导数-极值点
导数极值点
导数极值点极值点，也称为极大值点或极小值点，是指函数f(x)在定义域内某个点处的导数f(x)为0，或在极限计算中导数存在于该点处但不等于0的点。
极值点可以分为极大值点和极小值点，当某点x的函数值大于任意更接近该点的其他点时，此点称为极大值点；而当某点x 的函数值小于接近该点的任何其他点时，此点称为极小值点。
从函数的角度来看，对于极值点的求解，可以考虑函数的导数。
在高等数学中，函数的导数是一种测量函数变化速度的量，其实质是表示某函数在某指定点处的“斜率”，它是描述函数变化情况的量，即当函数增加时，对应点的斜率增加，当函数减少时，对应点的斜率减少。
当导数为零时，意味着此处斜率等于零，也就是此处函数不再变化，此点即为极值点。
利用求导法求解极值点的方法，一般可以总结如下：（1）求出函数f(x)的导数f(x)；（2）令f(x)=0，求解得出x的值；（3）代入到f(x)中，得到极值的值。
对于一元函数来说，求极值点的关键步骤即为求导数，需要利用求导数公式及一些极值性质，如直线函数、二次函数、三次函数、反比例函数、对数函数及指数函数等各类函数的求导数公式都有所不同。
另外，在求极值点的过程中，需要注意两个特性：单调性和连续性。
单调性是指函数在任意点处的导数是函数单调递增或单调递减的，这也是求极值点的关键。
连续性是指函数在任一处都可以获得某种定义，否则函数极值将无效。
以上所述，可以总结出求极值点的基本思路：（1）首先，根据函数形式，求出函数的导数；（2）然后，令导数等于零，求解出极值点；（3）最后，代入函数，求出极值的值。
求解极值点的方法，是高等数学中较为重要的知识点之一，它不仅可以帮助我们求解实际问题，而且在理解函数特性及求解运动轨迹等问题中也有不可替代的作用。
例如，在计算内爆炸和内摩擦力时，可考虑函数的极值点作为定值；在运动的抛物线轨迹计算中，可根据函数的极值点，求出物体的最大高度和最大运动距离，等等，都离不开极值点的概念。
导数与函数的极值、最值-高考数学复习
1
解：当 a ＝ 时， f （ x ）＝ln
2
1
x － x ，函数的定义域为
2
1
1
2−
（0，＋∞），且f'（ x ）＝ － ＝
，
2Hale Waihona Puke 2令f'（ x ）＝0，得 x ＝2，
目录
高中总复习·数学
于是当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：
x
（0，2）
2
（2，＋∞）
f'（ x ）
则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无
极值点；
当 a ＞0时，若 x ∈
若x∈
1
，＋∞
1
0，
，则f'（ x ）＞0，
，则f'（ x ）＜0，
目录
高中总复习·数学
1
故函数在 x ＝ 处有极大值.
综上可知，当 a ≤0时，函数 f （ x ）无极值点；
当 a ＞0时，函数 y ＝ f （ x ）有一个极大值点，且为
2. 函数的最值与导数
（1）如果在区间[ a ， b ]上函数 y ＝ f （ x ）的图象是一条
连续不
断 的曲线，那么它必有最大值和最小值；
（2）若函数 f （ x ）在[ a ， b ]上单调递增，则 f （ a ）为函数
的
最小值 ， f （ b ）为函数的
最大值 ；若函数 f （ x ）
在[ a ， b ]上单调递减，则 f （ a ）为函数的
导数与函数的极值、最值
1. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
导数与函数极值最值
导数与函数的极值与最值1. 函数的极值⑴．判断 f (x 0)是极值的方法一般地，当函数 y ＝f (x )在点 x 0 处连续时，①．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＞0，右侧 f ′(x )＜0，那么 f (x 0)是极大值； ②．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＜0，右侧 f ′(x )＞0，那么 f (x 0)是极小值． ⑵．求可导函数极值的步骤：①．求 f ′(x )；②．求方程 f ′(x )＝0 的根；③．检查 f ′(x )在方程 f ′(x )＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2. 函数的最值⑴．在闭区间[a ，b ]上连续的函数 y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．⑵．若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递增，则 f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．⑶．设函数 f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求 f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①．求 f (x )在(a ，b )内的极值；②．将 f (x )的各极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3. 利用极值求参数1. 极值点使得导函数为0，即极值点为导函数的零点.2. 极值点的个数就是导函数变号零点的个数3. 方法：①直接法：直接求方程，得到方程的根，在通过解不等式确定参数取值范围； ②分离参数法：将参数分离，构造新函数转化成求最值或者值域的问题； ③数形结合：先对解析式变形，在坐标系中画出函数图像，通过找交点求解.题型一 求极值【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A ．12为()f x 的极大值点 B ．2-为()f x 的极大值点 C ．2为()f x 的极大值点D ．45为()f x 的极小值点 (2)（2019·黑龙江铁人中学高二期中（文））函数()()2312f x x =-+的极值点是（ ） A ．0x =B ．1x =C ．1x =-或1D ．1x =或0【解析】(1)对于A 选项，当122x -<<时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，12为()f x 的极大值点，A 选项正确；对于B 选项，当2x <-时，()0f x '<，当122x -<<时，()0f x '>，2-为()f x 的极小值点，B 错误； 对于C 选项，当122x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，2为()f x 的极小值点，C 选项错误； 对于D 选项，由于函数()y f x =为可导函数，且405f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，45不是()f x 的极值点，D 选项错误.