1-1 质点运动的描述

A
y s
r
O z
B
x
1-1 质点运动的描述
1.1.4 速度（velocity） 1 平均速度（average velocity） ∆������ ������������ − ������������ ������ = = ∆������ ������������ −������������ 大小：| ������| =
1-1 质点运动的描述
解： ⑴由运动方程的分量式
x R cos t y R sin t
消去 t ，得轨道方程：
y
r (t )
O
t
x R
x y R
2 2
2
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⑵位矢对 t 求导得速度：
d r (t ) (t ) ( R sin t ) i ( R cos t ) j dt
dr dr dt dt
1-1 质点运动的描述
例1.1 已知质点的运动方程为 ������ = ������ + ������，
������������
������ = ������ + ������， 求： ⑴ 质点运动的轨道方程，任意时刻的位置矢量； ⑵ ������到������������内的位移、平均速度； ⑶ ������ = ������������时的速度。
0到4 s内的位移是：
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r r4 r0 4 i 4 j r i j 平均速度： t
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⑶ t = 2 s时的速度
2 d r (t ) d t (t ) [(t 2) i ( 2) j ] dt dt 4 t i j 2
������ = ������ = ������������ +������������ +������������
r
P ( x, y, z )
x
g O z
a
方向用方向余弦表示:
������������������������ =
������ ， ������
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������������������������ =
1-1 质点运动的描述
由运动方程可得速度
d r (t ) (t ) dt dx dy dz i j k x i y j z k dt dt dt
1-1 质点运动的描述
速度的大小即速率（speed）

dr
ds dt dt
解： 位置矢量对������ 求导得速度：
d r (t ) 2 (t ) ( 2t ) i (t / 2 ) j dt
速度对������ 求导得加速度：
d (t ) a (t ) ( 2 ) i (t ) j dt
1-1 质点运动的描述
1-1 质点运动的描述
例1.6 有一个小球在某液体中竖直下落，已知 其初速度数值为υ0 ,其加速度数值与速度大小成 正比，加速度方向与运动方向相反，求：任意 a 时刻小球所处的位置。 O
0

y
1-1 质点运动的描述
解：令小球的加速度为 a k
a
d a d t k d t d t 移项并积分： kdt 0 0 kt 得： 0 e
|∆������| ∆������
A
y
r r r 2 1
O
B
x
方向：与位移 ∆������一致
z
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2. 瞬时速度（速度）（instantaneous
velocity）
∆������ ������������ ������ = lim = ∆������→������ ∆������ ������������ 方向： t 时刻质点的运动方 向，也是所在处轨道 的切线方向
由
O
0

y dy kt d y d t ( 0 e ) d t 由 y dt y t k t 两边积分： d y ( 0 e ) d t
0 0
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得：
0 k t y (1 e ) k
(ρ,θ)
(s ) θ O x
s
ρ
O
平面极坐标系
自然坐标系
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质点：理想模型 具有一定质量的几何点 D太地≈1.5×108 km
R地≈6.4×103 km
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1.1.2 位置矢量（位矢）（ position vector） 以直角坐标系为例
y
b
������ = ������������ + ������������ + ������ ������ 位矢的大小
速率： R ，方向沿轨道切向 速度对 t 求导得加速度方程：
d (t ) a (t ) dt 2 2 ( R cos t )i ( R sin t ) j
加速度大小： a R ，方向指向圆心
2
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例1.4 一质点由静止开始做直线运动，加速度 与时间的关系式：������ = ������������ + ������������，其中������������ 和������为 常量。求经过������ 时间后质点的速度和运动的距 离。 ������������ 解： ⑴一维直线运动中，������ =
������ ， ������
������������������������ =
������ ������
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运动方程（function of motion） ������ = ������(������) 以直角坐标系为例 ������ = ������ ������ = ������(������)������ + ������(������)������ + ������ ������ ������ 分量式
= ������������ − ������������ ������ + (������������ − ������������ )������ + ������������ − ������������ ������
1-1 质点运动的描述
位移与路程的区别 位移∆������是矢量。反映 在∆������时间内，质点位置 的变化，与路径无关。 路程∆������是标量。反映 在∆������ 时间内，质点实 际经过的轨道长度。 ∆������ ≠ |∆������| 当∆������ → ������时，������������ = |������������|
∆������ = ������������ − ������������ 大小： ������点到������点的直线距离 方向： ������点指向������点 以直角坐标系为例 ∆������ = ������������ − ������������ A
y
r 1
z
r
O
B
r2
x
1 1
a
O


