第六讲-雷诺输运定理及连续方程_152202812
工程流体力学4章new
故 dB d ( )s dV Q * dV (V n )dA dt dt cv t c.v . c.s
§4-2 雷诺输运定理
在定常流动情况下 .v dV 0 t c 则 dB ( ) s (V n )dA dt c.s 这表明定常情况下的系 统内物理量B的变化只与通过 控制面的流动有关 无需考虑控制体内部的 , 情况。
§4-5 伯努利方程
The law of conservation of energy in that the
sum of the kinetic energy, energy due to pressure and potential energy (i.e. the total energy) is always constant. This is Bernoulli's equation. Condition:1. Perfect fluid;2.Non compressible; 3.Mass force is gravity;4. Steady state;5.One dimension
§4-5 伯努利方程
二.应用 1.小孔出流
V2 p2 V1 p1 gz2 gz1 2 2 2 1
若皆暴露于大气压下,则
2 2
pa
V2 gh 2 pa
V 2 gh
§4-5 伯努利方程
2.皮托(Pitot)管
直角弯曲管一端朝上, 一端向来流,朝向来流 处成为驻点,速度为0, 该点的压强称为总压 强,其值高于周围的静 压。
一.定常流动的动量定理 动量方程适用于求解流体与固体间的相互作用 问题，是动量守恒定律对流体流动问题应用的 结果。 根据动量定理：系统内流体动量对时间的变化 率等于作用在系统上外力的矢量和。
第六章 流体动力学的积分方程分析
(6-18)
18
第六章 流体动力学的积分方程分析
式中，E ed 是系统的总能量，单位质量流体所具有的能 ~ 、动能V2/2和重力势能gz(取z轴铅垂向上)，即 量包括内能 u
(6-19) 和 W 上的圆点表示对时间的导数，它们分别是 式(6-18)中 Q Q 传热功率和作功功率。 可以是单位时间内通过系统界面以 热传导形式传递给系统的热量，也可以是以辐射形式或内热 ， 为正。 Q 源传递给系统的热量；当外界传递热量给系统时 Q W 同样当外界对系统作功时，作功功率 为正。注意不要将 与体积流量Q相混淆。
17
第六章 流体动力学的积分方程分析
§6-3 能量方程
根据热力学第一定律，一个系统的内能变化等于外力对 该系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。 热力学第一定律适用于初始状态静止，经过一系列变化 后又恢复静止状态的系统。由于流体处于连续的运动中，在 研究流体系统的能量守恒时需要对热力学第一定律加以修正， 考虑流体总能量(内能、动能与重力势能之和)的变化，即处 于流动中的一个流体系统的总能量的变化率等于外力对它的 作功功率和外界对该系统的传热功率之和，以数学公式表示 为
d d i AiVi out i AiVi in 0 dt i i
(6-11)
14
第六章 流体动力学的积分方程分析
d 定常流动 对于定常流动， d d 0，于是式（6 t dt 10）简化为
A
V ndA 0
Dt Dt
Dt
5
第六章 流体动力学的积分方程分析
一个体积为δτ的流体微元包含的物理量为δΦ= ρφ δτ，于是
雷诺输运定理
DN——定义在系统上的变量N对时间的变化率。
Dt
d
t CV
——定义在控制体上的变量N对时间的变化 率，该项是由分布函数不定常引起。
V CS
ndS
——变量N流出控制体的净流率，该项由于 分布函数不均匀性及系统的空间位置
和体积随时间变化引起。
4.2对控制体的流体力学积分方程
（1）积分形式的连续方程
V CS
ndS
m
注意：流体流出控制体为正，流入为负！
（2）积分形式的动量方程
动量方程的本质是体系（系统）中的动量定理 （惯性参考系中）在控制体上的表现。
Dk
由流体系统的动量定理得，Dt
F
其中，k Vd sys
Dk D Vd
Dt Dt sys
sys ——系统所占据的体积。
F FB FS ——系统所受合力。
DV Dt
=
V t
+ (V )V
如何用欧拉变量表达式来表示 对系统体积分的物质导数？
借助雷诺输运定理
雷诺输运定理的推导：
图示的有限大小的控制体V，表面积为A,同时把这个控制体取为t 时刻的体系，即Ⅰ和Ⅱ两块。
t+△t时刻，体系移动到了新位置，即为图中的Ⅰ和Ⅱ两块组成， 而控制体依然在原位。令N表示流体输运的该体系中的
注意：通常物理定律适用于系统！
如，高中物理中多刚体碰撞问 题的求解……