故：A. (2)函数的导数为2233()2(1)(3)6(1)f x x x x x '=-⨯=-， 当()0f x '=得0x =或1x =，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以1x =是极小值点.当0x <时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '<， 所以0x =不是极值点.故选B .【举一反三】1．（2018·安徽高二期末（理））函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（ ） A ．1B ．（1，﹣83）C ．3-D ．（﹣3，8）【解析】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=得31x =-或 函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数， ()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值点为1.选A 2．（2019·安徽高二月考（文））已知函数()2ln f x ax b x =+在点M (1,1)处的切线方程为230x y +-=.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间和极值.【答案】（1）f (x )=x 2-4lnx （2）函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为22ln 2-，无极大值 【解析】（1）()2bf x ax x'=+， 因为点M (1,1)处的切线方程为2x +y -3=0，所以()()11122f a f a b ⎧==⎪⎨=+=-'⎪⎩,所以14a b =⎧⎨=-⎩，则f (x )=x 2-4lnx ;（2）定义域为(0,+∞),()24242x f x x x x-'=-=,令()0f x '=，得x =. 列表如下：故函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为222ln 2f=-=-，无极大值.题型二 求最值【例2】（2019·黑龙江铁人中学高二期中 ）函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．－2【答案】B【解析】令()2360f x x x '=-=，解得0x =2x =.()()()()02,22,12,10f f f f ==--=-=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.【举一反三】1．（2019·湖南高一月考）已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____【解析】二次函数()y f x = 在[]0,2x ∈ 单调递增，当(]2,3x ∈ 单调递减故在x=0时取得最小值，即a=2题型三 利用极值最值求参数【例3】(1)（2019·河北唐山一中高三期中（理））若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1(2)（2019·贵州省铜仁第一中学高三（文））若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <(3)（2019·安徽高二月考（文））若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】(1)A(2)A(3)C 【举一反三】1.已知是函数的极小值点，则的范围是_____2.已知是函数的极小值点，则取值范围________3.已知函数有两个极值点，且，则（ ）4.（2019·新疆高三月考）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是____．5.若函数在区间内有极值，则取值范围（ C ）0x =()()()22222f x x a x a x a=-++a ()(),02,-∞⋃+∞1x =()()()2202xk f x x e x kx k =--+>k ()0,e ()221ln f x x x a x =-++12,x x 12x x <D ()212ln 2.4A f x +<-()212ln 2.4B f x -<()212ln 2.4C f x +>-()212ln 2.4D f x ->()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭a6. 若函数在上有小于零的极值点，实数的取值范围是（ ）7. 若函数在区间恰有一个极值点，则实数取值范围______.8. 已知函数在区间上至少有一个极值点，实数取值范围______ 课后训练：1．（2019·江西高三期中（文））若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D 【解析】依题意()'2666f x x mx =-+，由于函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，所以()'2666fx x mx =-+在区间()1,+∞上有正有负，由于二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，对称轴为2m x =，2364660m ∆=-⨯⨯>，解得2m <-或2m >.当2m <-时，对称轴12mx =<-，()'060f =>故此时在区间()1,+∞上()'0f x >，函数()f x 单调递增，没有极值点.当2m >时，由于()'16661260f m m =-+=-<，且二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，故()'2666f x x mx =-+区间()1,+∞上必存在零点，也即()f x 在区间()1,+∞上存在极值点. 故选：D.2．（2019·陕西高三（文））函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤【答案】C【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C 。
