北京市海淀区2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题 扫描版含答案
北京市海淀区2013-2014学年高二下学期期中考试英语试题 扫描版含答案
海淀区高二年级第二学期期中练习英语2014.4参考答案第一部分:听力理解第一节(共12小题; 每小题1分, 共12分)1. A2. B3. A4. C5. C6. C7. B8. A9. B 10. A11. camera 12. Mark 13. 80965233 14. WB2100 15. London(12、15两题首字母不大写不得分;14题两个字母大小写皆可)第二部分:知识运用(共30小题; 每小题1分, 共30分)16. B 17. C 18. D 19. C 20. B 21. D 22. A 23. B 24. D 25. A 26. A 27. C28. A 29. B 30. A 31. C 32. B 33. A 34. D 35. C 36. A 37. D 38. D 39. B 40. C 41. B 42. D第三部分:阅读理解(共13小题; 每小题2分, 共26分)43. B 44. A 45. D 46. C 47. B 48. A 49. A 50. C 51. D 52. B 53. E 54.A 55. D第四部分: 课文诵读第一节(共6小题; 每小题0.5分,共3分)56. dilemma 57. mention 58. from 59. donated 60. emailing(e-mailing) 61. split(非课文原文用词不给分。
)第二节(共4小题; 每小题1分,共4分)62. enlarge your vocabulary 63. guarantee greater comprehension64. reach a target 65. keep in mind(与课文原文用词不一致但能正确达意的其他词组也给分。
)第五部分: 文句翻译(共5小题;每小题2分,共10分)66. Finally,I would like to know what qualifications candidates are required to have to enter the program.67. At this time of year, there is nowhere better than the unspoiled countryside of SouthShropshire.68. Many people cut down trees at all costs, greatly destroying the ecosystem.69. Somebody jumping for joy is easy to see while a raised eyebrow conveying doubt is easier to miss.70. No one will have to live on welfare.(与课文原句不一致但能正确达意的也给分。
2013-2014学年下学期期末高二数学试卷(理)(含答案)
2013-2014学年下学期期末高二数学试卷(理)(含答案)选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集I =R ,若函数,集合M ={x|},N ={x|},则 ( ) A. ⎣⎡⎦⎤32,2 B. ⎣⎡⎭⎫32,2 C. ⎝⎛⎦⎤32,2 D. ⎝⎛⎭⎫32,2 2.下列命题,正确的是( )A.若z ∈C ,则z2≥0B.若a ,b ∈R ,且a>b ,则a +i>b +iC.若a ∈R ,则(a +1)i 是纯虚数D.若z =1i,则z3+1对应的点在复平面内的第一象限 3.用数学归纳法证明,在验证1n =成立时,左边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++ 4.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则的大小关系为( ) A .123S S S << B .213S S S << C .231S S S << D .321S S S <<5.设Sn =1+2+3+…+n ,n ∈N*,则函数 f(n)=Sn ++1 的最大值为( ) A.120 B.130 C.140 D.1506.若,且函数 在处有极值,则的最大值等于( )A.2B.3C.6D. 97. p =ab +cd ,q =ma +nc· b m +d n(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数),则p 、q 的大小关系为( )[来源:21世纪教育网]A .p≥qB .p≤qC .p>qD .不确定 8.观察式子:,, ,… ,则可归纳出式子为( ) A.( B. C. D.9.设函数的定义域为R,是的极大值点,则以下结论一定正确的是( ) A.B.是的极小值点 [来源:21世纪教育网]C. 是的极小值点D.是的极小值点10.若 的最小值为( )A. B. C. D.11.已知函数6761)(3+-=x x f 在点处的切线方程为 则满足约束条件的点的可行域面积为 ( ) A. 6 B. 7C. 8 D .9 12.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数)。
2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题(含答案)
2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题说明: 1.本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共150分。
2.将第I 卷选择题答案代号用2B 铅笔填在答题卡上,第II 卷的答案或解答过程写在答题卷指定位置3.考试结束,只交答题卷。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(5分×12=60分)在每小题给出的四个选项只有一项正确.1.复数 231iz i-=+ 对应的点位于 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 曲线2212-=x y 在点)23,1(-处的切线的倾斜角为( ) A.2πB.4πC.54π D. 4π- 3. 函数 31()13f x x ax =++ 在 (,1)-∞- 上为增函数,在 (1,1)- 为减函数,则 (1)f 的值为( ) A. 13 B. C. 73D. 1-4. 函数xxy ln = 的最大值为 ( )A. 1e -B. eC. 2eD. 1035. 计算11(2)x x e dx -+⎰等于 ( )A. 1e e -B. 1e e + C. 0 D. 2e 6.曲线2y x =与3y x =围成的图形的面积为 ( )A .16 B. 13 C. 112 D. 7127.观察下列各式:567853125,515625,578125,5390625==== 得到20115的末位四位数字为 ( )A. 3125B. 5625C. 0625D. 8125 8. 若三角形的一边长为 a ,这条边上的高为 h ,则12S ah ∆= 类比三角形有扇形弧长为,半径为 r ,则面积=S 扇 ( ) A.221r B. 221l C. lr 21D. 以上都不对9.已知a , b 是不相等的正数,设x =,y = ( ) A. y x > B. x y > C. y x 2> D. 不确定10. 5 位志愿者和他们帮助2位老人排成一排照相,要求这2位老人相邻,但不排在两端,则不同排法有( )种A. 1440B. 960C. 720D. 480 11.甲乙两人从 4 门课程中选修 2 门,则甲乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 ( )种A. 6B. 12C. 30D. 3612. 用数学归纳法证明公式*()(1)(2)()()f n n n n n n N =+++∈ 时,从 ""n k = 到"1"n k =+ 时,等式左边(1)f k +可写成()f k 再乘以式子 ( ) A. 21k + B. 22k +C. (21)(22)k k ++D. (21)(22)1k k k +++第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题(5分×4=20分)13. 若二项式 9()ax x- 展开式中 3x 系数为84-, 则 a = .14. 5 名同学去听 3 个课外讲座,且每个学生只能选一个讲座,不同的选法有 种. 15. 若124adx x=⎰,则 a =_____16. 若函数()3axf x e x =+有大于零的极值点,则 a 的取值范围是_____三、解答题17.(本小题满分10分)已知 c bx ax x f ++=2)( 且(1)2,f -=(0)f '=0,1()2f x dx =-⎰, 求,,a b c 的值.18.(本小题满分12分)现有 7 名男生,5 名女生中(1)选出5人,其中A, B 两名学生必须当选,有多少种不同的选法? (2)选出5人,其中A, B 两名学生都不当选,有多少种不同的选法? (3)选出5人,其中至少有两名女生当选,有多少种不同的选法?(4)选出5人,分别去担任语、数、外、理、化五科科代表,但语文科代表由男生担任,外语科代表由女生担任,有多少种不同的选派方法?19.(本小题满分12分)已知函数 32()33f x x ax bx =-+ 与直线0112=-+y x 相切于点(1, -11)(Ⅰ)求 b a , 的值;(Ⅱ)讨论函数 ()f x 的单调性.20.(本小题满分12分)已知函数 21()ln 2f x x x =+ (Ⅰ)求函数 ()f x 在区间[1,]e 上的最大值及最小值;(Ⅱ)求证:在区间 (1,)+∞ 上()f x 的图像在函数32()3g x x =的图像的下方.21(本小题满分12分) 已知函数)10(ln 1)(≠>=x x xx x f 且 (Ⅰ)求函数 ()f x 的单调区间;(Ⅱ)对于(0,1)x ∀∈ 都有12axx >,求a 的取值范围.22(本小题满分12分)已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f(Ⅰ)若()xf x '21x ax ≤++, 求 a 的取值范围. (Ⅱ)证明:(1)()0x f x -≥.高二理数参考答案一、选择题二、填空题三、解答题18.(1)310120C=…………………………………………………………………..3分(2)510252C=……………………………………………………………………6分(3)551412757596C C C C--=或23324155757575596C C C C C C C+++=…………9分(4)113751025200C C A=…………………………………………………………..12分20. 1)由已知1()[1,]()0f x x x e f x x'=+∈>()f x 在[1,]e 上递增…………………………………………………………….3分21=()1(1)22e yf e y f ∴=+==最大最小…………………………………………5分 2)构造函数2312()()()ln 23F x f x g x x x =-=+- 221(1)(21)()2x x x F x x x x x -++'=+-=…………………………………………..8分 (1,)()0x F x '∈+∞∴<()F x 在(1,)+∞递减,且1(1)06F =-<所以在(1,)+∞上,()(1)0F x F <<………………………………………………..10分 所以()()f x g x <,即()f x 图像在()g x 图像下方…………………………………12分22. 1)解:11()ln 1ln x f x x x x x+'=+-=+ 由()ln 1xf x x x '=+又由2()1xf x x ax '≤++ 得ln a x x ≥-………………………………….2分 令()ln g x x x =- 则 1(1)(1)()x x g x x x x-+-'=-=……………………………………………..3分 当(0,1)x ∈时,()0g x '>,当(1,)x ∈+∞时,()0g x '<1x ∴= 是最大值点………………………………………………………….4分 a 的范围是[1,)-+∞…………………………………………………………6分。
北京市海淀区2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题 扫描版含答案
海淀区高一年级第二学期期中练习数 学参考答案及评分标准2014.4一、 选择题.二、填空题.9.410.12, 3-- 11. 1, 45-12. ①②③ 13. 5274,1614. 11123I 0)))43234()或1 (II)(0,(,(, 说明:12题如果填写两个选项给2分,只填一个选项不给分; 其余两空题目都是每个空2分. 三、解答题15.解: ( I ) 2()cos 242f ππ=++= …………………….2分. ( II ) 因为22()sin 2sin cos cos cos2f x x x x x x =+++所以 ()1sin 2cos2f x x x =++ …………………….4分所以π())14f x x =++ …………………….6分所以()f x 的最小正周期为 2π2π=π||2T ϖ== …………………….8分 (Ⅲ)令πππ2π22π242k x k -≤+≤+ 所以3ππππ88k x k -≤≤+ 所以()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k k -+∈Z (), …………………….10分16.解: ( I )解法一:设{}n a 的公差为d , 因为112n n a a n ++=+, 所以有1223112122a a a a ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩ ,两式相减得到,21d =,即12d = ………………….2分 代入得到112a =………………….4分 所以11+1)222n na n =-⋅=( ………………….6分解法二:设{}n a 的公差为d ,则1+1),n a a n d =-⋅( 11+,n a a n d +=⋅ ………………….2分所以111221)22n n a a a n d dn a d ++=+-⋅=+-( 所以有1122=2dn a d n +-+对*n ∈N 成立, 所以有12=112=2d a d ⎧⎪⎨-⎪⎩,解得11=21=2d a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ………………….4分 所以11+1)222n na n =-⋅=( ………………….6分 (II) 因为1(),2n n a a S n +=所以(1)4n n nS += ………………….9分(Ⅲ)因为13,,m m a a a 成等比数列,所以213()=m m a a a ………………….10分即213422m m =⋅ ………………….11分 解得3,m =0m =(舍掉)所以3m = ………………….12分17. 解: ( I ) 由正弦定理sin sin a bA B=得到sin sin a B b A = ………………….2分 所以有sin cos a B a B = ………………….3分 所以sin cos B B =,即tan 1B = ………………….4分因为0,)B ∈π(, 所以π4B ∠= ………………….5分 (II )在ACE ∆中,根据余弦定理222=2c o s C E A C A E A C A E C A E +-⋅∠ ………………….7分得到222π=424cos4CE +-⋅⋅(化简得CE ………………….8分 在ACE ∆中,sin sin ACE CAEAE CE∠∠= ………………….9分化简得到sin ACE ∠ ………………….10分因为π2ACE CAP ∠+∠=,所以cos sin 5CAP ACE ∠=∠=所以在Rt ACP ∆中,cos =5AC CAP AP ∠=代入得到AP = ……………….12分18解: (I) 3a 可能取的值 3,3,1,1-- ………………….2分 (II) 存在 ………………….3分这个数列的前6项可以为 1,2,1,212---,, (或者取1,23,210---,,,) ………………….5分 (Ⅲ)1210|...|a a a +++的最小值为1 ………………….6分 解法一:因为111,|||1|n n a a a +==+,所以n a ∈Z ,且所有的奇数项都为奇数,偶数项为偶数 因此1210,,...,a a a 中一定有5个奇数,5个偶数,所以1210|...|a a a +++一定是奇数,所以1210|...|1a a a +++≥令这10项分别为1,2,1,2121212----,,,,,,(或者为 1,2,3,210123----,,,,,,,或者为1234,3,21012----,,,,,,,) 则有1210|...|=1a a a +++ ………………….10分 解法二:因为111,|||1|n n a a a +==+,所以n a ∈Z ,且所有的奇数项都为奇数,偶数项为偶数 又因为221()(1)n n a a +=+ 所以221()()12n n n a a a +--= 所以有2211101012a a a --= 22109912a a a --= ......2232212a a a --= 2221112a a a --=把上面的10个式子相加,得到221111210102(...)a a a a a --=+++ 所以有21210111|...||11|2a a a a +++=- 因为离11最近的奇数的平方是 9,所以有12101|...||911|=12a a a +++≥- 令这10项分别为1,2,1,2121212----,,,,,,(或者为 1,2,3,210123----,,,,,,,或者为1234,3,21012----,,,,,,,) 则有1210|...|=1a a a +++ ………………….10分说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京市海淀区高二数学下学期期中试题 文(扫描版)北师大版
