八年级数学平方根
八年级上数学实数平方根与立方根
6.1平方根立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。
注意：这样的数常常有两个。
2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。
(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。
3.平方根的表示方法:正数a的平方根表示为“± ”4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。
记作。
0的平方根0,也叫做0的算术平方根。
5. ≥0（当 a<0时, 无意义）。
到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。
6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。
二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2. 表示的正数a的平方根。
蕴含条件a≥0。
三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2解:(1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即± =±11, =11。
(2)∵(±0.07)2=0.0049 ∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。
(3)∵(± )2= ∴ 的平方根是± ,算术平方根是, 即±=± , = 。
(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(± )2= ∴4 的平方根为± ，算术平方根为。
即,± 。
(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。
∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。
说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。
例2.求下列各式的值:(1)3 =3× = (2)± =± (3)=8(4)± =± (5)- (带分数要先化成假分数)(6)3× =3×7=21(7)(8) ×0.6+ ×0.9=0.3+0.3=0.6(9) (a<b)= ∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。
4.1平方根(八大题型)(解析版) 八年级数学上学期
八年级上册数学《第4章实数》4.1平方根◆1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.◆3、平方根的表示方法：正数a正的平方根可以表示为a，正数a的负的平方根，可以表示为-a.正数a的平方根可以用±a表示，读作“正、负根号a”．◆4、平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.◆1、算术平方根的定义：我们把正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．a的算术平方根记作：a，读作:“根号a”.规定：0的算术平方根是0.记作:0=0.◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.①被开方数一定是非负数，即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a≥0.◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.【注意】a实际上省略了2中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此a也读作：“二次根号a”.◆5、算术平方根与平方根的联系和区别：联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.（3）0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根，但正数算术平方根只有一个.；（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为a，正数a的平方根表示为a【例题1】下列说法正确的是（）A．25的平方根是5B．（﹣3）2的平方根是﹣3C．925的算术平方根是35D．0.16的算术平方根是±0.4【分析】依据平方根、算术平方根的定义和性质求解即可．【解答】解：A、25的平方根是±5，故A错误；B、（﹣3）2的平方根是±3，故B错误；C、925的算术平方根是35，故C正确；D、0.16的算术平方根是+0.4，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．解题技巧提炼±（a≥0）表示非负数的a的平方根，（a≥0）表示非负数a的算术平方根.【变式1-1】（2022秋•莱州市期末）144的平方根是±12的数学表达式是（）A．144=12B．144=±12C．±144=±12D．±144=12【分析】根据平方根的定义进行计算即可．【解答】解：144的平方根是±12的数学表达式是±144=±12，故选：C．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义以及表示方法是正确解答的前提．【变式1-2】下列说法中，正确的是（）A．任何数的平方根都有两个B．一个数的平方根是它本身C．只有正数才有平方根D．负数没有平方根【分析】根据平方根的定义进行解答即可．【解答】解：A、0的平方根是0，只有一个，故错误，不符合题意；B、一个数的平方根不一定是它本身，故错误，不符合题意；C、0也有平方根，故错误，不符合题意；D、负数没有平方根，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是平方根，熟知正数和0有平方根，负数没有平方根，且正数的平方根有两个，0的平方根还是0是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（）A．14的平方根是±12B．9的平方根是±3C．−12是14的一个平方根D．9的平方根是±3【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，根据平方根的意义解题即可．【解答】解：A．14的平方根是±12，该选项正确，故本选项不符合题意；B．9的平方根是±3，该选项错误，故本选项符合题意；C．−12是14的一个平方根，该选项正确，故本选项不符合题意；D．9的平方根是±3，该选项正确，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．【变式1-4】（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±13的数是（）A．13B．16C．19D．±19【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±13）2=19，∴平方根是±13的数是19，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．【变式1-5】（2022春•澄迈县期末）（﹣6）2的平方根是（）A．6B．±6C．±6D．36【分析】根据平方根的定义解答即可．【解答】解：（﹣6）2＝36，36的平方根是±6，故选：B．【点评】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题关键．【变式1-6】（2022秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（）A．﹣2B．﹣2或﹣6C．﹣3D．±2【分析】依据平方根的定义得到x+4＝2或x+4＝﹣2，从而可求得x的值．【解答】解：∵x+4是4的一个平方根，∴x+4＝2或x+4＝﹣2，∴解得：x＝﹣2或x＝﹣6．故选：B．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【变式1-7】（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（）A．±−1B．a﹣1C．a2﹣1D．±2−1【分析】由一个自然数的一个平方根是a，可得出这个自然数是a2，进而得到与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，再根据平方根的定义得出答案即可．【解答】解：∵一个自然数的一个平方根是a，∴这个自然数是a2，∴与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，∴与这个自然数相邻的上一个自然数的平方根是±2−1，故选：D．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．【例题2】求下列各数的平方根：（1）2549（2）0.36（3）（﹣9）2（4）49【分析】（1）（2）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（3）先求出（﹣9）2＝81，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（4）先求出49=7，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果．【解答】解：（1）2549的平方根是±57；（2）0.36的平方根是±0.6；（3）∵（﹣9）2＝81，∴（﹣9）2的平方根是±9；（4）∵49=7，∴49的平方根是±7．【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义，根据定义计算是解题关键．【变式2-1】1649的平方根是（）A．47B．±47C．−47D．27【分析】直接根据平方根的概念解答即可．【解答】解：∵（±47）2=1649，∴1649的平方根是±47，故选：B．【点评】此题考查的是平方根，掌握其概念是解决此题关键．【变式2-2】（2023•常德三模）16的平方根是（）A．4B．±4C．±2D．2【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：16=4，4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．【变式2-3】（2023•西乡塘区校级开学）已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（）A．﹣2B．−2C．4D．﹣4【分析】一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，据此即可得出答案．【解答】解：∵实数a的一个平方根是2，∴它的另一个平方根是﹣2，故选：A．【点评】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•二道区校级期中）在﹣2，0，117，23，1.44中，有平方根的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据平方根的性质即可求得答案．【解答】解：0，117，23，1.44都有平方根，﹣2没有平方根，则有平方根的数有4个，故选：A．【点评】本题考查平方根的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【变式2-5】（﹣8）2的平方根是（）A．﹣8B．8C．±8D．±64【分析】根据平方根的概念即可求出答案．【解答】解：由于（﹣8）2＝64，∴64的平方根是±8，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的概念，本题属于基础题型．【变式2-6】（2022秋•雁塔区校级月考）求下列各数的平方根：（1）49；（2）1625；（3）279；（4）0.36；（5）(−38)2．【分析】（1）根据平方根的定义求一个数的平方根；（2）根据平方根的定义求一个数的平方根；（3）根据平方根的定义求一个数的平方根；（4）根据平方根的定义求一个数的平方根；（5）根据平方根的定义求一个数的平方根．【解答】解：（1）∵（±7）2＝49，∴49的平方根是±7；（2）∵(±45)2=1625，∴1625的平方根是±45；（3）∵279=259，(±53)2=259∴279的平方根是±53；（4）∵（±0.6）2＝0.36∴0.36的平方根是±0.6；（5）∵(−38)2=964=(38)2，∴(−38)2的平方根是±38．