导数极值点
导数极值点
导数极值点是指利用函数的导数来研究函数的取值规律的方法，也叫极大值点和极小值点。
它可以帮助我们理解函数的变化特征，并且能够指导我们做出正确的决策。
本文将详细介绍导数极值点的概念、特性、计算方法以及在实际应用中的作用。
首先，我们来看看什么是导数极值点。
导数极值点就是指在函数曲线上凹凸变化极大或极小的点，即函数全局极大值点或极小值点。
换句话说，当函数在某一点取得极大值或极小值时，这个点就称为导数极值点。
其次，我们来了解一下导数极值点的特性。
一般来说，导数极值点的函数具有一定的特性。
例如，导数极大值点处的函数值变化为负，而导数极小值点处的函数值变化为正。
此外，导数极值点处的函数的导数值为零，即函数的导数在极值点处断绝。
再次，我们看看如何计算函数的导数极值点。
由于函数的导数极值点对应着函数的极大值点或极小值点，因此要求函数的导数极值点，就要求函数的导数为零。
一般来说，函数的导数极值点可以通过积分或微分法来求出。
最后，我们来看看导数极值点在实际应用中的作用。
导数极值点可以用于研究函数中不同参数值对函数形状的影响，并可以为运筹学、经济学、物理学以及其他学科的研究做出贡献。
此外，导数极值点也可以使我们在解决实际问题的过程中作出正确的选择，从而有效获得更好的结果。
总而言之，导数极值点是指利用函数的导数来研究函数的取值规律的方法，它的特性、计算方法及其在实际应用中的作用均有所不同。
希望通过本文的介绍，能够帮助读者理解导数极值点的概念及其应用。
高中数学中的导数与函数极值点计算方法
高中数学中的导数与函数极值点计算方法导数和函数极值点是高中数学中重要的概念和计算方法。
导数是函数的变化率，函数极值点则是函数曲线上的极大值和极小值点。
在解决实际问题和理解函数性质时，导数和函数极值点的计算方法起着重要的作用。
一、导数的定义和计算方法导数的定义是函数在某一点的变化率，可以用极限来表示。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(dx→0) [f(x+dx) - f(x)] / dx其中，dx表示x的变化量。
导数的计算方法有以下几种：1. 函数的基本导数公式：对于常见的函数，可以通过基本导数公式来计算导数。
例如，对于幂函数y=x^n，导数为f'(x)=nx^(n-1)。
对于指数函数y=a^x，导数为f'(x)=a^xlna。
这些基本导数公式可以帮助我们快速计算函数的导数。
2. 导数的四则运算法则：导数具有四则运算的性质。
如果函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过对应的运算法则来计算。
例如，对于函数f(x)=u(x)+v(x)，它的导数f'(x)等于u'(x)+v'(x)。
3. 链式法则：链式法则是计算复合函数导数的方法。
如果函数y=f(g(x))是由两个函数复合而成，那么它的导数可以通过链式法则来计算。
链式法则的公式为：f'(x)=f'(g(x))g'(x)。
通过链式法则，我们可以计算复杂函数的导数。
二、函数极值点的计算方法函数极值点是函数曲线上的极大值和极小值点，是函数变化的关键点。
在计算函数极值点时，可以使用以下方法：1. 导数法：函数极值点处，导数等于零或不存在。
因此，可以通过计算函数的导数来找到函数的极值点。
首先，计算函数的导数，然后将导数等于零的点带入原函数，得到函数的极值点。
2. 二阶导数法：函数极值点处，二阶导数的符号发生变化。
通过计算函数的二阶导数，可以判断函数的极值点。
导数之极值点的偏移
导数之极值点的偏移基础内容讲解：一、极值点偏移的含义单峰函数()x f 顶点的横坐标0x 就是极值点。
如果对定义域内的任意自变量x 都有()()x x f x f －＝02成立。
说明函数()x f 的图像关于直线0x x ＝对称，故在0x 两侧()x f 的图像的升降走势相同。
若()x f ＝a 存在两个根1x 与2x ，则有2210x x x ＋＝成立，此时极值点不偏移。
反之极值点偏移。
如果2210x x x ＋＜，则极值点左偏；如果2210xx x ＋＞，则极值点右偏。
二、极值点偏移的判定定理对于可导函数()x f y ＝在区间D 上只有一个极值点0x ，方程()0＝x f 在区间D 上的解分别为21x x 、。
其中21x x ＜ （1）、若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极小值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极大值点右偏；（2）若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极大值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极小值点右偏；三、极值点偏移的用处函数存在两个零点时关于零点间不等式的证明。
四、极值点偏移的用法例一、已知函数()x x x f ln ＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。
求证：2211ex x ＜变式练习一、已知函数()x x f ln ＝和()ax x g ＝，若存在两个不相同的实数21x x 、满足()()11x g x f ＝，()()22x g x f ＝。
求证： （1）、e x x 221＞＋ （2）、221e x x ＞例二、已知()x x x f ln －＝，若存在两个不相同的正实数21x x 、满足()()21x f x f ＝。
求证：()()021＜＋x f x f ''变式练习二、已知函数()x x x f ln 2＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。
用导数求极值点的四种类型
用导数求极值点的四种类型
概述：
在数学中，导数是一种重要的概念，它可用于确定函数的极值点。
通过求函数的导数，我们可以找到函数在某个区间内的局部极
小值和局部极大值。
本文将介绍用导数求极值点的四种常见类型。
一、无极值点
当函数的导数在整个定义域上恒为0时，则该函数没有极值点。
这意味着函数图像没有局部极小值或局部极大值。
二、唯一极小值点和唯一极大值点
当函数的导数在某个区间内恒为正时，则该函数在该区间内有
一个唯一的局部极小值点。
同样地，当函数的导数在某个区间内恒
为负时，则该函数在该区间内有一个唯一的局部极大值点。
