北京市海淀区2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题 扫描版含答案

海淀区高二年级第二学期期中练习

数学（理科）

参考答案及评分标准 2014．04

一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

（8）讲评提示：考察函数

e

x . 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）(2,)+ （10）4π （11）16

（12）2

（13）111111()23

21

n n n ++

+++

<+∈-N* ，12k + （注：每空2分）

（14）20(,0)a b （注：回答出20(,0)a b 给4分；答案为0(,0)ab b 或20(,0)b b 或22

(,0)2a b

b +给

3分；其它答案酌情给1~2分；未作答，给0分）

三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）

证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC =. 因为 AE EP =，

所以 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，

所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD ^. 因为 PD BC ^，CD

PD D =，PD Ì平面

PDC ，DC Ì平面PDC ，

所以 BC ^平面PDC . ………………………8分 因为 PC Ì平面PDC ，

所以 BC PC ^.

即 PBC ∆是直角三角形. ………………………10分

O

A

E

B

C

D

P

（16）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）因为 ()332f x ax x =++，

所以 2

'()33f x ax =+. ………………………2分 因为 函数()f x 的一个极值点是1, 所以 '(1)330f a =+=.

解得：1a =-. ………………………4分 经检验，1a =-满足题意. 所以 (2)0,'(2)9f f ==-.

所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是9(2)y x =--，即9180x y +-=. ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：2

'()33f x x =-+.

令'()0f x =，得 121,1x x =-=. ………………………7分 当x 在[2,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下表

………………………10分 所以 函数()f x 在[2,3]-上的最大值为4，最小值为-16. ………………………11分

（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为()e a x

g x x -=，x ∈R ，

所以'()(1)e

a x

g x x -=-． ………………………2分

令'()0g x =，得1x =．

当x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：

故()g x 的单调递减区间为；单调递增区间为． ………………………5分 （Ⅱ）因为 ()e a x h x x -=+， 所以 '()1e

a x

h x -=-. ………………………6分

令'()0h x =，得x a =．

当x 变化时，()h x 和'()h x 的变化情况如下：

即()h x 的单调递增区间为；单调递减区间为． ………………………8分 所以()h x 的最小值为()1h a a =+.

①当10a +>，即1a >-时，函数()h x 不存在零点.

②当10a +=，即1a =-时，函数()h x 有一个零点. ………………………10分 ③当10a +<，即1a <-时，(0)e 0a

h =>， 下证：(2)0h a >.

令()e 2x m x x =-，则'()e 2x m x =-. 解'()e 20x m x =-=得ln 2x =.

当ln 2x >时，'()0m x >，所以 函数()m x 在[)ln 2,+∞上是增函数. 取1ln 2x a =->>，得：ln2()e 2e 2ln 222ln 20a m a a --=+>-=->. 所以 (2)e 2()0a h a a m a -=+=->.

结合函数()h x 的单调性可知，此时函数()h x 有两个零点.

综上，当1a >-时，函数()h x 不存在零点；当1a =-时，函数()h x 有一个零点；当1a <-时，函数()h x 有两个零点. ………………………12分 （18）（本小题满分11分） （Ⅰ）解：（1）不是，因为线段12A B 与线段12A A 不垂直；

（2）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直. ………………………2分

（Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”是

真命题.理由如下：

当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,

n k k =-=，取折线1221k C A A A ----：.其中

(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-，满足211(1,2,,21),0(1,2,,),i i a i i k b i k -=-=-==

21(1,2,,1)i b i k ==-.则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.

当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,

n k k ==，取折线122k C A A A ---：.其中

(,)(1,2,,2)i i i A a b i k =，满足22121(1,2,

,21),2,0(1,2,

,),1(1,2,

,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C

的共轭折线为折线122'k C B B B ---：.其中(,)(1,2,

,2)i i i B x y i k =满足

22212211(1,2,

,23),21,21,2,0(1,2,

,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,

,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如图所示. ………………………7分

注：本题答案不唯一.

（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，

44B A =），设1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数. 则由11t t t t B B A A ++⊥，