如何在欧拉观点中应用物理定律
雷诺输运定理
下面以动量为例具体说明：
动量定理： F dk dt
F——外界对系统的作用的合力；
k——系统的动量。
流体力学系统中，k Vd
dk d Vd
dt dt
——系统所占据的体积。
《雷诺输运定理》课件
对于非牛顿流体，由于其流动 特性与牛顿流体不同，因此雷 诺输运定理的适用性可能有限
。
改进方向
发展更精确的数值模 拟方法，以模拟流体 的微观运动特性。
深入研究流体的微观 运动特性，以更好地 理解其宏观流动特性 。
结合其他理论或模型 ，如湍流模型或非牛 顿流模型，以提高预 测精度。
06
雷诺输运定理的发展前景
粒子追踪
通过跟踪流场中粒子的运 动轨迹，分析流体的输运 性质。
温度场测量
在流体中设置温度传感器 ，测量温度分布，分析热 量的输运过程。
结果分析
数据对比
将实验数据与理论结果进行对比，分析误差来 源。
适用性分析
分析雷诺输运定理在不同流动条件下的适用范 围和局限性。
改进建议
根据实验结果，提出对理论模型的改进意见，提高理论预测的准确性。
05
雷诺输运定理的局限性
适用范围
雷诺输运定理适用于连续流动的流体，如气体和 液体。
对于非连续流动的流体，如颗粒流或泥浆流，雷 诺输运定理可能不适用。
在高雷诺数流动中，雷诺输运定理的适用性可能 受到限制。
误差分析
由于雷诺输运定理基于宏观平 均流动特性，因此可能无法准 确描述流体的微观运动特性。
在复杂流动中，如湍流或分 离流，雷诺输运定理的误差
雷诺输运定理揭示了流体运动的本质特征，包括流体的流动规律、速度场的变化、质量守恒、动量守 恒和能量守恒等。这些特征对于理解和分析流体运动的特性、流动现象和流体动力系统的行为具有重 要意义。
雷诺输运定理的应用领域
总结词
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用，如航空航天 、气象学、环境科学等。
详细描述
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用。在航空航天 领域，该定理用于分析和预测流体动力学问题，如飞 行器的气动性能和飞行稳定性。在气象学领域，雷诺 输运定理用于描述大气中各种气象要素的分布和变化 。在环境科学领域，该定理用于研究流体运动对污染 物扩散、水质变化等环境问题的影响。此外，雷诺输 运定理还在水利工程、交通运输和工业生产等领域得 到广泛应用。
含水力半径r的雷诺数计算公式
含水力半径r的雷诺数计算公式雷诺数（Reynolds number）是一个用于描述流体流动状态的重要无量纲参数。
在涉及水力半径 r 的情况下，雷诺数的计算公式具有重要的意义和应用。
咱们先来了解一下啥是水力半径 r 。
想象一下有一条不规则形状的管道，里面充满了流动的液体。
这时候，水力半径 r 就等于管道的过流面积除以湿周。
过流面积好理解，就是液体能通过的那部分横截面积。
湿周呢，就是管道横截面与液体接触的边界长度。
比如说，有一个形状有点像月牙的管道，咱们要算出它的水力半径r ，就得先测量出它的过流面积和湿周。
这可不像量个长度那么简单，得费点心思和功夫。
那么，含水力半径 r 的雷诺数计算公式到底是啥呢？它通常表示为Re = ρvd/μ ，这里的ρ 是流体的密度， v 是流体的平均流速， d 是特征长度，在咱们这就是水力半径 r ，μ 是流体的动力黏度。
这个公式在实际中的应用可多了去了。
比如说在水利工程中，工程师们要设计一条河道或者一个灌溉渠道，就得用上这个公式来判断水流是层流还是湍流。
如果是层流，水流就会比较平稳、有序；要是湍流，那水流就变得混乱、湍急。
我记得有一次，我们去参观一个大型的水利枢纽工程。
工程师给我们介绍说，他们在设计渠道的时候，就反复运用了含水力半径 r 的雷诺数计算公式。
为了得到准确的水力半径 r ，他们进行了多次实地测量和计算。
有时候，因为测量数据的一点点偏差，就得重新再来，那叫一个严谨和辛苦。
在流体力学的研究中，这个公式也是个宝贝。
科研人员通过实验和计算，不断探索不同条件下雷诺数的变化规律，为解决各种实际问题提供理论支持。
比如在石油管道运输中，为了确保石油能高效、安全地输送，就得根据这个公式来优化管道的设计和运行参数。
再比如，在污水处理厂的设计中，也得考虑水流的状态。
通过计算雷诺数，确定合适的处理工艺和设备，以提高污水处理的效率和效果。
总之，含水力半径 r 的雷诺数计算公式虽然看起来有点复杂，但它在流体流动的研究和实际工程应用中发挥着不可或缺的作用。
工程流体力学课件：流体动力学
t V V p R d 0
对于支教坐标系，其三个分量形式为
Vx
d
t
X d
V V dA p cos n, i dA
Y d
V V dA p cos n, i dA
