学会用面积法解证几何题

学会用“面积法”解证几何题

楚雄育才学校 刘宪敏

在初中几何课教学中，常常会遇到一些与直角形有关的证明题或计算题，在解决此类问题时，若我们能够利用“面积”这一中介来求解，往往会达到异象不到的效果，下面举几个例子来说明。

例1、在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是AB 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，求证：2

2

42b

a a

b DE +=

。

【分析】：1、如图（1）所示，此题的常规解法是证明Rt △ABM ∽Rt △DEA ，从而得出

AD

AM

DE AB =，又22BM AB AM +=代入上述比例式即可得出证明

结果。

2、考虑到此题有一些Rt △，因此，我们还可以这样来分析，如图（2所示），连结DM ，易证Rt △ABM ≌Rt △DCM ，由此利用“面积”来证明（∵S 矩形ABCD =S △AMD +2S △ABM ），证明过程如下：

证明：如图（2）所示，连结DM ∵M 是BC 的中点 ∴BM=CM

∠B=∠C=900

⇒Rt △ABM ≌Rt △DMC

A E

B C

D

A

E

D

AB=AC

又∵S 矩形ABCD =S △AMD +2S △ABM

即：a b DE AM ab ∙⨯⨯+∙=2

121221

∴AM •DE=ab

又∵2

442

222

2

2

b a b a BM AB AM +=+=+=

∴2

2

42b

a a

b DE +=

.

说明：在解证与矩形有关的问题时，可将其分解成几个直角三角形，从中利用“面积”来解题。

例2、在Rt △ABC 中，BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则Rt △ABC 的内切圆半径为： 。

解法一：（运用切线长定理） 如图（3）所示，设⊙0切AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，

AE=AD=x ；BD=BF=y ，于是：x=a-R ，y=b-R ，c=x+y=a-R+b-R ，

∴R=

2

c

b a -+ ① 解法二：（用面积法）如图（4）所示，

连结OA 、OB 、OC 则有：S △ABC =S △AOC +S △

COB

+S △BOA

E

C F

A

E

C

F

即：cR bR aR ab 2

1212121

++=， ∴c

b a ab

R ++=

②

若作进一步引申，把①与②联立即得：

c

b a ab

c b a ++=-+2 化简得：a 2+b 2=c 2（此为著名的勾股定理）。

由上述解法可知著名的勾股定理也可用此法来证明。 例3、如图（5）所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB

于点D ，以AD 为直径的⊙0交AC 于E ，求证：2

2

BC AC EC AE =。 证法一：如图（5）所示，由射影定理可得：AC 2=AD •AB ；BC 2=BD •AB

∴

BD

AD

BC AC =22 连结DE ，因为AD 为⊙0的直径，所以DE ⊥AC ，

∴DE ∥BC ，∴EC AE BD AD =，∴2

2

BC AC EC AE =。 证法二：考虑到面积比等于相似比的平方，而AC 、BC 所在三角形分别是Rt △ADC 和Rt △CDB ，显然他们相似，于是有：

BD AD BD CD CD

AC S S BC AC

CDB

ADC =

∙∙==

∆∆2

121

22

，这样一来只需证明EC AE BD AD =即可，以下证法同证法一。

综上所述，在一些几何证明题或计算题中，若能巧妙的利用“面积”这一中介来解题，往往会达到异想不到的收获，而且在研究“一题多解”的同时，把此方法运用到教学中，不仅可以锻炼学生的思维能力，而且还能扩大学生的视野，使学生掌握更多的解题方法，提高学生的解题能力。