参数方程的概念和圆的参数方程 ppt课件
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参数方程的概念及圆的参数方程 课件
类型三 圆的参数方程及应用
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动 点，Q(4,0)在x轴上.M是PQ的中点，当点P绕 O作匀速圆周运动时， (1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所 表示的图形；
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围. 解 x＋2y＝cos θ＋2＋2sin θ＝ 5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12. ∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－ 5＋2≤x＋2y≤ 5＋2.
类型二 求曲线的参数方程
例2 如图，△ABP是等腰直角三角形动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程.
反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标. (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点 ①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x，y的值可以由参数惟一确定. (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐 标与参数的函数关系式，证明可以省略.
参数方程的概念及圆的参数方程
知识点一 参数方程的概念
思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上 点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？ 答案 可以引入参数，作为x，y联系的桥梁.
梳理 参数方程的概念
(1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个变数t(θ，φ，…)的函数xy＝ ＝fgtt，，①并且对于t的每一个允许值， 由方程组①所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上 ，那么方程①
就叫做这条曲线的 参数方程 ，t叫做 参数，相对于参数方程而言，
直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程 .
(2)参数的意义 参数 是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理 意义或 几何意义的变数， 也可以是没有明显实际意义的变数. 特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数 方程可以与普通方程进行互化.
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
高考数学复习课件圆、椭圆参数方程
方程_______
例2 如图, 圆O的半径为2, P是圆上的动点, Q(6,0)
上的定点, M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆周运
求点M的轨迹的参数方程。 解：设点M的坐标是( x, y)，
y P M
xOP ,
则P(2cos , 2sin ),
o
x 2cos 6 cos 3,
2
y 2sin sin
例2 把下列普通方程化为参数方程
（3）x2 y2 1 49
（4）x 2
y2
16
1
练习：已知椭圆的参数方程为
x 2cos
y
sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（4 ），短
为（ 2 ）,焦点坐标是（
）,准线方
（
），离心率是（ ）。
• 例3.已知椭圆 x2 y2 1，点P(x,y)是椭圆上一
2.1.1参数方程的概念
一、参数方程的概念：
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的
x，y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g(t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组(2)所确定 M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条 参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简
设P(x,y)为圆上的任一点,P0OP ,则
x r cos
①
y r sin
P(x,y) r
对于θ的每一个允许值,由方程组①所确定的点P( 在圆O上.
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的 参数方程，θ是参数.
2. 圆的参数方程的一般形式
P(x,y)
圆的普通方程为(x x0)2 ( y y0)2 r2 y
（
练习：
圆的参数方程精选教学PPT课件
P
M
由线段中点坐标公式得点M的轨迹
的参数方程为xy
6 2c
2 sin
os
O
4B
10 A(12,0)
解法2(动点转移法或代入法) : 设点M的坐标是(x, y),点P的坐标为
(x1, y1).因为点P在圆x2 y2 16上,所以有x12 y12 16.1
由线段中点坐标公式得x
x f (t)
y
g(t)
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所 确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述 方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、 y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参 数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数。
相对于参数方程来说，前面学过的直接给 出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普 通方程。
生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，因为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
x a r cos y b r sin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
参数方程的概念与圆的参数方程课件
题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】 圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝ |BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值． [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值． 解 以AB所在直线为x轴，以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系．
解 (1)由题意可知有1a＋ t2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和 利用三角恒等式消参法两种．
为参数)
1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标 变量x、y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有 相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意 义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定 一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点， 反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的 相应的允许取值．
3．圆的参数方程中参数的理解
在圆的参数方程中，设点 M 绕点 O 转动的角速度为ω(ω
为常数)转动的某一时刻为 t，因此取时刻 t 为参数可
得圆的参数方程为：yx＝＝rrscions
ωt， ωt (t
为参数)，此时参数
t 表示时间．
若以 OM 转过的角度 θ(∠M0OM＝θ)为参数，可得圆的参
参数方程优秀课件
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
直线和圆的参数方程 ppt课件
直线的参数方程
【基础知识梳理】
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
是多少 ?
【规律方法总结】 直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下
常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，
t2，则弦长 AB＝|t1－t2|； ②设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝
t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
【练习】
已知直 l:x线 y10与抛物线 yx2交于 A,B两点 ,求线A条 B的长和点
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
答案：6( 3＋1) 解析：由题意可得直线
l
x＝1＋12t
的参数方程为
y＝5＋
3 2t
(t 为参
数)，代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解 得 t＝－6( 3＋1)． 根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
所以，由 t 的几何意义可得点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离
为︱－175︱＝175.