三、多个极小值点和多个极大值点
当函数的导数在某个区间内变号时，则该函数在该区间内有多
个极小值点和极大值点。
具体来说，当函数的导数在某点从负数变
为正数时，该点是一个局部极小值点；当函数的导数在某点从正数变为负数时，该点是一个局部极大值点。
四、无极小值点和无极大值点
当函数的导数在整个区间内保持恒正或恒负时，则该函数在该区间内既没有局部极小值点也没有局部极大值点。
这种情况下，函数图像将是递增或递减的。
结论：
通过计算函数的导数，我们可以确定函数的极值点。
根据导数的正负变化，我们可以判断函数是否有极小值点或极大值点，并进一步找出这些点的位置。
了解并掌握这四种类型的极值点，可以帮助我们更好地理解和应用导数在数学中的作用。
导数与函数的极值和最值考点及题型
第三节导数与函数的极值、最值❖基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．❖常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](2018·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d ＝3，求f (x )的极小值点及极大值．[解] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3) ＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (2018·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．[解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[题组训练]1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(2019·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选Cf ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x－1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1；由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减， 所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [题组训练]1.(2018·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)． 答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2，因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，－a )上单调递减； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e.综上，a ＝－ e.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ，设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y ＝2x －1x 2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2. 答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R )，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (1－ln x )x 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x.令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________． 解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0.由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t >0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝⎛⎭⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．贾老师数学解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0，解得x >1a， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0，解得0<x <1a， 所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1.②若1<1a <e ，即1e<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1. ③若1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e＝a ＋1e＝0， 即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e. 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。
导数---极大值与极小值
+
-1
+ 2
-
原函数：看走势
2
1 （2） y x . x
2、问： f （ 在 x） 0 是函数 f（x）
3.5
0
x x0
处取极
值的充要条件吗？
3 2.5 2
1.5
如：f（x） x 上的原点处.
3
1 2 3 4 5 6
1
0.5
-1
-0.5
-1
故：“充要条件”要改为 “ 必要不充分条件 ”
-1.5
-2
-2.5
+
2、在极大值处左右导数的+、-情况；
左+，右-
-
+
例1、求f（x）=x2-x-2的极值.
总结算法为：求导→找极值点→ 列表→，看走势，求极值. 1 令f/（x）=0， 得x= —— 2 1 2
解： f/（x）=2x-1
列表
x
f /（x ） f （x ）
1 （-∞， 2 ）
（ 1 ，+∞ ） 2
-
导数---极大值与极小值
扬中树人高二数学备课组
复习引入 1、指出下图中每个区间段是导数的+、-情况.