北京市海淀区2012-2013学年高二数学下学期期中试题文(扫描版)海淀区高二年级第二学期期中练习数学(文科)参考答案及评分标准 2013.4一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.1.C 2.D 3.C 4.C 5.A 6.D 7.C 8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.9. 11710.2 11.① 12.1a ≥ 13.0 14.()31327x f x x =+; ()3132n n nx f x x =-+ (每空2分)三、解答题:本大题共4小题,共44分. 15.解:2'()32f x x ax b =-+ …………………………..2分.()f x 在0x =处取得极大值1(0)1'(0)0f f =⎧∴⎨=⎩,所以1,0c b == …………………………..5分 2'()32(32)f x x ax x x a ∴=-=-令'()0f x =得203或a x x == …………………………..6分 ①若0a >,则()f x 和'()f x 情况如下:②若0a <,则()f x 和'()f x 情况如下:分 综上讨论可得0a >满足题意.16.解:(I )12(3)2n n n x x x n --+=≥ .....................................2分 (II )10x =,22x =,3211()12x x x =+=,43213()22x x x =+= 1212a x x ∴=-=,2321a x x =-=-,34312a x x =-= ………………4分 推测12(2)n n a -=- (6)分证明:对于任意*n N ∈,1n n n a x x +=- 121111111()()222n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=-………………………….9分{}n a ∴是以2为首项,以12-为公比的等比数列. 故11122()2(2)n n n a --=⋅-=- ………………10分17.(I ) //CD 截面EFGH 且CD ⊂平面ADC ,平面ADC 截面EFGH GF =∴ //GF CD ………………………2分 同理可证//AB GH ………………………3分 (II )DC BD ⊥,//GF CD GF BD ∴⊥ ………………………4分AD ⊥截面EFGH ,AD GF ∴⊥ ………………………5分又BD AD D = GF ∴⊥平面ABD ……………………….7分 (III ) 由(I )知//GF CD ,//AB GH同(I )的证明方法可得,//AB EF ,//HE CD∴//GH EF ,//HE GF∴ EFGH 是平行四边形 ……………………….8分 又GF ⊥平面ABD ,GF GH ∴⊥∴ EFGH 是矩形 …………………………9分在ABD ∆中,GH GD AB AD=,∴GH GD x == 在ACD ∆中,GF AG DC AD =,∴22x GF -= ∴2=2矩形EFGH x S GH GF x -⋅=⋅ AD ⊥平面EFGH ∴GD 是四棱锥D EFGH -的高∴ 四棱锥D EFGH -的体积 ()V x 32121(2)3326矩形EFGH x x GD S x x x -=⋅=⋅⋅=-+,(0,2)x ∈ ……………..10分 则21'()(34)6V x x x =-+ 令'()0V x =得0x =(舍)43或x =………………………11分 当403x <<时,'()0V x >,()V x 在4(0,)3上单调递增; 当423x <<时,'()0V x <,()V x 在4(,2)3上单调递减, ∴max 41641616()()(2)3627981V x V ==-+⨯= …………………….12分 18.解:22'()(2)()(22)x x x f x x k e x kx k e x kx x k e =++++=+++……………....2分整理得'()()(2)xf x x k x e =++ ……………………………..3分(1)若函数()f x 在(0,1)上单调递减,则在(0,1)x ∈上'()0f x ≤,由于0x e >∴当(0,1)x ∈时,有()(2)0x k x ++≤由二次函数()(2)y x k x =++的图像可知,1k -≥,即1k ≤-时满足题意………5分(2)若2k >,有2k -<-,则当(,)x k ∈-∞-时,()(2)0x k x ++>,'()0f x >,函数()f x 单调递增; 当(,2)x k ∈--时,()(2)0x k x ++<,'()0f x <,函数()f x 单调递减;当(2,)x ∈-+∞时,()(2)0x k x ++>,'()0f x >,函数()f x 单调递增;………………………………8分 若2k =,则2'()(2)0x f x x e =+≥,且仅当2x =-时'()0f x =,所以函数()f x 单调递增; ..…………………………9分 若2k <,有2k ->-,则当(,2)x ∈-∞-时,()(2)0x k x ++>,'()0f x >,函数()f x 单调递增; 当(2,)x k ∈--时,()(2)0x k x ++<,'()0f x <,函数()f x 单调递减;当(,)x k ∈-+∞时,()(2)0x k x ++>,'()0f x >,函数()f x 单调递增;………………………..12分综上,当2k >时,函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-和(2,)-+∞,单调递减区间是(,2)k --;当2k =时,函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞,无单调递减区间;当2k <时,函数()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(,)k -+∞,单调递减区间是(2,)k --.。
北京101中学2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科) 后有答案
北京101中学2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科)一、选择题:本大题单选 共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知命题p :x ∀∈R ,210x x +->;命题q :x ∃∈R ,sin cos x x +=则下列判断正确的是( )A. p ⌝是假命题B. q 是假命题C. p q ∨⌝是真命题D. ()p q ⌝∧是真命题 2. 若集合{}23M x x =-<<,{}121x N x +=≥,则MN =( )A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- 3. 已知函数2()f x x bx c =++,则“0c <”是“0x ∃∈R ,使0()0f x <”的( ) A. 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 函数()f x = ( )A. 在ππ(,)22-上递增 B . 在π(,0]2-上递增,在π(0,)2上递减 C. 在ππ(,)22-上递减 D . 在π(,0]2-上递减,在π(0,)2上递增 5. 已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-,且当3x ≥-时,()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -(k ∈Z )上有零点,则k 的值为 ( )A. 2或7-B. 2或8-C. 1或7-D. 1或8-6. 函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式可能是( )A. 2sin(2)4y x π=-B. 2sin(2)4y x π=+C. 32sin()8y x π=+D. 72sin()216x y π=+7. 如果函数()=y f x 图象上任意一点的坐标(,)x y 都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+,那么正确的选项是 ( )A. ()=y f x 是区间(0,+∞)上的减函数,且x y +4≤B. ()=y f x 是区间(1,+∞)上的增函数,且x y +4≥C. ()=y f x 是区间(1,+∞)上的减函数,且x y +4≥D. ()=y f x 是区间(1,+∞)上的减函数,且x y +4≤8. 若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件:①,P Q 都在函数()=y f x 的图象上;②,P Q 关于原点对称,则称点对[,P Q ]是函数()=y f x 的一对“友好点对”(注:点对[,P Q ]与[,Q P ]看作同一对“友好点对”)。
北京市海淀区2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题 扫描版含答案
海淀区高二年级第二学期期中练习数学(理科)参考答案及评分标准 2014.04一. 选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.(8)讲评提示:考察函数ex . 二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9)(2,)+ (10)4π (11)16(12)2(13)111111()2321n n n +++++<+∈-N* ,12k + (注:每空2分)(14)20(,0)a b (注:回答出20(,0)a b 给4分;答案为0(,0)ab b 或20(,0)b b 或22(,0)2a bb +给3分;其它答案酌情给1~2分;未作答,给0分)三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分10分)证明:(Ⅰ)连接AC 交BD 于点O ,连接OE . 在矩形ABCD 中,AO OC =. 因为 AE EP =,所以 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC Ë平面BDE ,OE Ì平面BDE , 所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分 (Ⅱ)在矩形ABCD 中,BC CD ^. 因为 PD BC ^,CDPD D =,PD Ì平面PDC ,DC Ì平面PDC ,所以 BC ^平面PDC . ………………………8分 因为 PC Ì平面PDC ,所以 BC PC ^.OAEBCDP即 PBC ∆是直角三角形. ………………………10分(16)(本小题满分11分)解:(Ⅰ)因为 ()332f x ax x =++,所以 2'()33f x ax =+. ………………………2分 因为 函数()f x 的一个极值点是1, 所以 '(1)330f a =+=.解得:1a =-. ………………………4分 经检验,1a =-满足题意. 所以 (2)0,'(2)9f f ==-.所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是9(2)y x =--,即9180x y +-=. ………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:2'()33f x x =-+.令'()0f x =,得 121,1x x =-=. ………………………7分 当x 在[2,3]-上变化时,()'(),f x f x 的变化情况如下表………………………10分 所以 函数()f x 在[2,3]-上的最大值为4,最小值为-16. ………………………11分(17)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)因为()e a xg x x -=,x ∈R ,所以'()(1)ea xg x x -=-. ………………………2分令'()0g x =,得1x =.当x 变化时,()g x 和'()g x 的变化情况如下:故()g x 的单调递减区间为;单调递增区间为. ………………………5分 (Ⅱ)因为 ()e a x h x x -=+, 所以 '()1ea xh x -=-. ………………………6分令'()0h x =,得x a =.当x 变化时,()h x 和'()h x 的变化情况如下:即()h x 的单调递增区间为;单调递减区间为. ………………………8分 所以()h x 的最小值为()1h a a =+.①当10a +>,即1a >-时,函数()h x 不存在零点.②当10a +=,即1a =-时,函数()h x 有一个零点. ………………………10分 ③当10a +<,即1a <-时,(0)e 0ah =>, 下证:(2)0h a >.令()e 2x m x x =-,则'()e 2x m x =-. 解'()e 20x m x =-=得ln 2x =.当ln 2x >时,'()0m x >,所以 函数()m x 在[)ln 2,+∞上是增函数. 取1ln 2x a =->>,得:ln2()e 2e 2ln 222ln 20a m a a --=+>-=->. 所以 (2)e 2()0a h a a m a -=+=->.结合函数()h x 的单调性可知,此时函数()h x 有两个零点.综上,当1a >-时,函数()h x 不存在零点;当1a =-时,函数()h x 有一个零点;当1a <-时,函数()h x 有两个零点. ………………………12分 (18)(本小题满分11分) (Ⅰ)解:(1)不是,因为线段12A B 与线段12A A 不垂直;(2)不是,因为线段23B B 与线段23A A 不垂直. ………………………2分(Ⅱ)命题“对任意n ∈N 且2n >,总存在一条折线12n C A A A ---:有共轭折线”是真命题.理由如下:当n 为奇数时,不妨令21,2,3,4,n k k =-=,取折线1221k C A A A ----:.其中(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-,满足211(1,2,,21),0(1,2,,),i i a i i k b i k -=-=-==21(1,2,,1)i b i k ==-.则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.当n 为偶数时,不妨令2,2,3,4,n k k ==,取折线122k C A A A ---:.其中(,)(1,2,,2)i i i A a b i k =,满足22121(1,2,,21),2,0(1,2,,),1(1,2,,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C的共轭折线为折线122'k C B B B ---:.其中(,)(1,2,,2)i i i B x y i k =满足22212211(1,2,,23),21,21,2,0(1,2,,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如图所示. ………………………7分注:本题答案不唯一.(Ⅲ)证明:假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线(其中11B A =,44B A =),设1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =),显然,t t x y 为整数. 则由11t t t t B B A A ++⊥,得:11223312312330,30,30,9,1. x yx yx yx x xy y y+=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩①②③④⑤由①②③式得11223,,.3333 y x y x y x=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩这与⑤式矛盾,因此,折线C无共轭折线. ………………………11分注:对于其它正确解法,相应给分.。
