用放缩法证明数列中的不等式(共 32张PPT)
万变不离其宗——“放缩法”在证明数列不等式中的应用
一
２ ＋２ ２ 一２ ２ ＋２ 一２ ‘ 一４
３ ２＂＇ ２＂ ） （ ＋ ２２ ２ － －
１ ’ × ・（／ ３ ｌｓ｛ ＼ ｄ
＝ ＝
９
通 项 ， 后 求和 ， 放 缩． 用 裂 项放 缩 的结 论 还 有 ： 然 再 常
项 ， 后 求 和 ． 别 要 注 意 的 是 ， 于 首 项 为ｎ ， 比 为 ｑ的 无 穷 递 然 特 对 ，公
而 ＋ ｌ ． 十 ｌ ｌ ＋ ＋ ＿ ＋． 一＿ ＋ ¨． ＿ ． ： 当 ＝ 二
，
缩 等 比 数 列 ｛ ， ｇ － 分 和 ｓ Ｊ于 所 有 项 的 和 ｓ （） 则 Ｏ￣ 厶 ． － 、 ＝
的 商 ｎ 和 Ｓ １． 订项
例 ５ 数 列 ｝ 足 ｂ＝ ６ ２ ， 数 列 ） 足 “＝ｌ ＝ 满 １， ＝ ｂ＋１ 若 满 Ｉ ，
＋
一 ， ： 一 ， 证 ： 列 ｛ 】 ． 一 求 数 ６．
１ ｒ正 一 Ｃ ｃ ＋ｌ
亡 ‘ ｎ２ ． ＋ ） 且 （ ｎ １≥
： ）（ １ ≥２ Ｎ ） Ｉ ｝ 且ｎ ；
ｂ 。 ＋ 珥 Ｉ
（ ） ｂ ，３ｂｅ ｂ ； １ 求 ２ｂ ，４ ￣ Ｘ
（ ） 明： ２证
解 析 ： １ 此 时 我 们 不 妨 设 ＋ Ａ（ ＋１ ＋ ２ 嘞＋ ＋ ， （） ｎ ） ＝ （ Ａｎ Ｂ） 即 ＋
．
二
． １ Ｉ ） ＿
１一ｑ
例 ４ 已 知 数 列
）满 足 ：。 ０ ＝ （ ）， ｎ＝ ， ｓ ＋ 一１ ｎ∈Ｎ 且 ，
｛＋ 一 ）是等比 ． ÷（１ ｝ “ 数列
（） ｎ 值； １求 的 （ 求 通 项 公 式 ； ２）
用放缩法证明数列不等式的策略与技巧
寿 鲜 春 ： 放 缩 法 证 明数 列 不等 式 的 策 略 与 技 巧 用
・１ ・ ７
用 放 缩 法 证 明 数 列 不 等 式 的 策 略 与 技 巧
●寿鲜春 （ 牌头中学 浙江诸暨 ３１ ５ １ ２） ８
类 似 的 ， 可 以证 明下 面一 个不 等式 ： 还 例 ２ 已知数 列 ｛ 满 足 ： ＝ａ ａ｝ ａ＋ 一ａ ＋１ ， ａ＝ ， 证： 】 ２求 — ＋ —＋… ＋ ——＜ （ ≥２ ∈ ・ ． —＋ － ＋ … ＋— ＜１ ｎ ， ） — 【 ≥Ｚ ／∈Ｎ Ｊ 。 ７ ，
利用 加糖后 糖水 变 甜 的结论 ， 以得 出 ： 可 若ａ＞
ｂ ＋ ｒｌ ＜ ２ ３ ． ａ ‘ ｔ ＿
２ ２ 利 用浓度 不等 式 建 立项 与项之 间的对 应 关 系 ．
３２ ＋３３ ’… ＋ ３ 一 ＜一 ， ＋ 。 。 １、 ６ ’
＜ ＜
２ （ ≥３ ｎ 凡 ）
（ 凡≥３ ），
，
ｇ 一ｌｎ）ｇ ． （ ÷（＿－艚 ２ ） ｇ １ｌ ２
然 后用 错位 相减 法计算 得 到
６ ８
一 ＋
这 问 就 转 为 明ｌ１ ） 样 题 可 化 证 ：（ ＞ ｇ＋
ｇ
２
７
＜ ，
＋
√等即明 ＞ 等显成． ， √ ， 立 证 然
与 要证 结果 不符． 事买是 放缩 时放 得 太大 ！
ｌ＋ ）把 边 作 一 数 之 ， ３ ｇ ． 右 看 某 个 列 和则 （ １ 若
对应 的数列 通项 为 ：
１１
尝试 ２ 用 数学 归纳法 容 易 证 明 ： ｎ≥３时 ， 当 ＞ ｎ 则 由浓度 不等式 可 以得 到 以下不 等式 ： ２，
放缩法证明数列不等式【最终】PPT课件
例1 例2 例3
例2 (2013广东文19第(3)问 ) 求证： 1 1 1 13 35 5 7
1
1 (n N)
(2n 1)(2n 1) 2
化简 转化
左边 1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
2 3 35
2n 1 2n 1
1 1
2n 1 2n
放大
nn
2n n 2n
将通项放缩 为等比数列
将通项放缩为 错位相减模型
【方法总结之一】
(1) 入手点：不等式左边 若可以直接求和，就先求和再放缩； 若不能直接求和，一般要先放缩成可求 和的数列模型后再求和。
(2) 放缩方法：减小分母（“直接删减”）；
根据 n N* 寻找常数
提示2
1 1 (n 2) n2 n2 n
1 1 1 1
22 32
n2
1 1 + 1 + + 1 2 1
22 2 32 3
n2 n
n
自主探究 合作交流
•
同样是使
1 n2
放大，为什么提示1可以证明原不
等式而提示2会出现问题？
• 如何改进提示1的证明过程？
思路一 在原有基础上，即从第二项开始放缩， 缩小放大程度 将通项放得比提示2更小一点，例如提示1
可求和
先求和再放缩
放缩模型 等比数列 错位相减模型
裂项相消模型
本节课学到的放缩方法
1
11
2n 1 2n
nn
2n n 2n
2
1 n2
n
1 2
1
1 (n 1)(n
1)
1 2
n
利用放缩法证明数列型不等式
利用放缩法证明数列型不等式处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。
放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。
对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。
设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。
证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑=113113()221212n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
几种常见的放缩法证明不等式的方法
For personal use only in study and research; not for commercialuse几种常见的放缩法证明不等式的方法一、 放缩后转化为等比数列。
例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2)13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s求证：2n s <解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令12(21)n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤+++-+-++--71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。