时间而变化，则适用的连续方程为
D
d 0
Dt
利用雷诺运输公式，可把式 变成如下形式
d
t
d V dA
t
A
或
式(5-17)
这就是适用于控制体的积分形式的连续方程，它说明控制
体内流体质量的增加率等于通过控制面A进出的流体净流入率
。对于定常流，由于 / t 0 ，则连续方程变为
新占有的区域部分τ1 ，又设从τ(t)空出区域部分为τ3 ，故有
(t t ) 1 2 1 ( 2 3 ) 3 1 3
式中， τ2+ τ3即为体积τ，于是相应的体积分为
I (t t ) I1 (t t ) I (t t ) I 3 (t t )
念，讨论雷诺数是无意义的。
§5-1 雷诺输运定理
三、雷诺运输方程
设在某时刻的流场中，单位体积流体的物理量分布函数值
为 f (r , t ) ，则t时刻在流体域τ上的流体所具有的总物理量为I(t)
，即
I (t )
f (r , t )d
(t )
设t时刻体积在空间τ(t)的位置
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
雷诺方程
主要参数：R=20mm,L=40mm,n=1000rpm,ε=0.3,c=2mm.各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流动，描写这种物理现象的基本方程为雷诺方程，他的普遍形式是)2(6()(22th yh Vxh Uyp h yxp h x∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂ρρρηρηρ） 这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解，而对于复杂的几何形状或者工况条件下的屯花问题，无法用解析方法求得精确解。
随着迅速发展的点算技术，数值算法成为求解润滑问题的有效途径。
数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。
它的一般原则是：首先将求解域划分成有限个数的单元，并使每一个单元充分的微小。
以至于可以认为在各单元内的未知量（本人毕业设计中设油膜压力为P ）相等或者依照线性变化，而不会造成很大的误差。
然后，通过物理分析或数学变换方法，将求解的偏微分方程写成离散形式，即使将它转化成一组线性代数方程。
该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系。
最后根据消去法或者迭代法求解代数方程组，从而求得整个求解域上的未知量。
用来求解雷诺方程的数值方法很多，最常用的是有限元差分方法、有限元法和边界元法，这些方法都是将求解域划分成许多个单元，但是处理方法各不相同。
在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函数在求解域内是近似的，但完全满足边界条件。
而边界元法所用的函数在求解域内完全满足基本方程，但是在边界上则近似的满足边界条件。
一、雷诺方程的数值解法根据边界条件求解雷诺方程，这在数学上称为边值问题。
首先将所求解的偏微分方程无量纲化。
这样做的目的是减少自变量和因变量的数目，同时用无量纲参数表示的解具有通用性。
然后，将求解域划分成灯具的或者不等距的网格，如图1-1为等距网格。
图1-1沿轴向将Y 划分为8个等距区间，沿周向从πθθ20==到划分为12个等距区间。
这样在Y 方向有13个节点，θ方向有9个节点，总计117913=⨯个节点。
不可压缩流体的平均运动动能方程、雷诺应力输运方程的推导。
我们首先考虑不可压缩流体的平均运动动能方程。
平均运动动能方程的推导：
1.定义：流体的动能为21ρv2，其中ρ是流体的密度，v是流速。
2.动量守恒定律：对于不可压缩流体，动量守恒定律为∂t∂ρv+∇⋅(ρv v)=0。
3.速度的散度：v=v(x,t)，则v⋅∇v=∂xi∂vi+vi∂xj∂vi。
4.应用散度定理：∫∇⋅(ρv v)dV=∫ρv v⋅d S。
5.积分：对整个流体体积进行积分，得到dtd∫21ρv2dV=−∫ρv(v⋅∇)v dV。
6.化简：由于是不可压缩流体，ρ为常数，因此dtd∫21ρv2dV=−∫(v⋅∇)(ρv2)dV。
7.应用散度定理：由于ρ为常数，所以∫(v⋅∇)(ρv2)dV=0。
8.结论：因此，不可压缩流体的平均运动动能方程为dtd∫21ρv2dV=0，即动能为常数。
接下来考虑雷诺应力输运方程的推导。
雷诺应力输运方程的推导：
1.定义：雷诺应力为τij=−pδij+2μsij，其中p是压力，μ是动力粘度，sij是应变率。
2.雷诺方程：对于不可压缩流体，雷诺方程为∂t∂vi+vj∂xj∂vi=−ρ1∂xi∂p+ν∂xj2∂2vi。