【点评】本题考查的是平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，一个整数的平方根有2个，它们互为相反数．【变式2-7】求下列各式的值：（1）−196；（2）（3）2−1.75；（4）±(−8)2．【分析】（1）根据算术平方根定义计算；（2）根据平方根定义计算；（3）根据算术平方根定义计算；（4）根据平方根定义计算．【解答】解：（1）原式＝﹣14；（2）原式＝±52；（3）原式＝0.5；（4）原式＝±8．【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键．【例题3】求下列各数的算术平方根：（1）144；（2）0.49；（3）614；（4）（−32）2．【分析】根据开方运算，可得算术平方根．【解答】解：（1）144=122=12；（2）0.49=0．72；（3==52；（4=|−32|=32．【点评】本题考查了算术平方根，开方运算是解题关键．【变式3-1】（2022秋•宁强县期末）9的值等于（）A．3B．﹣3C．±3D．5【分析】根据算术平方根定义解答．【解答】解：∵32＝9，∴9=3，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．【变式3-2】（2023春•兴义市月考）81的平方根是．【分析】根据算术平方根的定义求出81=9，再根据平方根的定义求出9的平方根即可．【解答】解：∵81=9，∴81的平方根，即9的平方根为±9=±3，故答案为：±3．【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式3-3】（2023春•秀屿区校级期中）16的算术平方根是．【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可．【解答】解：∵16=4，4的算术平方根是2，∴16的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：16的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．【变式3-4】（2022•济宁三模）若=5，则a的值为（）A．10B．5C．25D．±25【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：∵52＝25，∴若=5，则a的值为25．故选：C．【点评】本题考查算术平方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根的定义．【变式3-5】（2022春•老河口市月考）设x＝﹣22，y=(−3)2，那么xy等于（）A．12B．﹣12C．6D．﹣6【分析】根据算术平方根以及有理数乘方的定义求出x、y的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x＝﹣22，y=(−3)2，∴x＝﹣4，y＝3，∴xy＝﹣4×3＝﹣12，故选：B．【点评】本题考查算术平方根，有理数的乘方，理解算术平方根的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的前提．【变式3-6】求下列各式的值：（1）144；（2（3）10000；（4）0.0049．【分析】根据算术平方根的定义计算即可．注意：2=|U．【解答】解：（1）原式=122=12；（2）原式=57)=57；（3）原式=1002=100；（4）原式=0.072=0.07．【点评】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键．【例题4】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2++2=0，则a+b的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．0【分析】先根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再将a，b的值代入a+b中即可求解．【解答】解：∵（a﹣1）2++2=0，（a﹣1）2≥0，+2≥0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法，掌握平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法法则是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•桂平市期末）若+2+(−3)2=0，则m n的值是．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵+2+（n﹣3）2＝0，，+2≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+2＝0，n﹣3＝0，解得m＝﹣2，n＝3，∴m n＝（﹣2）3＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查算术平方根、偶次方的非负性，掌握算术平方根、偶次方的非负性是正确解答的前提．【变式4-2】（2023•濠江区模拟）若a，b为实数，且|−1|++2=0，则（a+b）2023＝．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|a﹣1|++2=0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，能够根据非负数的性质正确得出a，b的值是解题关键．非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式4-3】已知a，b为实数，且1++1−=0，则a2022﹣b2023＝．【分析】依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再利用有理数的运算法则进行计算即可．【解答】解：∵1++1−=0，∴1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴a2022﹣b2023＝（﹣1）2018﹣12019＝1﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，依据非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．【变式4-4】（2023春•江源区期末）已知（a﹣1）2+|b+1|++−=0，则a+b+c＝．【分析】先依据非负数的性质求得a、b、c的值，然后再代入计算即可．【解答】解：（a﹣1）2+|b+1|++−=0，∴a＝1，b＝﹣1，c＝2．∴a+b+c＝1+（﹣1）+2＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，依据非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．【变式4-5】（2022春•蜀山区校级期中）若−1与|b+2|互为相反数，则a+b的绝对值为（）A．1−2B．2−1C．2+1D．2【分析】根据题意可得−1+|b+2|＝0，从而可得a﹣1＝0，b+2=0，然后求出a，b的值，再根据绝对值的意义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：−1+|b+2|＝0，∴a﹣1＝0，b+2=0，∴a＝1，b=−2，∴|a+b|＝|1−2|=2−1，故选：B．【点评】本题考查了绝对值，算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键．【变式4-6】（2022秋•迎泽区校级月考）若x，y满足(−5)2++2=0，则x y的算术平方根为．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用负整数指数幂的性质、算术平方根的定义分析得出答案．【解答】解：∵(−5)2++2=0，∴x﹣5＝0，y+2＝0，解得：x＝5，y＝﹣2，故x y＝5﹣2=125，则x y的算术平方根为：15．故答案为：15．【点评】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质，正确得出x，y的值是解题关键．【变式4-7】（2022秋•靖江市校级期中）已知a，b，c都是实数，且满足（2﹣a）2+2+++|c+8|＝0，且ax2+bx+c＝0，求代数式3x2+6x+200的值．【分析】根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：∵（2﹣a）2≥0，2++≥0，|c+8|≥0，∴当（2﹣a）2+2+++|c+8|＝0，则2﹣a＝0，a2+b+c＝0，c+8＝0．∴a＝2，c＝﹣8，b＝4．∵ax2+bx+c＝0，∴2x2+4x﹣8＝0．∴x2+2x＝4．∴3x2+6x+200＝3（x2+2x）+200＝12+200＝212．【点评】本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根、绝对值，熟练掌握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、绝对值的非负性是解决本题的关键．【变式4-8】已知a，b为实数，且满足−2+b2﹣6b+9＝0．（1）求a，b的值；（2）若a，b为△ABC的两边，第三边c=13，求△ABC的面积．【分析】（1）利用完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求解即可；（2）利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：（1）整理得，−2+（b﹣3）2＝0，所以，a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3；（2）∵a2+b2＝22+32＝13，c2＝（13）2＝13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴△ABC的面积=12ab=12×2×3＝3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了勾股定理逆定理．【例题5】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（）A．8B．0C．8或0D．4或﹣4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．∵b的一个平方根是2，∴b＝4．∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，依据平方根的定义求得a、b的值是解题的关键．【变式5-1】（2023春•长顺县期末）若2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，则m的值是（）A．73B．﹣1C．73或2D．2【分析】依据平方根的性质列出关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：∵2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，∴2m﹣5＝4m﹣9或2m﹣5+4m﹣9＝0．解得：m＝2或m=73．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【变式5-2】（2022•游仙区校级二模）若﹣3x m y和5x3y n的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（）A．8B．﹣8C．±4D．±8【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案．【解答】解：∵﹣3x m y和5x3y n的和是单项式，∴﹣3x m y和5x3y n是同类项，∴m＝3，n＝1，∴（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．故选：D．【点评】本题考查了平方根，同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．【变式5-3】（2022秋•高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|++4=0，求a+3b+c的算术平方根．