放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。
值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
：利用放缩法证明不等式(共35张PPT)
1 1 1 变式1 求证： 1 2 2 2 2 ( n N ) 2 3 n
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和. 保留第一项， 1 1 1 1 从第二项开 (n 2) 始放缩 n n( n 1) n 1 n 1 1 1 1 1 左边 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n 1 n
保留前两项， 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 3) 从第三项开 2 n n 1 2 n 1 n 1 始放缩
1 1 1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) (n 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n 1
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
1 1 (1 ) 1 2 2 左边 1 n 1 1 2 1 2
n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
1 2 3 n 变式1 求证： 2 3 n 2 (n N ) 2 2 2 2
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
1 1 1 5 变式3 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 3
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 4 4 1 1 2 2 2( ) (n 2) 2 n 4n 4n 1 2n 1 2n 1
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式放缩法是一种非常常用的证明不等式的方法，它通过逐步削弱不等式的一侧，使得最后的不等式很容易得到证明。
本文将通过一些例子来说明放缩法的使用。
例1：证明Cauchy不等式Cauchy不等式的表述为：对于任意的实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明方法如下：首先，我们注意到不等式的左边是一个平方形式，而右边是一个乘积形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >=(a1+a2+...+an)^2/n^2同样，(b1^2+b2^2+...+bn^2)/n >= (b1+b2+...+bn)^2/n^2将这两个不等式相乘，得到：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2注意到右边的中括号内的部分就是(a1b1+a2b2+...+anbn)/n，我们可以进一步放缩为：[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2 >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2因此，我们得到了Cauchy不等式的证明。
例2：证明AM-GM不等式AM-GM不等式的表述为：对于非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n >=(a1a2...an)^(1/n)证明方法如下：我们首先注意到不等式的左边是一个平均值形式，而右边是一个几何平均值的形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)对于任意的i，我们可以用a1a2...an的值来替换ai，则不等式仍然成立：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)因此，我们得到了AM-GM不等式的证明。
关于运用放缩法的数列不等式证明
数列不等式是高考的一个考点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列中的项的大小关系，研究数列的单调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，或者是一个函数解析式。
数列不等式的证明和解决，要调动证明不等式的各种手段，如比较法，放缩法，函数法，反证法，均值不等式法，数学归纳法，分析法等等，因此，这类题目从已知条件给出的信息，求解目标需求的信息中，可寻求的解题过程所用的方法是相当丰富的，并且对于考查逻辑推理，演绎证明，运算求解，归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材。
放缩法放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法，如当证明A<B 成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小，以达到证明不等式的方法。
放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。
常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。
常用数列不等式证明中的裂项形式:（1）(1111n n =-+n(n+1)1111()1k n k =-+n(n+k); (2) 211111()1211k k k <=---+2k (3)211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++-- (4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦; (5)()()111!!1!n n n n =-++(6)212212(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-11(1)2n n n >+)(7)012310112...2(1)2121n n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C n n --=++++++≥+++=+⇒-≥+已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++= （1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+（Ⅰ）解：由)2)(1(611111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2。