3.应变率：sij=21(∂xj∂vi+∂xi∂vj)。
4.应用散度定理：对整个流体体积进行积分，得到dtd∫τij dV=−∫sij(v⋅∇)vidV+∫(v⋅∇)(μsij)dV。
5.化简：由于是不可压缩流体，化简后得到dtd∫τij dV=−2∫(v⋅∇)(μsij)dV。
6.结论：因此，雷诺应力输运方程为dtd∫τij dV=−2∫(v⋅∇)(μsij)dV。
流体力学雷诺方程公式
流体力学雷诺方程公式嘿，咱来聊聊流体力学里的雷诺方程公式。
这雷诺方程公式啊，就像是流体世界的密码，能帮我们揭开很多流体流动的神秘面纱。
它可不简单，是流体力学中的重要工具。
记得有一次，我在实验室里观察水流通过一个狭窄的管道。
那水流一开始还算平稳，就像听话的孩子，乖乖地顺着管道前进。
可随着流速的增加，情况突然变得复杂起来。
水流不再那么规整，开始出现了漩涡和湍流。
这时候，雷诺方程公式就派上用场啦。
咱们先来看看这公式的构成。
它包含了各种跟流体相关的参数，比如流速、黏度、密度等等。
这些参数就像是拼图的小块，组合在一起形成了一幅完整的流体流动的图像。
比如说，当流速较低的时候，雷诺数小，流体的流动是层流，这时候流体的质点是有序地流动。
但一旦流速加快，雷诺数增大，就会进入湍流状态，那可就乱套啦，流体的质点开始无序地运动，相互碰撞、交织。
在实际应用中，雷诺方程公式可太有用了。
像在航空航天领域，设计飞机的机翼外形时，就得考虑空气在机翼周围的流动情况。
通过雷诺方程公式的计算，可以优化机翼的形状，减少阻力，提高飞行效率。
再比如在水利工程中，设计河道、水坝的时候，也得依靠这个公式来了解水流的特性，避免出现水流不稳定、冲刷河岸等问题。
在汽车工业里，要设计汽车的外形，让风阻更小，也离不开对雷诺方程公式的运用。
想象一下，如果不考虑流体力学，汽车开起来可能会像在风中挣扎的风筝，又费油又不稳定。
不过呢，要真正掌握和运用好雷诺方程公式可不轻松。
它需要我们对各种物理概念有清晰的理解，还得有扎实的数学功底。
有时候，为了算出一个准确的结果，得在一堆公式和数据里埋头苦算。
但当我们通过这个公式解决了一个又一个实际问题，那种成就感简直无法形容。
就像我那次在实验室，通过运用雷诺方程公式，成功地解释了水流的变化，那感觉，就像是解开了一个困扰已久的谜题，心里别提多畅快了。
总之，雷诺方程公式虽然复杂，但却是打开流体世界奥秘的一把关键钥匙。
只要我们用心去学习和探索，就能在流体力学的世界里畅游，发现更多的精彩。
工程流体力学第四章
单位时间内外界加入系统的热量，系 统吸热为正，反之为负
1 dE/dt 设e表示单位质量流体具有的总能量，包括位置势能、 动能和内能 2
V e eu gz 2
(1)对于定常流 F V (V n )dA
s . con
定常流的动量方程:作用在控制体上的外合力等于 由控制面流出的动量净流量。 分量形式：
Fs Vs (V n )dA
s . con
－－作用在控制体上的外合力在s方向的分量等于 由控制面流出的动量净流量在该方向的分量。
V1 A1 V2 A2
z
1
z
2
o
h
o’
2 g[( p1 / g z1 ) ( p2 / g z2 )] V2 [1 ( A2 )2 ] A1
V2
2 gh( ) 2 (1 A2 / A12 )
所以，体积流量为：
Qv A2V2
工程上，考虑修正系数
对固定控制体有：
F
s
V (V n )dA
s . con
s out
F (V Q)
(V sQ)in
2、应用 例4-2 在一弯曲管道内 有一股水流，已知1截面的相对压 强是98kpa ,速度 V1=4m/s，管径 d1=200mm, d2=100mm, =450 .不计损失，并设重力作用可以忽略，求水流对弯 曲管道的作用力。
1 沿流线成立的伯努利方程
若流体不可压，沿微元流管积分上述能量方程，得：
V1 p2 V2 gz1 gz 2 2 2
雷诺输运定理
----
涡街的形成
宇 航 推 进 系 流 体 力 学
----
4.5.1涡旋的概念
宇 在速度分解定理中的旋转项可以写成角速度向量与矢径
航 推
乘积的形式:
进 系
取=xi y j zk
----
流
r = xi y j zk xi yj zk
体
力
i jk
学
x y z
x y z
y z z y i z x x z j x y y x k
4.5.5有关涡旋的基本性质
宇 拉格朗日定理(旋涡不生不灭定理)
航
推 如果考虑的是理想,正压流体,且外力有势.如果
进
系 初始时刻在某部分流体内无旋,则以前或以后任
----
一时刻中这部分流体皆无旋.反之,若初始时刻
流 体
部分流体有旋,则以前或以后的任何时刻中这一
力 学
部分流体皆有旋.
