顶点为(m,n)则顶点式为y=a(x-m)²+n
抛物线绕顶点坐标旋转180后,解析式中a变为-a,其余不发生变化：y=-a(x-m)²+n
（2）如果原解析式为y=ax²+bx+c,顶点纵p坐pt标课件为n
14
则新解析式为y=2n-(ax²+bx+c)=-ax²-bx+2n-c
最短路径：“将军饮马” 问
y
1
M
A O1N
Bx
C
D
▲ 若点N（n,0)是对称轴上的一个动点，当NA＋NC的值最小时，求n的值.
▲在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得△ACQ周长最小？
▲在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点Ppp到t课B件、C两点距离之差最大？
16
感悟与反思
1、抛物线是轴对称图形，充分利用对称轴的方程 x=(x1+x2)/2,注意数形结合思想.
高中数学—函数的对称性与周期性—完整PPT
函数的对称性与周期性
函数的轴对称
函数的点对称求函数对Βιβλιοθήκη 后的解析式对称轴或对称中心
原函数
对称函数
原点
对称的两函数
对称轴或对称中心
两函数关系式
原点
同一函数的对称性
对称轴或对称中心
函数满足的关系式 无
原点
无
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
函数的轴对称
函数的点对称求函数对Βιβλιοθήκη 后的解析式对称轴或对称中心
原函数
对称函数
原点
对称的两函数
对称轴或对称中心
两函数关系式
原点
同一函数的对称性
对称轴或对称中心
函数满足的关系式 无
原点
无
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
第十四课--函数的对称性
1.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函
数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)
内解的个数的最小值是( )
D
A．3 B．4 C．5 D．7
f(x)是周期为T的奇函数，则f(T/2)=0
2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足
f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为
B
(A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2
13.函数y=sinx关于点(kπ,0)对称，也 关于直线x=π/2+kπ对称 14.函数y=cosx关于点(π/2+kπ,0)对 称，也关于直线x=kπ对称
15.函数y=tanx关于点(kπ/2,0)对称
16.三次函数y=ax3+bx2+cx+d关于 点(-b/3a,f(-b/3a))对称
六、练习题
T=4 (3)减函数
20.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期 函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是 奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数， 在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数 取得最小值-5.(1)证明：f(1)+f(4)=0;（2） 求y=f(x),x∈[1,4]的解析式； （3）求y=f(x)在[4,9]上的解析式.
三、两个函数的轴对称：若函数y=f (x) 定义
域为R，则函数y=f (a+x) 与y=f (b-x)两函数
的图象关于直线x=(b-a)/2对称。
5.函数y=f(x-a)与y=f(a-x)的图
象关于什么直线对称？ 若f(x)满足f(x-a)=f(a-x),则
x=a
f(x)的图像有怎样的对称性？ x=0
15.设f (x)= x2 +1 ,若g (x)的图象与 y=f(x+2) 的图象关于点(1,1)对称,求g (x)
3.2.2函数的对称性+课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3.2.2 函数的对称性
高中数学必修第一册
问题探究
教材P87T13
我们知道，函数 = ()的图象关于坐标原点成中心对称图象的充要条
件是函数 = ()为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 =
()的图象关于点(, )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( +
) −为奇函数.
2.若函数 ( + )是奇函数，则 ( )关于(, 0)对称.
高中数学必修第一册
典例精析
例2.已知偶函数 = ()的图象关于直线 = 2对称，(3) =
3 ， 则 ( − 1 ) = _ _ _ _3_ _ _ _ _ _ _ _ .
高中数学必修第一册
典例精析
例2.（1）已知偶函数 = ()的图象关于直线 = 2对称，
( 3 ) = 3 ， 则 ( − 1 ) = _ _ _ _3_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）设 () 是定义在 上的偶函数，且 (1 − ) = (1 + ) ，
当 − 1 ≤ ≤ 0 时 ， ( ) = − ， 则 ( 8 . 6 ) = _ _ _ _ _-0.6
呢？
高中数学必修第一册
问题探究
探究：
1.当函数 = ()的图象关于点(, 0)对称时，又会满足怎样的条件
呢？
高中数学必修第一册
知识小结
直线 =
+
2
1.函数图象关于直线对称
= ()在定义域内恒满足的条件 = ()的图象的对称轴
( − ) = ( + )
() = (−)
高中数学必修第一册
典例精析
例1.已知定义在 上的偶函数 =
1
()，其图象关于点(
高中数学必修第一册
问题探究
教材P87T13
我们知道，函数 = ()的图象关于坐标原点成中心对称图象的充要条
件是函数 = ()为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 =
()的图象关于点(, )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( +
) −为奇函数.