3 -8 -6 -呢？
3 -8 -6 -2 5 6
极大值与极小值的概念：
1.极大值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附 近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一 个极大值，记作y极大值=f(x0)，点（x0,f(x0)）是极大值点.
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附 近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一 个极小值，记作y极小值=f(x0)，点（x0,f(x0)）是极小值点.
导数与函数的极值
导数与函数的极值引言：导数与函数的极值是微积分中的重要概念，它们被广泛应用于最优化问题、求解方程和曲线的特点等数学和实际问题中。
本文将详细介绍导数和函数的极值以及它们之间的关系。
一、导数的概念和计算方法1.1 导数的定义在数学中，导数是用来描述函数变化率的概念。
对于函数y=f(x)，在某点x处的导数可以定义为函数在该点处的切线斜率。
导数的定义可以表示为：\[f'(x)=\lim_{{\Delta x\to 0}} \frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}}\]其中，f'(x)表示函数f(x)在x点处的导数。
1.2 导数的计算方法常见的计算导数的方法有以下几种：（1）使用导数的定义进行计算，即通过求极限的方式；（2）利用函数的基本性质和导数的基本运算法则，如加减法、乘法法则、链式法则等；（3）应用求导法则，例如幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式；（4）利用导数的几何意义，例如求直线与曲线的切点等。
二、函数的极值及其判定方法2.1 极大值和极小值在函数的定义域上，如果函数在某一点附近取到最大值或最小值，那么这个点就被称为函数的极大值点或极小值点。
2.2 极值的判定方法常见的判定函数极值的方法有以下几种：（1）利用导数的性质，根据导数的正负可以判断函数在某一点处的增减性。
当导数在极值点处变号时，可以判定函数在该点处取得极值；（2）利用函数的二阶导数，通过判断二阶导数的正负可以确定函数的极值点。
当二阶导数大于零时，函数在该点处取得极小值，当二阶导数小于零时，函数在该点处取得极大值。
三、导数与函数的极值的关系3.1 极值与导数的关系在函数的极值点处，导数必然为零或不存在。
这是因为在极值点附近，函数的变化率为零，即切线的斜率为零。
因此，可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
3.2 函数极值点的判定方法如果函数在某点处的导数为零或不存在，那么该点可能是函数的极值点。
导数极值点
导数极值点极值点，又称局部极大值点和局部极小值点，是分析函数的特殊点，它具有某种意义。
从某种意义上讲，极值点是函数取得最大值或最小值处的点，而导数极值点则是关键点，是可以用导数法解决问题的点。
什么是导数极值点？我们可以把它看做是一个函数，它的导数会达到最大或最小值。
而导数极值点就是这个函数中，导数取得最大值或最小值的点。
首先，我们来看看什么是导数极值点所代表的概念，以及它们能用来解决什么问题。
导数极值点的定义是「有关于一个变量的函数的在极值点上的导数，或者反过来，函数的导数在一个极值点取得最大值或最小值。
」可以看出来，导数的极值点代表的是变量的取值范围中最大值或最小值的位置。
导数极值点可以用来帮助我们分析函数的不同类型的极值点，如最小值点、最大值点等。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数中极值点的位置，并确定它们是最大值点还是最小值点。
因此，导数极值点的分析是理解函数的极值点的一种重要方式。
其次，要想求出导数极值点，需要知道函数的导数怎么求取。
对于函数的求导问题，有专门的一类函数叫做「可积分函数」。
可积分函数包括多项式函数、指数函数、正弦函数等等。
可以使用求导公式或者直接利用求导公式求导，用求导公式求得可积分函数的导数，并针对遇到的问题进行研究。
最后，对于不同的函数，可以使用不同的导数极值点方法来求得它们的极值点。
比如，对于多项式函数，可以使用求根公式来求解；对于指数函数，可以利用指数函数极大值定理来判断极值点；对于正弦函数，可以利用正弦函数定理来求解极值点。
总之，对于求出导数极值点，需要了解什么是导数极值点，对导数极值点的分析可以帮助我们确定函数的极值点，而要想求出导数极值点需要掌握函数的求导方法，并根据不同函数使用不同的求极值点方法。
导数极值点
导数极值点
“导数极值点”是微积分有关的一个重要概念。
它可以帮助我们更深入地理解数学中的函数以及函数之间的关系。
在本文中，我们将深入讨论导数极值点的定义、性质和应用，为读者提供一些有关该概念的有用知识。
首先，让我们来谈谈导数极值点的定义。
简而言之，导数极值点是指函数f（x）在某个点处导数为零，且其前后的斜率不同的点，即：
f′（x0）=0，f′（x0）≠f′（x1）
其中x0为极值点处的横坐标，x1为x0的左右两侧的横坐标。
接下来，让我们一起来讨论导数极值点的性质。
一般来说，导数极值点可以有两种，分别是极大值点和极小值点。
那么，如何判断一个极值点是极大值点还是极小值点呢？这就要看函数f（x）在极值
点附近的行为，即f（x）=f（x1）-f（x0），如果f（x0）> 0，则它是极大值点；如果f（x0）< 0，则它是极小值点。
最后，让我们一起来谈谈导数极值点的应用。
导数极值点非常重要，因为它可以让我们更清楚地知道函数在某一点的变化情况，以及它的斜率变化情况。
此外，极值点也被用来确定一个函数的最大值和最小值，在优化算法中应用也很常见。
例如，在机器学习中，寻找一个函数的最佳解时，我们经常会根据极值点来决定最佳参数。