2013北京海淀高二(上)期中数学理(含答案)
2013—2014学年度第一学期期中练习高二数学(理科)出题人:牛惠敏 审核人:吴玲玲一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.空间任意四个点A 、B 、C 、D ,则CB BA CD +-uu r uu r uu u r等于( )A .DB uuu r B .AD uuu rC .DA uu u rD .AC uuu r2.下列每对向量具有垂直关系的是( )A .(3,2,3),(1,1,1)-B .(2,1,3),(6,5,7)--C .(3,4,0),(0,0,5)D .(4,0,3),(8,0,6)3.如图,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,已知AB uu u r =a ,AD uuu r=b , 1AA uuu r =c ,则用向量a ,b ,c 可表示向量1BD uuu r等于 ( )A .a +b +cB .a -b +cC .a +b -cD .-a +b +c4.已知两个平面垂直,下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.05.圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形,从A 绕柱面到另一端C 最矩距离是 ( )A .42+πB .4C .122+π D .22 6.正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2则( )A .S 1=2S 2B .S 1=3S 2C .S 1=4S 2D .S 1=23S 2 7.设l 是直线,,αβ是两个不同的平面,则下列结论正确的是( ) A .若l ∥α,l ∥β,则//αβ B .若//l α,l ⊥β,则α⊥β C .若α⊥β,l ⊥α,则l ⊥β D .若α⊥β, //l α,则l ⊥β8.如图,点为正方体的中心,点为面的中心,点为的中点, 则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是( )A .①③④B .②③④C .①②④D .①②③O 1111ABCD A B C D -E 11B BCC F 11B C 1D OEF9.一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的左视图的面积为( )A .36B .8C .38D .1210.如图所示,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的面对角 线1A B 上存在一点P 使得1AP D P +最短, 则1AP D P +的最小值为( )A .22+B .262+ C . 2 D .13+二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分11.已知向量(0,2,1),(0,4,2)a b ==--r r 则向量,a b r r的关系为_____________.12.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知''''3,2AC B C ==,则AB边上的中线的实际长度为 .13.若空间向量,,a b c r u r r 满足 ||1,||2,||3a b c ===r u r u r , 0a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r,则||a b c ++u r r r = . 14.若两点的坐标是(3cos ,3sin ,1),(2cos ,2sin ,1)A B αααα,则AB 的取值范围是_________.15.如图,在透明材料制成的长方体容器ABCD —A 1B 1C 1D 1内灌注一些水,固定容器底面一边BC 于桌面上,再将容器倾斜根据倾斜度的不同,有下列命题: (1)水的部分始终呈棱柱形;(2)水面四边形EFGH 的面积不会改变; (3)棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行; (4)当容器倾斜如图所示时,BE ·BF 是定值。
2012-2013学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)(附答案解析)
2012-2013学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量a →=(1, x, −2),b →=(2, 1, x),且a →⊥b →,则x 的值为( ) A.−1 B.0 C.1 D.22. 曲线f(x)=1x 在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为( )A.π4 B.π3C.2π3D.3π43. 函数f(x)在其定义域内可导,其图象如图所示,则导函数y =f′(x)的图象可能为( )A. B.C. D.4. 观察下列各等式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52013的末四位数字是( ) A.3125 B.5625C.8125D.06255. 已知下列命题: ①√7−√5<√10−√2;②三角形ABC 的三个内角满足sin A +sin B >sin C ; ③存在等比数列{a n }满足a 1+a 3=2a 2成立. 其中所有正确命题的序号是( ) A.① B.①②C.②③D.①②③6. 若水以恒速(即单位时间内注入的体积相同)注入图的容器,则容器中水的高度ℎ与时间t 的函数关系的图象是( )A. B.C. D.7. 若函数f(x)=x 3+ax +b 有三个零点,分别为x 1,x 2,x 3,且满足x 1<1,x 2=1,x 3>1,则实数a 的取值范围是( )A.(−∞, 0)B.(−∞, −1)C.(−∞, −2)D.(−∞, −3)8. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是截面A 1BD 内(包括边界)的动点,则C 1P →⋅C 1B →的值不可能是( ) A.0.9 B.1.2C.1.5D.1.8二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.已知三个点A(1, −1, b),B(2, a, 1),O(0, 0, 0)在同一条直线上,则a =________,b =________.函数y =ax −sin x 是单调递增函数,则实数a 的取值范围________.由曲线y=x2,y=2x围成的封闭图形的面积为________.如图所示,已知三棱柱A′B′C′−ABC的侧棱垂直于底面,AC⊥CB,且AC=CB=CC′=2.若点E为A′B′中点,则CE与底面ABC所成角的余弦值为________.若函数f(x)=(x2−3)e x,给出下面四个结论:①f(−3)是f(x)的极大值,f(1)是f(x)的极小值;②f(x)<0的解集为{x|−√3<x<√3};③f(x)没有最小值,也没有最大值;④f(x)有最小值,没有最大值,其中正确结论的序号有________.已知函数f(x)=xx+3,构造如下函数序列f n(x):f n(x)=f[f n−1(x)](x∈N∗,且n≥2),其中f1(x)=f(x),(x>0),则f3(x)=________,函数f n(x)的值域为________.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.已知函数f(x)=a23x3−2ax2+bx其中a,b∈R,且曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线斜率为3.(1)求b的值;(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求a的值.已知点的序列A n(x n, 0),n∈N∗,其中x l=0,x2=a(a>0),A3是线段A l A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,A n是线段A n−2A n−1的中点,….(1)写出x n与x n−1、x n−2之间的关系式(n≥3);(2)设a n=x n+1−x n,计算a l,a2,a3,由此推测数列{a n}的通项公式,并加以证明.已知平面ADEF⊥平面ABCD,其中ADEF为矩形,AB // CD,AB⊥AD,且AB=2CD=2DE=4,AD=2√2,如图所示.(1)求证:BE⊥AC;(2)求二面角B−CE−D的余弦值;(3)在线段AF上是否存在点P,使得BP // 平面ACE,若存在,确定点P的位置,若不存在,请说明理由.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+ln x.(1)当a=−2时,判断函数f(x)零点的个数;(2)求函数f(x)的单调区间.参考答案与试题解析2012-2013学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 D【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】根据向量的数量积与垂直之间的关系建立方程,利用方程解x 即可. 【解答】解:因为向量a →=(1, x, −2),b →=(2, 1, x),且a →⊥b →, 所以a →⋅b →=0,即(1, x, −2)⋅(2, 1, x)=2+x −2x =0, 解得x =2. 故选D . 2.【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 直线的倾斜角【解析】求出函数的导数,利用导数的几何意义求切线的斜率,进而利用斜率和倾斜角之间的关系求切线的倾斜角. 【解答】解:因为f(x)=1x ,所以f′(x)=−1x 2,所以函数在点(1, f(1))处的切线斜率k =f ′(1)=−1, 由k =tan α=−1,解得α=3π4,即切线的倾斜角为3π4.故选D . 3.【答案】 C【考点】函数的图象变换 【解析】根据函数的单调性确定f ′(x)的符号即可. 【解答】解:由函数f(x)的图象可知,函数在自变量逐渐增大的过程中,函数先递增,然后递减,再递增,当x >0时,函数单调递增,所以导数f ′(x)的符号是正,负,正,正.对应的图象为C . 故选C . 4.【答案】 A【考点】进行简单的合情推理 【解析】由上述的几个例子可以看出末四位数字的变化,3125,5625,8125,0625即末四位的数字是以4为周期的变化的,故2013除以4余1,即末四位数为3125. 【解答】解:55=3125的末四位数字为3125,56=15625的末四位数字为5625,57=78125的末四位数字为8125,58=390625的末四位数字为0625,59=1953125的末四位数字为3125…, 根据末四位数字的变化,3125,5625,8125,0625即末四位的数字是以4为周期的变化的, 故2013除以4余1,即末四位数为3125.则52013的末四位数字为3125. 故选A . 5.【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①利用平方法进行判断大小.②利用诱导公式和两角和的正弦公式判断.③利用等比数列的通项公式,举常数数列即可. 【解答】解:①因为√7−√5>0,√10−√2>0,所以(√7−√5)2=12−2√35,(√10−√2)2=12−2√20,所以√7−√5<√10−√2,所以①正确.②因为sin C =sin (π−A −B)=sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B <sin A +sin B ,所以②正确. ③若数列{a n }为非零的常数列,比如a n =1,则满足a 1+a 3=2a 2成立,所以③正确. 故选D . 6.【答案】 C【考点】进行简单的合情推理 【解析】考查容器的形状来确定其高度的变化规律,选择图形即可. 【解答】解:此容器从下往上口径先由小、变大,再由大变小, 故等速注入液体其高度增加先是越来越慢,再变快, 只有C 满足条件, 故选C .7.【答案】 D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】利用函数零点的取值可以判断, 【解答】解:因为x 2=1,所以f(1)=a +b =0,即b =−a , 所以f(x)=x 3+ax +b =x 3+ax +−a .函数导数为f ′(x)=3x 2+a ,因为f(x)=x 3+ax +b 有三个零点,所以f ′(x)=0,有两个不等的实根,所以a <0.则由f ′(x)=0得x =±√−a3.即当x =−√−a3函数取得极大值,当x =√−a3时,函数取得极小值. 因为x 1<1,x 3>1, 所以√−a3>1,解得a <−3. 故选D . 8.【答案】 A【考点】平面向量数量积的运算 【解析】将P 点在截面A 1BD 内(包括边界)运动,结合正方体的性质加以观察可得:当P 与点B 重合时C 1P →⋅C 1B →达到最大值;当P 点与D 点或A 1点重合时,C 1P →⋅C 1B →达到最小值.再由题中的数据加以计算,可得积C 1P →⋅C 1B →的范围为[1, 2],对照各个选项可得本题答案. 【解答】解:∵ 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,P 为截面A 1BD 内(包括边界)的动点, ∴ 运动点P ,可得①当P 与点B 重合时,C 1P →⋅C 1B →=|C 1B|→2=2,达到最大值; ②当P 点与D 点或A 1点重合时,C 1P →⋅C 1B →达到最小值 ∵ C 1P →⋅C 1B →=(BD →−BC 1→)⋅C 1B →=BD →⋅C 1B →−BC 1→⋅C 1B →BD →⋅C 1B →=−|BD|→⋅|C 1B|→cos 60∘=−1,且BC 1→⋅C 1B →=−|C 1B|→2=−2 ∴ C 1P →⋅C 1B →最小值为−1−(−2)=1综上所述,数量积C 1P →⋅C 1B →的范围为[1, 2]由此可得C 1P →⋅C 1B →的值不可能小于1,A 项不符合题意故选:A二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 【答案】 −2,12【考点】共线向量与共面向量 【解析】先根据三个点A(1, −1, b),B(2, a, 1),O(0, 0, 0)在同一条直线上,转化为向量OA →与OB →共线,再利用向量共线的基本定理得存在λ,使得OA →=λOB →,从而建立方程求解即可. 【解答】解:∵ 三个点A(1, −1, b),B(2, a, 1),O(0, 0, 0)在同一条直线上, ∴ 向量OA →与OB →共线, 即存在λ,使得OA →=λOB →, 即(1, −1, b)=λ(2, a, 1) ∴ {2λ=1aλ=−1λ=b ,解得{λ=12a =−2b =12故答案为:−2,12.【答案】 a ≥1 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】求函数的导数,要使函数单调递增,则y ′≥0成立,然后求出实数a 的取值范围. 【解答】解:因为y =ax −sin x ,所以y ′=a −cos x . 要使函数单调递增,则y ′≥0成立. 即a −cos x ≥0恒成立. 所以a ≥cos x ,因为−1≤cos x ≤1, 所以a ≥1.故答案为;a ≥1. 【答案】 43【考点】定积分【解析】联立解曲线y=x2及直线y=2x,得它们的交点是O(0, 0)和A(2, 2),由此可得两个图象围成的面积等于函数y=2x−x2在[0, 2]上的积分值,根据定义分计算公式加以计算,即可得到所求面积.【解答】解:由{y=x2y=2x,解得曲线y=x2及直线y=2x的交点为O(0, 0)和A(2, 2)因此,曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是S=∫(202x−x2)dx=(x2−13x3)|02=43.故答案为:43.【答案】√3【考点】直线与平面所成的角【解析】利用线面所成角的定义先确定线面所成的角然后求出线面所成的角即可.【解答】解:过E做EF⊥AB于F,则F为AB的中点.连结CF,则∠ECF为CE与底面ABC所成的角.所以CF=√2,EF=2,所以CE=√6,所以cos∠ECF=CFCE =√2√6=√33.故答案为:√33.【答案】①②④【考点】命题的真假判断与应用【解析】①求函数的导数,判断函数的极值.②由f(x)<0,解不等式即可.③利用函数的单调性和最值之间的关系判断函数的最值情况.④利用导数研究函数的最值.【解答】解:函数的导数为f′(x)=2xe x+(x2−3)e x=(x2+2x−3)e x.①由f′(x)>0得,x>1或x<−3,此时函数单调递增.