高中数学人教版B必修4练习——1任意角的概念和弧度制
高一数学训练习题参考答案
数学必修（4）同步练习参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x|x=k•3600+1800, k∈Z}, {x|x=k•1800+450,k∈Z} ; 8.-345°; 9. ;10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上三、11.{ α|α=k•3600+1200或α=k•3600+3000, k∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k•360°，得θ=k•60°（k∈Z）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l=20－2r,∴S= lr= (20-2r)•r=－r2+10r=-(r-5)2+25∴当半径r=5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2,此时，α= = =2(rad)14.A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜π,14分钟后回到原位，∴14θ=2kπ,θ= ，且 <θ< π，∴θ= π或π§1.2.1 任意角的三角函数一、CCDBCD二、7.一、三； 8. 0 ； 9. 或π； 10.二、四三、11.[2kπ, 2kπ,+ ( k∈Z)12.13.∵sinθ= - ，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（ ,- ）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= - .14.略.§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA二、7. ; 8.0; 9. ; 10.三、11.12.原式= － ==sinx+cosx13.左边=tan2θ－sin2θ= －sin2θ=sin2θ• =sin2θ• =sin2θ•tan2θ=右边14.(1)当m=0时, α=kπ, k∈Z ,cosα=±1, tanα=0(2)当|m|=1时, α=kπ+ , k∈Z ,cosα=0, tanα=0不存在(3)当0<|m|<1时,若α在第一或第四象限,则cosα= tanα= ;若α在第二或第三象限,则cosα=- tanα=- .§1.3 三角函数的诱导公式一、BBCCBC二、7. ; 8.1 ; 9.1 ; 10.三、11. 112. f(θ)= = =cosθ-1∴f( )=cos -1=-13.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2kπ, k∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cosα= - .14. 由已知条件得：sinα= sinβ①, cos α=- cosβ②，两式推出sinα= ，因为α∈(- , )，所以α= 或- ；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β= ，于是存在α= ，β= 或α=- ，β= ，使两等式同时成立。
人教版高中数学必修四教材用书第一章 三角函数 1.1.1 任意角 Word版含答案
．任意角和弧度制．任意角[提出问题]问题：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了°或逆时针方向旋转了°，顺时针方向旋转了°.[导入新知]角的分类．按旋转方向.()角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；()角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．()用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．()对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合”下，研究下列角：°，°，－°.问题：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题：如何用含°的式子表示°和－°？提示：°＝×°＋°，－°＝－×°＋°.问题：确定一条射线，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子·°＋α，∈表示，在运用时需注意以下几点．()是整数，这个条件不能漏掉．()α是任意角．()·°，∈与α之间用“＋”连接，如·°－°，∈应看成·°＋(－°)，∈.()终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．()－°；()°；()－°.。
【高中数学必修四】复习讲义 专题1.1 任意角和弧度制
第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1．任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．（2）象限角：角的顶点与____________重合,角的始边与x轴的____________重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角．具体表示如下：象限角角的表示第一象限的角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限的角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限的角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限的角{α|k·360°–90°<α<k·360°,k∈Z}（3）轴线角：若角的终边在坐标轴上．．．．．,就认为这个角不属于任何一个象限．具体表示如下：轴线角角的表示终边在x轴非负半轴上的角{α|α=2kπ,k∈Z}终边在x轴非正半轴上的角{α|α=(2k–1)π,k∈Z}终边在y轴非负半轴上的角{α|α=2kπ+,k∈Z}终边在y轴非正半轴上的角{α|α=2kπ–,k∈Z}终边在x轴上的角{α|α=kπ,k∈Z}终边在y 轴上的角 {α|α=k π+,k ∈Z } 终边在坐标轴上的角{α|α=,k ∈Z }（4）终边相同的角：所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }={β|β=α+2k π,k ∈Z }． 2．弧度制（1）定义：把长度等于___________的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作___________,这种用弧度作单位来度量角的单位制叫作弧度制． （2）角α的弧度数公式：|α|=lr(弧长用l 表示)． （3）角度与弧度的换算：①1°=___________ rad;②1 rad=___________°． （4）弧长公式：弧长l =___________． （5）扇形面积公式：S =___________．K 知识参考答案：1．（1）射线 逆时针 顺时针 零角（2）原点 非负半轴 2．（1）半径 1 rad （3）①180π ②180π （4）|α|r （5）12l ·r =12|α|·r 2K —重点 1．理解并掌握正角、负角、零角的概念； 2．掌握终边相同的角的表示方法及判定方法；3．