综上所述，导数极值点是一个重要的数学概念，它不仅可以帮助我们了解函数的变化规律，而且还可以提供有关优化算法的有用信息。
我们期待着有更多的研究来深入挖掘极值点的含义，有助于我们更好地理解函数及其之间的关系。
【高中数学】导数与函数的极值、最值
高中数学学科
t1，t2，t3 是公差为 d 的等差数列．
(1)若 t2＝0，d＝1，求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
所以 f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为 f(0)＝1，
所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
(2)设 h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则 h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.
2．(2018·梅州期末)函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A．(－1,3)为函数 y＝f(x)的单调递增区间
高中数学学科
B．(3,5)为函数 y＝f(x)的单调递减区间
C．函数 y＝f(x)在 x＝0 处取得极大值
D．函数 y＝f(x)在 x＝5 处取得极小值
高中数学学科
导数与函数的极值、最值
一、基础知识
1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0； 而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0； 而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
导数----极值点偏移
导数---极值点偏移做题步骤：（1）求极值点0x ；（2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--；（3）判断极值点左移还是右移；（4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论；（5）若极值点求不出来，由'0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤.1.已知函数()2ln f x x ax =-，其中a R ∈（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 有极大值为12-，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明：124x x a +>.2.已知函数()()x f x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数.（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：122ln x x a +<.3.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，2x （12x x <），证明122x x a +>.4. 已知函数()2ln (0).f x ax x x a =+->(Ⅰ)求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 极值点为0x ，若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，使()()12f x f x =，求证：1202.x x x +>分析：极值点偏移，+替换'2200000()0,210,21f x ax x ax x =+-==-5.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设()()22ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'02xx h +⎛⎫> ⎪⎝⎭.6.设函数()()211ln .2f x x a x a x =---（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'7.设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值；(2)求证：1202x x F +⎛⎫> ⎪⎝⎭'.。
课题：导数的应用--极值点
(-∞,-2) ∞,f′(x) +
x
-2
(-2,2)
0
极大值28/3 极大值
-
2 0
极小值极小值 4/3
(2,+∞) +
f(x)
=2时 ∴ 当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时, y极大值=-4/3. =2 =
2010-12-30 7
28 1 （2）f(－3)=7，f(4)=9 = ） － ， ， 3 3 与极值点的函数值比较得到该函数在区
16
3 2
f / ( x）＝ ax2 + 2bx + c ≠ 0) 3 (a (2) f (1) = a + b + c = 5
2b f / (1) = 3a + 2b + c = 0 － =3 3a 或 c f / (2) = 12a + 4b + c＝ 0 =2 3a
2010-12-30
2010-12-30 12
注意代 入检验
课题：导数的应用－－极值点 课题：导数的应用－－极值点 －－
我行 我能 我要成功 我能成功
庖丁解牛篇(感受高考） 庖丁解牛篇 感受高考） 感受高考 年天津卷)函数 （2006年天津卷 函数 f (x ) 的定义域为开区间(a, b) 年天津卷 内的图像如图所示， 导函数 f ′(x)在 (a, b) 内的图像如图所示，则函数f (x ) 内有（ 个极小值点。 在开区间 (a, b) 内有（ A ）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4
