数值微分与数值积分练习题

第五章 数值微分与数值积分

一．分别用向前差商，向后差商和中心差商公式计算()f x =2x =的导数的近似值。其中，步长0.1h =。

【详解】

00()()(20.1)(2)=0.349 2410.10.1

f x h f x f f h +−+−===向前差商

00()()(2)(20.1)=0.358 0870.10.1

f x f x h f f h −−−−===向后差商

00()()(20.1)(20.1)=

0.353 664220.10.2f x h f x h f f h +−−+−−===×中心差商 二．已知数据 x 2.5

2.55 2.60 2.65 2.70 ()f x

1.58114 1.59687 2 1.62788 1.64317 求(

2.50),(2.60),(2.70)f f f ′′′的近似值。

【详解】

0.05h =，按照三点公式

3(2.50)4(2.55)(2.60)3 1.581144 1.59687 1.61245(2.50)0.316 10020.050.1

f f f f −+−−×+×−′≈==×(2.65)(2.55)1.627881.59687(2.60)0.310 10020.050.1

f f f −−′≈==× (2.60)4(2.65)3(2.70)241.6278831.64317(2.70) 4.179 90020.050.1

f f f f −+−×+×′≈==× 三．已知如下数据 x 3 4 5 6 7 8

()f x 2.937 6 6.963 213.600 0 23.500 8 37.318 4 55.705

6

用三点公式计算(5)f ′和(5)f ′′的近似值。

【详解】

1h =，(6)(4)23.500 8 6.963 2(5) 8.268 422

f f f −−′≈== 2(4)2(5)(6) 6.9632213.600023.5008(5) 1.6320212

f f f f −+−×+′′≈==× 四．求4n =时的所有Cotes 系数。 【详解】

()

00,(1)()!()!n i n n n i j j i

C t j dt n i n i −=≠−=−⋅−∏∫，0,1,2,...,i n = 4044(4)432000(1)17(1)(2)(3)(4)(10355024)40!(40)!9690C t t t t dt t t t t dt −−=−−−−=−+−+=⋅−∫∫4144(4)432100(1)132(2)(3)(4)(92624)41!(41)!2490

C t t t t dt t t t t dt −−=−−−=−−+−=⋅−∫∫ 4244(4)432200(1)112(1)(3)(4)(81912)42!(42)!1690

C t t t t dt t t t t dt −−=−−−=−+−=⋅−∫∫ 4344(4)432300(1)132(1)(2)(4)(7148)43!(43)!2490

C t t t t dt t t t t dt −−=−−−=−−+−=⋅−∫∫ 4444(4)

4324

00(1)17(1)(2)(3)(6116)44!(44)!9690C t t t t dt t t t t dt −−=−−−=−+−=⋅−∫∫ 五．分别用梯形公式和Simpson 公式计算定积分1

0x e dx ∫，并与精确值

比较精度。 【详解】 1

011 1.718 282 0

x x e dx e e ==−=∫ 梯形公式 10101:() 1.859 1412

x T e dx e e ≈+=∫

误差为1.718 282-1.859 141=-0.1408 590

Simpson 公式 1101201:(4) 1.718 8616x

S e dx e e e ≈++=∫ 误差为1.718 282-1.718 861=-0.000 579

六．分别用复化梯形公式(取8n =)和复化Simpson 公式(取4n =)计算定积分1

0x e dx ∫，并与精确值比较精度。

【详解】 1

0 1.718282x e dx = ∫

8T ：7101801

10(2) 1.72051968i x i e dx e e e =−≈++= ×∑∫ 其误差为1.718282 1.7205190.002237 − =−

4S ：212431018801110(42) 1.71828464i i x

i i e dx e e e e −==−≈+++= ×∑∑∫ 其误差为1.718282 1.7182840.000002 − =−