由f′(x)<0得−3<x<1,此时函数单调递减,所以f(−3)是f(x)的极大值,f(1)是f(x)的极小值,所以①正确.②由f(x)<0,得(x2−3)e x<0,即x2−3<0,解得−√3<x<√3,所以②正确.③由①知,函数在(1, +∞)和(−∞, −3)上单调递增,在(−3, 1)上单调递减,强当x<1时,函数f(x)>0,函数f(x)在x=1时取得极小值同时也是最小值,但没有最大值,所以③错误.④由③(x)有最小值,没有最大值,所以④正确.故答案为:①②④.【答案】x13x+27,(0, 23n−1)【考点】函数的求值函数的值域及其求法归纳推理【解析】根据定义分别计算f1(x),f2(x),f3(x),然后根据前三个函数的值域归纳出f n(x)的表达式,然后利用分式函数求函数的值域即可.【解答】解:根据定义可知f2(x)=f[f1(x)]=xx+3xx+3+3=x4x+9,f3(x)=f[f2(x)]=x4x+9x4x+9+3=x13x+27,f4(x)=x40x+81,所以f n(x)=x12(3n−1)x+3n=23n−1⋅xx+2⋅3n3n−1<23n−1,所以f n(x)的值域为(0, 23n−1).故答案为:x13x+27,(0, 23n−1).三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.【答案】解:(1)f′(x)=a2x2−4ax+b,由题意可得f′(0)=b=3.∴b=3.(2)由函数f(x)在x=1处取得极大值,∴f′(1)=a2−4a+3=0,解得a=1或3.①当a=1时,f′(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3).列表如下:由表格可知:函数f(x)在x=1处取得极大值,满足题意.②同理可得:当a=3时,函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意,应舍去.综上所述:当a=1时,函数f(x)在x=1处取得极大值.【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】(1)利用f′(0)=3即可解出;(2)由函数f(x)在x=1处取得极大值,可得f′(1)=a2−4a+3=0,解得a=1或3.再分别讨论是否符合取得极大值的充分条件即可.【解答】解:(1)f′(x)=a2x2−4ax+b,由题意可得f′(0)=b=3.∴b=3.(2)由函数f(x)在x=1处取得极大值,∴f′(1)=a2−4a+3=0,解得a=1或3.①当a=1时,f′(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3).列表如下:由表格可知:函数f(x)在x=1处取得极大值,满足题意.②同理可得:当a=3时,函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意,应舍去.综上所述:当a=1时,函数f(x)在x=1处取得极大值.【答案】解:(1)根据题意,A n是线段A n−2A n−1的中点,则有当n≥3时,x n=x n−1+x n−22.(2)a1=x2−x1=a,a2=x3−x2=x2+x12−x2=−12(x2−x1)=−12a,a3=x4−x3=x3+x22−x3=−12(x3−x2)=−12(−12a)=14a,由此推测:a n=(−12)n−1a(n∈N∗).证明如下:因为a1=a>0,且a n=x n+1−x n=x n+x n−12−x n=x n−1−x n2=−12(x n−x n−1)=−12a n−1(n≥2),所以a n=(−12)n−1a.【考点】数列的应用【解析】(1)根据题意,A n是线段A n−2A n−1的中点,可得x n与x n−1、x n−2之间的关系式,(2)由题意知a1=a,a2=−12a,a3=14a,由此推测:a n=(−12)n−1a(n∈N∗)再进行证明.【解答】解:(1)根据题意,A n是线段A n−2A n−1的中点,则有当n≥3时,x n=x n−1+x n−22.(2)a1=x2−x1=a,a2=x3−x2=x2+x12−x2=−12(x2−x1)=−12a,a3=x4−x3=x3+x22−x3=−12(x3−x2)=−12(−12a)=14a,由此推测:a n=(−12)n−1a(n∈N∗).证明如下:因为a1=a>0,且a n=x n+1−x n=x n+x n−12−x n=x n−1−x n2=−12(x n−x n−1)=−12a n−1(n≥2),所以a n=(−12)n−1a.【答案】解:(1)证明:平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD,由已知可得AF⊥AD,且AF⊂面ADEF,所以AF⊥平面ABCD,又AB⊥AD,如图,以A为原点建立空间直角坐标系A−xyx,则A(0, 0, 0),B(4, 0, 0),C(2, 2√2, 0),E(0, 2√2, 2),所以BE→=(−4,2√2,2),AC→=(2,2√2,0),所以BE→⋅AC→=0,所以BE⊥AC.(2)由已知可得AD⊥CD,AD⊥DE,设平面CED的一个法向量为n1→=(0,1,0),平面BCE的法向量为n2→=(x,y,z),则有{n2→⋅BE→=0n2→⋅BC→=0,即{−4x+2√2y+2z=0−2x+2√2y=0,令y=1,所以平面BCE的一个法向量为n2→=(√2,1,√2),所以cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√55,所以二面角B −CE −D 的余弦值为−√55. (3)设P(0, 0, z),0≤z ≤2,BP →=(−4,0,z),设平面ACE 的法向量为n →=(x,y,z),则{n →⋅AE →=0n →⋅AC →=0,即{2√2y +2z =02x +2√2y =0,不妨设y =1,则平面ACE 的法向量为n →=(−√2,1,−√2), 由BP →⋅n →=(−4,0,z)⋅(−√2,1,−√2)=0,解得z =4,不符合题意, 即线段AF 上不存在点P ,使BP // 平面ACE . 【考点】二面角的平面角及求法 用空间向量求平面间的夹角 两条直线垂直的判定 直线与平面垂直的性质 直线与平面平行的判定【解析】(1)建立空间坐标系,利用线面垂直的性质证明BE ⊥AC ; (2)利用向量法求二面角B −CE −D 的余弦值; (3)根据线面平行的判定定理和性质定理确定P 的位置.【解答】 解:(1)证明:平面ADEF ⊥平面ABCD ,交线为AD ,由已知可得AF ⊥AD ,且AF ⊂面ADEF , 所以AF ⊥平面ABCD ,又AB ⊥AD ,如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyx ,则A(0, 0, 0),B(4, 0, 0),C(2, 2√2, 0), E(0, 2√2, 2),所以BE →=(−4,2√2,2),AC →=(2,2√2,0), 所以BE →⋅AC →=0,所以BE ⊥AC .(2)由已知可得AD ⊥CD ,AD ⊥DE ,设平面CED 的一个法向量为n 1→=(0,1,0),平面BCE 的法向量为n 2→=(x,y,z),则有{n 2→⋅BE →=0n 2→⋅BC →=0,即{−4x +2√2y +2z =0−2x +2√2y =0, 令y =1,所以平面BCE 的一个法向量为n 2→=(√2,1,√2), 所以cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√55,所以二面角B −CE −D 的余弦值为−√55. (3)设P(0, 0, z),0≤z ≤2,BP →=(−4,0,z),设平面ACE 的法向量为n →=(x,y,z),则{n →⋅AE →=0n →⋅AC →=0,即{2√2y +2z =02x +2√2y =0,不妨设y =1,则平面ACE 的法向量为n →=(−√2,1,−√2), 由BP →⋅n →=(−4,0,z)⋅(−√2,1,−√2)=0,解得z =4,不符合题意, 即线段AF 上不存在点P ,使BP // 平面ACE . 【答案】 解:(1)函数的定义域:(0, +∞), 当a =−2时,f′(x)=1−4x 22,当x ∈(0, 12)时,f′(x)>0,函数是增函数; 当x ∈(12, +∞)时,f′(x)<0,函数是减函数.因为f(12)=−12−ln 2<0,所以此时在定义域上f(x)<0, s 所以函数f(x)零点的个数为0.; (2)f′(x)=2ax −(a +2)+1x =(ax−1)(2x−1)x,①当a ≤0时,当x ∈(0, 12)时,f′(x)>0,函数是增函数; 当x ∈(12, +∞)时,f′(x)<0,函数是减函数. ②当0<a <2时,当x ∈(0, 12)时,f′(x)>0,函数是增函数;当x ∈(12, 1a )时,f′(x)<0,函数是减函数; 当x ∈(1a , +∞)时,f′(x)>0,函数是增函数. ③当a =2时,f′(x)=(2x−1)2x≥0,对一切x ∈(0, +∞)恒成立,当且仅当x =1时f′(x)=0,函数是单调增函数,单调增区间(0, +∞) ④当a >2时,当x ∈(0, 1a )时,f′(x)>0,函数是增函数; 当x ∈(1a , 12)时,f′(x)<0,函数是减函数; 当x ∈(12, +∞)时,f′(x)>0,函数是增函数.综上:当a ≤0时,函数f(x)的单调增区间(0, 12),单调减区间是(12,+∞).当0<a <2时,函数f(x)的单调增区间(0, 12)和(1a ,+∞),单调减区间是(12,1a ). 当a =2时,函数的单调增区间(0, +∞)当a >2时,函数f(x)的单调增区间(0, 1a )和(12,+∞),单调减区间是(1a ,12). 【考点】函数单调性的判断与证明 根的存在性及根的个数判断 利用导数研究函数的单调性【解析】(1)求出函数的定义域,通过a =−2时,求出函数的导函数,判断函数f(x)的极大值,然后推出函数的零点的个数;(2)通过求解函数的导函数,通过:当a ≤0,0<a <2,a =2,a >2,分别通过函数的导数列表,然后求函数f(x)的单调区间.【解答】 解:(1)函数的定义域:(0, +∞), 当a =−2时,f′(x)=1−4x 22,当x ∈(0, 12)时,f′(x)>0,函数是增函数; 当x ∈(12, +∞)时,f′(x)<0,函数是减函数.因为f(12)=−12−ln 2<0,所以此时在定义域上f(x)<0, s 所以函数f(x)零点的个数为0.; (2)f′(x)=2ax −(a +2)+1x =(ax−1)(2x−1)x,①当a ≤0时,当x ∈(0, 12)时,f′(x)>0,函数是增函数; 当x ∈(12, +∞)时,f′(x)<0,函数是减函数.②当0<a <2时,当x ∈(0, 12)时,f′(x)>0,函数是增函数;当x ∈(12, 1a )时,f′(x)<0,函数是减函数; 当x ∈(1a , +∞)时,f′(x)>0,函数是增函数. ③当a =2时,f′(x)=(2x−1)2x≥0,对一切x ∈(0, +∞)恒成立,当且仅当x =1时f′(x)=0,函数是单调增函数,单调增区间(0, +∞) ④当a >2时,当x ∈(0, 1a )时,f′(x)>0,函数是增函数; 当x ∈(1a , 12)时,f′(x)<0,函数是减函数; 当x ∈(12, +∞)时,f′(x)>0,函数是增函数.综上:当a ≤0时,函数f(x)的单调增区间(0, 12),单调减区间是(12,+∞).当0<a <2时,函数f(x)的单调增区间(0, 12)和(1a,+∞),单调减区间是(12,1a).当a =2时,函数的单调增区间(0, +∞)当a >2时,函数f(x)的单调增区间(0, 1a )和(12,+∞),单调减区间是(1a ,12).。
北京101中学2013-2014学年度下学期高二年级自主会考数学试卷 后有答案
北京101中学2013-2014学年度下学期高二年级自主会考数学试卷本试卷共分为两部分,第一部分选择题,20个小题(共60分);第二部分非选择题,二道大题(共40分)。
第一部分 选择题(每小题3分,共60分)在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的。
1. 已知集合{|20}A x x =+=,2{|40}B x x =-=,则AB =A. {2}B. {2}-C. {2,2}-D. ∅ 2. 如果0x >,那么91x x++的最小值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 不等式260x x --<的解集为 A.{|32}x x -<< B. {|3x x <-或2}x >C. {|23}x x -<<D.{|2x x <-或3}x >4. 已知点(43)P -,是角α终边上的一点,那么sin cos αα+的值为A. 75- B. 15- C. 75 D.155. 若过点(1)A m -,和点(2)B m ,的直线与直线210x y ++=平行,则实数m 的值等于A. 0B. 1C. 5D. 4- 6. 若在等差数列{}n a 中,1510a a +=,47a =,则数列{}n a 的公差为A. 1B. 2C. 3D. 47. 函数2()(sin cos )f x x x =+的最小正周期为 A.4πB.2πC. πD. 2π8. 从12345 ,,,,中任意取出两个不同的数,这两个数的和为5的概率是 A.110 B. 310 C. 25D. 15 9. 执行如图所示的程序框图,若输入A 的值为2,则输出的P 的值为A. 2B. 3C. 4D. 5 10. 下列函数中,图象关于坐标原点对称的是A. lg y x =B.y x = C. cos y x = D. sin y x =11. 已知函数20()10x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩,,,.若()(1)0f a f +=,则实数a 的值等于A. 3-B. 1-C. 1D. 312. 已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(10)A -,,(12)B ,,(0)C c ,,且AB BC ⊥,那么c 的值是A. 1-B. 3-C. 1D. 3 13. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为A.6+ B.6+ C.8+D. 8+14. 当x y ,满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,,时,目标函数23z x y =-的最小值是A. 7-B. 6-C. 5-D. 3- 15. 在边长为2 的正方形ABCD 内部任取一点M ,则90AMB ∠>的概率为 A.14 B. 8π C. 12 D. 4π 16. 在∆ABC 中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,若12a b B A ===,,则c =A.B.C. 2D. 117. 方程lg 82x x =-的根(1)x k k ∈+,,∈k Z ,则k 等于A. 2B. 3C. 4D. 5 18. 今有一组实验数据如下:A. 2log y x =B.12log y x = C. 212x y -= D. 22y x =-19. 下列命题中,假命题...是A. 如果平面α内的一条直线l 垂直于平面β内的任一直线,那么αβ⊥B. 如果平面α内的任一直线平行于平面β,那么α∥βC. 如果平面α⊥平面β,任取直线l α⊂,那么必有l β⊥D. 如果平面α∥平面β,任取直线l α⊂,那么必有l ∥β20. 如图,在矩形ABCD 中,AB =2BC =,点E 为BC 的中点,点F 在CD 上,若2AB AF ⋅=则AE BF ⋅的值是A. B. C. D.第二部分 非选择题(共40分)一、填空题(共4个小题,每小题3分,共12分) 21. 计算sin77cos47cos77sin47︒︒-︒︒= .22. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校200名授课教师中抽取20名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示(如图)。
