人教版高一数学必修四第三章简单的三角恒等变换
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3．2 简单的三角恒等变换
考点 学习目标 核心素养 半角公式 了解半角及其推导过程 逻辑推理 三角恒等变换 灵活运用和差的正弦、余弦公式 进行相关计算及化简、证明
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P139－P142，并思考下列问题： 1．如何用cos α表示sin 2α2，cos 2α2和tan 2α
2？
2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？
1．半角公式
2．辅助角公式
a sin x ＋
b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(其中tan θ＝b
a
)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)半角公式对任意角都适用．( ) (2)cos
α
2
＝
1＋cos α
2
.( ) (3)对于任意α∈R ，sin
α2
＝1
2
sin α都不成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
若cos α＝1
3，且α∈(0，π)，则cos α2
的值为( )
A.
63
B ．－63
C ．±
63
D ．±
33
答案：A
已知cos α＝4
5，α∈⎝⎛⎭
⎫3π2，2π，则sin α2等于( )
A ．－1010
B.1010
C.33
10 D ．－35
答案：B
已知cos θ＝－3
5，且180°＜θ＜270°，则tan θ2
＝________．
答案：－2
应用半角公式求值
已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝12
13，求cos α－β2
的值．
【解】 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝12
13，
所以cos α＝－35，cos β＝5
13
.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×513＋45×1213＝33
65.因为π2＜α＜π且0＜β＜π
2
，
所以0＜α－β＜π，即0＜
α－β2
＜π
2
. 所以cos
α－β
2＝
1＋cos （α－β）
2
＝
1＋
33652＝76565
.
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助
半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用
tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos α
sin α
，其优点是计
算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2 α2
＝1－cos α2，cos
2 α2＝1＋cos α
2
计算．
1．已知sin α＝－4
5且π＜α＜3π2，则sin α2＝________．
解析：因为sin α＝－4
5，π＜α＜3π2，
所以cos α＝－35.又π2＜α2＜3π
4
，
所以sin α
2＝
1－cos α
2
＝ 1＋
352＝255
. 答案：255
2．已知cos 2θ＝－2325，π
2<θ<π，求tan θ2
的值．
解：因为cos 2θ＝－2325，π
2
<θ<π，依半角公式得
sin θ＝
1－cos 2θ
2
＝1＋
23252＝265
， cos θ＝－
1＋cos 2θ
2
＝－1－23252＝－15
， 所以tan θ2＝1－cos θsin θ
＝1＋15265
＝6
2.
三角函数式的化简
化简（1－sin α－cos α）⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α
22－
2cos α
(－π＜α＜0)．
解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2 α
2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22×2sin 2
α2
＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2
－cos α2⎝ ⎛⎭⎪
⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2
＝sin α2⎝ ⎛
⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪
sin α2＝－sin α
2
cos α⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin α2.
因为－π＜α＜0， 所以－π2＜α
2＜0，
所以sin α
2
＜0，
所以原式＝－sin α
2
cos α－sin
α
2
＝cos α.
[变条件]若本例中式子变为
（1＋sin θ＋cos θ）⎝⎛⎭⎫sin θ2
－cos θ
22＋2cos θ(0＜θ＜π)，
则化简后的结果是什么？ 解：原式＝
⎝
⎛
⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2 θ2⎝ ⎛⎭⎪
⎫sin θ2－cos θ24cos 2
θ
2
＝
cos θ2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
sin 2 θ2－cos 2 θ2⎪⎪⎪⎪
⎪⎪cos θ2＝－cos θ
2cos θ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
cos θ2.
因为0＜θ＜π，