用放缩法证明数列中的不等式(共 32张PPT)

牛刀小试（变式练习1）
求证：1 1 1 1 5 (n N*)
证明
32 52
(2n 1)2 4
1 (2n 1)2
1 4n2 4n
1 4n(n 1)
1 4
(1 n 1
1) n
(n
2)
左边
1
1 4
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(
1 n 1
1n )
1
1 4
(1
1 n
)
1
1 4
5 4
n 2
i 1
i 1
一. 放缩目标模型——可求和
n
（一）形如 a k (k为常数） i
i 1
例1 求证：1 1 1 1 1 (n N)
2 22 23
2n
变式1
求证：1 2
2 22
3 23
n 2n
2
(n N)
变式2
求证： 2
1
1
1 22
1
1 23
1
1 2n
1
1
(n N)
变式3 求证： 1 2 3 n 2 (n N)
1 32
1 n2
7 4
(n N)
变式3
求证：1
1 22
1 32
1 n2
5 3
(n N)
评注
放缩法的证明过程就像“秋风扫落叶”一样干脆利落！
对1 n2
放缩方法不同，得到的结果也不同.
显然 5 3
7 4
2，
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
那么变式 1 和变式 2 就显然成立.
由错位相减法得
12 3
2 22 23
n 2n2 2
2n
2n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
变式2
求证： 2
1
1
1 22
1
1 23
1
1 2n
1
1
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后 求和，如何放缩？
注意到 1 1 2n 1 2n
将通项放缩为 等比数列
左边 1 1 1 2 22 23
相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相
消模型.
例2 (2013广东文19第(3)问)
求证： 1 1 1
1
1 (n N)
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
变式1
求证：1
1 22
1 32
1 n2
2
(n N)
变式2 (2013广东理19第(3)问)
求证：1
1 22
题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开
其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！
常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，
其基本结构形式有如下 4 种：
n
n
①形如 ai k （ k 为常数）；②形如 ai f (n) ；
i 1
i 1
n
n
③形如 ai f (n) ；④形如 ai k （ k 为常数）.
1)
(2i
2i 1)(2i
2)
2i1
1
1
(2i
1)(2i 1
1)
2i1
1
2i
(i 1
2)
n
11
1
1
1
i 1
ai
(ai
1)
2
(
2
1
22
) 1
(
2n1
1
2n
) 1
3
2n
1
3(n
2)
当n 1时，有 2 3 也成立．
常见的裂项放缩技巧：
1.
1 n2
1 n2 1
(n
1 1)(n
1)
1 1 1 2 n 1 n 1
2 1 22 2 23 3
2n n
例1
求证：1 2
1 22
1 23
1 2n
1
(n N)
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
左边
1 (1 1 ) 2 2n
1 1
1
1 2n
1
2
表面是证数列不等式，
实质是数列求和
变式1
求证：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
2 22
3 23
n 2n
2
(n N)
分析 不等式左边可用“错位相减法”求和.
11
1 2n
(1 2 2n
1 1
)
1
1 2n
1
2
变式3
求证： 2
1
1
22
2
2
23
3
3
n 2n n
2
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？
注意到 n n
2n n 2n
将通项放缩为 错 位相减模型
左边 1 2 3 n 2 n 2 2
2 22 23
用放缩法证明 数列中的不等式
放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几
年的高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技巧性 要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太 小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高 不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何把 握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法 的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放 缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列问
2n
2n
【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
1 2n 1
2 n(n 1)
2(1 n
1) n 1
(n 3)
5. 2( n 1 n)
2
1 2
2
2( n n 1)
对1 n2
的 3 种放缩方法体现了
n
三种不同“境界”，得到
1 的三个“上界”，其中 5 最接近
k2
k 1
3
1
k2
k 1
2
6
（欧拉常数）.
【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.
当n = 1时，不等式显然也成立.
（辽宁卷）已知： an n(n 1), bn (n 1)2
1
1
15
求证：a1 b1 a2 b2 an bn 12 .
1
1
1 1 (1 1 )
an bn (n 1)(2n 1) 2n(n 1) 2 n n 1
n
故
1 1 1 (1 1 1 1
i1 ai bi 6 2 2 3 3 4
5 1 12 2(n 1)
1 1 ) n n 1
5 . (n 2)
12
当n 1时，有 1 5 也成立． 6 12
练习:
已知数列
{an} 中
an
2n 2n 1
n
, 求证: ai (ai 1) 3 .
i 1
ai (ai
1)
(2i
2i 1)(2i
2.
1 n2
4 4n2
4
4
4n2 1 (2n 1)(2n 1)
2 1 1 2n 1 2n 1
3.
1 1 n n1
1 n(n 1)
1 n2
1 1 1 1 n n n(n 1) n 1 n
4.
2n
1
(1 1) n
1
(Cn0
Cn1
Cn2
)
1
Cn1
Cn2
n(n 1) 2