4.5.5有关涡旋的基本性质
4.5.1涡旋的概念
宇 航 推
这一角速度正是速度旋度的 1 2
进
i jk
----
系
=xi
y
j
z k
1 2
x
y
1 rotV x 2
流 体
Vx Vy Vz
力
记旋度为: rotV，也叫涡度、涡量
学
有旋流动：旋转角速度（旋度）不为零的运动
这样,检验流体运动有旋还是无旋,只要看其速度的旋度 是否为零即可。
y
v x
u y
co学
法线单位矢量n的正方向与L的正方向组成右手螺旋系统
4.5.3涡通量和速度环量
宇 航
❖ 涡通量和速度环量都能表征涡旋强度,但是在某些
第六讲-雷诺输运定理及连续方程_152202812
1 v 2 N : 总动能 2
设N
dV
dN dV v ndA dt t CV 21 CS
3-2 积分形式的连续方程
连续性方程——质量守恒定律对流体运动的 一个基本约束。 用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介 质的运动必须维持质点的连续性，即质点间 不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体 质量必等于控制体内因流体密度变化而增加 的质量。
单级入轨火箭发动机喷管
作
业
教材习题四：4-1，4-2,4-3，4-4，6-10
35
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 速度为v=y2-y-x，试求x方向的速度分量u， 假定x=0时，u=0（P115页例4-8） 解： u v
0 u x y 2y 1 0 x 2 v y -y-x
u (1 2 y ) x C C 0 x 0, u 0 u x 2 xy
29
管道流动连续方程的制约：亚声到超声的拉伐尔喷管
m VA C dA dV d 0 A V dA dV 2 ( Ma 1) A V
• 气体在管道流动时，沿流动方向管道截面积 的相对变化率必须与速度和密度的相对变化率 相适应。 • 亚声速气流要加速必须使用收敛形喷管；超 声速气流要加速必须使用扩张形喷管。 • 要让气流从亚声速加速到超声速就必须先通 过一个收敛形喷管，再通过一个扩张形喷管， 这种组合型喷管由瑞典工程师拉伐尔于1889年 发明，称为拉伐尔喷管。
超声速战斗机发动机喷管 (F15/F16与J10/11)
超音速飞机的喷管都是先收缩再扩张的
2011.3.22: 一 架 美 军 F15 战机在利比亚坠毁。 美国空 军现役的主力战机之一， 1974 年开始装备部队。该机 最大武器载荷11113千克，最 大 速 度 2.5 马 赫 ， 最 大 航 程 4445千米。 F15 与 F16 形 成 高 低 搭 配 ， 造价F16约为2000万美元，外 贸单机价格约为 8000 万美元。 美国空军大约有900架F-15、 2000架F-16。
雷诺数公式和单位
雷诺数公式和单位雷诺数（Reynolds number）是一个在流体力学中非常重要的无量纲数。
它用于确定流体的流动是层流还是湍流。
雷诺数的公式是：Re = ρvd/μ 。
其中，ρ 是流体的密度，v 是流体的流速，d 是特征长度（比如管道的直径），μ 是流体的动力粘度。
咱们先来说说这个公式里的各个元素。
比如说，密度这个概念，大家可以想象一下，同样大小的一个瓶子，装满水和装满油，感觉是不是不一样？这就是因为水和油的密度不同。
再说说流速，想象一下水龙头打开，水哗哗流出来，开得大水流就急，开得小水流就缓，这流速的差别可就大啦。
还有那个特征长度，就拿管道来说，粗的管道和细的管道，对流体的流动影响能一样吗？咱们生活中其实有很多和雷诺数相关的现象。
就像我之前有一次在公园里散步，看到一条人工小河。
河水流动得看起来挺平稳的，没有什么大的波浪和漩涡。
这时候我就在想，这河水的流动是不是层流呀？后来我回去查了资料，发现要判断它还得知道河水的流速、密度、河的宽度这些信息，然后用雷诺数公式来算一算。
雷诺数的单位呢，其实是没有单位的，因为它是一个无量纲数。
这就好比说，你比较两个苹果的好坏，不是看它们有多重或者多大，而是看它们的品质，这品质就是无量纲的。
在工程应用中，雷诺数可太重要啦。
比如在石油管道运输中，如果雷诺数计算不准确，可能会导致管道堵塞或者泄漏，那损失可就大了。
在飞机设计中，也得考虑雷诺数。
要是没考虑好，飞机飞行时周围的气流可能就不稳定，这可就危险啦。
在汽车制造中，也离不开雷诺数。
比如设计汽车的外形，要让空气能顺畅地流过车身，减少阻力，这就得算好雷诺数。
总之，雷诺数虽然听起来有点复杂，但它在我们的生活和各种工程领域中都起着至关重要的作用。
通过对它的研究和应用，我们能够更好地理解和控制流体的流动，让各种设备和系统运行得更加高效和安全。
希望大家通过我的介绍，对雷诺数公式和单位能有更清楚的认识和理解，说不定以后在生活中遇到相关的问题，就能用所学的知识去分析和解决啦！。
第一章 多组分反应流体的基本定律及基本方程
（1）
15
D (δV ) ∂v j = δV ⋅ Dt ∂x j
（2）
一、Reynolds输运定理 输运定理
又全导数符号
D ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + vx + vy + vz = + vj Dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x j
（3） ）
）（3）代入（ ） * （2）（ ）代入（1）得（4）式 即 Reynolds输运定理。 ）（ ） 输运定理
∂v j DΦ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ (ϕ ⋅ v j ) δV = ∫ [ + = ( + vj )δV + ∫ ϕ ]δV （4） ） V V ∂t Dt ∫V ∂t ∂x j ∂x j ∂x j
16
二、连续方程（混合气质量守恒） 连续方程（混合气质量守恒）