放缩法证明数列不等式典例精讲
放缩法证明数列不等式典例精讲1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，若4S n =2n -1 a n +1+1，且a 1=1(1)求证：数列a n 是等差数列，并求出a n 的通项公式(2)设b n =1a n S n ，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <32解：(1)4S n =2n -1 a n +1+1∴4S n -1=2n -3 a n +1n ≥2∴4a n =2n -1 a n +1-2n -3 a n n ≥2即2n +1 a n =2n -1 a n +1⇒a n +1a n =2n +12n -1∴a n a n -1=2n -12n -3,a n -1a n -2=2n -32n -5,⋯,a 3a 2=53∴a n a n -1⋅a n -1a n -2⋅⋯⋅a 3a 2=2n -12n -3⋅2n -32n -5⋅⋯⋅53即a n a 2=2n -13n ≥2 ∴a n =2n -13a 2，由4S n =2n -1 a n +1+1令n =1可得：4S 1=a 2+1⇒a 2=3∴a n =2n -1n ≥2 ，验证a 1=1符合上式∴a n =2n -1S n =n 2(2)由(1)得：b n =12n -1 n 2=1n 2n -1 b 1=1可知当n ≥2时，b n =1n 2n -1 <1n 2n -2 =12n n -1=121n -1-1n ∴T n =b 1+b 2+⋯+b n <b 1+121-12 +12-13+⋯+1n -1-1n=1+121-1n <32不等式得证2.设数列a n 满足：a 1=1,a n +1=3a n ,n ∈N ∗，设S n 为数列b n 的前n 项和，已知b 1≠0，2b n-b 1=S 1⋅S n ,n ∈N ∗(1)求数列a n ,b n 的通项公式(2)求证：对任意的n ∈N ∗且n ≥2，有1a 2-b 2+1a 3-b 3+⋯+1a n -b n<32解：(1)∵a n +1=3a n ∴a n 为公比是3的等比数列∴a n =a 1⋅3n -1=3n -1在b n 中，令n =1，2b 1-b 1=S 1⋅S 1⇒b 1=1∴2b n -1=S n 2b n -1-1=S n -1∴2b n -2b n -1=b n n ≥2 ⇒b n =2b n -1∴b n 是公比为2的等比数列∴b n =b 1⋅2n -1=2n -1(2)证明：1a n -b n =13n -1-2n -1<13n -21a 2-b 2+1a 3-b 3+⋯+1a n -b n<1+13+⋯+13n -2=1⋅1-13n -11-13=321-13n -1<323.已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a n +1a n=2S n ,n ∈N ∗(1)求证：数列S 2n 是等差数列(2)记数列b n =2S 3n ,T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n ，证明：1-1n +1<T n ≤32-1n解：(1)a n +1a n =2S n ⇒S n -S n -1+1S n -S n -1=2S n n ≥2∴1S n -S n -1=S n +S n -1∴S 2n -S 2n -1=1∴S 2n 为等差数列(2)思路：先利用(1)可求出S n 的公式进而求出b n =2n n ，则1b n =12n n，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。
放缩法在数列不等式证明中的应用
分母变小，则分式变大．与狀１２ 有关的放缩关系主要有 如下几种：
１ ① 狀２
＜
１ 狀２ －１
＝
１ （狀－１）（狀＋１） ＝
１ ２
·
（ ） １
１
狀－１－狀＋１
；
１ ②狀２
１ ＝狀·狀
１
１
＜狀（狀－１）＝狀－１－
１ 狀
；
１ ③狀２
１ ＝狀·狀
１
１
＞狀（狀＋１）＝狀
－狀１＋１；
（ ） １ ４
４
１
１
④狀２ ＝４狀２ ＜４狀２ －１＝２２狀－１－２狀＋１ ．
１ ２
１ ＋２２
＋
…
１ ＋２狀－１
１－２狀 ＝狀＋ １
１－ ２
１ ＝狀＋２－２狀－１ ＜狀＋２．
说明：本题利用了无穷递减等比数列的放缩公式
进行放缩，即当公比０＜狇
＜１时，犛狀
犪１（１－狇狀 ＝ １－狇
） ＝
１犪－１狇－１犪－１狇狇狀 ＜１犪－１狇．注意，若从第一项就开始放 缩，则 会 出 现 过 度 放 大 的 问 题，而 从 ｝满足犪２ ＝９，犪狀＋１ ＝８犪狀 －７，狀 ∈
犖 ．
（１）求｛犪狀｝通项公式；
（２）设犮狀
３
＝槡犪狀＋１
－１，将犮狀
的底数与指数互
换得
｛ ｝ 到犱狀，设数列
１ 犱狀
的前项和为犜狀，求证：犜狀 ＜３ ２３ ０．
解析：（１）犪狀 ＝８狀－１ ＋１．
（２）由（１）可得犪狀
１－ ２
２狀１－１，狀 ∈ 犖 ． 当狀 ≥２时，２狀 －１－２狀－１ ＝２狀－１ －１＞０，即２狀 －
１＞２狀－１
＞０，２狀１－１
微专题12 数列中的不等式证明及放缩问题