o
a x1
x
函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升 变为 函数图像在 点附近从左侧到右侧由“上升”变为 点附近从左侧到右侧由 下降” 函数由单调递增变为单调递减）， ），在 点 “下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点 附近， 点的位置最高 点的位置最高， 附近，P点的位置最高，函数值最大
一阶导数和二阶导数 零点和极值点
一阶导数和二阶导数零点和极值点下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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导数为零与极值点的关系
导数为零与极值点的关系在微积分中，我们常常需要研究函数的极值点。
极值点是函数在某个区间内取得最大或最小值的点。
而在寻找极值点的过程中，导数起到了重要的作用。
本文将探讨导数为零与极值点之间的关系。
我们回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，在x点处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数为正表示曲线上升，导数为负表示曲线下降，导数为零表示曲线的斜率为零，即函数曲线在该点处达到了一个极值。
在函数的极值点处，导数为零是一个重要的特征。
为了证明这一点，我们首先考虑一个简单的例子：f(x) = x^2。
我们可以计算出f(x)的导数为f'(x) = 2x。
当x=0时，导数为零。
此时，函数f(x)取得了最小值0。
这就是一个极值点。
接下来，我们考虑一般情况下的函数f(x)。
在寻找函数的极值点时，我们通常将导数为零的点作为候选点。
这是因为在导数为零的点，函数曲线可能达到极值。
然而，导数为零的点不一定都是极值点。
它们也可能是函数的拐点或者平稳点。
为了确定一个导数为零的点是否是极值点，我们需要进一步研究函数的变化情况。
具体来说，我们可以利用二阶导数来判断。
二阶导数表示函数的导数的导数，即f''(x)或d^2y/dx^2。
二阶导数可以告诉我们函数曲线的凹凸性。
如果在导数为零的点，二阶导数为正，则函数曲线在该点处是凹向上的，即函数取得了一个极小值点。
如果二阶导数为负，则函数曲线在该点处是凹向下的，即函数取得了一个极大值点。
这样，我们就可以通过导数和二阶导数的关系来确定极值点。
然而，需要注意的是，并不是所有的极值点都满足导数为零的条件。
在某些情况下，函数的极值点可能不存在导数为零的点。
这是因为函数的导数可能在某些点处不存在，或者导数为零的点在函数的定义域之外。
总结起来，导数为零是函数极值点的一个必要条件，但不是充分条件。
导数为零的点可能是极值点，也可能是拐点或者平稳点。
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1.3.2函数极值点
教学目标：
（1）知识技能目标：
了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；
掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法；
了解可导函数极值点x0与f （x0）=O的逻辑关系；
培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力
过程与方法目标：
培养学生观察—分析一究—归纳得出数学概念和规律的学习能力。
（2）情感与态度目标：
培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；
体会数学中的局部与整体的辨证关系•
教学重点、难点：
重点：掌握求可导函数的极值的一般方法•
难点：X。
为函数极值点与「（X°）=0的逻辑关系.
教学过程：
一、问题情境
利用学生们熟悉的海边体育运动一冲浪，直观形象地引入函数极值的定义•
观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点
递
极值点的定义：
观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有
各点的函数值都大，我们说 f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f⑵是函数的一个极小值。
一般地，设函数y =f(x)在x =X o及其附近有定义，如果f (X o)的值比X o附近所有各点
的函数值都大，我们说f ( x o)是函数y =f(x)的一个极大值；如果f(x o)的值比X。
附近所有各点的函数值都小，我们说f (x o)是函数y =f(x)的一个极小值。
极大值与极小值
统称极值。
取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：(让同学讨论)
(i)极值是一个局部概念。
由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数
值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
(ii)函数的极值不是唯一的。
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
(iii)极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值,
(iv)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
极值点与导数的关系：