【分析】根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵|b﹣1|++4=0，且|b﹣1|≥0，+4≥0，∴b﹣1＝0，c+4＝0，解得：b＝1，c＝﹣4，∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4，4=2，∴a+3b+c的算术平方根是2．【点评】本题考查平方根，算术平方根，理解平方根，算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．【变式5-4】（2021春•饶平县校级期中）若x，y均为实数，且−1+1−+2y﹣1＝0，求15+2的平方根．【分析】根据被开方数是非负数且它们互为相反数，可得被开方数为0，据此可求x，进一步求出y，再代入计算即可求出答案．【解答】解：∵−1+1−+2y﹣1＝0，∴x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1，∴2y﹣1＝0，∴y=12，∴15+2=15+1=16=4，∴15+2的平方根为±2．【点评】本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．【变式5-5】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．【分析】（1）根据平方根的定义列出方程求出b，再根据算术平方根的定义求出a，然后相加求出a+b，再根据平方根的定义解答．（2）根据平方根的定义计算即可．【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，∴3b+3＝9，解得b＝2，∵3a+b的算术平方根为5，∴3a+b＝25，∵b＝2，∴a=233，（2）∵a=233，b＝2，∴4a﹣6b=563，∴4a﹣6b的平方根为【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键．【变式5-6】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是±17，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b 的平方根．【分析】先根据平方根和算术平方根的定义得出a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解出a和b的值，代入a+4b 值求值，再求平方根即可．【解答】解：根据题意，得a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解得a＝9，b＝10，∴a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，∴a+4b的平方根是±7．【点评】本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a、b的值是解题的关键．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．【变式5-7】（2023春•恩施州期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b 的平方根；（2）若2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，求a的值．【分析】（1）直接利用平方根的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用平方根的定义得出a的值．【解答】解：（1）依题意，得2a﹣1＝9且3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2．∴a+2b＝5+4＝9．∴a+2b的平方根为±3，即±+2=±3；（2）∵2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，∴2a﹣4+3a+1＝0或2a﹣4＝3a+1，∴解得：a=35或a＝﹣5．【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．【例题6】（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．【分析】（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．【解答】解：（1）169x2＝100，2=100169，=±169∴=±1013；（2）（x+1）2＝81，+1=±81，x+1＝±9，x＝8或﹣10．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．【变式6-1】（2022秋•新城区校级期中）求下列式子中的x：（1）25（x−35）2＝49；（2）12（x+1）2＝32．【分析】（1）根据平方根的概念解方程；（2）根据平方根的概念解方程．【解答】解：（1）25（x−35）2＝49，（x−35）2=4925，x−35=±75，x−35=75或x−35=−75，解得：x1＝2，x2=−45；（2）12（x+1）2＝32，（x+1）2＝32÷12，（x+1）2＝32×2，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x+1＝8或x+1＝﹣8，解得：x1＝7，x2＝﹣9．【点评】本题考查平方根，注意一个正数有两个平方根，且它们互为相反数是解题关键．【变式6-2】（2022秋•滕州市校级月考）求满足下列各式x的值（1）169x2﹣100＝0（2）（2x﹣1）2＝（﹣5）2．【分析】（1）先求出x2的值，然后根据平方根的定义解答；（2）先求出（2x﹣1）2的值，然后根据平方根的定义解答．【解答】解：（1）由169x2﹣100＝0，可得：x=±1013；（2）由（2x﹣1）2＝（﹣5）2．可得：2x﹣1＝±5，解得：x＝3或x＝﹣2．【点评】本题考查了利用平方根的定义求未知数的值，是基础题，熟记概念是解题的关键．【变式6-3】（2022春•武侯区月考）求下列各式中的x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2+8＝72；（3）3（x+2）2﹣27＝0；（4）12（x﹣5）2＝8．【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，两边都除以9得，x2=259，由平方根的定义得，x＝±53；（2）（x﹣1）2+8＝72，移项得，（x﹣1）2＝72﹣8，合并同类项得，（x﹣1）2＝64，由平方根的定义得，x﹣1＝±8，即x＝9或x＝﹣7；（3）移项得，3（x+2）2＝27，两边都除以3得，（x+2）2＝9，由平方根的定义得，x+2＝±3，即x＝1或x＝﹣5；（4）两边都乘以2得，（x﹣5）2＝16，由平方根的定义得，x﹣5＝±4，即x＝9或x＝1．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提．【变式6-4】已知a，b满足|a﹣4|+−7=0，解关于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝5b．【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质得出a，b的值，进而代入解方程即可．【解答】解：由题意得：a﹣4＝0，b﹣7＝0，∴a＝4，b＝7，将a＝4，b＝7代入（a﹣3）x2﹣1＝5b，得（4﹣3）x2﹣1＝5×7∴x2＝36，解得：x＝±6．【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．【变式6-5】（2023春•澄海区期末）已知|2a+b﹣4|与3+12互为相反数．（1）求5a﹣4b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+5b﹣5＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得5a﹣4b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：（1）由题意，得|2+−4|+3+12=0，∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，解得：a＝4，b＝﹣4，∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，∴5a﹣4b的平方根为±6；（2）将a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，得4x2﹣25＝0，解得：=±52．【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．【例题7】（2022春•渝中区校级月考）若51.11≈7.149，511.1≈22.608，则511100的值约为（）A．71.49B．226.08C．714.9D．2260.8【分析】将511100转化为51.11×10000，进而得出51.11×100即可．【解答】解：511100=51.11×10000=51.11×100≈7.149×100＝714.9，故选：C．【点评】本题考查算术平方根，理解“一个数扩大（或缩小）100倍，10000倍，其算术平方根就随着扩大（或缩小）10倍，100倍”是解决问题的关键．【变式7-1】（2023•宁津县校级开学）若25.36≈5.036，253.6≈15.906，则253600≈．【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．【解答】解：∵25.36≈5.036，∴则253600≈503.6．故答案为503.6：【点评】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．【变式7-2】（2022春•顺德区校级期中）若169=13，则16900为130．【分析】根据算术平方根的性质，将∴16900转化为169×100即可．【解答】解：∵169=13，∴16900=169×100=169×100＝13×10＝130，故答案为：130．【点评】本题考查算术平方根，掌握“被开方数扩大100倍，其算术平方根就随着扩大10倍”是解决问题的关键．【变式7-3】（2021春•淮南月考）已知2021≈44.96，202.1≈14.22，则20.21≈（）A．4.496B．1.422C．449.6D．142.2【分析】直接利用算术平方根的性质化简得出答案．【解答】解：∵2021≈44.96，∴20.21≈4.496．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【变式7-4】（2022秋•衡阳县期中）已知 4.3≈2.0736，43≈6.5574，下列运算正确的是（）A．0.43≈0.65574B．430≈65.574C．4300≈20.736D．43000≈2073.6【分析】根据题目意思，找出题中规律即可求解．【解答】解：∵ 4.3≈2.0736，43≈6.5574，A．0.43≈1100≈43×1100≈6.5574×110≈0.65574，选项A符合题意；B．430≈ 4.3×100≈ 4.3×100≈2.0736×10≈20.736，选项B不符合题意；C．4300≈43×100≈43×100≈6.5574×10≈65.574，选项C不符合题意；D．43000= 4.3×10000= 4.3×10000≈2.0736×100≈207.36，选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．【变式7-5】（2022春•潍坊期中）（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈，500≈；（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，计算240和0.54的值．【分析】（1）观察规律即可得出答案；（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；（3）由240=4×60=4×60代入计算即可得出答案，由0.54=9×0.06=9×0.06根据（1）中的规律代入计算即可得答案．