微专题12数列中的不等式证明及放缩问题数列不等式证明问题的常见放缩技巧(1)对1n 2的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况(下列n ∈N *)： 1n 2＜1n 2－n ＝1n －1－1n (n ≥2)；1n 2＜1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1(n ≥2)；1n 2＜1n 2－14＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1(n ≥1).(2)对12n 的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况(下列n ∈N *)： 12n＞1n ＋n ＋1＝n ＋1－n (n ≥1)； 12n ＜1n ＋n －1＝n －n －1(n ≥1).类型一 关于数列项的不等式证明(1)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩；(2)利用二项式定理放缩；(3)利用基本不等式或不等式的性质；(4)转化为求最值、值域问题.例1 设正项数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ∈N *). 求证：(1)2<a 2n ＋1－a 2n ≤3；(2)3n －13n －2≤a n ＋1a n≤2n 2n －1.证明 (1)因为a 1＝1及a n ＋1＝a n ＋1a n (n ≥1)，所以a n ≥1，所以0＜1a 2n≤1. 因为a 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n＋2， 所以a 2n ＋1－a 2n ＝1a 2n ＋2∈(2，3]，即2<a 2n ＋1－a 2n ≤3.(2)由(1)得2<a 22－a 21≤3，2<a 23－a 22≤3，2<a 24－a 23≤3，⋮2<a 2n ＋1－a 2n ≤3，故2n <a 2n ＋1－a 21≤3n ，所以2n ＋1<a 2n ＋1≤3n ＋1，即2n －1<a 2n ≤3n －2(n ≥2)，当n ＝1时，满足2n －1≤a 2n ≤3n －2，所以2n －1≤a 2n ≤3n －2，所以a n ＋1a n ＝1＋1a 2n ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3n －13n －2，2n 2n －1， 即3n －13n －2≤a n ＋1a n ≤2n 2n －1. 训练1 (2022·天津模拟)已知数列{a n }满足a n ＝n n －1a n －1－13n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n (n ≥2，n ∈N *)，a 1＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝12，c n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ＋1a k·c 2n ＋c n ，其中k 为一个给定的正整数，求证：当n ≤k 时，恒有c n <1.(1)解 由已知可得：a n n ＝a n －1n －1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n (n ≥2)，即a n n －a n －1n －1＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ， 由累加法可求得a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a n n －a n －1n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a n －1n －1－a n －2n －2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 11＋a 11＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－… －13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1， 即a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1(n ≥2)， 又n ＝1时也成立，故a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1(n ∈N *). (2)证明 由题意知c n ＋1＝1k c 2n ＋c n ，∴{c n }为递增数列，∴只需证c k <1即可.当k ＝1时，c 1＝12<1成立，当k ≥2时，c n ＋1＝1k c 2n ＋c n <1k c n c n ＋1＋c n ，即1c n ＋1－1c n>－1k ， 因此1c k ＝⎝⎛⎭⎪⎫1c k －1c k －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2－1c 1＋1c 1>－k －1k ＋2＝k ＋1k ， ∴c k <k k ＋1<1， ∴当n ≤k 时，恒有c n <1.类型二 对通项公式放缩后求和在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若不易求和，可根据项的结构特征进行放缩，转化为易求和数列来证明.例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若4S n ＝(2n －1)a n ＋1＋1，且a 1＝1.(1)证明：数列{a n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n S n，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <32. 证明 (1)因为4S n ＝(2n －1)a n ＋1＋1，所以4S n －1＝(2n －3)a n ＋1(n ≥2)，两式相减得4a n ＝(2n －1)a n ＋1－(2n －3)a n (n ≥2)，即(2n ＋1)a n ＝(2n －1)a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝2n ＋12n －1， 所以a na n －1＝2n －12n －3，a n －1a n －2＝2n －32n －5，…，a 3a 2＝53， 所以a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2＝2n －12n －3·2n －32n －5×…×53， 即a n a 2＝2n －13(n ≥2)， 所以a n ＝2n －13a 2.由4S n ＝(2n －1)a n ＋1＋1，令n ＝1可得4S 1＝a 2＋1⇒a 2＝3，所以a n ＝2n －1(n ≥2)，经验证a 1＝1符合上式，所以a n ＝2n －1.又由a n ＋1－a n ＝2为定值，故{a n }是等差数列.