探究
直线 xx0 tcos , y y0 tsin.
t为参数
与曲线y f x交于M1,M2两点,对应的
参数分别t1,为 t2.
1曲线的M弦1M2的长是多?少 2线段M1M2的中点 M对应的参t的 数值
【基础知识梳理】
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
是多少 ?
【规律方法总结】 直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下
常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，
t2，则弦长 AB＝|t1－t2|； ②设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝
t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
【练习】
已知直 l:x线 y10与抛物线 yx2交于 A,B两点 ,求线A条 B的长和点
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
答案：6( 3＋1) 解析：由题意可得直线
l
x＝1＋12t
的参数方程为
y＝5＋
3 2t
(t 为参
数)，代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解 得 t＝－6( 3＋1)． 根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
所以，由 t 的几何意义可得点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离
为︱－175︱＝175.
探究
直线 xx0 tcos , y y0 tsin.
t为参数
与曲线y f x交于M1,M2两点,对应的
参数分别t1,为 t2.
1曲线的M弦1M2的长是多?少 2线段M1M2的中点 M对应的参t的 数值
曲线参数方程之意义和圆的参数方程ppt
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
x 2 cos 1 P(x, y)是曲线 y sin (α为参数)上任意一点,则
练习
( x 5)2 ( y 4)2 的最大值为( A )
A．36 B． 6 C．26 D．25
法一：直接代入（应用 辅助角公式）
A(2，7)； B(1/3, 2/3)
C(1/2, 1/2)
D(1，0)
x sin 2 3.下列在曲线 y cos sin (为参数) 3 1 1 ( , 2 ) ( , ) C (2, 3) A 2 B 4 2
上的点是 ( B ) D (1, 3)
3.已知曲线C的参数方程 且点M(5,4)在该曲线上. （1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:
x 1 t 2
4.已知动点M作匀速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速 度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨 迹参数方程。
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
5、由方程x y 4tx 2ty 5t 4 0( t为 参数 )所表示的一族圆的圆心 轨迹是 D
这个方程组无解，因此点M2不在曲线上
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习
x 1 t 2 与x轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 y 4t 3(t为参数）
A(1，4)； B (25/16, 0)
C(1, -3)
D(±25/16, 0)
x sin (为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( ) 2、方程 D y cos
直接判断点M的轨迹是什么并不方便，
把它化为我们熟悉的普通方程，有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是(x-3)2+y2=1， 轨迹是什么就很清楚了
高中数学《参数方程-圆的参数方程》课件
探究四
2
2
【典型例题 5】 如图,设 P 为等轴双曲线 x -y =1 上的一点,F1,F2 是两
个焦点,证明:|PF1|·
|PF2|=|OP|2.
思路分析:设 P
1
,tan
cos
,证明等式两边等于同一个式子即可.
首 页
探究一
探究二
∴|PF1|=
|PF2|=
1
cos
∴|PF1|·
|PF2|=
= 0 + bsin
圆上一点 P 和椭圆中心 C 的连线 CP 与 x 轴正半轴的夹角.
2
(1)椭圆 2
2
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
自主思考 1 椭圆的参数方程中参数 φ 的几何意义是什
问题.
【典型例题 3】 在平面直角坐标系 xOy 中,设
一个动点,求 x+y 的最大值.
2 2
P(x,y)是椭圆 +y =1
3
上
思路分析:将普通方程化为参数方程,利用三角函数的相关知识求最值.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
探究一
探究二
探究三
2 2
解:椭圆方程 +y =1
3
ICHU ZHISHI
2
2
数).因此,参数 φ 的几何意义应是椭圆上任意一点 M 所对应的圆的半径
OA(或 OB)的旋转角(称为离心角),而不是 OM 的旋转角,如图.
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
y=t
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
(B)
3
(C) 2
3
【解析】
5.在方程 标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
(B)
3
(C) 2
3
【解析】
5.在方程 标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
6、参数方程的概念及其直线与圆的参数方程(原来用课件)
y 500
（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。 解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x， 垂直高度为y，所以
o
x
x 100t , 2 （ g=9.8m/s ) 1 2 y 500 gt . 2
1、参数方程的概念：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 （不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x 100t , 2 （ g=9.8m/s ) 1 2 y 500 gt . 2 令y 0, 得t 10.10s. x 代入x 100t, 得 x 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
( x 1) 4 y为所求.