了解弧度制，能进行弧度与角度的互化；4．由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数．K —难点1．把终边相同的角用集合表示出来；2．可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制；3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算．K—易错注意从六十进制与十进制区别角度制与弧度制．1．任意角角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．角的表示：如图，（1）始边：射线的起始位置OA；（2）终边：射线的终止位置OB；（3）顶点：射线的端点O；（4）记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．【例1】自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是_____________度．【答案】–540°【解析】因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿．而小链轮有24齿，故小链轮转363242周，一周为360°，而大链轮和小链轮转动的方向相反，故小链轮转过的角度为–360°×32=540°，故答案为：–540°．【名师点睛】（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．（2）为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．（3）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；但当角的始边相同时，若终边也相同，则角不一定相等．2．角的分类在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向一一顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定：名称定义图形正角 一条射线按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 【例2】时针走过2时40分，则分针转过的角度是A ．80°B ．–80°C ．960°D ．–960°【答案】D 【解析】∵40÷60=23，∴360°×23=240°，由于时针都是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为–2×360°–240°=–960°，故选D ．【名师点睛】（1）正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有旋转得到的．（2）高中阶段所说的角实际上是初中所学概念“由一点出发的两条射线组成的图形叫做角”的推广．对于角的形成过程，既要知道旋转量又要知道旋转方向． （3）角的概念推广后，角度的范国不再限于0°~360°．（4）正常情况下，如果果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角．3．象限角、轴线角、终边相同的角（1）在平面直角坐标系中，如果角的顶点在在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，便称此角为第几象限角．（2）轴线角：若角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }={β|β=α+2k π,k ∈Z }．（4）确定角nα（n ∈N ）终边所在象限的方法： 已知角终边所在的象限，确定nα（n ∈N ）终边所在象限的常用方法有以下两种：一是分类讨论法．利用已知条件写出α的范围（用k 表示），由此确定nα的范围，然后对k 进行分类讨论，从而确定nα所在象限． 二是几何法．先把各象限均分为n 等份，再从x 轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四，一、二、三、四，…则α原来是第几象限角，标号为几的区域即nα终边所在的区域． 【例3】已知α锐角，那么2α是A ．小于180°的正角B ．第一象限角C ．第二象限角D ．第一或二象限角【答案】A【解析】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故选A ． 【例4】与π12终边相同的角的集合是____________．4．弧度制与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度． （1）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零． 这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系．（2）如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是rl=||α．即α的值就是弧长中有多少个半径．这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定． （3）角度与弧度的换算：1°=180π rad≈0.01745 r ad ，1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′． 特别地，3602︒=π弧度，180︒=π弧度．【例5】–300°化为弧度是A ．–4π3B ．–5π3C ．–5π4D ．–7π6【答案】B【解析】–300°=–π300180⨯ rad=–5π3rad ，故选B ． 【名师点睛】（1）把弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但把度(°)作为单位表示角时，度(°)一定不能省略；（2）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零； （3）在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． （4）特殊角的度数与弧度数的对应表：度] 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°270° 360° 弧度6π4π3π 2π 32π43π65ππ32π2π5．弧长及扇形面积公式（1）弧长公式：弧长l =|α|r ． （2）扇形面积公式：S =12l ·r =12|α|·r 2． 【例6】已知扇形面积为3π8，半径是1，则扇形的圆心角是 A ．3π16B ．3π8C ．3π4D ．3π2【答案】C【解析】因为扇形面积为3π8，半径是1，S =12l ·r ，所以扇形的弧长为3π4，因为l =|α|r ，所以扇形的圆心角为3π4．故选C ． 【名师点睛】在应用弧长公式l =|α|r 及扇形面积公式S =12l ·r 时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，如果已知角是以“度”为单位的，则必须先把它化成以“弧度”为单位后再代入计算．1．下列角中，终边与123°相同的角是A ．237°B ．–123°C ．483°D ．–483°2．若α=–835°，则角α的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在0到2π范围内，与角4π3-终边相同的角是 A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．