2013-2014年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2013-2014学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.1.(4分)复数z=i(i+2)的虚部是()A.﹣2B.2C.﹣2i D.2i2.(4分)计算dx的结果是()A.e B.1﹣e﹣2C.1D.e﹣13.(4分)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么下面说法正确的是()A.在(﹣3,1)内f(x)是增函数B.在(1,3)内f(x)是减函数C.在(4,5)内f(x)是增函数D.在x=2时,f(x)取得极小值4.(4分)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,那么下列说法正确的是()A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g (x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率5.(4分)用反证法证明命题“已知A,B,C,D是空间中的四点,直线AB与CD是异面直线,则直线AC和BD也是异面直线.”应假设()A.直线AC和BD是平行直线B.直线AB和CD是平行直线C.直线AC和BD是共面直线D.直线AB和CD是共面直线6.(4分)已知函数f(x)=x sin x,记m=f(﹣),n=f(),则下列关系正确的是()A.m<0<n B.0<n<m C.0<m<n D.n<m<0 7.(4分)已知曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,设函数f(x)=g(2x﹣1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为()A.y=2x+1B.y=4x﹣1C.y=2x﹣1D.y=4x+1 8.(4分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f′(x)>f(x),则下列结论正确的是()A.f(1)>ef(0)B.f(1)<ef(0)C.f(1)>f(0)D.f(1)<f(0)二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.9.(4分)函数f(x)=x﹣2lnx的单调递增区间为.10.(4分)已知复数z满足|z|≤2,则复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形的面积是.11.(4分)曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为.12.(4分)设正三棱柱(底边为等边三角形的直棱柱)的体积为2,那么其表面积最小时,底面边长为.13.(4分)观察不等式:1++<2,1+++…+<3,1+++…+<4,1+++…+<5,…,由此归纳第n个不等式为.要用数学归纳法证明该不等式,由n=k(k≥1)时不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数为.14.(4分)根据“已知点A(a0,0)是圆C1:+=1外一点,设不垂直于x轴的直线l与圆C1交于P,Q两点,若x轴是∠P AQ的平分线,则直线l过定点A′(,0)”,通过类比可推知“已知点B(b0,0)是椭圆C2:+=1(a>b>0)外一定点,设不垂直于x轴的直线l′与椭圆C2交于P′,Q′两点,若x轴是∠P′BQ′的平分线,则直线l′过定点B′”.(将点的坐标填入前面的横线上)三、解答题:本大题共4小题,每小题10分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(10分)如图,在四棱柱P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,E是棱P A的中点,PD⊥BC.求证:(Ⅰ)PC∥平面BED;(Ⅱ)△PBC是直角三角形.16.(11分)已知函数f(x)=ax3+3x+2(a∈R)的一个极值点是1.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)在[﹣2,3]上的最大值和最小值.17.(12分)已知函数f(x)=e a﹣x,其中e是自然对数的底数,a∈R.(Ⅰ)求函数g(x)=xf(x)的单调区间;(Ⅱ)试确定函数h(x)=f(x)+x的零点个数,并说明理由.18.(11分)在平面直角坐标系中,对于一条折线C:A1﹣A2﹣…﹣A n,若能再作出一条折线C′:A1﹣B2﹣B3﹣…﹣B n﹣A n,使得A1B2⊥A1A2,B2B3⊥﹣1A2A3,…,B n﹣1A n⊥A n﹣1A n(其中A1,A2,A3,…,A n,B2,B3,…,B n﹣1都是整点),则称折线C′是折线C的一条共轭折线(说明:横、纵坐标均为整数的点成为整点).(Ⅰ)请分别判断图(1),(2)中,虚折线是否是实折线的一条个,共轭折线;(Ⅱ)试判断命题“对任意的n∈N且n>2,总存在一条折线C:A1﹣A2﹣…﹣A n有共轭折线”的真假,并举例说明;(Ⅲ)如图(3),折线C:A1﹣A2﹣A3﹣A4,其中A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1).求证:折线C无共轭折线.2013-2014学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.1.(4分)复数z=i(i+2)的虚部是()A.﹣2B.2C.﹣2i D.2i【解答】解:∵z=i(i+2)=﹣1+2i.∴复数z=i(i+2)的虚部是2.故选:B.2.(4分)计算dx的结果是()A.e B.1﹣e﹣2C.1D.e﹣1【解答】解:dx=.故选:C.3.(4分)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么下面说法正确的是()A.在(﹣3,1)内f(x)是增函数B.在(1,3)内f(x)是减函数C.在(4,5)内f(x)是增函数D.在x=2时,f(x)取得极小值【解答】解:①在(﹣3,﹣),(2,4)上,f′(x)<0,∴f(x)是减函数,②在(﹣,2),(4,5)上,f′(x)>0,∴f(x)是增函数,③x=2时,取到极大值;故选:C.4.(4分)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,那么下列说法正确的是()A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g (x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率【解答】解:对于A、B,∵f(x)在a到b之间的平均变化率是,g(x)在a到b之间的平均变化率是,∴=,即二者相等;∴选项A、B错误;对于C、D,∵函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数,即函数g(x)在x=x0处的切线的斜率,由图形知,选项C错误,D正确.故选:D.5.(4分)用反证法证明命题“已知A,B,C,D是空间中的四点,直线AB与CD是异面直线,则直线AC和BD也是异面直线.”应假设()A.直线AC和BD是平行直线B.直线AB和CD是平行直线C.直线AC和BD是共面直线D.直线AB和CD是共面直线【解答】解:用反证法证明命题:“若直线AB、CD是异面直线,则直线AC、BD也是异面直线”应假设直线AC、BD是共面直线,故选:C.6.(4分)已知函数f(x)=x sin x,记m=f(﹣),n=f(),则下列关系正确的是()A.m<0<n B.0<n<m C.0<m<n D.n<m<0【解答】解:∵f(x)=x sin x,∴f(﹣x)=﹣x sin(﹣x)=x sin x=f(x),即函数f(x)是偶函数,∴m=f(﹣)=f()当0时,函数y=x,单调递增,y=sin x单调递增,且此时f(x)>0,∴此时f(x)=x sin x在0上单调递增,∵>,∴f()>f()>0,即f(﹣)>f()>0,∴0<n<m,故选:B.7.(4分)已知曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,设函数f(x)=g(2x﹣1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为()A.y=2x+1B.y=4x﹣1C.y=2x﹣1D.y=4x+1【解答】解:曲线y=g(x)在(1,g(1))处的切线是y=2x+1,则:切点是(1,3),斜率是k=2,得:g(1)=3、g'(1)=2,由f(x)=g(2x﹣1),得:f′(x)=2g′(2x﹣1),切线斜率k=f′(1)=2g′(1)=2×2=4.f(1)=g(1)=3,切点是(1,3),得切线是:y﹣3=4(x﹣1),即:y=4x﹣1.故选:B.8.(4分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f′(x)>f(x),则下列结论正确的是()A.f(1)>ef(0)B.f(1)<ef(0)C.f(1)>f(0)D.f(1)<f(0)【解答】解:令g(x)=,则g′(x)==,∵f′(x)>f(x),∴g′(x)>0,g(x)递增,∴g(1)>g(0),即,∴f(1)>ef(0),故选:A.二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.9.(4分)函数f(x)=x﹣2lnx的单调递增区间为(2,+∞).【解答】解:由题意知函数的定义域为(0,+∞).函数f(x)=x﹣2lnx的导数为,由f'(x)>0,即,解得x>2.此时函数单调递增.所以函数f(x)=x﹣2lnx的单调增区间为(2,+∞).故答案为:(2,+∞).10.(4分)已知复数z满足|z|≤2,则复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形的面积是4π.【解答】解:设z=x+yi(x,y∈R),由|z|≤2,得,即x2+y2≤4.∴复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形是半径为2的圆.其面积为4π.故答案为:4π.11.(4分)曲线y =x 2与直线y =x 所围成图形的面积为 .【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为1,积分下限为0直线y =x 与曲线y =x 2所围图形的面积S =∫01(x ﹣x 2)dx而∫01(x ﹣x 2)dx =( ﹣)|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为:.12.(4分)设正三棱柱(底边为等边三角形的直棱柱)的体积为2,那么其表面积最小时,底面边长为 2 .【解答】解:设正三棱柱的底面边长为x ,高为h ,∵体积为2,∴×x 2×h =2,∴h =,∴棱柱的表面积S =2××x 2+3xh =x 2+=x 2++≥6, 当x 3=8时,即x =2时,取“=”.故答案为:2.13.(4分)观察不等式:1++<2,1+++…+<3,1+++…+<4,1+++…+<5,…,由此归纳第n 个不等式为.要用数学归纳法证明该不等式,由n=k(k≥1)时不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数为2k+1.【解答】解:第一空:∵不等式的右侧:2=1+1,3=2+1,4=3+1,…左侧:每一项分别有:22﹣1,23﹣1,24﹣1,…项,每一项中最后一项的分母为:.∴由此归纳第n个不等式为:,第二空:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为;由n=k,末项为,到n=k+1,末项为,∴应增加的项数为2k+1.故答案为:;2k+1(注:每空2分)14.(4分)根据“已知点A(a0,0)是圆C1:+=1外一点,设不垂直于x轴的直线l与圆C1交于P,Q两点,若x轴是∠P AQ的平分线,则直线l过定点A′(,0)”,通过类比可推知“已知点B(b0,0)是椭圆C2:+=1(a>b>0)外一定点,设不垂直于x轴的直线l′与椭圆C2交于P′,Q′两点,若x轴是∠P′BQ′的平分线,则直线l′过定点B′”.(将点的坐标填入前面的横线上)【解答】解:根据“已知点A(a0,0)是圆C1:+=1外一点,设不垂直于x轴的直线l与圆C1交于P,Q两点,若x轴是∠P AQ的平分线,则直线l 过定点A′(,0)”中,A′点横坐标的分子为的分母,分子是A点的横坐标,可以类比得到:“已知点B(b0,0)是椭圆C2:+=1(a>b>0)外一定点,设不垂直于x轴的直线l′与椭圆C2交于P′,Q′两点,若x轴是∠P′BQ′的平分线,则直线l′过定点B′,故答案为:(注:回答出给(4分);答案为或或给(3分);其它答案酌情给1~(2分);未作答,给0分)三、解答题:本大题共4小题,每小题10分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(10分)如图,在四棱柱P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,E是棱P A的中点,PD⊥BC.求证:(Ⅰ)PC∥平面BED;(Ⅱ)△PBC是直角三角形.【解答】证明:(Ⅰ)连接AC交BD于点O,连接OE.在矩形ABCD中,AO=OC.因为AE=EP,所以OE∥PC.因为PC⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,所以PC∥平面BDE.(Ⅱ)在矩形ABCD中,BC⊥CD.因为PD⊥BC,CD∩PD=D,PD⊂平面PDC,DC⊂平面PDC,所以BC⊥平面PDC.因为PC⊂平面PDC,所以BC⊥PC.即△PBC是直角三角形.16.(11分)已知函数f(x)=ax3+3x+2(a∈R)的一个极值点是1.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)在[﹣2,3]上的最大值和最小值.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=ax3+3x+2,∴f'(x)=3ax2+3.∵函数f(x)的一个极值点是1,∴f'(1)=3a+3=0.解得:a=﹣1.经检验,a=﹣1满足题意.∴f(x)=﹣x3+3x+2,∴f(2)=0,f'(2)=﹣9.∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y=﹣9(x﹣2),即9x+y﹣18=0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f'(x)=﹣3x2+3.令f'(x)=0,得x1=﹣1,x2=1.当x在[﹣2,3]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表∴函数f(x)在[﹣2,3]上的最大值为4,最小值为﹣16.17.(12分)已知函数f(x)=e a﹣x,其中e是自然对数的底数,a∈R.(Ⅰ)求函数g(x)=xf(x)的单调区间;(Ⅱ)试确定函数h(x)=f(x)+x的零点个数,并说明理由.【解答】解:(Ⅰ)∵g(x)=xe a﹣x,x∈R,∴g'(x)=(1﹣x)e a﹣x.令g'(x)=0,得x=1.当x变化时,g(x)和g'(x)的变化情况如下:故g(x)的单调递减区间为(1,+∞);单调递增区间为(﹣∞,1).(Ⅱ)∵h(x)=e a﹣x+x,∴h'(x)=1﹣e a﹣x.令h'(x)=0,得x=a.当x变化时,h(x)和h'(x)的变化情况如下:即h(x)的单调递增区间为(a,+∞);单调递减区间为(﹣∞,a).∴h(x)的最小值为h(a)=1+a.①当1+a>0,即a>﹣1时,函数h(x)不存在零点.②当1+a=0,即a=﹣1时,函数h(x)有一个零点.③当1+a<0,即a<﹣1时,h(0)=e a>0,下证:h(2a)>0.令m(x)=e x﹣2x,则m'(x)=e x﹣2.解m'(x)=e x﹣2=0得x=ln2.当x>ln2时,m'(x)>0,∴函数m(x)在[ln2,+∞)上是增函数.取x=﹣a>1>ln2,得:m(﹣a)=e﹣a+2a>e ln2﹣2ln2=2﹣2ln2>0.∴h(2a)=e﹣a+2a=m(﹣a)>0.结合函数h(x)的单调性可知,此时函数h(x)有两个零点.综上,当a>﹣1时,函数h(x)不存在零点;a=﹣1时,函数h(x)有一个零点;当a<﹣1时,函数h(x)有两个零点.18.(11分)在平面直角坐标系中,对于一条折线C:A1﹣A2﹣…﹣A n,若能再﹣A n,使得A1B2⊥A1A2,B2B3⊥作出一条折线C′:A1﹣B2﹣B3﹣…﹣B n﹣1A2A3,…,B n﹣1A n⊥A n﹣1A n(其中A1,A2,A3,…,A n,B2,B3,…,B n﹣1都是整点),则称折线C′是折线C的一条共轭折线(说明:横、纵坐标均为整数的点成为整点).(Ⅰ)请分别判断图(1),(2)中,虚折线是否是实折线的一条个,共轭折线;(Ⅱ)试判断命题“对任意的n∈N且n>2,总存在一条折线C:A1﹣A2﹣…﹣A n有共轭折线”的真假,并举例说明;(Ⅲ)如图(3),折线C:A1﹣A2﹣A3﹣A4,其中A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1).求证:折线C无共轭折线.【解答】解:(Ⅰ)(1)不是,因为线段A1B2与线段A1A2不垂直;(2)不是,因为线段B2B3与线段A2A3不垂直.…(2分)(Ⅱ)命题“对任意n∈N且n>2,总存在一条折线C:A1﹣A2﹣…﹣A n有共轭折线”是真命题.理由如下:当n为奇数时,不妨令n=2k﹣1,k=2,3,4,…,取折线C:A1﹣A2﹣…﹣A2k.其中A i(a i,b i)(i=1,2,…,2k﹣1),﹣1=0(i=1,2,…,k),b2i=1(i=1,满足a i=i﹣1(i=1,2,…,2k﹣1),b2i﹣12,…,k﹣1).则折线C的共轭折线为折线C关于x轴对称的折线.如图所示.当n为偶数时,不妨令n=2k,k=2,3,4,…,取折线C:A1﹣A2﹣…﹣A2k.其中A i(a i,b i)(i=1,2,…,2k),满足a i=i﹣1(i=1,2,…,2k﹣1),a2k=2k,b2i=0(i=1,2,…,k),b2i﹣1=1(i=1,2,…,k).折线C的共轭折线为折线C':B1﹣B2﹣…﹣B2k.其中B i(x i,y i)(i=1,2,…,2k)满足:x i=i﹣1(i=1,2,…,2k﹣3),x2k﹣2=2k﹣1,x2k﹣1=2k+1,x2k=2k,y2i﹣1=0(i=1,2,…,k﹣1),y2i=﹣1(i=1,2,…,k﹣2),y2k﹣2=﹣3,y2k﹣1=﹣1,y2k=1.如图所示.…(7分)注:本题答案不唯一.证明:(Ⅲ)假设折线B1﹣B2﹣B3﹣B4是题设中折线C的一条共轭折线(其中B1=A1,B4=A4),设(t=1,2,3),显然x t,y t为整数.则由B t B t+1⊥A t A t+1,得:由①②③式得这与⑤式矛盾,因此,折线C无共轭折线.…(11分)。