取
ϕ=ρ
,
DΦ D = Dt Dt
∫
J i ——各种通量；
X k ——广义力；
9
Lik ——广义输运系数
四、广义输运定律
i=k
i=k
Lii ：主导输运系数，如粘性系数、导温系数、
扩散系数、导电系数等；
Lik
：交叉输运系数，如热扩散系数、浓差导热 系数、温差导电系数等。
* 对通常的有反应的气体系统，大多数情况下，交叉输运现象可以
不予考虑。
S
对混合气整体
7
单位流通截面积） 三、物质流（单位流通截面积）
结论： 结论：（3）
混合气中
ρ1 ≠ ρ 2 ≠ ρ 3 ≠ ⋯⋯
∴ ∑ JS
= 0 = ∑ ρ S VS ≠ ρ i ∑ VS ⇒ ∑ VS ≠ 0
各组分扩散速度的总和不为0 各组分扩散速度的总和不为0。
流体力学3.3 输运方程
等式右边分别表示： 该属性在控制体积内的变化率 该属性通过控制面A流出的相应的物理量
流体力学第三章
D Dt
0
d 0
t d
Ain
r,t VndA
Aout
r,t VndA
某物理量的系统导数，等于单位时间内，控制体中所含物
理量I的增量加上通过控制面Aout流出的相应的物理量再减 去通过控制面Ain流入的相应的物理量。
变化率联系在一起。
雷诺输运定理
流体力学第三章
某物理量的系统导数，等于单位时间内，控制体中所含物 理量I的增量与通过控制面A流出的相应的物理量之和。
D Dt
0
d 0
t d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
r,t V
n
dA
表示一局部系统的任一属性的变化率与一固定控制体积 之间的关系。
雷诺输运定理
Reynolds-Transport Theorem(RTT)
3.3雷诺输运定理
流体力学第三章
观察公式：
dI dt
d dt
d0
0
dm dt
d dt
0
d 0
d dt
0
d 0
d dt
(mV )
d dt
0
Vd 0
d dt
0
d 0
(VA)out
(VA)in
只要求入口和出口为一维稳定流动,而不管控制 体内部是如何流动的。
例题
流体力学-公式
随体倒数()D u Dt tααα∂=+⋅∇∂ ()() u u i v j w k ij k u v w xy z x y z ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⋅∇=++⋅++=++ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭雷诺输运定理：对系统的随体倒数求法[()][)]V V k V V kD dv u dv Dtt D dv u dv Dt t x φφφφφφ∂=+∇⋅∂∂∂=+∂∂⎰⎰⎰⎰（ij i je e δ=⋅()i j k i jkl l jkl il jki ijke e e e e εεδεε⋅⨯=⋅===i j ijk ke e e ε⨯=()()()()i j i j i j i j i ie e e e x x x x x x φφφφ∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=⋅=⋅=∂∂∂∂∂∂()i ii ie e x x φφφ∂∂∇==∂∂()ii j j i i a a e a e x x ⎛⎫∂∂∇⋅=⋅=⎪∂∂⎝⎭()()j j ki j j i j ijk k ijk i i i i ja a a a e a e e e e e x x x x εε∂∂∂∂∇⨯=⨯=⨯==∂∂∂∂1、i j u x ⎡⎤∂⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦：速度梯度张量 应变率张量：表示微团的变形运动112211221122ij u u v u w xy x z x v u v v w s x y y z y w u w v w x z y z z ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂ ⎪=++ ⎪⎪∂∂∂∂∂ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪++⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭旋转张量：表示旋转32312100 0ij a ωωωωωω-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭－质量守恒：()0k k u t x ρρ∂∂+=∂∂ 0k ku D Dt x ρρ∂+=∂ 第二那诺雷诺输运定律：VV D D dv dv Dt Dt αραρ=⎰⎰ 动量守恒定律：() uu u f tρρρ∂+⋅∇=∇⋅+∂σiji i jDu f Dt x σρρ∂=+∂ iji i j i j ju u u f t x x σρρρ∂∂∂+=+∂∂∂ Du f Dt ρρ=∇⋅+σ能量守恒定律：()1 2i i i j ij i i ii q D e u u u u f Dt x x ρσρ∂∂⎛⎫+=+-⎪∂∂⎝⎭ 231a ω=-312a ω=-123a ω=-ij ijk ka εω=-内能守恒：j i k ij k i iu q e eu t x x x ρρσ∂∂∂∂+=-∂∂∂∂ N －S 方程：22 jj j j iDu u pf Dt x x ρμρ∂∂=-++∂∂ （0μ=时为欧拉方程）内能方程：k k jj u De Tp k Dt x x xρφ⎛⎫∂∂∂=-++ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭φ为耗损函数，表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率内能方程其他形式：jj Ds T T k Dt x