2.若函数 ( + )是奇函数，则 ( )关于(, 0)对称.
高中数学必修第一册
典例精析
例2.已知偶函数 = ()的图象关于直线 = 2对称，(3) =
3 ， 则 ( − 1 ) = _ _ _ _3_ _ _ _ _ _ _ _ .
高中数学必修第一册
典例精析
例2.（1）已知偶函数 = ()的图象关于直线 = 2对称，
( 3 ) = 3 ， 则 ( − 1 ) = _ _ _ _3_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）设 () 是定义在 上的偶函数，且 (1 − ) = (1 + ) ，
当 − 1 ≤ ≤ 0 时 ， ( ) = − ， 则 ( 8 . 6 ) = _ _ _ _ _-0.6
呢？
高中数学必修第一册
问题探究
探究：
1.当函数 = ()的图象关于点(, 0)对称时，又会满足怎样的条件
呢？
高中数学必修第一册
知识小结
直线 =
+
2
1.函数图象关于直线对称
= ()在定义域内恒满足的条件 = ()的图象的对称轴
( − ) = ( + )
() = (−)
高中数学必修第一册
典例精析
例1.已知定义在 上的偶函数 =
1
()，其图象关于点(
函数的对称性ppt课件
(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是
偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是
A.f(－1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(－1)
C.f(2)<f(－1)<f(1)
D.f(－1)<f(2)<f(1)
√
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
则 + = ．
【答案】6
【解析】设函数 图象的对称中心为 , ，则有2 = + (2 − )，
即2 = 3 − 9 2 + 29 − 30 + (2 − )3 − 9(2 − )2 + 29(2 − ) − 30，
整理得2 = (6 − 18) 2 − (122 − 36) + 83 − 362 + 58 − 60，
所以 = 2 ．
故答案为 = 2 ．
题型三
例3
两个函数图象的对称
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)
的图象
√
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
跟踪训练3
A.y＝ex－1
√
C.y＝e2－x
A
B
考点2 函数的对称性
一。函数的图象自对称性
函数y=f(x)图象关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x)
函数y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称 ⇔f(2a-x)+f(x)=2b
函数对称性ppt
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人书友圈7.三端同步
巧用“对称性”求点的坐标
1.如图抛物线一部分图象所示,该抛物线的对称轴是 直线x=1，在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是（_3_，__0_）_
y
1
A-1 O 1
B
3
x
C
Байду номын сангаас
D
纵坐标相等的点关于对称轴对称，且到对称轴距离相等
巧用“对称性”求方程的根
2.已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标为
转1800
抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-2,7), B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标 为-8的另一点坐标是什么？
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f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
谢谢!