北京市海淀区2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题
海淀区高二年级第一学期期末练习数学(理科)2014.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)抛物线22y x =的准线方程是 ( ) (A ) 12x(B )12y (C )12x (D )12y (2)若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行,则实数a = ( ) (A )12-(B )2- (C )12(D )2 (3)在四面体OABC 中,点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ,OC =c ,那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为( )(A )111222-+a +b c(B )1122-+a +b c (C )1122+a +b c(D )111222+a +b c(4)已知直线l ,平面α.则“l α”是“直线m α,l m ”的 ( )(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件(5)若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( ) (A )(1,)+∞ (B )(0,2)(C )(1,2)(D )(0,1)(6)已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈,命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线,那么 ( ) (A )p q ∧是真命题 (B )()p q ∧⌝是真命题OABCP(C )()p q ⌝∨是真命题 (D )p q ∨是假命题(7)若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直,则此双曲线的实轴长为 ( ) (A )(B ) 4 (C )(D ) 2 (8)如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 是棱1CC 上的一个动点,平面1BED 交棱1AA 于点F .则下列命题中假命题...是 ( )(A )存在点E ,使得11A C //平面1BED F(B )存在点E ,使得1B D ⊥平面1BED F (C )对于任意的点E ,平面11A C D ⊥平面1BED F (D )对于任意的点E ,四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上. (9)在空间直角坐标系中,已知(2,1,3)a,(4,2,)x b .若a b ,则x.(10)过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .(11)已知抛物线C :24y x =,O 为坐标原点,F 为C 的焦点,P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形,则PO.(12)已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点,过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点,若1ABF ∆为等边三角形,则双曲线C的离心率为 .(13)如图所示,已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点,设异面直线AB 与CP 所成的角为α,则cos α的最小值是 .1A F ED 1C 1B 1A 1DCBA(14)曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论:①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于x 轴对称; ③曲线C 与y 轴有3个交点;④若点M 在曲线C 上,则MF的最小值为1). 其中,所有正确结论的序号是___________.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题共10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点 (4 0)A ,,动点M 在y 轴上的正射影为点N ,且满足直线MO NA ⊥.(Ⅰ)求动点M 的轨迹C 的方程; (Ⅱ)当π6MOA ∠=时,求直线NA 的方程.(16)(本小题共11分)已知椭圆C :22312x y +=,直线20x y --=交椭圆C 于,A B 两点. (Ⅰ)求椭圆C 的焦点坐标及长轴长; (Ⅱ)求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)(本小题共11分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,PB BC ⊥,PD DC ⊥,且PC =(Ⅰ)求证:PA ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求二面角B PD C --的余弦值;(Ⅲ)棱PD 上是否存在一点E ,使直线EC 与平面BCD 所成的角是30?若存在,求PE 的长;若不存在,请说明理由.ABC DP(18)(本小题共12分)已知椭圆M :22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点:1(1,2P --,2(0,1)P ,31(,22P ,4(1,2P ,5(1,1)P . (Ⅰ)求椭圆M 的方程;(Ⅱ)设点A 为椭圆M 的左顶点,, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点,若原点在ABC ∆的外部,且ABC ∆为直角三角形,求ABC ∆面积的最大值.海淀区高二年级第一学期期末练习数学(理科)参考答案及评分标准 2014.01一. 选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9)103 (10)10y -= (11)32或1(12(13)3(14)①②④ 注:(11)题少一个答案扣2分.三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分10分)解:(Ⅰ)设(,)M x y ,则(0,)N y ,(,)OM x y =,(4,)NA y =-.……………………2分因为 直线MO NA ⊥,所以 240OM NA x y ⋅=-=,即24y x =. ………………………4分所以 动点M 的轨迹C 的方程为24y x =(0x ≠). ………………………5分 (Ⅱ)当π6MOA ∠=时,因为 MO NA ⊥,所以 π3NAO ∠=. 所以 直线AN 的倾斜角为π3或2π3.当直线AN 的倾斜角为π3时,直线NA 0y --=; ……………8分当直线AN 的倾斜角为2π3时,直线NA 0y +-=. …………10分(16)(本小题满分11分)解:(Ⅰ)原方程等价于221412x y +=. 由方程可知:212a =,24b =,2228c a b =-=,c =……………………3分 所以 椭圆C的焦点坐标为(0,,(0,-,长轴长2a为……………5分(Ⅱ)由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩,,可得:220x x --=.解得:2x =或1x =-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0),(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-,||AB ==……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-,半径为2. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分(17)(本小题满分11分)(Ⅰ)证明:在正方形ABCD 中,CD AD ⊥.因为CD PD ⊥,ADPD D =,所以 CD ⊥平面PAD . ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ,所以 CD PA ⊥. ………………………2分 同理,BC PA ⊥. 因为 BCCD C =,所以 PA ⊥平面ABCD . ………………………3分 (Ⅱ)解:连接AC ,由(Ⅰ)知PA ⊥平面ABCD .因为 AC ⊂平面ABCD ,所以 PA AC ⊥. ………………………4分 因为PC =AC =所以 1PA =.分别以AD ,AB ,AP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 由题意可得:(0,1,0)B ,(1,0,0)D ,(1,1,0)C ,(0,0,1)P .所以 (0,1,0)DC =,(1,0,1)DP =-,(1,1,0)BD =-,(0,1,1)BP =-. 设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ,则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,,n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩ 令1x =,得1z =.所以 (1,0,1)=n .同理可求:平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m . ………………………6分 所以cos ,3⋅<>===n m n m |n ||m |. 所以 二面角B PD C --………………………8分 (Ⅲ)存在.理由如下:若棱PD 上存在点E 满足条件,设(,0,)PE PD λλλ==-,[0,1]λ∈.所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--.…………………9分 因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =. 所以 |cos ,|2(1EC AP EC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得:12λ=±. 经检验1[0,1]λ=. 所以 棱PD 上存在点E ,使直线EC 与平面BCD 所成的角是30,此时PE 的长为1. ………………………11分(18)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b⎛⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知,31(,22P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上,即椭圆M经过1(1,2P --,2(0,1)P,4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为:2212x y +=. ………………………2分 (Ⅱ)①当90A ∠=︒时,设直线:BC x ty m =+,由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ,则2216880m t ∆=-+>,12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是3m =-,此时21616809t ∆=-+>,所以直线:3BC x ty =-. 因为12216902y y t =-<+,故线段BC 与x轴相交于(3M -,即原点在线段AM 的延长线上,即原点在ABC ∆的外部,符合题设. ………………………6分所以12121|||||2ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89. 当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时,不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =-≠,由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或22y t =+.所以222(,)22B t t -++,由AB BC ⊥,可得直线32:2BC y tx t =-++.由2222,x y y tx ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以 线段BC 与x轴相交于22(,0)2N t +. 显然原点在线段AN 上,即原点在ABC ∆的内部,不符合题设. 综上所述,所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分注:对于其它正确解法,相应给分.。
(新课标人教版)北京市海淀区2019-2020学年高二下期中考试数学理测试题(附详细答案)
海淀区高二年级第二学期期中练习数 学(理科)2019.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数12i z =-的虚部是A. 2-B. 2C.2i -D. 2i 2.下列导数运算错误..的是( ) A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (ln )'1ln x x x =+ D. (2)'2ln 2x x = 3. 函数()f x 的图象如图所示,则()f x 的极大值点的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.若函数()f x 的导函数'()(2)e x f x x x -=-,则下列关系一定成立的是( )A.(2)0f >B. (0)(1)f f >C. (2)(1)f f <D. (2)(3)f f > 5. 已知两个命题::p “若复数12,z z 满足120z z ->,则1z >2z .”:q “存在唯一的一个实数对(,)a b 使得i i(2i)a b -=+.” 其真假情况是( )A.p 真q 假B. p 假q 假C. p 假q 真D. p 真q 真 6.若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =(g 为常数),该小球在1t =到3t =的平均速度为v ,在2t =的瞬时速度为2v ,则v 和2v 关系为( ) A .2vv > B .2v v < C .2v v = D .不能确定7.如图,过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ,22(,)B x y . ① k 的取值范围是1(0,)e.②1211k x x <<. ③ 当12(,)x x x ∈时,()ln f x kx x =-先减后增且恒为负. 以上结论中所有正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.①③ D.②③8.已知函数32()f x ax bx cx d =+++,其导函数的图象如图所示,则函数()f x 的图象可能是( )二、填空题:本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.9.计算1+2ii=_________. 10.2(3)x dx -=⎰_____________.11.已知()1xf x x =- ,则'()f x =______________. 12. 方程(1)1x x e -=的解的个数为_______________.三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.(本小题12分)已知函数cx bx ax x f ++=23)(,其导函数为)('x f 的部分值如下表所示:根据表中数据,回答下列问题:(Ⅰ)实数c 的值为___________;当x = ________时,()f x 取得极大值...