(2)由(1)得S n ＝n 2，b n ＝1（2n －1）n 2＝1n （2n －1），b 1＝1，显然T 1<32； 当n ≥2时，b n ＝1n （2n －1）<1n （2n －2）＝12n （n －1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <b 1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n <32. 故T n <32.训练2 已知数列{a n }中，a 1＝54，4a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *).(1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求{a n }前n 项的和S n ；(2)令b n ＝2n·a n ，求证：12b 1＋3＋12b 2＋3＋…＋12b n ＋3＜1340. 证明 (1)因为4a n ＋1－4＝a n －1，所以a n ＋1－1＝14(a n －1).又a 1－1＝14≠0，所以a n －1≠0，从而a n ＋1－1a n －1＝14， 所以数列{a n －1}是以14为首项，14为公比的等比数列.所以a n －1＝14n ，即a n ＝1＋14n ；所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋…＋14n ＝n ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝n ＋13－13×4n (n ∈N *). (2)由(1)可知，a n ＝1＋14n ，所以b n ＝2n ·a n ＝2n ＋12n .所以12b n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12n ＋3＝2n 2（22n ＋1）＋3·2n ＝2n 2n ·2n ＋1＋2n ＋1＋2n ＋2 ＝2n （2n ＋1）（2n ＋1＋1）＋1＜2n （2n ＋1）（2n ＋1＋1）＝12n ＋1－12n ＋1＋1. 当n ＝1时，12b 1＋3＝18＜1340. 当n ≥2时，12b 1＋3＋12b 2＋3＋…＋12b n ＋3＜18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1－123＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋1－124＋1 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋1＋1＝18＋15－12n ＋1＋1＜1340.综上，12b 1＋3＋12b 2＋3＋…＋12b n ＋3<1340. 类型三 对求和结论进行放缩对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式.例3 (2022·郑州模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，数列{c n }满足22c 1＋32c 2＋42c 3＋…＋(n ＋1)2c n ＝n .(1)求出{a n }，{c n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c n ＋1·（n ＋1）[log 2（a n ＋1）]2的前n 项和为T n ，求证：T n <516.(1)解 由a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n ).又a 2－a 1＝2，则数列{a n ＋1－a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝2×2n －1＝2n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，a 4－a 3＝23，……，a n －a n －1＝2n －1，累加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1，∴a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1.数列{c n }满足22c 1＋32c 2＋42c 3＋…＋(n ＋1)2c n ＝n ，①当n ＝1时，c 1＝14；当n ≥2时，22c 1＋32c 2＋42c 3＋…＋n 2c n －1＝n －1，②由①－②可得c n ＝1（n ＋1）2， 当n ＝1时，也符合上式，故数列{c n }的通项公式为c n ＝1（n ＋1）2. (2)证明 由(1)可得n ＋1（n ＋2）2[log 2（a n ＋1）]2＝n ＋1（n ＋2）2n 2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1（n ＋2）2， 则T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－132＋122－142＋132－152＋…＋1n 2－1（n ＋2）2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤54－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2<516， 故T n <516成立.训练3 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3n ＝3a n －2，且S 5－S 3＝4a 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，证明：T n <34.(1)解 设数列{a n }的公差为d ，在a 3n ＝3a n －2中令n ＝1， 有a 3＝3a 1－2，即a 1＋2d ＝3a 1－2，故a 1＝d ＋1.①由S 5－S 3＝4a 2得a 4＋a 5＝4a 2，所以2a 1＝3d .②由①②，解得a 1＝3，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)证明 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （3＋2n ＋1）2＝n 2＋2n ，所以1S n ＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，故T n ＝12×[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]，所以T n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）. 