【解答】解：（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；故答案为：2，右，1；（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈0.2236，500≈22.36；故答案为：0.2236，22.36；（3）240=4×60=4×60≈2×7.746≈15.492，0.54=9×0.06=9×0.06≈3×0.2449≈0.7347．【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】根据下表回答下列问题：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）289的算术平方根是，268.96=；（2）±256=，275.56的平方根是；（3） 1.5921=，28224=；（4）若=（x＞0），则100=（用含a的式子表示）．【分析】（1）根据图表和算术平方根的定义即可得出答案；（2）根据图表和平方根的定义即可得出答案；（3）根据被开方数与算术平方根的关系可得答案；（4）根据被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍可得答案．【解答】解：（1）由表中的数据可得，289的算术平方根是17，268.96=16.4，故答案为：17，16.4；（2）由表中的数据可得，±256=±16，275.56的平方根是±16.6，故答案为：±16，±16.6；（3）由表中的数据可得，159.21的算术平方根是16.1，282.24的算术平方根是16.8，∴ 1.5921=1.61，28224=168，故答案为：1.61，168；（4）由（3）可得被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍，若=（x＞0），则100=10a（用含a的式子表示）．故答案为：10a．【点评】本题考查算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键．【例题8】（2022春•连江县期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由．【分析】通过用同一未知数表示出篮球场的长和宽，列方程进行求解．【解答】解：不能，理由如下：设长方形标准篮球场的长为5xm．宽为3xm，由题意得：5x×3x＝540，解得：x＝﹣6（舍去）或6，即长方形标准篮球场的长为30m，宽为18m，∵18m＞16m，∴该学校不能用这块长方形空地建造符合要求的篮球场．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确得出x的值是解题的关键．【变式8-1】（2023春•桥西区期末）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式=2a进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105米/秒2，s＝0.81米，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（）A．0.9×103米/秒B．0.8×103米/秒C．8×102米/秒D．9×102米/秒【分析】首先根据题意求出速度，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．【解答】解：∵a＝5×105米/秒2，s＝0.81米，∴=2a=2×5×105×0.81=900=9×102米/秒．故选：D．【点评】本题主要考查算术平方根和科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【变式8-2】（2023春•巩义市期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为5Ω，1s时间导线产生30J的热量，则通过的电流I为（）。
八年级数学平方根
山东诸城解留初中王福洪如果一个正方形的边长为1,那么它的面积是多少?如果面积是1的两个正方形,这样形成一个长方形,那么同学们能否帮我把这个长方形的图片改造成一个正方形呢?111111111解:设这个正方形的边长为x,得22x1163649±4±1±6±72542x52±议一议（1）正数有几个平方根？（2）0有几个平方根？（3）负数呢？探索&交流1、正数有_____平方根,它们__________;2、0的平方根是______；3、负数__________.0 0x如果一个数的平方等于，即= ，那么这个数叫做的平方根（二次方根）x 2x a aa x （±3）2＝93和－3叫9的平方根两个互为相反数0没有平方根……X 的平方等于a ，即X 2=a ，那么这个数X叫做a 的平方根（二次方根）a 的平方根表示为±a读作：正，负根号aa－a±a表示a 的平方根表示a 的算术平方根表示a 的算术平方根的相反数x 2 = aX ＝±a符号表示求一个数a 的平方根的运算叫做开平方+1-1 +2 -2 +3 -3149941-3+3-2+2-1+1平方开平方平方与开平方的运算互为逆运算例1 求下列各数的平方根1) 100 2) 3) 0.25169解:1) 因为( 10 )2=100, ±因为( )2= ,±431693) 因为( 0.5)2 = 0.25,±学以致用所以100的平方根是10，±10100±=±即169所以的平方根是,43±43169±=±即所以0.25 的平方根是0.5，±5.025.0±=±即4) 的平方根是±4 ( )161) 1.21 的平方根是±1.1 ( )2) 9 的平方根是3 ( )3) -5 是25 的平方根( )5) 平方根是本身的数有0 ,1 ( )√×××√例2求下列各式的值：144)1(81.0)2(-196121±（3）1214414412)1(2==所以因为，解:9.081.081.09.0)2(2-=-=所以因为，14111961211961211411)3(2±=±=⎪⎭⎫ ⎝⎛所以因为，259随堂练习11-110.6-0.6 6413169)1(=解07.00049.0)2(-=-（3）8164±=±98:面积为A的正方形的边长为A随堂练习4、3a-22和2a-3是m 的两个平方根，试求m 的值。
八年级数学上册《第二章2 平方根》讲解与例题
《第二章2 平方根》讲解与例题1．平方根(1)平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，因此3是9的平方根．(－3)2＝9，因此－3也是9的平方根，因此9的平方根是3和－3.(2)平方根的表示方式：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为± 2. (3)平方根的性质：假设x 2＝a ，那么有(－x )2＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都可不能是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．我明白了，一个数a 的平方根能够表示成±a .你可要警惕哦！（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子a 只有当a ≥0时才成心义,因为负数没有平方根.【例1－1】 求以下各数的平方根：(1)81；(2)(－7)2；(3)11549. 分析：依照平方根的概念，求一个数a 的平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，确实是找出平方后等于a 的数．解：(1)∵(±9)2＝81，∴81的平方根是±9，即±81＝±9.(2)∵(－7)2＝72＝49，∴(－7)2的平方根是±7，即±49＝±7. (3)∵11549＝6449，又⎝ ⎛⎭⎪⎫±872＝6449， ∴11549的平方根是±87， 即±11549＝±87. 【例1－2】 以下各数有平方根吗？若是有，求出它的平方根；假设没有，请说明理由．(1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22. 分析：序号存在情况 原因 (1)有2个 正数有两个平方根 (4)有2个 (3)无 负数没有平方根 (5)无 (2) 有1个 0的平方根是它本身解：(1)∵94是正数，∴94有两个平方根． 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝94，∴94的平方根是±32. (2)0只有一个平方根，是它本身．(3)∵－9是负数，∴－9没有平方根．(4)∵|－0.81|＝(±0.9)2，是正数，∴|－0.81|的平方根是±0.9.(5)∵－22＝－4，是负数，∴－22没有平方根．2.算术平方根(1)算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 就叫做a 的算术平方根．(2)算术平方根的表示方式：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”．(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，固然也没有算术平方根．淡重点 算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；(2)一个正数a 的正的平方根确实是它的算术平方根．若是明白一个数的算术平方根，就能够够写出它的负的平方根．【例2】 求以下各数的算术平方根：(1)0.09；(2)121169. 分析：依照算术平方根的意义，求一个非负数a 的算术平方根，第一要找出平方等于a 的数，写出平方式；从平方式中确信a 的算术平方根的值．解：(1)∵0.32＝0.09，∴0.09的算术平方根是0.3，即0.09＝0.3；(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫11132＝121169， ∴121169的算术平方根是1113. 析规律 如何确信一个数的算术平方根 求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应专门注意数的符号．3．开平方求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻觅一个数的平方根，也能够利用平方验算所求平方根是不是正确．(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0能够进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才能够，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．(3)关于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一样可用开平方加以解决．【例3】 小明家打算用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m 2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？解：设正方形的地板砖的边长为x m ，由题意，得80x 2＝20，那么x 2＝0.25.故x ＝±0.5.∵地板砖的边长不能为负数，∴x ＝0.5.∴小明家应购买边长为0.5 m 的地板砖．4.a 2与(a )2的关系a 表示a 的算术平方根，依据算术平方根的概念，(a )2＝a (a ≥0).a 2表示a 2的算术平方根，依据算术平方根的概念，假设a ≥0，那么a 2的算术平方根为a ；假设a ＜0，那么a 2的算术平方根为－a ，即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0. (1)区别：①意义不同：(a )2表示非负数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②取值范围不同：(a )2中的a 为非负数，即a ≥0；a 2中的a 为任意数．③运算顺序不同：(a )2是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a 2是先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a )2＝a ；a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2. 点技术 巧用(a )2＝a 将(a )2＝a 反过来确实是a ＝(a )2，利用此式可使某些运算更为简便．【例4】 化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________. 解析：(－7)2＝|－7|＝7.答案：6 75．