(将答案填写在横线上). (Ⅱ)求实数a ,b 的值.(Ⅲ)若()f x 在(,2)m m +上单调递减,求m 的取值范围.14.(本小题10分)-的底面ACDE满足DE //AC,AC=2DE.如图,四棱锥B ACDE(Ⅰ)若DC⊥平面ABC,AB⊥BC,求证:平面ABE⊥平面BCD;(Ⅱ)求证:在平面ABE内不存在直线与DC平行;某同学用分析法证明第(1)问,用反证法证明第(2)问,证明过程如下,请你在横线上填上合适的内容. (Ⅰ)证明:欲证平面ABE⊥平面BCD,Array只需证_______________________________,由已知AB⊥BC,只需证_________________,由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立,所以平面ABE⊥平面BCD.(Ⅱ)证明:假设________________________________________,DC平面ABE.又因为DC⊄平面ABE,所以//又因为平面ACDE平面ABE=AE,所以__________________,又因为DE //AC,所以ACDE是平行四边形,=,这与_______________________________矛盾,所以AC DE所以假设错误,原结论正确.15.(本小题12分)已知函数()ln f x x ax =+(a ∈R ).(Ⅰ)若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y 2=平行,求实数a 的值及该切线方程; (Ⅱ)若对任意的),0(+∞∈x ,都有1)(≤x f 成立,求实数a 的取值范围.16. (本小题8分)请阅读问题1的解答过程,然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答: 问题1:已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P :对任意的(),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .若数集{}14,2,3,a a 具有性质P ,求14,a a 的值.1212n n 具有性质P :对任意的(),1i j i j n ≤≤≤,i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .若数集{}14,1,3,a a 具有性质P ,求14,a a 的值.17. (本小题10分)已知函数1()(0)f x x x=>,对于正数1x ,2x ,…,n x (n ∈N +),记12n n S x x x =+++,如图,由点(0,0),(,0)i x ,(,())i i x f x ,(0,())i f x 构成的矩形的周长为i C (1,2,,)i n =,都满足4i i C S =(1,2,,)i n =.(Ⅰ)求1x ;(Ⅱ)猜想n x 的表达式(用n 表示),并用数学归纳法证明.海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案数 学(理科)一、选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.AABD CC C D二、填空题:本大题共4小题, 每小题4分,共16分.9.2i - 10. 4- 11. 21(1)x -- 12. 1三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.(本小题12分)(Ⅰ)6,3. ------------------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)解:2'()32f x ax bx c =++,--------------------------------------------------------------5分由已知表格可得'(1)8,'(3)0,f f =⎧⎨=⎩解得2,32.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩---------------------------------------------7分(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可得2'()2462(3)(1)f x x x x x =-++=--+,-----------------------8分 由'()0f x <可得(,1)x ∈-∞-(3,)+∞,------------------------------------------------9分因为()f x 在(,2)m m +上单调递减,所以仅需21m +≤-或者3m ≥, ------------------------------------------------------11分 所以m 的取值范为3m ≥或3m ≤-.-----------------------------------------------------12分 14.(本小题10分)(Ⅰ)证明:欲证平面ABE ⊥平面BCD ,---------------------------------------------------------------2分由已知AB ⊥BC ----------------------------------------------------4分 由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立,所以平面ABE ⊥平面BCD .------------------------------------6分又因为DC ⊄平面ABE ,所以//DC 平面ABE . 又因为平面ACDE平面ABE =AE ,------------------------------------------8分 又因为DE //AC ,所以ACDE 是平行四边形,所以AC DE =-----------------------------------------------10分 所以假设错误,原结论正确.15.(本小题12分) (Ⅰ)解:11'()ax f x a x x+=+=,0x >.----------------------------------------------------------2分 由已知可得'(1)12f a =+=,解得1a =.---------------------------------------------------3分因为(1)1f =,所以在点))1(,1(f 处的切线方程为21y x =-.------------------------4分(Ⅱ)解1:若对任意),0(+∞∈x ,都有1)(≤x f 成立,即1ln xa x-≤成立.------------6分 设1ln ()xg x x-=, --------------------------------------------------------------7分 2ln 2'()x g x x-=,令'()0g x =,解得2e x =,则'(),()g x g x 的情况如下:分 所以()g x 的最小值为22(e )e g -=-, ------------------------------------------10分 所以,依题意只需实数a 满足2e a -≤-,---------------------------------------11分故所求a 的取值范围是2(,e ]--∞-. --------------------------------------------12分 解2:当0a ≥时,'()0f x >恒成立,所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞又因为11(1)ln(1)11f a a a+=+++>,所以不符题意,舍.--------------------6分当0a <时,令'()0f x =,得1x a=-.----------------------------------------------7分 所以'(),()f x f x 随x 的变化如下表所示:分 所以()f x 的最大值为1()f a-,------------------------------------------------------10分 所以,依题意只需11()ln()11f a a-=--≤即可,解得2e a -≤-.---------------11分 综上,a 的取值范围是2(,e ]--∞-.---------------------------------------------------12分16. (本小题8分)解:对于集合中最大的数4a ,因为444a a a +>,443a a +>,441a a +>-----------------2分所以44a a -,43a -,41a -,41a a -都属于该集合.--------------------------------------------4分 又因为14013a a ≤<<<,所以44a a -<43a -<41a -41a a <-.-----------------------6分-- 所以1440a a a =-=,431a -=,------------------------------------------------------------------7分 即140,4a a ==.-------------------------------------------------------------------------------------8分17. (本小题10分) (Ⅰ)解:由题意知,12(())2()i i i i i C x f x x x =+=+(1,2,,)i n =, 所以12i i i S x x =+(1,2,,)i n =.--------------------------------------------------------------1分令i =1,得11112S x x =+, 又11S x =,且1x >0,故11x =.---------------------------------------------------------------2分 (Ⅱ)解:令i =2,得22212S x x =+, 又212S x x =+,11x =,且2x >0,故21x =;------------------------------------3分 令i =3,得33312S x x =+, 又3123S x x x =++,11x =,21x =,且3x >0,故3x =----------4分由此猜想,n x =n ∈N +).-------------------------------------------------------5分 下面用数学归纳法证明:①当n =1时,11x =,命题成立;---------------------------------------------------------6分 ②假设n =k时命题成立,即k x =(k ∈N +), -----------------------------7分 则当n =k +1时,11112k k k S x x +++=+,又11k k k S S x ++=+,12k k k S x x =+, 故11111()2k k k k k x x x x x +++++=+,由k x =,得21110k k x +++-=,--------------------------------------8分所以1k x +=).-------------------------------------------9分 即当n =k +1时命题成立。
北京市海淀区2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题-扫描版含答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学(理科)参考答案及评分标准2014.01 一. 选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.(9)103(10)10y-=(11)32或1(12(13(14)①②④注:(11)题少一个答案扣2分.三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分10分)解:(Ⅰ)设(,)M x y,则(0,)N y,(,)OM x y=,(4,)NA y=-.……………………2分因为直线MO NA⊥,所以240OM NA xy⋅=-=,即24y x=. ………………………4分所以动点M的轨迹C的方程为24y x=(0x≠). ………………………5分(Ⅱ)当π6MOA∠=时,因为MO NA⊥,所以π3NAO∠=.所以直线AN的倾斜角为π3或2π3.当直线AN的倾斜角为π3时,直线NAy--=;……………8分当直线AN的倾斜角为2π3时,直线NA0y+-=.…………10分(16)(本小题满分11分)解:(Ⅰ)原方程等价于221412x y+=.由方程可知:212a=,24b=,2228c a b=-=,c=……………………3分所以椭圆C的焦点坐标为(0,,(0,-,长轴长2a为……………5分(Ⅱ)由2231220x yx y⎧+=⎨--=⎩,,可得:220x x--=.解得:2x =或1x =-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0),(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-,||AB =……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分(17)(本小题满分11分)(Ⅰ)证明:在正方形ABCD 中,CD AD ⊥.因为CD PD ⊥,ADPD D =,所以 CD ⊥平面PAD . ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ,所以 CD PA ⊥. ………………………2分 同理,BC PA ⊥. 因为 BCCD C =,所以 PA ⊥平面ABCD . ………………………3分 (Ⅱ)解:连接AC ,由(Ⅰ)知PA ⊥平面ABCD .因为 AC ⊂平面ABCD ,所以 PA AC ⊥. ………………………4分 因为PC =AC =所以 1PA =.分别以AD ,AB ,AP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由题意可得:(0,1,0)B ,(1,0,0)D ,(1,1,0)C ,(0,0,1)P . 所以(0,1,0)DC =,(1,0,1)DP =-,(1,1,0)BD =-,(0,1,1)BP =-.设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ,则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,,n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =,得1z =.所以 (1,0,1)=n .同理可求:平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m . ………………………6分所以 二面角B PD C --的余弦值为3………………………8分 (Ⅲ)存在.理由如下:若棱PD 上存在点E 满足条件,设(,0,)PE PD λλλ==-,[0,1]λ∈.所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--.…………………9分 因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =. 所以 |cos ,|2(1EC AP EC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得:12λ=±. 经检验1[0,1]2λ=-.所以 棱PD 上存在点E ,使直线EC 与平面BCD 所成的角是30,此时PE 的长为1. ………………………11分(18)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由22222222222222221(1)1112a b a b a b a b ⎛⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知,31(2P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上,即椭圆M 经过1(1,P -,2(0,1)P ,4P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为:2212x y +=. ………………………2分 (Ⅱ)①当90A ∠=︒时,设直线:BC x ty m =+,由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ,则2216880m t ∆=-+>,12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是3m =-,此时21616809t ∆=-+>,所以直线:3BC x ty =-. 因为12216902y y t =-<+,故线段BC 与x轴相交于(,0)3M -,即原点在线段AM 的延长线上,即原点在ABC ∆的外部,符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89. 当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时,不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =-≠,由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或y =.所以B ,由AB BC ⊥,可得直线:BC y tx =-.WORD 完整版----可编辑----教育资料分享----完整版学习资料分享----由223222, ,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+. 所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++.所以 线段BC 与x轴相交于N .显然原点在线段AN 上,即原点在ABC ∆的内部,不符合题设. 综上所述,所求的ABC ∆面积的最大值为89.……………………12分注:对于其它正确解法,相应给分.。