因为2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）>0，所以T n <34. 类型四 利用数列的单调性证明不等式若所证的数列不等式中有等号，常考虑利用数列的单调性来证明. 例4 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列.(1)求使不等式a n ≥0成立的最大自然数n ；(2)记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：－1325≤T n ≤1225.(1)解 由题意，可知a 211＝a 1·a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1·(a 1＋12d )，∴d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，d ≠0，∴d ＝－2，∴a n ＝－2n ＋27，∴－2n ＋27≥0，∴n ≤13.5，故满足题意的最大自然数为n ＝13. (2)证明 1a n a n ＋1＝1（－2n ＋27）（－2n ＋25）＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n ＋27－1－2n ＋25， ∴T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝－12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫125－123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123－121＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n ＋27－1－2n ＋25＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫125－1－2n ＋25＝－150＋150－4n. 从而当n ≤12时，T n ＝－150＋150－4n 单调递增，且T n >0； 当n ≥13时，T n ＝－150＋150－4n单调递增，且T n <0， ∴T 13≤T n ≤T 12，由T 12＝1225，T 13＝－1325，∴－1325≤T n ≤1225. 训练4 (2022·重庆诊断)已知数列{a n }满足a 2＝2，且na n ＋1＝(n ＋1)a n ，数列{b n }各项均为正数，其前n 项和S n 满足2S 2n －(n 2＋5n －2)S n －n 2－5n ＝0.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝a 2n ＋b 2n a n b n，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n －2n ≥43. (1)解 由na n ＋1＝(n ＋1)a n ，得a n ＋1n ＋1＝a n n＝…＝a 22＝1，得a n ＝n . 由2S 2n －(n 2＋5n －2)S n －n 2－5n ＝0， 得(2S n －n 2－5n )(S n ＋1)＝0，因为数列{b n }各项均为正数，∴S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋5n 2，当n ≥2时， b n ＝S n －S n －1＝n 2＋5n 2－（n －1）2＋5（n －1）2＝n ＋2， 因为b 1＝S 1＝3也符合上式，所以b n ＝n ＋2.(2)证明 由(1)知c n ＝a 2n ＋b 2n a n b n ＝a n b n ＋b n a n ＝n n ＋2＋n ＋2n ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝2n ＋2×(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)， ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋2n ， 则T n －2n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2， 设f (n )＝T n －2n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2， 因为f (n ＋1)－f (n )＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3 ＝4（n ＋1）（n ＋3）>0， 所以f (n )单调递增，故f (n )≥f (1)＝43，∴T n －2n ≥43.一、基本技能练1.(2022·西安二模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个实数，使这n ＋2个数依次组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为T n ，求证：T n <158. (1)解 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1（n ≥2），两式相减得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1＝3a n (n ≥2).因为{a n }是等比数列，所以公比为3，又a 2＝2a 1＋1，所以3a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝1.故a n ＝3n －1.(2)证明 由题设得a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)d n ，所以1d n ＝n ＋1a n ＋1－a n ＝n ＋12×3n －1， 所以T n ＝1d 1＋1d 2＋…＋1d n ＝22×30＋32×31＋…＋n ＋12×3n －1， 所以2T n ＝230＋331＋…＋n ＋13n －1， ① 则23T n ＝23＋332＋…＋n 3n －1＋n ＋13n ，② ①－②得，43T n ＝2＋13＋132＋…＋13n －1－n ＋13n ＝2＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋13n ， 所以T n ＝158－2n ＋58×3n －1，所以T n <158. 