xρφ⎛⎫∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭j j Dh Dp T k Dt Dt x xρφ⎛⎫∂∂=++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭注意这里：11Tds de pd dh dp ρρ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭基本方程组： ()20k kj j k i j j j k i j i k k k j j k u t x Du u u u p f Dt x x x x x x u u De T p k Dt x x x x ρρρλμρρλ∂∂+=∂∂⎡⎤⎛⎫∂⎛⎫∂∂∂∂∂=-++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=-++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()(),,j j i j i i u u u x x x p p T e e T μρρ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭== ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩液液分界面条件：(1)(2)12110nn nn R R σσσ⎛⎫-++=⎪⎝⎭(1)(2)n n ττσσ= 自由面的运动学边界条件： (,,,)0F x y z t = 0DFDt= 定律()()i i C t C t Du D Dudr dx Dt Dt Dt Γ=⋅=⋅⎰⎰ 对任何流体都成立 正压流体即 密度仅仅是压力的函数：pdpρρ∇=∇⎰()0A t D ndA DtΩ⋅=⎰开尔文定律：对于正压,体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的物质周线上的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒.不努力方程沿同一根流线或者涡线：22dpu G C ρ++=⎰而且为定常 势流:()2dp G f t t φφφρ∂∇⋅∇+++=∂⎰ 同一个瞬时全场为常数 2pu ue G C ρ⋅+++=当流动为等熵，定常且外力有势时，总能量沿流线不变。
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如流体力学在车辆工程中的应用，是关注发 动机、动力舱、乘客室、车身周围的特点空 间区域。
6
7
8
雷诺输运定理及流体连续方程
一．系统与控制体
二．雷诺输运定理
三．输运公式及连续方程
9
2-1 质量守恒
质量守恒 为流体流动所应遵循的基本原理 动量定律 （对系统而言） 能量守恒 系统内流体参数的变化
A 1 A 1
v ndA v ndA 0
A2
若ρ、V在进出口区域均匀分布：
2V2 A2 1V1 A1 0
m 1V1 A 1 2V2 A 2
25
m 1V1 A1 2V2 A2 3V3 A3
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3-2 微分形式的连续方程
超声速战斗机发动机喷管 (F15/F16与J10/11)
超音速飞机的喷管都是先收缩再扩张的
2011.3.22: 一 架 美 军 F15 战机在利比亚坠毁。 美国空 军现役的主力战机之一， 1974 年开始装备部队。该机 最大武器载荷11113千克，最 大 速 度 2.5 马 赫 ， 最 大 航 程 4445千米。 F15 与 F16 形 成 高 低 搭 配 ， 造价F16约为2000万美元，外 贸单机价格约为 8000 万美元。 美国空军大约有900架F-15、 2000架F-16。
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控制体内质量变化率
mI (t t ) mII (t t ) mI (t ) mII (t ) lim t 0 t mCV (t t ) mCV (t ) lim t 0 t mCV 控制体内的质量变化率 t
14
控制体净输出质量流量
t t :
m(t t ) mⅡ(t+Δt)+ mⅢ(t+Δt)
12
m(t t ) m(t ) dm lim t dt sys t0 mII (t t ) m III (t t ) mI (t ) mII (t ) lim t 0 t mI (t t ) mII (t t ) mI (t ) mII (t ) lim t 0 t mIII (t t ) mI (t t ) lim lim t 0 t 0 t t
27
由于流场满足连续介质条件，控制体选取 具有任意性，有
v 0 t 定常流动： v 0
不可压流动（定常、非定常） v 0 u v w 0(三维) x y z u v 0(二维) x y 28
• 雷诺于1886年提出轴承的润滑理论，1895年在湍流中引入有 关应力的概念。
19
雷诺输运定理及流体连续方程
一．系统与控制体
二．雷诺输运定理
三．输运公式及连续方程
20
3-1 输运公式数学表达式
d总物理量 dt sys
单位时间通过控制体 控制体内物理 边界净输运的流体 量的变化率 物理量
单级入轨火箭发动机喷管
作
业
教材习题四：4-1，4-2,4-3，4-4，6-10
35
雷诺输运定理
控制体内参数的变化
10
m m t sys t Control
Volume
t : Ⅰ+Ⅱ system : Ⅱ+Ⅲ t t :
CVt CVt t Ⅰ+Ⅱ
11
系统内的流体质量： t时刻： m(t)=mI(t)+ mⅡ(t)
控制体净输出的动量流量
控制体内的 输出控制体 输入控制体 dE 的能量流量 dt sys 能量变化率 的能量流量
控制体内净输出的能量流量