北京101中学2013-2014学年度下学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 后有答案
北京101中学2013-2014学年度下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
1. 在2101()x x+的展开式中系数最大的项是 A. 第5项B. 第6项C. 第5,6项D. 第6,7项2. 在极坐标系中,直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点,O 为极点,则AOB ∠的大小为A.3π B. 2π C. 32π D. 65π 3. 若直线1,x t y a t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)被圆22cos ,22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)所截的弦长为则a 的值为A. 1 或5B. 1- 或5C. 1 或5-D. 1- 或5-4. 如图,ABC D 是圆的内接三角形,BAC Ð的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F 。
在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF Ð;②2FB FD FA = ;③AE CEBE DE ? ;④AF BDAB BF ? 。
ED CBA则所有正确结论的序号是A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②④ 5. 在下列命题中, ①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件; ②341()2x x+的展开式中的常数项为2;③设随机变量ξ服从二项分布1(4,)2B ,则()2E ξ=。
其中所有正确命题的序号是A. ②B. ③C. ②③D. ①③6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种 7. 设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4,若i i y x a =+(a 为非零常数,1,2,,10i =),则12,10,y y y 的均值和方差分别为A. 1+,4aB. 1,4a a ++C. 1,4D. 1,4+a8. 如图,已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点,点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点,则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有1DA. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 以极坐标系中的点(1,)6π为圆心,1为半径的圆的极坐标方程是。
【数学】北京市海淀区2012-2013学年高二下学期期中(理)
海淀区高二年级第二学期期中练习数学(理5)一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(1,,2),(2,1,)x x =-=a b ,且⊥a b ,则x 的值为() A.1- B. 0 C. 1 D. 22.曲线1()f x x=在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为() A.4π B. 3π C. 32π D.43π3.函数)(x f 在其定义域内可导,其图象如右图所示, 则导函数)('x f y =的图象可能为()4.观察下列各等式:312555=,1562556=,7812557=,…,则20135的末四位数字是()A. 3125B. 5625C. 8125D. 0625 5.已知下列命题: ;②三角形ABC 的三个内角满足sin sin sin A B C +>; ③存在等比数列{}n a 满足1322a a a +=成立.其中所有正确命题的序号是()A. ①B. ①②C. ②③D. ①②③6.若水以恒速(即单位时间内注入的体积相同)注入右图的容器,则容器中水的高度h 与时间t 的函数关系图象是()7.若函数b ax x x f ++=3)(有三个零点,分别为123,,x x x ,且满足11<x ,12=x ,13>x ,则实数a 的取值范围是()A .(,0)-∞B .(,1)-∞-C .(,2)-∞-D .(,3)-∞- 8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 是截面BD A 1内(包括边界)的动点,则11C P C B ⋅的值不可能是( )A .9.0B .2.1C .5.1D .8.1二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.已知三个点(1,1,),(2,,1),(0,0,0)A b B a O -在同一条直线上,则_________,==b a . 10.若函数sin y ax x =-是R 上的单调增函数,则实数a 的取值范围_____________. 11.由曲线2y x =和直线2y x =围成的封闭区域的面积为________.12.如图所示,已知三棱柱'''A B C ABC -的侧棱垂直于底面,AC CB ⊥,且'2AC CB CC ===.若点E 为''A B 中点,则CE 与底面ABC 所成角的余弦值为____________. 13.若函数2()(3)xf x x e =-,给出下面四个结论:①(3)f -是()f x 的极大值,(1)f 是()f x 的极小值;②()0f x <的解集为{|x x <<;③()f x 没有最小值,也没有最大值;④()f x 有最小值,没有最大值,其中正确结论的序号有__________________. 14.已知函数()3x f x x =+,构造如下函数序列()n f x :()()1[]n n f x f f x -=(*∈N n ,且2≥n ),其中()1()f x f x =,()0>x ,则3()f x =_____________________,函数()n f x 的值域为__________________.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题共10分)已知函数232()2,3a f x x ax bx =-+其中,ab ∈R ,且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为3.(I )求b 的值;(II )若函数()f x 在1x =处取得极大值,求a 的值.A BC 'B 'A 'C E16.(本小题共10分)已知点列A n (x n,0),n ∈N *,其中x 1=0,x 2=a (a >0),A 3是线段A 1A 2的中点,A 4是线段A 2A 3的中点,…A n 是线段A n -2A n -1的中点,….(I )写出x n 与x n -1、x n -2之间的关系式(n ≥3); (II )设a n =x n +1-x n ,计算a 1,a 2,a 3,由此推测数列{a n }的通项公式,并加以证明.17.(本小题共12分)已知平面ADEF ⊥平面ABCD ,其中ADEF 为矩形,AB //CD ,AB AD ^,且224AB CD DE ===,AD =.(Ⅰ)求证:BE AC ^;(Ⅱ)求二面角B CE D --的余弦值;(Ⅲ)在线段AF 上是否存在点P ,使得BP ∥平面ACE ,若存在,确定点P 的位置,若不存在,请说明理由.18.(本小题共12分)已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++. (I )当2a =-时,判断函数()f x 零点的个数; (II )求函数()f x 的单调区间.。
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海淀区高二年级第二学期期中练习
数学(理科)
参考答案及评分标准 2014.04
一. 选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.
(8)讲评提示:考察函数
e
x . 二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9)(2,)+ (10)4π (11)16
(12)2
(13)111111()23
21
n n n ++
+++
<+∈-N* ,12k + (注:每空2分)
(14)20(,0)a b (注:回答出20(,0)a b 给4分;答案为0(,0)ab b 或20(,0)b b 或22
(,0)2a b
b +给
3分;其它答案酌情给1~2分;未作答,给0分)
三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分10分)
证明:(Ⅰ)连接AC 交BD 于点O ,连接OE . 在矩形ABCD 中,AO OC =. 因为 AE EP =,
所以 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC Ë平面BDE ,OE Ì平面BDE ,
所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分 (Ⅱ)在矩形ABCD 中,BC CD ^. 因为 PD BC ^,CD
PD D =,PD Ì平面
PDC ,DC Ì平面PDC ,
所以 BC ^平面PDC . ………………………8分 因为 PC Ì平面PDC ,
所以 BC PC ^.
即 PBC ∆是直角三角形. ………………………10分
O
A
E
B
C
D
P
(16)(本小题满分11分)
解:(Ⅰ)因为 ()332f x ax x =++,
所以 2
'()33f x ax =+. ………………………2分 因为 函数()f x 的一个极值点是1, 所以 '(1)330f a =+=.
解得:1a =-. ………………………4分 经检验,1a =-满足题意. 所以 (2)0,'(2)9f f ==-.
所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是9(2)y x =--,即9180x y +-=. ………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:2
'()33f x x =-+.
令'()0f x =,得 121,1x x =-=. ………………………7分 当x 在[2,3]-上变化时,()'(),f x f x 的变化情况如下表
………………………10分 所以 函数()f x 在[2,3]-上的最大值为4,最小值为-16. ………………………11分
(17)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)因为()e a x
g x x -=,x ∈R ,
所以'()(1)e
a x
g x x -=-. ………………………2分
令'()0g x =,得1x =.
当x 变化时,()g x 和'()g x 的变化情况如下:
故()g x 的单调递减区间为;单调递增区间为. ………………………5分 (Ⅱ)因为 ()e a x h x x -=+, 所以 '()1e
a x
h x -=-. ………………………6分
令'()0h x =,得x a =.
当x 变化时,()h x 和'()h x 的变化情况如下:
即()h x 的单调递增区间为;单调递减区间为. ………………………8分 所以()h x 的最小值为()1h a a =+.
①当10a +>,即1a >-时,函数()h x 不存在零点.
②当10a +=,即1a =-时,函数()h x 有一个零点. ………………………10分 ③当10a +<,即1a <-时,(0)e 0a
h =>, 下证:(2)0h a >.
令()e 2x m x x =-,则'()e 2x m x =-. 解'()e 20x m x =-=得ln 2x =.
当ln 2x >时,'()0m x >,所以 函数()m x 在[)ln 2,+∞上是增函数. 取1ln 2x a =->>,得:ln2()e 2e 2ln 222ln 20a m a a --=+>-=->. 所以 (2)e 2()0a h a a m a -=+=->.
结合函数()h x 的单调性可知,此时函数()h x 有两个零点.
综上,当1a >-时,函数()h x 不存在零点;当1a =-时,函数()h x 有一个零点;当1a <-时,函数()h x 有两个零点. ………………………12分 (18)(本小题满分11分) (Ⅰ)解:(1)不是,因为线段12A B 与线段12A A 不垂直;
(2)不是,因为线段23B B 与线段23A A 不垂直. ………………………2分
(Ⅱ)命题“对任意n ∈N 且2n >,总存在一条折线12n C A A A ---:有共轭折线”是
真命题.理由如下:
当n 为奇数时,不妨令21,2,3,4,
n k k =-=,取折线1221k C A A A ----:.其中
(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-,满足211(1,2,,21),0(1,2,,),i i a i i k b i k -=-=-==
21(1,2,,1)i b i k ==-.则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.
当n 为偶数时,不妨令2,2,3,4,
n k k ==,取折线122k C A A A ---:.其中
(,)(1,2,,2)i i i A a b i k =,满足22121(1,2,
,21),2,0(1,2,
,),1(1,2,
,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C
的共轭折线为折线122'k C B B B ---:.其中(,)(1,2,
,2)i i i B x y i k =满足
22212211(1,2,
,23),21,21,2,0(1,2,
,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,
,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如图所示. ………………………7分
注:本题答案不唯一.
(Ⅲ)证明:假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线(其中11B A =,
44B A =),设1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =),显然,t t x y 为整数. 则由11t t t t B B A A ++⊥,
得:
11
22
33
123
123
30,
30,
30,
9,
1. x y
x y
x y
x x x
y y y
+=
⎧
⎪
-=
⎪
⎪
+=
⎨
⎪++=
⎪
⎪++=
⎩
①
②
③
④
⑤
由①②③式得
11
22
3
,
,
.
3
3
3
3 y x y x y x
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
这与⑤式矛盾,因此,折线C无共轭折线. ………………………11分注:对于其它正确解法,相应给分.。