y
B
2 2

x


大小：| ������| =
|∆������| ∆������
方向：与 ∆������一致
z
1-1 质点运动的描述
2. 瞬时加速度（加速度）
∆������ ������������ ������������ ������ ������ = lim = = ������ ∆������→������ ∆������ ������������ ������������
1-1 质点运动的描述
第一章 质点运动学
基本要求： 掌握位矢、位移、速度、加速度的概念和计算； 掌握质点的运动方程、圆周运动的切向和法向加速 度、角量和线量的关系；
理解参考系、质点、自然坐标系;
理解相对运动。
重点：位矢、位移、速度、加速度、切向和法向加速度。
难点：切向和法向加速度。
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1.1.6 质点运动学的两类基本问题 第一类基本问题：已知运动方程，求速度或 加速度。
r (t )
微分
d r (t ) (t ) dt
积分 积分
微分
d (t ) a (t ) dt
第二类基本问题：已知加速度或速度及初 始条件，求速度或运动方程。
a ( t ), 0 ( t ), r0
������ = ������(������) ������ = ������(������) ������ = ������(������)
消去时间 t 即 可得轨道方程
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1.2.3 位移（displacement）
质点在∆������ = ������������ −������������ 时间间隔内，位矢变化
d a d t
������������
1-1 质点运动的描述
1-1 质点运动的描述
dx ⑵ 一维直线运动中， x dt d x d t ( 0 a t ) d t
两边积分：

x x0
dx

t
0
( 0 a t ) d t
1 2 得： x x 0 0 t a t 2
t (t ) 0 a (t ) d t 0 t r ( t ) r0 ( t ) d t 0
1-1 质点运动的描述
例1.3 已知质点的运动方程为: ������ = ������������������������������������ ������ + (������������������������������������)������， 其中������、������为常数。 求： ⑴ 质点运动的轨道方程； ⑵ 质点的速度和加速度 。
1-1 质点运动的描述
x t 2 解： ⑴ 2 消去 t t y 2 4
( x 2) y 2 4
2
2 t 位矢： r ( t ) x i y j ( t 2 ) i ( 2 ) j 4
⑵ t = 0 时， r0 2 i 2 j t = 4 s 时，r4 6 i 6 j
加速度的大小:������ = ������ =
|������������| ������������
在直角坐标系中，
a ax a y az
2
2
2
加速度的方向：指向 轨道曲线凹的一侧
1-1 质点运动的描述
������与������的夹角������
<90°速率增大
1
a
q

y2
q
=90°速率不变 >90°速率减小
O z
x
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例1.2 已知质点的运动方程为������ = ������������ + ������，
������ =
������������
������，
求：������ = ������������时的速度、加速度。
1-1 质点运动的描述
x y z
2 2 2
在直角坐标系中，
1-1 质点运动的描述
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于位矢 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
o
x
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
1.1.1 参考系（reference system） 运动的绝对性与相对性
运动的绝对性
运动的相对性
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坐标系（coordinate system）
在参考系上建立坐标系，可以定量描述物 体运动。常用的坐标系：直角坐标系、平面极 坐标系和自然坐标系。还有球坐标系，柱坐标
系等等。
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t = 2 s 时，
2 i j
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1.1.5 加速度（acceleration） 1. 平均加速度 ∆������ ������������ − ������������ ������ = = ∆������ ������������ −������������ A