2.(2022·焦作模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a 2＝4，S n ＋1＋2S n －1＝3S n －2(n ≥2).(1)证明：数列{a n －2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2n －1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：112≤T n <13. 证明 (1)当n ≥2时，由S n ＋1＋2S n －1＝3S n －2可变形为S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)－2，即a n ＋1＝2a n －2，即a n ＋1－2＝2(a n －2)，所以a n ＋1－2a n －2＝2(n ≥2)， 又因为a 1＝3，a 2＝4，可得a 1－2＝1，a 2－2＝2，所以a 2－2a 1－2＝2， 所以数列{a n －2}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n －2＝2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2＋2n －1.(2)由a n ＝2＋2n －1，可得b n ＝2n －1a n a n ＋1＝2n －1（2＋2n －1）（2＋2n ）＝12＋2n －1－12＋2n ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13－14＋14－16＋16－110＋…＋12＋2n －1－12＋2n ＝13－12＋2n ， 因为12＋2n>0， 所以13－12＋2n <13，即T n <13， 又因为f (n )＝13－12＋2n ，n ∈N *，单调递增，所以T n ≥b 1＝1（2＋1）（2＋2）＝112，所以112≤T n <13.3.(2022·廊坊模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }满足：a 1＝1且a 2，a 5，a 14成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ；(2)证明：不等式32－1n ＋1<1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<2－1n (n ≥2且n ∈N *). (1)解 设数列{a n }公差为d ，因为a 2，a 5，a 14成等比数列. 所以a 25＝a 2a 14，即(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，得3d 2－6d ＝0，又d ≠0，所以d ＝2.故a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝（1＋2n －1）n 2＝n 2(n ∈N *). (2)证明 由(1)得1S n＝1n 2， 因为当n ≥2时，1n （n ＋1）<1n 2<1n （n －1）， 即1n －1n ＋1<1n 2<1n －1－1n. 所以1＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1<1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ， 即32－1n ＋1<1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <2－1n . 二、创新拓展练4.(2022·连云港六校联考)在正项数列{a n }中，已知a 2＝916，a n ＋1＝a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ＋12. (1)确定数列{a n }的单调性，并求出a n 的最小值；(2)证明：对任意n ∈N *，都有a n ≤n n ＋1成立. (1)解 因为a n ＋1＝a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ＋12， 所以a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ＋12>0， 即数列{a n }是递增数列，因此a n 的最小值是a 1.在递推式中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11＋12， 即916＝a 1＋a 214，解得a 1＝12(负值舍去)，所以a n 的最小值是12.(2)证明 由(1)知，a n ＋1>a n ，所以a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ＋12<a n a n ＋1（n ＋1）2<a n a n ＋1n （n ＋1）， 即a n ＋1－a n a n ＋1a n <1n （n ＋1）， 所以1a n －1a n ＋1<1n －1n ＋1，n ∈N *. 当n ≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n <⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 即1a 1－1a n <1－1n ，1a n>n ＋1n ，所以a n<n.n＋1当n＝1时，a n＝n.n＋1故对任意n∈N*，都有a n≤n成立.n＋1。
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1 2n 1
2 n(n 1)
2(1 n
1) n 1
(n 3)
5. 2( n 1 n)
2
1 2
2
2( n n 1)
1)
(2i
2i 1)(2i
2)
2i1
1
1
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1)(2i 1
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n
11
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1)
2
(
2
1
22
) 1
(
2n1
1
2n
) 1
3
2n
1
3(n
2)
当n 1时，有 2 3 也成立．
常见的裂项放缩技巧：
1.