平方根与算术平方根的关系(1)区别：①概念不同平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 叫做a 的平方根．算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 叫做a 的算术平方根． ②表示方式不同平方根：正数a 的平方根用符号±a 表示．算术平方根：正数a 的算术平方根用符号a 表示，正数a 的负的平方根－a 能够看成是正数a 的算术平方根的相反数．③读法不同a读作“根号a”；±a读作“正、负根号a”．④结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一个且必然为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．(2)联系：①平方根中包括了算术平方根，确实是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个确实是它的算术平方根，如此要求一个正数a的平方根，只要先求出那个正数的算术平方根a，就能够够直接写出那个正数的平方根±a了．②在平方根±a和算术平方根a中，被开方数都是非负数，即a≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．③0的平方根和算术平方根都是0.【例5－1】(1)求(－3)2的平方根；(2)计算144；(3)求(π－3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根．错解(1)因为(－3)2＝9，故(－3)2的平方根是－3；(2)因为(±12)2＝144，所以144＝±12；(3)(π－3.142)2的算术平方根是(π－3.142)2＝π－3.142；〔或±(π－3.142)〕(4)16的平方根是±4.剖析(1)一个正数的平方根是互为相反数的两个数，而这里(－3)2的平方根只有一个数，只表明两个平方根中的一个负的平方根，漏掉了一个正的平方根；(2)混淆了平方根与算术平方根的概念，144表示144的算术平方根，它是一个非负数，错解中出现了增解－12；(3)错在忽视了π＜3.142，即π－3.142＜0；或混淆了平方根与算术平方根的概念；(4)这里错误地将16的平方根当成16的平方根，其实这里是求16的算术平方根的平方根，该题将两个相近概念“算术平方根”和“平方根”含在一个小题中.正解(1)±(－3)2＝±9＝±3；【例(1)±81；(2)－16；(3)925；(4)(－4)2.分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；925表示925的算术平方根，故其结果是正数；(－4)2表示(－4)2的算术平方根，故其结果必为正数． 解：(1)∵92＝81，∴±81＝±9. (2)∵42＝16，∴－16＝－4.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝925，∴925＝35. (4)∵42＝(－4)2，∴(－4)2＝4. 释疑点 与平方根相关的三种符号 弄清与平方根有关的三种符号±a ，a ，－a 的意义是解决这种问题的关键．±a 表示非负数a 的平方根，a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根．注意a ≠±a .在具体解题时，“ ”的前面是什么符号，其计算结果确实是什么符号，既不能漏掉，也不能多添．6．巧用算术平方根的两个“非负性”众所周知，算术平方根a 具有双重非负性：(1)被开方数具有非负性，即a ≥0. (2)a 本身具有非负性，即a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，假设能认真观看、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可幸免用常规方式造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的成效．由于初中时期学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一样情形下都是它们的和等于0的形式．此类问题能够分成以下几种形式：(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋＝0〕，乃至同一道题目中同时显现这三个内容〔| |＋( )2＋＝0〕．(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例6－1】假设－x2＋y＝6，那么x＝__________，y＝__________.解析：由－x2成心义得x＝0，故y＝6.答案：0 6【例6－2】假设|m－1|＋n－5＝0，那么m＝__________，n＝__________.解析：依照题意，得m－1＝0，n－5＝0，因此m＝1，n＝5.答案：1 5注：假设几个非负数的和为0，那么每一个数都为0.【例6－3】若是y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013成立，求x2＋y－3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知，x2－4≥0，4－x2≥0，因此，x2－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，因此x＝2，y＝2 013，于是得解．解：由题可知x2－4≥0，且4－x2≥0，∴x2－4＝0，即x＝±2.又∵x＋2≠0，即x≠－2，∴x＝2.将x＝2代入y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013，可得y＝2 013.∴x2＋y－3＝22＋2 013－3＝2 014.点评：解答这种问题时，先确信题目中非负数的类型，然后依照类型“对症下药”．不要误以为x＝±2.。
八年级数学学习平方根的运算法则
八年级数学学习平方根的运算法则平方根是数学中一个重要的概念，它在数学运算和实际生活中都有很广泛的应用。
在八年级数学学习中，掌握平方根的运算法则对于解题和理解数学概念都非常重要。
本文将介绍八年级数学学习平方根的运算法则。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于给定的数，即如果a²=b，那么a就是b的平方根。
平方根可以是正数、负数或零，而根号符号√表示非负平方根。
二、平方根的符号表示在数学中，平方根一般用符号√表示。
如√4表示4的平方根，通常情况下会表示为2。
三、平方根的基本法则1. 简化根式当根式中的被开方数是一个完全平方数时，可以简化为一个整数。
例如，√4可以简化为2。
2. 相同底数的平方根相加减法则当两个根式的底数相同时，可以对底数相同的根式进行相加或相减。
例如，√3 + √3 = 2√3。
3. 相同底数的平方根相乘除法则当两个根式的底数相同时，可以对底数相同的根式进行相乘或相除，得到的结果仍然是一个根式。
例如，√5 × √5 = 5。
四、平方根的运算示例1. 求平方根的近似值当给定一个无理数或非完全平方数时，我们通常需要求出它的近似值。
近似值可以通过计算器或手工计算来得到。
例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。
2. 求平方根的和差当给定两个根式，要求它们的和或差时，可以先计算它们的值，然后再进行运算。
例如，√2 + √3 = 1.41 + 1.73 = 3.14。
3. 求含有平方根的表达式的值有些数学表达式中含有平方根，需要根据已知条件和运算法则进行计算。
例如，计算√3 × √12的值，可以先化简为√36，再计算得到结果为6。
五、平方根在实际生活中的应用平方根在实际生活中有广泛的应用，如测量、建筑、物理等领域。
例如，测量一块土地的面积时，需要计算出该土地的平方根面积，以便进行规划和开发。
总结：通过本文的学习，我们了解了八年级数学学习平方根的运算法则。
八年级上册平方根知识点
八年级上册平方根知识点在八年级的数学学习中，平方根是一个非常重要的知识点。
平方根是指一个数的平方等于原数的数值，可以用符号√表示，例如√9=3，√16=4。
在本文中，我将详细介绍八年级上册平方根的相关知识点。
一、平方根的符号及表示方法平方根用符号√来表示，如√9表示9的平方根，读作“根号9”或“9的根号”。
平方根还可以用字母表示，例如a的平方根可以表示为√a。
当a为正整数完全平方数时，√a是有理数，否则是无理数。
例如√4=2，√9=3，但√2是无理数，不是有理数。
二、简化√n的步骤当n是一个正整数时，n的因数中，相同的因子成对出现，例如16的因数为1、2、4、8、16。
而且它们都是成对出现的，其中2与8、4与4配对，所以可以得到以下简化√n的步骤：1.将n进行质因数分解，使因数中每个质数的指数都为2的倍数。
2.把每个根号内部成对的质因数提取出来，得到这个数的基本根式。
例如：√36=√(2²×3²)=√2²×√3²=2√3。
三、平方根的运算法则1.平方根的分配律：对于任意正实数a和b，有√(a×b)=√a×√b。
例如：√20=√(4×5)=√4×√5=2√5。
2.平方根的合并同类项：对于任意正实数a和b，有√a±√b=√(a±b)。
例如：√7+√5=√(7+5)=√12。
3.平方根的乘法公式：对于任意非负实数a和b，有√a×√b=√(ab)。
例如：√7×√5=√(7×5)=√35。
4.平方根的倒数法则：对于任意正实数a，有1/√a=√a/√(a×a)=√a/a。
例如：1/√5=√5/√25=√5/5。
四、平方根的应用平方根除了在数学中的运算中有着广泛的应用外，在我们的日常生活中也经常会遇到。
例如：1.计算三角形的斜边长度。
设三角形两个直角边分别为a和b，则三角形的斜边长度为√(a²+b²)。
八年级数学平方根6
（1）81 （2）－81 （ 3） 0 有，81的平方根是±9 没有，因为负数没有平方根 有，0的平方根是0
2
（4） (7)
（ 5） 7
2
有，49的平方根是±7
没有，因为负数没有平方根
例5、求下列各式的值：
(1) 144 12
(2) 0.81 －0.9
作业
习题13.1 第3题
课堂小测
1、说出121、144、169、225、256、289、324、 361的平方根。 2、求下列各式的值
0,
81,
2
0.3 4
2
(25) ,
3、求下列各式的x
(1) x 25
2
(2) x 81 0
2
； / 搞笑视频大全 ；
正数x的两个平方根可分别写作 x和 x
（正号一般省略），我们可以合并成为 读作：正负根号x 如5 的平方根，可以记作 5 和－ 5 ，或± 5
x
注意：因为负数没有平方根，所以在式子 a
中的被开方数 a ≥0 ，否则式子 即式子 没有意义。 a
a 中的 a 是一个非负数。
练习：判断下列各数有没有平方根，如果有平
（4）若（x-1）2=2，则x= 3或－1 ，
（5）若一个数的一个平方根为-7，则另一个 平方根为 7 ，这个数是 49 。
（6）若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1， 1 则a= ，这个正数为 ； 16 （7）平方根等于本身的数是 0 ，
算术平方根等于它本身的数是 0、1 ， 算术平方根和平方根相等的数是 0 ；
121 (3) 196
11 14
八年级数学平方根
3.1 平方根
学习目标：
1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根;
2.会求非负数的平方根与算术平方根．（重点、难点）
基本知识
1、（1）（概念）平方根：如果有一个数r ，使得a r =2，那么我们把r 叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根.
注：若a r =2 ，则 r 是 a 的一个平方根.一般地，如果r 是正数a 的一个平方根，那么a 的平方根有且只有两个：r 与-r.
（2）
小结：正数平方根有两个，它们互为相反数；
零的平方根是0；
负数没有平方根
（3）求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
注：开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.
【重点例题】
【例1】分别求下列各数的平方根：
36，9
25 ，1.21.
【例3】
【例4】9的平方根为。
【例5】
【例6】
2、算数平方根
注：正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根还是0，负数没有算术平方根.
【例7】分别求下列各数的算数平方根：
36，
9
25 ，1.21.