2
变式：
2 2、曲线 x 1 t ,(t为参数） 与x轴的交点坐标是( B ) y 4t 3
25 ( , 0); C、(1, 3); A、（1，4）；B、 16
25 D、 ( , 0); 16
பைடு நூலகம்
x sinθ 例2、方程{ (θ为参数)表示的曲 线上 y cos2θ 的一个点的坐标是（ C） 1 1 1 1 A、(2,7)B、( , )，C、( , ),D(1,0) 3 2 2 2
点M(5,4)在该 曲线上. （2）求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:
（1）求常数a;
1+2t=5 at2=4 x=1+2t y=t2
解得:
a=1 t=2
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
逆 时针旋
OM
的位置时，OM0 转过的角度．
(3)若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程 为
x＝x ＋Rcos θ 0 y＝y0＋Rsin θ
(0≤θ＜2π) ．
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返回
[例1]
圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，
以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程． [思路点拨]
φ，
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
返回
1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x 的标准方程为(x－1)2＋y2＝1， 设 x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
x＝1＋cos 参数方程为 y＝sin θ
θ，
(0≤θ＜2π)．
返回
2．已知点 P(2,0)，点 Q
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
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3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
返回
4．已知圆
x＝cos θ， C y＝－1＋sin
θ
与直线 x＋y＋a＝0 有公共点，
求实数 a 的取值范围．
x＝cos θ， 解：法一：∵ y＝－1＋sin
《圆的参数方程一》课件
在物理学中，参数方程常用于描述周期性运动，如简谐振动、圆 周运动等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程常用于描述曲线和曲面，如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维或三维图形，如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点，半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ，
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16，求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2)，求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ，求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程常用于描述曲线和曲面，如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维或三维图形，如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点，半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ，
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16，求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2)，求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ，求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3
参数方程的概念 圆的参数方程ppt课件
3，32 是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参
数的值．
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【解】
把点A(2,0)的坐标代入yx＝＝32scions
θ， θ，
得cos θ＝1且sin θ＝0，
由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，
因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0.
同理，把B－
3，32代入参数方程，得
－ 3＝2cos θ， 32＝3sin θ，
[小组合作型]
已知曲线C的参数方程是
x＝1＋2t y＝at2
(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)
在曲线C上．
(1)求常数a的值；
(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上？
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【思路探究】 (1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y， 消去参数t，求a即可；
(θ为参数)
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圆的参数方程为：yx＝＝22s＋in2θcos θ (θ为参数)，则圆的圆心坐标为(
)
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(2,0)
【解析】 圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4， 故圆心坐标为(2,0)．
【答案】 D
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参数方程的概念
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即 可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．
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【自主解答】
(1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
x＝1＋2t， y＝at2，
参数方程参数方程的概念与圆的参数方程
参数方程在几何学中的应用
01
直线和圆
ห้องสมุดไป่ตู้02
抛物线
参数方程可以用于描述直线和圆的位 置关系，例如，通过给定圆心和半径 ，可以很容易地确定圆与直线的交点 。
抛物线的参数方程通常用于解决一些 与反射和折射有关的问题。通过使用 参数方程，可以更容易地找到光线在 抛物面上的反射点和折射点。
03
极坐标系
在极坐标系中，参数方程通常用于描 述曲线，例如，圆的参数方程可以用 于描述一个圆在极坐标系中的位置。
参数方程与圆的参数方程的未来发展与研究方向
参数方程的发展方向
随着科学技术的不断发展，参数方程的应用领域越来越 广泛，例如在计算机图形学、机器学习等领域都有广泛 的应用。未来可以进一步探讨参数方程的理论基础和实 际应用价值，以及如何更好地利用参数方程来解决实际 问题。
圆的参数方程的研究方向
圆的参数方程在数学领域中具有重要的地位和作用，未 来可以进一步探讨圆的参数方程的性质和特征，例如圆 的半径、圆心位置等，同时也可以通过圆的参数方程来 研究与圆相关的函数和方程。
02
圆的参数方程
圆的参数方程的推导
定义参数
为方便求解圆的方程，引入 参数变量，如t为时间，θ为 角度等。
建立方程
根据圆的定义，以原点为圆 心，半径为r，在平面内画圆 ，并建立参数方程。
求解方程
通过参数方程求解圆的方程 。
圆的参数方程的意义与应用
描述圆
圆的参数方程能够以时间为变量描述圆在平面上的运动轨迹，方便研究圆的性质。
参数方程的概念与圆的参数 方程
汇报人：
日期:
• 参数方程的概念 • 圆的参数方程 • 参数方程与圆的参数方程的应用 • 参数方程与圆的参数方程的深入
参数方程的概念、圆的参数方程 课件
|PQ|的最大值是____________.