19
函数图像关于(0,0)中心对称 奇函数
F(-x)=-F(x) 即：F(-x)+F(x)=0
从”数”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
f(1)=f(3)
f (x)
f(0)= f(4)
f(-2)=f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
1 23
x2
f(310)=f(4-310)
f(x)=f(4-x)
x
x
4567 8
3
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
从”数”的角度看，
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
21
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
22
函数图像关于(a,0)中心对称
23
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
34
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
xa
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
31
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
由f(x)图像关于x=a对称
2a-x0 x0
xa
P’也在y=f(x)图像上
y0=f(x0) f(2a-x0)=f(x0)
即： f(x)=f(2a-x)
33
猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)有怎样的对称关系式？
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
(2a-xP0’, y0)
25
26
-3 -2x x-1x
1xx x 2 3 4 5 6
27
-x
-3 -2 -1
x
12
28
29
F(1)F(1) F(2)F(2)
f( 6x)f( 6x) F(x)F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f(6x)f(6x)
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
则函数图像关于点 (
a+b 2
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
15
☺ 知识内容：
函数图像的对称性
对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
a F(x)+F(2a-x)=0
24
F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f ( x ) 图像关于xa轴对称
证明：（必要性）
f(a x )f(a x )x D
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性，
同时又有着优美的对称关系式
1
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1)F(1) F(2)F(2)
F(x)F(x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
X
x0
2
从”形”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a+x
a
x
13
类比探究
中心对称性
y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
b
o
a
x
14
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
5
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
6
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
7
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
证明: ( )
任取y=f(x)图像上一点P(x0, y0) 设P’是关于P直线x=a的对称点
？ P(x0,f(x0)) 若P’也在f(x)图像上，(需验证)
xa
P’(2a-x0, y0) 代入y=f(x)
f(2a-x0)=f(x0)= y0 f(2a-x0)=y0 P’在f(x)的图像上
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
11
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
y
2a-x o
a
xx
12
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
9
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
xa
特例：a=0
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于 直线 x=
a+b 2
对称
10
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
F(a-x)=F(a+x) F(x)=F(2a-x)
x=a
32
猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)有怎样的对称关系式？
证明: ( )
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0))
? P’
P(x0,y0)
设P’是P关于直线x=a的对称点 P’(2a-x0,y0)
x 6
x0
x6
思考？若函数f ( x ) 图像关于xa轴对称，
f ( x ) 有怎样的对称关系式？
30
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’
也在f(x)图像上．
P’
P(x0,y0) 则由P的任意性可知
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
谢谢!
19
函数图像关于(0,0)中心对称 奇函数
F(-x)=-F(x) 即：F(-x)+F(x)=0
从”数”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
f(1)=f(3)
f (x)
f(0)= f(4)
f(-2)=f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
1 23
x2
f(310)=f(4-310)
f(x)=f(4-x)
x
x
4567 8
3
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
从”数”的角度看，
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
21
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
22
函数图像关于(a,0)中心对称
23
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
34
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
xa
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
31
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
由f(x)图像关于x=a对称
2a-x0 x0
xa
P’也在y=f(x)图像上
y0=f(x0) f(2a-x0)=f(x0)
即： f(x)=f(2a-x)
33
猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)有怎样的对称关系式？
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
(2a-xP0’, y0)
25
26
-3 -2x x-1x
1xx x 2 3 4 5 6
27
-x
-3 -2 -1
x
12
28
29
F(1)F(1) F(2)F(2)
f( 6x)f( 6x) F(x)F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f(6x)f(6x)
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
则函数图像关于点 (
a+b 2
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
15
☺ 知识内容：
函数图像的对称性
对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
a F(x)+F(2a-x)=0
24
F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f ( x ) 图像关于xa轴对称
证明：（必要性）
f(a x )f(a x )x D
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性，
同时又有着优美的对称关系式
1
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1)F(1) F(2)F(2)
F(x)F(x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
X
x0
2
从”形”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a+x
a
x
13
类比探究
中心对称性
y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
b
o
a
x
14
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
5
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
6
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
7
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
证明: ( )
任取y=f(x)图像上一点P(x0, y0) 设P’是关于P直线x=a的对称点
？ P(x0,f(x0)) 若P’也在f(x)图像上，(需验证)
xa
P’(2a-x0, y0) 代入y=f(x)
f(2a-x0)=f(x0)= y0 f(2a-x0)=y0 P’在f(x)的图像上
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
11
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
y
2a-x o
a
xx
12
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
9
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
xa
特例：a=0
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于 直线 x=
a+b 2
对称
10
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
F(a-x)=F(a+x) F(x)=F(2a-x)
x=a
32
猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)有怎样的对称关系式？
证明: ( )
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0))
? P’
P(x0,y0)
设P’是P关于直线x=a的对称点 P’(2a-x0,y0)
x 6
x0
x6
思考？若函数f ( x ) 图像关于xa轴对称，
f ( x ) 有怎样的对称关系式？
30
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’
也在f(x)图像上．
P’
P(x0,y0) 则由P的任意性可知