－－上式即为雷诺输运定理（输运公式）
17
雷诺输运公式，将系统与控制体联系起来， 成为拉格朗日观点的“系统”过渡到欧拉观 点的“控制体”的桥梁。 跨行业交叉应用：经济、货币流通、石油、 能源、交通……。 以控制体为研究对象时，系统尺度量（与质 量有关的量）来自两个方面： a. 控制体内尺度量随时间的变化。 b. 流体输入输出控制体所引起的尺度变化。
22
2.积分形式的连续方程：φ=ρ，
dM N M dV , 质量守恒： 0 dt dN dM dV v ndA 0 dt t CV dt CS
控制体内质量变化率 净输出控制体 的质量流量
积分形式连续方程： t
dV v
2011.3.29: 《环球时报》巴基斯坦与中 国签 13 亿美元歼 10 采购协议。歼 -10 战斗机 是我国自行研制的具有完全自主知识产权的 第三代战斗机。 英国《泰晤士报》网站报道称：“中国 人民解放军空军近日公开了一起军方飞行事 故，专业人士称这起事故凸显了解放军在为 这种战机研发发动机时遇到的问题。分析家 称中国热切希望能为歼10战机装上国产发动 机，不过目前为止还不可能，中国媒体去年 曾说解放军已经研制成功国产 WS-10A“ 太行” 发动机，并开始将其安装到歼10上”。 歼 10 与歼 11 不是高低搭配，但歼 10 为轻 型、歼11为重型战斗机。
29
管道流动连续方程的制约：亚声到超声的拉伐尔喷管
m VA C dA dV d 0 A V dA dV 2 ( Ma 1) A V
• 气体在管道流动时，沿流动方向管道截面积 的相对变化率必须与速度和密度的相对变化率 相适应。 • 亚声速气流要加速必须使用收敛形喷管；超 声速气流要加速必须使用扩张形喷管。 • 要让气流从亚声速加速到超声速就必须先通 过一个收敛形喷管，再通过一个扩张形喷管， 这种组合型喷管由瑞典工程师拉伐尔于1889年 发明，称为拉伐尔喷管。
mIII (t t ) : Δt时间内通过控制面输出控制体的流 mI (t t ) :
体质量 Δt时间内通过控制面输入控制体的流 体质量
mIII (t t ) mI (t t ) lim t 0 t t 输出控制体 输入控制体 控制体净输出的质量流量 的质量流量 的质量流量
3.微分形式的连续方程：（教材P113-P116） dV v n dA 0 t CV CS 奥高公式： v ndA v dV
CS CV
v dV 0 t CV
控制体：流场中某一确定的空间区域→欧拉 描述。
特点： 边界（称为控制面）和所包围的空间大小 不随运动而变化。 边界除力的作用、能量交换外，可有质量 交换。
4
讨论：
系统在运动过程中，其空间位置、体积、形状都会 随时间变化，但与外界无质量交换；不同的时间控 制体将被不同的系统所占据。 站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的 变化是拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度 观察和描述流体的运动及物理量的变化是欧拉方法 的特征。 流体力学研究的问题，往往关注某一确定的区域， 而不是某一确定的流体质点集合总体的运动情况。
对于控制体所包括的流体系统，其质量变化 率为
控制体内的 输出控制体 输入控制体 dm dt sys 质量变化率 的质量流量 的质量流量
控制体净输出的质量流量
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2-2 动量与能量守恒
控制体内的 输出控制体 输入控制体 dmv 的动量流量 dt sys 动量变化率 的动量流量
18
认识大师：雷诺
• 雷诺（Reynolds ，1842 － 1912 ，爱尔兰）。 英国力学家、物理学家和工程师。1842年8月23 日生于北爱尔兰。 1867 年毕业于剑桥大学王后 学院。 1868 年出任曼彻斯特欧文学院（后改名 为维多利亚大学）的首席工程学教授。 1877 年 当选为皇家学会会员。1888年获皇家勋章。 • 雷诺是一位杰出的实验科学家。于1883年发表了一篇经典性 论文——《决定水流为直线或曲线运动的条件以及在平行水槽 中的阻力定律的探讨》，以实验结果说明水流分为层流与紊流 两种形态，并提出以无量纲数Re（后称为雷诺数）作为判别两 种流态的标准。
: N : 总质量 v N : 总动量
1 v 2 N : 总动能 2
设N
dV
dN dV v ndA dt t CV 21 CS
3-2 积分形式的连续方程
连续性方程——质量守恒定律对流体运动的 一个基本约束。 用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介 质的运动必须维持质点的连续性，即质点间 不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体 质量必等于控制体内因流体密度变化而增加 的质量。
第六讲：
雷诺输运定理及连续方程
雷诺输运定理及流体连续方程
一．系统与控制体
二．雷诺输运定理
三．输运公式及连续方程
2
1-1 系统
系统：某一确定流体质点集合的总体→拉格 朗日描述。
特点： 系统边界和所包围的空间大小 ( 体积形状 ) 随运动而变化。 系统边界无质量交换
3
1-2 控制体
CV CS
ndA 0
23
讨论： C , (CV 不变) v ndA 0 ① 不可压：
CS
② 定常： dV 0 v n dA 0 t CV CS
③ 定常，一端流入，另一端流出Leabharlann 24 v ndA
A2
v ndA
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 速度为v=y2-y-x，试求x方向的速度分量u， 假定x=0时，u=0（P115页例4-8） 解： u v
0 u x y 2y 1 0 x 2 v y -y-x
u (1 2 y ) x C C 0 x 0, u 0 u x 2 xy