2.已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求
(1)x+y的取值范围.
(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.
【解题探究】1.试述平面上两点间的距离公式.
2.利用圆的参数方程求解相关问题的优点是什么？
探究提示：
1.设平面上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，
参数方程的概念、 圆的参数方程
1.参数方程的概念
(1)一般地，在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐 标x,y都是某个变数t的函数 x f (t)，①.
y g(t)
(2)对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在
这条曲线上;
那么方程①就叫做这条曲线的_参__数__方__程__,联系变数x,y的变数 t叫做_参__变__数__,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的 坐标间关系的方程叫做普通方程.
x cos ，
答案： y sin(θ为参数)
cos ，
sin (θ为参数).
1.曲线的方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为 y b rsin ， 如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0
绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任一点)位置时转过的
角度.
类型 一 参数方程概念的理解
【典型例题】 1.已知点M(2,-2)在曲线C： x
2.已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求
(1)x+y的取值范围.
(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.
【解题探究】1.试述平面上两点间的距离公式.
2.利用圆的参数方程求解相关问题的优点是什么？
探究提示：
1.设平面上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，
参数方程的概念、 圆的参数方程
1.参数方程的概念
(1)一般地，在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐 标x,y都是某个变数t的函数 x f (t)，①.
y g(t)
(2)对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在
这条曲线上;
那么方程①就叫做这条曲线的_参__数__方__程__,联系变数x,y的变数 t叫做_参__变__数__,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的 坐标间关系的方程叫做普通方程.
x cos ，
答案： y sin(θ为参数)
cos ，
sin (θ为参数).
1.曲线的方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为 y b rsin ， 如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0
绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任一点)位置时转过的
角度.
类型 一 参数方程概念的理解
【典型例题】 1.已知点M(2,-2)在曲线C： x
参数方程的概念、圆的参数方程 课件
联系变数 x，y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．相
对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫
做
普通方程 ．
2．圆的参数方程 (1)如图 2－1－1 所示，设圆 O 的半径为 r，点 M 从初始 位置 M0 开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设 M(x，y)， 点 M 转过的角度是 θ，
又 3－d<71010，故满足题意的点有 2 个． 【答案】 B
1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合， 判定直线与圆的位置关系．
2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普 通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．
如图 2－1－2，已知点 P 是圆 x2＋y2＝16 上的 一个动点，定点 A(12,0)，当点 P 在圆上运动时，求线段 PA 的中点 M 的轨迹．
【思路探究】 (1)将点 M 的横坐标和纵坐标分别代入参 数方程中的 x，y，消去参数 t，求 a 即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的 普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上， 否则，点不在曲线上．
【自主解答】 (1)将 M(－3,4)的坐标代入曲线 C 的参数
【自主解答】 如图，设 C 点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ， 过点 C 作 x 轴的垂线段 CM，垂足为 M.
则∠CBM＝23π－θ， ∴xy＝ ＝aacsions23θπ＋－aθco，s23π－θ， 即xy＝ ＝aassiinnθθ＋ ＋ππ63， . (θ 为参数，0≤θ≤π2)为所求．
求曲线的参数方程的方法步骤 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点 M 的坐标； (2)写出适合条件的点 M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是 否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．
参数方程的概念与圆的课件
上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程， 然后建立关于参数的方程组，若方程组有解， 则点在曲线上；否则，点不在曲线上．
【例题 1】 已知参数方程yx＝＝22scions
θ， θ
(θ 为参数，θ∈[0,2π))．判断点 A(1， 3)
和 B(2,1)是否在方程的曲线上． 思维导引：对于曲线 C 的参数方程yx＝＝gftt， (t 为参数) ，若点 M(x0，y0)在曲线
(θ 为参数)．
∵|AC|＝|BD|＝4，∴C(－1,0)，D(1,0)． ∵点 P 在圆上，∴可设 P(5cos θ，5sin θ)．∴|PC|＋|PD| ＝ 5cos θ＋12＋5sin θ2＋ 5cos θ－12＋5sin θ2 ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ2 ＝ 52＋2 262－100cos2 θ. 当 cos θ＝0 时，(|PC|＋|PD|)max＝ 52＋52＝2 26. ∴|PC|＋|PD|的最大值为 2 26.