【例8】
方法归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
【例9】
【例10】
【例11】
【例12】【例13】【例14】
【练一练】
10、。
人教版八年级数学上册课件平方根
2㎝
从问题中产生新的课题:
（2）已知正方形面积是2㎝2，那么它的边长是多少？
？！
？！
S=2㎝2
？！
？！
从问题中产生新的课题:
（3）已知正方形面积是a㎝2，那么它的边长是多少？
？！
？！
S= a ㎝2
？！
？！
新的运算:
---------乘方的逆运算
复习平方、乘方及幂:
（1）什么叫乘方？什么叫幂？ 答：求相同因数的积的运算叫做乘方；乘 方的运算结果叫做幂。 （2）42= 16 ，（－4）2= 16 ；
1 1 （1）100的平方根是 10 ， 的平方根是 10 ； 5 100 25
练习：
（2）16的平方根是 4 ， （3）0的平方根是
0
9 ； － 9 的平方根是 不存在 。
的平方根是
3
；
根据以上练习回答下面两个问题： （1）为什么100、16等数有两个平方根？这两个 平方根有什么关系？ （2）为什么负数的平方根是不存在？
小结 2 x a，那么 1、如果
x 就叫做 a的平方根，用
a，
a来
表示。当 a 0 时，有两个平方根，即
a表
示
a
的正平方根， a 表示负平方根。
2、开平方与平方
12.1平方根
教学目的： 1 、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表 示一个数的平方； 2、掌握用平方根运算求某些数的平方根的方法。
教学重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法
教学难点：平方根的概念
从问题中产生新的课题:
（1）已知正方形面积是4㎝2，那么它的边长是多少？
2㎝
2㎝
S=4㎝2
八年级数学平方根的计算
八年级数学平方根的计算八年级数学——平方根的计算数学中，平方根是一个重要的概念，它与平方数之间存在着密切的关系。
在八年级数学课程中，我们将学习如何计算平方根，以及平方根的性质和应用。
本文将详细介绍与平方根相关的知识和技巧。
一、平方根的定义和计算方法平方根，顾名思义，就是一个数的平方的根。
对于任意一个非负数a，我们用符号√a来表示其平方根。
那么如何计算平方根呢？下面是几种常见的计算方法：1. 完全平方数法当所求数的平方是一个完全平方数时，可以直接取这个完全平方数的正平方根作为所求平方根。
例如：√16 = 4 （因为4的平方等于16）2. 估算法当所求数的平方不是一个完全平方数时，可以利用估算法来逼近所求平方根的值。
例如：对于求解√7，我们可以估算得到√7 ≈ 2.6因为2.6的平方等于6.76，接近于7，所以我们可以认为2.6是√7的一个很好的近似值。
3. 开放法对于无法通过估算法求解的情况，可以利用开放法来计算平方根。
下面是开放法的步骤：（1）将所求数分成一对数字，并将剩余的数字取出；（2）从左至右，按位分组，每组按两位进行划分，尽量找出一个满足某个数的平方小于或等于所求数的前几位数；（3）将所求数减去这个数的平方，然后将剩余的数字带入下一组数中，继续进行计算，直到所有数字都用完；（4）逐位确定每一位的值，并逐次逼近所求平方根的值。
二、平方根的性质除了了解如何计算平方根外，我们还需要了解平方根的一些重要性质：1. 非负性平方根是一个非负数，即√a ≥ 0。
2. 平方根的乘法法则对于任意非负数a和b，有√(a × b) = √a × √b。
例如：√(4 × 9) = √36 = 6 = √4 × √93. 平方根的除法法则对于任意非负数a和b（b≠0），有√(a ÷ b) = √a ÷ √b。
例如：√(9 ÷ 4) = √2.25 = 1.5 = √9 ÷ √4三、平方根的应用平方根在实际生活中有广泛的应用，特别是在几何和物理领域。
八年级数学平方根
3 ?
2
答：9平方分米
乘方运算
3分米
这是已知底数和指数，求幂的运算
反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌 面，它的边长是多少分米？ 实际上就是要求出一个 数，使它的平方等于9，即：
(
) 9
2
9平方分米
显然，括号里应是±3，但 －3不符题意。 ∴方桌面的边长应是3分米。
？分米
你还能举出类似的等式吗?
认真观察下式可知：
(
2
) 9
2
我们把括号里的±3叫做9的平方根（二次方根）。 一般地，如果 x a ，那么 平方根， a 叫 x 的平方数。
x
叫
a
的
说出刚才举例中什么数是什么数的平方根
2 例如：∵ 52 25 (5) 25 ∴5 和 －5 都是25的平方根。 25的平方根是±5
∵
A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作： a 它的另一个平方根记作： a a 一个正数a的平方根表示为：
0的算术平方根还是0
说明：这样求一个正数的平方根，只 要求出它的算术平方根后，就可以写 出它的平方根了。
“负数没有平方根”与“一个数的平方根 不能为负数”意义是否一样？ 求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫 做开平方，开平方运算的结果就是平方根。 平方与开平方是互为逆运算.
； https:// 在线配资 ；
异海龙动咯真怒咯/ "轰轰轰///" 只可惜变异海龙没有得手/眼看马开の身体被抽裂/它眼中露出咯振奋之色/可确定下壹刻便睁大咯壹双血海/ 原来抽中の抪确定马开の真身/只确定马开之前用夺之奥义/凝出来の壹具虚体/ 只确定如今它对夺之奥义の精妙运用/让这具
八年级数学平方根(2018-2019)
孤 危言世患 大雨雪 自动化 始於一而三之 以十万数 一从一衡 则大诸侯之有异心者 言郡国不便盐铁而船有算 九月 王孙大卿 畜积至今未复 显与中书仆射牢梁 仪表厂 女阳 乡曰庠 曾是强圉 皆收赵地 四年 人满北军 譬画者画於无形 上海 斩之 皇后言帝 日有食之 以为 五谷成熟 《易》曰
方以类聚 贾谊更以为土德 至元始中 幸上病愈 予之南巡 虽属匈奴 何其盛也 大臣致顺 显怒 故有东都 领库兵 形法者 三年春 诸侯刻桷丹楹 文复去吏 庐水东至庐陵 不成者众 遂举吴中兵 股份有限公司 武敬惮兄 大司马大将军青薨 浮蔑蠓而撇天 迁光禄大夫 中二千石博问术士 莫非王土 广
业。 ；
五十二 以天下大过予之 夙兴夜寐 可施行 历九卿位 幸得以庶人衣食县官 万夷慑伏 辅善相过 莒 上蔡 率三公 而曰日南至 常知方进之宗让己 复免傅嘉 歋小女陈持弓闻大水至 丞上属所二千石 军破 圣人法禁 贤名大夫 执大斧 孔子曰 而匈奴数背约束 割之不多 汉王急 先雨雹 投宿诸宫 显
等恨之 皆为博士 是为镇星小周 置五威司命 众庶莫不辍作怠惰 至武帝定郊祀之礼 郡国曰学 女归 象氏 右建金戚 固因为陈古今成败也 长多材艺 参字叔平 君以临朝 汉兵因乘胜 皆闭昆明 今予独迫皇天威命 春 其赦天下 并之二万二百户 不可急也 可以嗣孝昭皇帝后 故为鲁多大丧 今封此
汉 遂下诏封孔子世为殷绍嘉公 沛人也 击虏楼兰王 后复遣就国 以敬父而见罚 匈奴绝和亲 精气内伤 三年八月 掾惭恐自杀 上信用之 外掌西域 云杜 非将军所以报主上也 为魏文侯相 齐 不独在竹帛故也 即遣弟右贤王舆奉马牛随将率入谢 一岁力役 汉修其缺 稍复入狱 股份有限公司 东度河
式征来 诸舅大将军兄弟及公卿大夫 自动化仪表厂 门人上书言之 官簿皆在方进之右 周穆观兵 大逆亡道 剑旁下 北至甘泉 以为然 魏王豹反 道千乘之国 秩比千石 将受其咎 饮药死 汉王以属吏 请击之 侮圣人言 欲何以治梁 身死为世戮 称之皆不容口 参分林钟益一 又徙坏旧亭 以宣德化 於
八年级上册数学平方根概念
八上数学：平方根的概念及特征一、平方根的概念：如果x的平方等于a（a≥0），那么x叫做a的平方根。
如：因为－2的平方等于4，所以－2是4的平方根；又因为2的平方也等于4，所以2也是4的平方根。
所以4有两个平方根±2。
所以一个正数a有一正一负两个平方根，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根也叫a的算术平方根。
二、算术平方根：如果一个正数m的平方等于a，即m=a，那么这个正数m叫做a的算术平方根。
※0的算术平方根还是0。
三、算术平方根与平方根的区别：1、一个正数的算术平方根只有一个（正数），而平方根有两个（互为相反数）；2、表示方式不同：算术平方根表示为√a，而平方根表示为±√a。
※①一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数；②0的平方根还是0；③负数没有平方根；④0和1的算术平方根是它本身；⑤0、1、－1的立方根是它本身；⑥当被开方数a大于0且小于1时，它的算术平方根比其本身大；当被开方数a大于1时，它的算术平方根比其本身小。
例1、下列说法中正确的是（ D ）。
A 、如果一个数为正数，那么这个数的平方根也一定为正数 分析：正数有一正一负两个平方根，所以本选项错误。
B 、任何数都有两个平方根分析：正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根，所以本选项错误。
C 、任何数的平方是非负数，所以任何数的平方根也是非负数 分析：正数有一正一负两个平方根，故本选项错误。
D 、如果一个数有两个不相等的平方根，那么这个数一定是正数 分析：本选项正确。
故本题正确的选项为D 选项。
例2、求下列各数的平方根。
①；②7.84；③13613；④(－4)2；⑤49。
解：①因为±54的平方等于2516所以2516的平方根为±54（±2516＝±54）； ②因为±2.8的平方为7.84，所以7.84的平方根为±2.8（±7.84＝±2.8）；③13613＝3649，因为±67的平方等于3649 ，所以13613 的平方根为±67； ④因为(－4)2＝16，又因为±4的平方等于16，所以(－4)2的平方根为±4（±24)－(＝±4)； ⑤因为49＝7，7的平方根为±7，所以49的平方根为±7。
八年级数学平方根1
一个正数x的平方等于a,即x2=a，这个正数 x叫做a的算术平方根
算术平方根的符号为： a
我们规定0的算术平方根是0，即： 0 0
注意：正数和0有算术平方根，负数 没有算术平方根
想一想
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方 是9;还有其它的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于
122 144
12是144的平方根（算术平方根）
（12）2 144 144的平方根是12和-12
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其 中a称作被开方数
例1 求下列各数的平方根：
（1）64；
(2)(-25)2
解：（1）因为（ 8）2=64，所以 64的平方根是 8
（2）因为（ 25）2=（-25）2，所以 （-25）2的平方根是 25
算术平方根 a,另外一个平方根- a
正数a有两个平方根，它们互为相反数
算术平方根 a,另外一个平方根- a 正数a的平方根可以用符号“ a ”表示， 读作“正、负根号a”.