1 n2
1 n2 1
(n
1 1)(n
1)
1 1 1 2 n 1 n 1
用放缩法证明 数列中的不等式
放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几
年的高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技巧性 要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太 小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高 不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何把 握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法 的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放 缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列问
对1 n2
的 3 种放缩方法体现了
n
三种不同“境界”，得到
1 的三个“上界”，其中 5 最接近
k2
k 1
3
1
k2
k 1
2
6
（欧拉常数）.
【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.
相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相
消模型.
例2 (2013广东文19第(3)问)
求证： 1 1 1
1
1 (n N)
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
变式1
求证：1
1 22
1 32
1 n2
2
(n N)
变式2 (2013广东理19第(3)问)
求证：1
1 22
2 1 22 2 23 3
2n n
例1
求证：1 2
1 22
1 23
1 2n
1
(n N)
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
左边
1 (1 1 ) 2 2n
1 1
1
1 2n
1
2
表面是证数列不等式，
实质是数列求和
变式1
求证：1 2
2 22
3 23
n 2n
2
(n N)
分析 不等式左边可用“错位相减法”求和.
当n = 1时，不等式显然也成立.
（辽宁卷）已知： an n(n 1), bn (n 1)2
1
1
15
求证：a1 b1 a2 b2 an bn 12 .
1
1
1 1 (1 1 )
an bn (n 1)(2n 1) 2n(n 1) 2 n n 1
n
故
1 1 1 (1 1 1 1
牛刀小试（变式练习1）
求证：1 1 1 1 5 (n N*)
证明
32 52
(2n 1)2 4
1 (2n 1)2
1 4n2 4n
1 4n(n 1)
1 4
(1 n 1
1) n
(n
2)
左边
1
1 4
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(
1 n 1
1n )
1
1 4
(1
1 n
)
1
1 4
5 4
n 2
2n
2n
【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
由错位相减法得
12 3
2 22 23
n 2n2 2
2n
2n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
变式2
求证： 2
1
1
1 22
1
1 23
1
1 2n
1
1
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后 求和，如何放缩？
注意到 1 1 2n 1 2n
将通项放缩为 等比数列
左边 1 1 1 2 22 23
11
1 2n
(1 2 2n
1 1
)
1
1 2n
1
2变式3求证： 21 122
2
2
23
3
3
n 2n n
2
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？
注意到 n n
2n n 2n
将通项放缩为 错 位相减模型
左边 1 2 3 n 2 n 2 2
2 22 23
2.
1 n2
4 4n2
4
4
4n2 1 (2n 1)(2n 1)
2 1 1 2n 1 2n 1
3.
1 1 n n1
1 n(n 1)
1 n2
1 1 1 1 n n n(n 1) n 1 n
4.
2n
1
(1 1) n
1
(Cn0
Cn1
Cn2
)
1
Cn1
Cn2
n(n 1) 2
i 1
i 1
一. 放缩目标模型——可求和
n
（一）形如 a k (k为常数） i
i 1
例1 求证：1 1 1 1 1 (n N)
2 22 23
2n
变式1
求证：1 2
2 22
3 23
n 2n
2
(n N)
变式2
求证： 2
1
1
1 22
1
1 23
1
1 2n
1
1
(n N)
变式3 求证： 1 2 3 n 2 (n N)
i1 ai bi 6 2 2 3 3 4
5 1 12 2(n 1)
1 1 ) n n 1
5 . (n 2)
12
当n 1时，有 1 5 也成立． 6 12
练习:
已知数列
{an} 中
an
2n 2n 1
n
, 求证: ai (ai 1) 3 .
i 1
ai (ai
1)
(2i
2i 1)(2i
题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开
其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！
常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，
其基本结构形式有如下 4 种：
n
n
①形如 ai k （ k 为常数）；②形如 ai f (n) ；
i 1
i 1
n
n
③形如 ai f (n) ；④形如 ai k （ k 为常数）.
1 32
1 n2
7 4
(n N)
变式3
求证：1
1 22
1 32
1 n2
5 3
(n N)
评注
放缩法的证明过程就像“秋风扫落叶”一样干脆利落！
对1 n2
放缩方法不同，得到的结果也不同.
显然 5 3
7 4
2，
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
那么变式 1 和变式 2 就显然成立.