• 2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程 与参数方程：
普通方程
参数方程
x＝_a_＋___r_c_o__s_θ_ _(_x_－___a_)_2_＋___(_y_－___b_)2＝r2y＝_b__＋__r_s_i_n__θ__
(θ 为参数)
•考点一 参数方程的概念
• 判断点是否在曲线上的方法 • 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线
2．参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也 可以是没有明显实际意义的变数．
•要点二 圆的参数方程
• 1．如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始 位置M0出发，按逆时针方向
在圆 O 上作匀速圆周运动，设 M(x，y)，则yx＝＝__rr__cs__oi__n__s__θθ__，， (θ 为参数)，这就是圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程，其中 θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度．
【例题 1】 已知参数方程yx＝＝22scions
θ， θ
(θ 为参数，θ∈[0,2π))．判断点 A(1， 3)
和 B(2,1)是否在方程的曲线上． 思维导引：对于曲线 C 的参数方程yx＝＝gftt， (t 为参数) ，若点 M(x0，y0)在曲线
(θ 为参数)．
∵|AC|＝|BD|＝4，∴C(－1,0)，D(1,0)． ∵点 P 在圆上，∴可设 P(5cos θ，5sin θ)．∴|PC|＋|PD| ＝ 5cos θ＋12＋5sin θ2＋ 5cos θ－12＋5sin θ2 ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ2 ＝ 52＋2 262－100cos2 θ. 当 cos θ＝0 时，(|PC|＋|PD|)max＝ 52＋52＝2 26. ∴|PC|＋|PD|的最大值为 2 26.
• 2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程 与参数方程：
普通方程
参数方程
x＝_a_＋___r_c_o__s_θ_ _(_x_－___a_)_2_＋___(_y_－___b_)2＝r2y＝_b__＋__r_s_i_n__θ__
(θ 为参数)
•考点一 参数方程的概念
• 判断点是否在曲线上的方法 • 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线
2．参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也 可以是没有明显实际意义的变数．
•要点二 圆的参数方程
• 1．如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始 位置M0出发，按逆时针方向
在圆 O 上作匀速圆周运动，设 M(x，y)，则yx＝＝__rr__cs__oi__n__s__θθ__，， (θ 为参数)，这就是圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程，其中 θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度．
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显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例题讲解
例1:
已知曲线C的参数方程是
x3t, y2t2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：(11的 )把 坐点 标M(方 0,程 1)组 代， 入 0 解 把 所点 以 21(在 M5,M曲 4)代 线入 C,上 得 方到 程 。 4 5{组 23t2 t1,即tt5236
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的
普通方程是x2 y2 r 2 ,那么，圆心在点O(x , y )
0
0
半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
x y
x0 y0
r cos r sin
(为参数)
其对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ， 可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 .
概念讲解
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ) ,
y
g (t).
变式练习
曲线
x1t2
,(t为参数）
，与x轴的交点坐标是
y4t3
(B )
A、（1，4） C、 (1, 3)
B、(
2 1
5 6
,
0
)
D、( 2
2002年5月1日，中国第一座身高108 米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运 营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列， 居亚洲第一。
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
设Mx, y, Px0, y0
由中
点
坐标
公,有 式x
x0 2
y y0
6 ,则x0y0 2x2y6
2
因为 P在 点圆上x0， 2y0所 24以
y
刻 t 惟一确定，因此
可以取 t 为参数。
M(x,y)
如果在时刻t，点M转 过的角度是θ，坐标 是M(x,y)，那么 θ=ωt，设 OM r
r
o
M0 x
y
由三角函数定义，有
M(x,y)
r
o
M0 x
cost x ,
r
sin t y
r
即
x
y
r cos r sin
t,(t为参数) t.
这就是圆心在原点O，半径为 r 的圆的参数方程。 其中参数 t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周 运动的时刻）
这个方程组 ,所无 以解 点 2不M在曲线C上。
(2)因为点3(M6,a)在曲线C上，所以
{ a
62t32t1解得t2,a
9,所以，a
9
技法归纳
x f (t),
判断点 x0,y0在不在参数方程
y
g (t).