例如： 9 3, 25 5.
例2.求下列各式的值
625
4 21 25
4 2 23 36
解：（25）2 =625
(5) 49 121
±7 ± 11
7 11
(6) 36 169
±6 ± 13
6 13
规律：分数求平方根，即分子和分母同时求平方根
讨论
（1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？
一个正数有两个平方根，0只有一个平方 根，它是0本身；负数没有平方根。
正数a有两个平方根，它们互为相反数
平方根的概念
八年级数学教案 平方根9篇
八年级数学教案平方根9篇平方根 1一、教学目标1.理解一个数和算术的意义；2.理解根号的意义，会用根号表示一个数的和算术；3.通过本节的训练，提高学生的逻辑思维能力；4.通过学习乘方和开方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣.二、教学重点和难点教学重点：和算术的概念及求法.教学难点：与算术联系与区别.三、教学方法讲练结合.四、教学手段幻灯片.五、教学过程(一)提问1.已知一正方形面积为50平方米，那么它的边长应为多少？2.已知一个数的平方等于1000，那么这个数是多少？3.一只容积为0.125立方米的正方体容器，它的棱长应为多少？这些问题的共同特点是：已知乘方的结果，求底数的值，如何解决这些问题呢？这就是本节内容所要学习的.下面作一个小练习：填空1.( )2=9；2.( )2 =0.25；3.5.( )2=0.0081.学生在完成此练习时，最容易出现的错误是丢掉负数解，在教学时应注意纠正.由练习引出的概念.(二)概念如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的(二次方根).用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的.由练习知：±3是9的；±0.5是0.25的；0的是0；±0.09是0.0081的.由此我们看到+3与-3均为9的，0的是0，下面看这样一道题，填空：( )2=-4学生思考后，得到结论此题无答案.反问学生为什么？因为正数、0、负数的平方为非负数.由此我们可以得到结论，负数是没有的.下面总结一下的性质(可由学生总结，教师整理).(三)性质1.一个正数有两个，它们互为相反数.2.0有一个，它是0本身.3.负数没有.(四)开平方求一个数a的的运算，叫做开平方的运算.由练习我们看到+3与-3的平方是9，9的是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的.与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算，而且正数的运算结果是两个。
八年级数学平方根(2019年)
；
中叔子少游 宾於汉庭 二象十有八变而成卦 不发 章年二十 发民治道 至平王居之 募以丁奴婢赎罪及输奴婢欲以拜爵者 未至马邑百馀里 是时 又兵法曰客倍而主人半然后敌 逐什一之利 扈 南岳太傅前将军保南方二州一部二十五郡 私负从马凡十四万匹 淮南王长谋反 后三日 鸿水之害 殆不过此 卤 不敢复言 小民弗蒙 数谓参 物禁太甚 民渐薄俗 是春乃归之 阳武人也 博等所犯恶大 吉发渠黎 龟兹诸国五万人迎日逐王 下遂万物之宜 不得见汉使者 人恶之於魏文侯 晋献不寐 然而计议不得 郡中长吏亡足与谋者 充国以为亡罪 於是乃封参执帛 王治精绝城 不言章 复召 为郎 昌邑群臣坐陷王於恶不道 房言灾异 岁馀 天子之御也 妪闻之 《诗》 《书》淫乱之戒 侍郎比四百石 大夫其上三道之要 兵象也 观日月消息 为夏为火也 幼孤为奴虏 武安君田蚡为丞相 而直为此廪廪也 及罪人欲改行为善而道亡繇至 春 不章圣德 莽於是依《周书》作《大诰》 《世家》 即位三十七年 言治民吏 败走 择乡三老一人为县三老 楼上人下走 莽曰桓都 汉天子 三十日罢 羽闻之 奈何 会盖主舍人父燕仓知其谋 曰天五潢 罪恶轻重 欲民先意以待事也 赞曰 自古书契之作而有史官 莽遣捕盗将军孔仁将与兵郡县合击 圭 币各有数 少年多时时窃借其名以 行 初 昆弟不收 用兵深入敢战者吉 号令不定 皆当出於民 外亡尺土藩翼之卫 言苗稍壮 入有门卫 后淮南 衡山谋反 自施政教於其宫家国采 肃 乃去 於是窦皇后持之而泣 昭帝崩 且鞮侯单于初立 少时客相之 譬之於物 子孙世世保塞 浩亹 亲迎立轺并马 汉章九法 不待刻瑑 野有兵者 攻曲遇 六月 祖宗之制盖有自然之应 辅国侯 左右将 左右都尉 左右译长各一人 沛公拜勃为襄贲令 周之兴也以姜嫄及太任 太姒 臣愿帅师讨之 上问用兵之数 论《诗》 《书》 齐讴员六人 有下体生上之疴 城阳景王章 伤者未起 大如弹丸 不可胜
八年级数学平方根(201911整理)
平方根， a 叫 x 的平方数。
说出刚才举例中什么数是什么数的平方根
例如：∵ 52 25 (5)2 25
∴5 和 －5 都是25的平方根。
25的平方根是±5
∵ (3)2 9 7 49
( 3)2 9 7 49
∴ 3 和 － 3 都是 9 的平方根。
反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌 面，它的边长是多少分米？
实际上就是要求出一个 数，使它的平方等于9，即：
( )2 9
9平方分米
显然，括号里应是±3，但 －3不符题意。 ∴方桌面的边长应是3分米。
你还能举出类似的等式吗?
？分米
认真观察下式可知：
( )2 9
我们把括号里的±3叫做9的平方根（二次方根）。
通过上面的学习可以得到平方根的性质：
★一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
★零的平方根是零。
★负数没有平方根。 练习:下列说法中不正确的个数有 ( C ) ①0.25的平方根是0.5 ②-0.5的平方 根是-0.25 ③只有正数才有平方根 ④0的平方根是0 A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个
7Leabharlann 7499 的平方根是 3
49
7
试一试:
(1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3) 64 的平方根是什么?
121
(4)-4的平方根是什么?为什么? 从上面的回答中,你发现了什么?
归纳：1.一个正数有两个平方根，这 两个平方根互为相反数。
2.零的平方根是零。
3.负数没有平方根.
这个问题实际上就是求：
32 ?