复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系 ，引导学生寻找函数极值
点与导数之间的关系•
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从 而有f (x) =0。
但反过来不一定。
若寻找函数极值点，可否只由f (x) =0求得即可？
探索：x=0是否是函数f(x)= x 3的极值点？(展示此函数的图形)
在x =0处，曲线的切线是水平的，即f (x)=o ，但这点的函数值既不比它附近的点的 函数值大，也不比它附近的点的函数值小 ，故不是极值点。
如果 X 0使f(X 0)=0，那么X 0在
什么情况下是的极值点呢？
观察下左图所示，若X 。
是f(x)的极大值点，则X 。
两侧附近点的函数值必须小于 f(x 。
)。
因此，X 0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f(x> 0，X 0的右侧附近f(x)只能是减函数，即 f (X) ：：：0，同理，如下右图所示，若 X 0是极小值点，则在 X 0的左侧附近f(x)只能是减函 数，即f (x) ：：：0，在X 0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f(x> 0，
从而我们得出 结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法 单调性之间的关系)：
若X 0满足f(X 0)=0，且在X 0的两侧f (X)的导数异号，则
f (X 0)是极值，并且如果 f(X)在X 0两侧满足“左正右负”，则X 0是f(x)的极大值点， f (X 0)是极大值；如果f (X)在X 0两侧满足“左负右正”，则X 0是f (X)的极小值点，f (X 0)
是极小值。
结论：x 0左右侧导数异号
x 0是函数f(x)的极值点^'f (x 0)=0
苏教版选修2—2
第一章 导数1.3.2 极值点
侗时巩固导数与函数
X 0是f (x)的极值点,
第-3 -页共6页
反过来是否成立？ 各是什么条件？
点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分 条件是在这点的导数为 0. 学生活动
函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为
(D )
A 、 导数y/由负变正，则函数y 由减变为增，且有极大值
B 、 导数y/由负变正，则函数y 由增变为减，且有极大值
C 、 导数y/由正变负，则函数y 由增变为减，且有极小值
D 、 导数y/由正变负，则函数y 由增变为减，且有极大值 四、数学应用
因此，当x =_2时，函数有极大值，把x =「2代入函数式，得这个极大值为
当x =2时，函数有极小值 _1丄。
3
课堂训练：求下列函数的极值
1
(1 y x
x
让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法：
一般地，如果函数y=f(x)在某个区间有导数， 可以用下面方法求它的极值:
①确定函数的定义域； ②求导数f (x)；
③ 求方程f(x)=0的根，这些根也称为可能极值点； ④ 检查
f (
x)在方程
f (
X)= 0的根的左右两侧的符号，确定极值点。
(最 好通
过列表法)
强调:要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断
f (x0)=0左右侧导数的符号
例题1:求函数y
-1
x 3
-4x 4的极值。
3
解：求导数得
y / =x 2 —4 令 y / =x 2 -4 =0,解得 x i
y /在y / =0的根的左右的符号如下表所示:
x
(W)
(-2,2) (2，g
y
+ 一
+
⑵ y 二 8x 3
—12x 2
6x1
x
例题2 （案例分析）
数 f （x ） = x 3 _ ax 2 _ bx • a
2
在x=1时有极值10,则a , b 的值为（C ） （选自《高，中数学中学教材全解》薛金星主编）二11
， 或 a =「4,b = 1 或 a - -4,b = 11
a 二-4D
b = 11
、 ：f （1）=10 •.丿 了（1）=0 通过验证，都合要求，故应选择 A 上述解法错误，正确答案选 C ,注意代入检验 注意：/（x o ）=O 是函数取得极值的必要不充分条件 练习：庖丁解牛篇（感受高考） 1、（ 2006年天津卷）函数f （x ）的定义域为开区间（a,b ），导函数f （X ）在（a,b ）内的 图象如图所示，则函数 f （x ）在开区间（a,b ）内有极小值点（ A ） y* A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别 A C
略解：由题设条件得: 以上都不对 -a —b 『"0解之得 3 —2a —b =0 r f a =3 ［、. 或疋 b =d a = -4 b =11 3 2
2、（2006年北京卷）已知函数 f （x ） = ax bx cx 在 点X 。
处取得极大值 5，其导函数y = f '（X ）的图象经过点 （1,0） , （2,0），如图所示.求： （I ） X 。
的值； （n ） a,b, c 的值. 答案(I) x 0 =1； (n) a = 2,b - -9,c = 12 y 二
f (x) 五：回顾与小结： 1、极值的判定方法； 注意点：
1、 f /（xO ）=O 是函数取得极值的必要不充分条件
2、 数形结合以及函数与方程思想的应用
3、 要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 2、极值的求法 f （x0）=0左右侧导数的符号
六：课外作业
1、课本P 34习题1.3 : 3
2、创新训练
导数 1.3.2 极值点 页
3、思考题极值和最值的区别与联系
极值点。