表示的曲线
上，只需把点的坐标带入方程组，
方程组有解，说明点在曲线上；否则点不在曲线上。
参数方程的概念及 圆的参数方程
高二数学组 敖香
问题探究（一）
一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速 度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
分析：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
所以 2x622y24即 x32y21
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
分析：取 xOP
为参数，则圆O的参数 方程是
x y
22csoins（为参数）
y P
o
M Qx
yP
M
o
Qx
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针 匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某 游客现在点（其中点和转轴的连线与水平 面平行）。问：经过t秒，该游客的位置 在何处?
如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0（t=0时的位 置）出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动.点M绕
点O转动的角速度为w.
显然，点M的位置由时
解：从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O, 以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系。
y
物资出舱后，设在时刻t，水平位
500
移为x，垂直高度为y
o
x
y 500
y
x h
vt 1
2
gt
2
（g=9.8m/s2)
o
x
即y
x 100t 5001 gt2
2
救 援 物 资 落 地 时 ， 有 y 0 ,得t10.10s. 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
（1）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
考虑到 t ，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数) 0,2
这也是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程。
(其中参数θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM 的位置时， OM0转过的角度。)
由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般 地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到 的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程， 它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数 参数时，要注明参数及参数的取值范围。
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x {
cos
3(为参数)
y sin
技法归纳
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
建立点P坐标与参数的函数式
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例题讲解
例1:
已知曲线C的参数方程是
x3t, y2t2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：(11的 )把 坐点 标M(方 0,程 1)组 代， 入 0 解 把 所点 以 21(在 M5,M曲 4)代 线入 C,上 得 方到 程 。 4 5{组 23t2 t1,即tt5236
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的
普通方程是x2 y2 r 2 ,那么，圆心在点O(x , y )
0
0
半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
x y
x0 y0
r cos r sin
(为参数)
其对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ， 可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 .
概念讲解
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ) ,
y
g (t).
变式练习
曲线
x1t2
,(t为参数）
，与x轴的交点坐标是
y4t3
(B )
A、（1，4） C、 (1, 3)
B、(
2 1
5 6
,
0
)
D、( 2
2002年5月1日，中国第一座身高108 米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运 营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列， 居亚洲第一。
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
设Mx, y, Px0, y0
由中
点
坐标
公,有 式x
x0 2
y y0
6 ,则x0y0 2x2y6
2
因为 P在 点圆上x0， 2y0所 24以
y
刻 t 惟一确定，因此
可以取 t 为参数。
M(x,y)
如果在时刻t，点M转 过的角度是θ，坐标 是M(x,y)，那么 θ=ωt，设 OM r
r
o
M0 x
y
由三角函数定义，有
M(x,y)
r
o
M0 x
cost x ,
r
sin t y
r
即
x
y
r cos r sin
t,(t为参数) t.
这就是圆心在原点O，半径为 r 的圆的参数方程。 其中参数 t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周 运动的时刻）
这个方程组 ,所无 以解 点 2不M在曲线C上。
(2)因为点3(M6,a)在曲线C上，所以
{ a
62t32t1解得t2,a
9,所以，a
9
技法归纳
x f (t),
判断点 x0,y0在不在参数方程
y
g (t).
表示的曲线
上，只需把点的坐标带入方程组，
方程组有解，说明点在曲线上；否则点不在曲线上。
参数方程的概念及 圆的参数方程
高二数学组 敖香
问题探究（一）
一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速 度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
分析：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
所以 2x622y24即 x32y21
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
分析：取 xOP
为参数，则圆O的参数 方程是
x y
22csoins（为参数）
y P
o
M Qx
yP
M
o
Qx
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针 匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某 游客现在点（其中点和转轴的连线与水平 面平行）。问：经过t秒，该游客的位置 在何处?
如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0（t=0时的位 置）出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动.点M绕
点O转动的角速度为w.
显然，点M的位置由时
解：从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O, 以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系。
y
物资出舱后，设在时刻t，水平位
500
移为x，垂直高度为y
o
x
y 500
y
x h
vt 1
2
gt
2
（g=9.8m/s2)
o
x
即y
x 100t 5001 gt2
2
救 援 物 资 落 地 时 ， 有 y 0 ,得t10.10s. 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
（1）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
考虑到 t ，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数) 0,2
这也是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程。
(其中参数θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM 的位置时， OM0转过的角度。)
由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般 地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到 的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程， 它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数 参数时，要注明参数及参数的取值范围。
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x {
cos
3(为参数)
y sin
技法归纳
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
建立点P坐标与参数的函数式