涡流损耗

总电压U与UR的相位角为
U L L tg UR R
线圈阻抗向量图如图（c）所示。易知， 电压三角形与阻抗三角形相似
实际应用中，用复数表示阻抗。
Z R jL
其中

L
j
R ——线圈电阻
——电流频率 ——线圈电感 ——虚数的单位，
j 1
按图示中的电流假定方向，可以得回路的 复数电压方程
(0) B ，则 C B / 。 B 设钢片中心x = 0处， z 0 0 因此， B 0 chkx H z B J ，可得 利用 H
k B H 0 z J shkx y x
B0
J
0
x
E y
k B 0
对于电工硅钢片来说，一般 10000 ， =107S/m，厚度a =0.5mm 。当工作频率为f =50Hz时，透入深度d = 0.715103m， a/d = 0.7，集肤效应不明显可以认为B在横截面还是均匀分布的。 但当工作频率为f =2000Hz时，a/d = 4.4，集肤效应十分明显，因 此不再采用厚度为0.5mm的钢片，而要用更薄的钢片。 如果工作频率更高，则要使用粉末磁性材料压制的磁芯才能达到 减少涡流损耗的要求。
M L1 L2
, 则
R2 , 得 （1）当工件回路断开时，
Z1 R1 jL1
说明工件回路断开时，检测线圈的 阻抗Z1仅取决于 R1和 L1 。 （2） 当工件回路短路时，
R2 0,
得
Z1 R1 jL1 (1 K 2 )
说明工件回路短路时，检测线圈的阻抗 L1 和K有关 。 Z1与R1、
r——圆柱体的半径（m）；
f g ——特征频率（Hz）.
d r 以cm为单位时， 当 0 4 10 H / cm ， 2
9
上式变为
5066 fg 2 r d
式中
d
——圆柱体直径（cm）。
对于一般的试件频率，贝塞尔函数的变量可表示为
f Kr r j 2f j fg
r
J0
K j j 2f
——圆柱体半径；
——零阶贝塞尔函数，
2 n x x n J ( x) (1) 0 2n0 22n (n!) 2
J 1 ——一阶贝塞尔函数，
2n x x J 1 ( x) (1) n 2 n 2 n 0 2 n!(n 1)!
------ 至表面的距离
------导体磁导率

f ------- 电流频率
------导体电导率
有效渗透 ： 0.37 当电流密度减少到表面电流密度的 37 % 时的深度。
1

1 0.37 f
通过电阻R两端的电流和电压为
i 2I sin t
ur 2 IRsin t
涡流损耗
涡流损耗
电气工程中的发电机、变压器的铁心和端盖都是由大 块铁心构成的。在变化的磁场中，这些导体内部都会因电 磁感应产生自行闭合、呈旋涡状流动的电流，因此称之为 涡旋电流，简称涡流。 z
涡流及其损耗
a
Hale Waihona Puke 以变压器铁心 为例，在磁准静 态MQS近似下， 分析钢片中的电 磁场分布
l
y
h x
B
y 设硅钢片外磁场B沿z向， a E J 宽度h≫厚度a，可忽略边缘效 应，认为E和J仅有y分量Ey和Jy。 h≫a 由于磁路长度l和宽度h远远大 一片薄板的横截面 于其厚度a，可近似认为E和H 与y和z无关，仅是x的函数 2
x E J
磁场扩散方程简化为 通解
d H 2 z k Hz 2 dx
C ekx C e kx H z 1 2
由于磁场沿x方向的分布对称
a a H z ( ) H z ( ) 2 2
C chkx 故积分常数C1 = C2 = C/2 ，因此 H z

shkx
a
电场和磁场分布不均匀，表面大、内部越小，涡流 有去磁效应。
涡流在导体内流动时，会产生损耗引起导体发热， 因此它具有热效应。涡流电流在钢片中消耗的平均功率 2 为 Jy
涡流损耗
P

V

dV
当频率较低时，即钢片厚度与透入深度之比a/d较小时， 涡流损耗近似为 1 2 P 2 a 2 B zav V 12
以此代入计算有效磁导率的公式得
eff
J1 ( jf / f g ) 2 jf / f g J 0 ( jf / f g )
由上式可知，有效磁导率是一个含有实部和虚部得复 数，它是变量的函数，与其他的因素无关。
实际应用中把函数变量的模等于1的频 率称为特征频率或界限频率，用表示。
令
Kr 1，即
Kr r 2f g 1 得
fg
式中
1 2 0 r r
2

0 ——真空中磁导率， 0
S
4 107 H

r
m
(亨 / 米）
——相对磁导率，非磁性材料， r =1；

——试样的电导率 （ m ）(西门子/米)；
( R1 jL1 ) I jM I U S 1 2


( R2 jL2 ) I jM I 0 2 1
解此方程组得：


R2 2 M 2 2M 2 U S [(R1 2 ) j (L1 2 L2 )] I 1 2 2 2 2 R2 L2 R2 L2
这时电感L两端的电压为
di u L L 2ωLIcosωt dt
uL 与 u R的相位关系如图(b)所示，
uL
总比
u R超 前 ，因此电阻与电感两端的总电压为 2
U U U I R L IZ
2 R 2 L 2 2 2
Z R L
2 2
2
式中
Z——线圈的阻抗 I ——通过线圈的电流
趋肤效应
直流电通过圆柱体导体时，导体横截面上 的电流密度基本上均匀的。但当交流电通过圆柱 体导体时，横截面上的电流密度不在是均匀的了， 而是导体表面电流密度大，中心电流密度小，这 种现象称为趋肤效应或集肤效应。
电流密度从表面至中心的变化规律为
I I0 e
f
式中 I0 ----导体表面的电流密度 I -----至表面 深处的电流密度
R2 2 M 2 2M 2 Z1 [(R1 2 ) j (L1 2 L2 )] 2 2 2 2 R2 L2 R2 L2

U S ——线圈 输入电压复数值；

I

——线圈 电 流 复数值

R1、R2——线圈、工件中的电阻； M——互感系数； ——电流频率。
设耦合系数 K
对于非磁性材料，磁导率为
0 eef
对于磁性材料，磁导率为
0r eef
式中
eef
0 ———真空磁导率； 相对磁导率 ； r
———— ————有效磁导率；
在讨论有效磁导率的计算公式之前先做如下三个假设： （1）
圆柱体充分长，并完全充满线圈。
（2）
（3）
激励电流为单一的正弦波。
试件的电导率、磁导率不变。
在以上假设条件下，根据磁通量的概念，可以 得出 圆柱体内得总磁通为
BS 0 r eef H 0r
2
根据理论麦克斯韦方程组可以求出圆柱体 内实际的总磁通，并由此导出有效磁导率。
eef
式中
2 J 1 ( Kr ) 2 Kr J 0 ( Kr ) 0 r H 0r