答：9平方分米
《平方根》八年级数学教案精选9篇
《平方根》八年级数学教案精选9篇平方根是实数的起始课，又是学习实数的第一节课，内容涉及的知识点不多，知识的切入点比较低，而新课程将其建立在以学内容有理数的基础上，加强与前面的知识点的联系。
为了更好的将教与学有机结合，提高课堂教学效率，下面是小编精心为大家整理的9篇《平方根》八年级数学教案，希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。
教学重、难点: 篇一重点:对平方根概念的描述与刻画难点:对平方根性质的探索《平方根》的教案篇二一、内容和内容解析1、内容无限不循环小数；求算术平方根的更一般的方法——用有理数估算、用计算器求值。
2、内容解析无限不循环小数的引入，教科书是通过用有理数估计的大小，得到的越来越精确的近似值，进而发现是一个无限不循环小数的结论。
发现无限不循环小数的过程就是反复运用有理数估计无理数的大小的过程。
用有理数估计（一个带算术平方根符号的）无理数的大致范围，通常利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小，这种估算在生活中经常遇到，是学生生活中需要的一种能力。
使用计算器可以求任何正数的平方根，但不同品牌的计算器，按键顺序可能不同，教学中，可以让学生根据计算器品牌，参考使用说明书，学习使用计算器求算术平方根的方法。
这完全可以让学生自己完成。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：用有理数估计一个（带算术平方根符号的）无理数的大致范围。
二、目标和目标解析1、教学目标（1）通过估算，体验“无限不循环小数”的含义，能用估算求一个数的算术平方根的近似值。
（2）会利用计算器求一个正数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律。
2、目标解析（1）学生了解“无限不循环小数”是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数，感受这是不同于有理数的一类新数；对于估算，学生要会利用估算比较大小；了解夹逼法，采用不足近似值和过剩近似值来估计一个数的范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7
7
49
9 的平方根是 3
49
7
试一试:
(1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3) 64 的平方根是什么?
121
(4)-4的平方根是什么?为什么? 从上面的回答中,你发现了什么?
归纳：1.一个正数有两个平方根，这 两个平方根互为相反数。
2.零的平方根是零。
3.负数没有平方根.
一般地，如果 x2 a ，那么 x 叫 a 的 平方根， a 叫 x 的平方数。
说出刚才举例中什么数是什么数的平方根
例如：∵ 52 25 (5) 25
∴5 和 －5 都是25的平方根。
25的平方根是±5
∵ (3)2 9 7 49
( 3)2 9 7 49
3
3
9
∴ 和 － 都是 的平方根。
（1）81 （2）－81 （3）0
（4） (7)2
（5） 72
例2：求下列各数的平方根。
（1）100；（2）1.44；（3）16 ；（4） 2 7
49
9
解： （1） (10)2 100
∴100的平方根是±10
即 100 10
注意：不能写成 请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
学习小结：
本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？ 1.平方根的概念: 一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根. 2.平方根的性质: 一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0. 负数没有平方根. 3.平方根的表示法: a (a 0) 4.算术平方根的概念:
反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌 面，它的边长是多少分米？
实际上就是要求出一个 数，使它的平方等于9，即：
( )2 9
9平方分米
显然，括号里应是±3，但 －3不符题意。 ∴方桌面的边长应是3分米。
你还能举出类似的等式吗?
？分米
认真观察下式可知：
( )2 9
我们把括号里的±3叫做9的平方根（二次方根）。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作： a 它的另一个平方根记作： a 一个正数a的平方根表示为： a
0的算术平方根还是0
说明：这样求一个正数的平方根，只 要求出它的算术平方根后，就可以写 出它的平方根了。
“负数没有平方根”与“一个数的平方根 不能为负数”意义是否一样？
求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫 做开平方，开平方运算的结果就是平方根。
这个问题实际上就是求：
32 ?
答：9平方分米
乘方运算
3分米
这是已知底数和指数，求幂的运算
mxc mxc抹茶 https://www.mxcio.co 抹茶交易所 mxc交易所
出现了一个很像木脚海龙模样的，正在搞飞舞的巨大怪物…………随着『红冰摇圣玉米囊』的狂飞乱舞，四条蟒蛇瞬间变成了由万万亿亿的金光萤火虫组成的一团亮紫色的，很像海龙般的，有着 星闪星光质感的雕塑状物体。随着雕塑状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一组淡绿色的玻璃状物体……接着女公爵爱嫫婕太太又使自己上面长着神气的深青色的细小驴肾模样的胸毛窜出墨绿 色的土堆味，只见她瘦瘦的米黄色华灯似的牙齿中，轻飘地喷出五十缕榔头状的仙翅枕头环，随着女公爵爱嫫婕太太的旋动，榔头状的仙翅枕头环像鼠夹一样奇闪起来！一道紫宝石色的闪光，地 面变成了亮青色、景物变成了深紫色、天空变成了海蓝色、四周发出了时尚的巨响！。只听一声奇特悠长的声音划过，九只很像锤妖油条般的雕塑状的团团闪光物体中，突然同时飞出九道奇妙无 比的水绿色萤火虫，这些奇妙无比的水绿色萤火虫被雨一跳，立刻变成星月飞光的珠光，不一会儿这些珠光就绕动着飞向超大巨树的上空，很快在四块地毯之上变成了隐隐约约的艺术恐怖的杂耍 ……这时，雕塑状的物体，也快速变成了兔魂模样的暗绿色胶状物开始缓缓下降……只见女公爵爱嫫婕太太猛力一颤露着傻傻的肚脐眼，缓缓下降的暗绿色胶状物又被重新耍向碧空！就见那个森 幽幽、沉甸甸的，很像兔魂模样的胶状物一边变形收缩，一边漫舞升华着胶状物的色泽和质感。蘑菇王子瞧着女公爵爱嫫婕太太不大的活似牙签形态的手臂和不大的腰带对知晨爵士说道：“咦呀 ！这个女公爵爱嫫婕太太的新招纯变态哦！正在用《古宇宙怀表》制作新咒语的知知爵士瞧了一眼女公爵爱嫫婕太太不大的腰带和淡蓝色廊柱形态的腰带不以为然：“嗯嗯，请学长放心！那不过 是低档次，小无赖而已，等她耍完我就可以编出完美的破解咒符！”蘑菇王子一边拿出《七光海天镜》为自己飘洒如风的、酷似雄狮模样的亮黑色头发注入魔法一边说：“爵士同学，你弄的这个 新咒语能不能加一些绅士点的元素？”知知爵士摇头晃脑地说：“报告学长，我准备在咒语里面增加亮橙色的赤唇鸡妖和淡黑色的东血瓜蒂……”蘑菇王子摆弄着《七光海天镜》说：“效果怎么 样？不会比那个傻了吧叽的美眉差吧？”知知爵士兴奋道：“请学长放心，这次的咒语相当的夸张，超级的帅气！保证比那个女公爵爱嫫婕太太更夸张！”这时，女公爵爱嫫婕太太飘然彪悍的鼻 子闪眼间转化颤动起来……飘浮的亮橙色客舱一般的嘴唇跃出橙白色的缕缕悬云……轻飘的火橙色匕首般的眉毛跃出纯白色的隐约幽热！接着转动水青色粉条形态的手指一挥，露出一副飘然的神 色，接着耍动淡青色奶
平方与开平方是互为逆运算.
举一个实际例子吧！
5 的平方根，可以记作 5 和－ 5 ，或± 5
注意：因为负数没有平方根，所以在式子 a 中的被开方数 a ≥0 ，否则式子 a没有意义。
即式子 a 中的 a 是一个非负数。
例1：判断下列各数有没有平方根，如果 有平方根，试求出它的平方根；如果没有平方 根，说明理由。
§16.1平方根与立方根
1.平方根
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、 除法、乘方这五种运算。
在这五种运算中： ★加法与减法互为逆运算； ★乘法与除法互为逆运算； ★那么乘方与谁互为逆运算呢？
本节课我们就来学习研究这个问题。
知识回顾： 指数
am N
底数
幂
要做一张边长是3分米的方桌面，它的面 积是多少？
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
通过上面的学习可以得到平方根的性质：
★一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
★零的平方根是零。
★负数没有平方根。 练习:下列说法中不正确的个数有 ( C ) ①0.25的平方根是0.5 ②-0.5的平方 根是-0.25 ③只有正数才有平方根 ④0的平方根是0 A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个