4π34．有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是A ．90°B ．180°C ．270°D ．90°，180°或270°5．手表时针走过1小时，时针转过的角度A ．60°B ．–60°C ．30°D ．–30°6．经过2小时，钟表上的时针旋转了A ．60°B ．–60°C ．30°D ．–30°7．2018°的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．45°=A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 9．–150°的弧度数是A ．–56πB ．43πC ．–23π D ．–34π10．半径为π cm ，圆心角为150°的扇形的弧长为A ．216πB ．213πC ．223πD ．256π11．已知集合{α|2k π+π4≤α≤2k π+π2，k ∈Z }，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是 A ． B ．C ．D ．12．下列说法中正确的是A ．120°角与420°角的终边相同B ．若α是锐角．则2α是第二象限的角C ．–240°角与480°角都是第三象限的角D ．60°角与–420°角的终边关于x 轴对称 13．下列命题中正确的是A ．终边在x 轴负半轴上的角是零角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角D ．若β=α+k •360°（k ∈Z ），则α与β终边相同 14．若角α满足α=45°+k •180°，k ∈Z ，则角α的终边落在A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限15．若一段圆弧的长度等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆心角弧度为A．π3B．2π3C．3D．216．–53π的角化为角度制的结果为___________，–135°的角化为弧度制的结果为___________．17．你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是___________．18．如图，已知扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，则扇形的圆心角α（0<α<2π）的弧度数是___________．19．已知角α=390°（1）角α的终边在第几象限；（2）写出与角α终边相同的角的集合；（3）在–360°～720°范围内，写出与α终边相同的角．20．已知角β的终边在直线y=–x上．（1）写出角β的集合S；（2）写出S中适合不等式–360°<β<360°的元素．21．已知α=–1090°．（1）把α写成β+k •360°（k ∈Z ，0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限角（2）写出与α终边相同的角θ构成的集合S ，并把S 中适合不等式–360°≤θ<360°的元素θ写出来．22．已知α=3π． （1）写出所有与α终边相同的角；（2）写出在（–4π，2π）内与α终边相同的角； （3）若角β与α终边相同，则2β是第几象限的角？23．已知α=1690°，（1）把α表示成2k π+β的形式（k ∈Z ，β∈[0，2π））． （2）求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈（–4π，–2π）．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C C CD D B C B A D11 12 13 14 15B D D B C1．【答案】C【解析】终边与123°相同的角的集合为{α|α=123°+k•360°，k∈Z}．取k=1，得α=483°．故选C．2．【答案】C【解析】因为–835°=–2×360°–115°，由角的定义得–115°的终边在第三象限，所以角α的终边在第三象限，故选C．3．【答案】C【解析】与角4π3-终边相同的角是2kπ+（4π3-），k∈Z．令k=1，可得与角4π3-终边相同的角是2π3，故选C．4．【答案】D【解析】设这个角为α，则5α=k•360°+α，k∈Z，解得α=k•90°，又∵0°<α<360°，∴α=90°，180°或270°．故选D．5．【答案】D【解析】由于时针顺时针旋转，故时针转过的角度为负数．–112×360°=–30°，故选D．6．【答案】B【解析】钟表上的时针旋转一周是–360°，其中每小时旋转–36012︒=–30°，所以经过2小时应旋转–60°．故选B ．9．【答案】A 【解析】∵1°=180πrad ，∴–150×180π=–56π．故选A ． 10．【答案】D【解析】150°=56π，所以扇形的弧长l =256r απ=（cm ）．故选D ．11．【答案】B【解析】对于集合A ={α|2k π+π4≤α≤2k π+π2，k ∈Z }，当k =0时，表示B ={α|π4≤α≤π2}；当k ∈Z ，表示与集合B 终边相同的角，故选B ． 12．【答案】D【解析】A ，420°=360°+60°，∴420°与60°角的终边相同，A 不正确；B ，若α是锐角，则0°<α<90°，0°<2α<180°．则2α不一定是第二象限的角，B 不正确；C ，480°=360°+120°，∴480°与120°角的终边相同，是第二象限的角，C 不正确；D ，–420°=–360°–60°，∴–420°与–60°角的终边相同，∴60°角与–420°角的终边关于x 轴对称，D 正确．故选D ． 13．【答案】D【解析】A ，终边在x 轴负半轴上的角是零角，例如–180°，不是零角，所以A 不正确；B ，第二象限角不一定是钝角，例如：460°是第二象限角，但是不是钝角，所以B 不正确；C ，第四象限角不一定是负角，也可以是正角，例如：300°是第四象限角，是正角，所以C 不正确；D ，若β=α+k •360°（k ∈Z ），则α与β终边相同，满足终边相同角的表示方法，正确．故选D ． 14．【答案】B【解析】α=45°+k •180°，k ∈Z ；当k 为偶数时，α为第一象限角，特别地，如当k =0时，α=45°；当k 为奇数时，α为第三象限角，特别地，如当k =1时，α=225°．∴角α的终边落在第一或第三象限．故选B ．15．【答案】C【解析】不妨设等边△ABC 的外接圆的半径为2，如图，取BC 的中点D ，连接OD ，OC ，则∠OCB =30°．由垂径定理的推论可知，OD ⊥BC ，在Rt △OCD 中，OD =12OC =1，∴CD =3，∴边长BC =23．设该圆弧所对圆心角的弧度数为θ，则由弧长公式可得2θ=23，∴θ=3．故选C ．16．【答案】–300°；34-π【解析】–53π=51803π︒-⨯π=–300°；–135°=–135°×31804π=-π︒．故答案为：–300°；34-π． 17．【答案】–4π【解析】由于经过2分钟，秒针转过2圈，一个周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故秒针转过的角的弧度数是–4π，故答案为：–4π． 18．【答案】12【解析】设半径为r ，由题意可得：2r +αr =10，212r α=4，0<α<2π．化为2α2–17α+8=0．解得α=12．故答案为：12． 19．【解析】（1）∵390°=360°+30°，30°是第一象限角，∴角α的终边在第一象限；（2）所有和角α终边相同的角的集合为{β|β=k •360°+30°，k ∈Z }； （3）∵β=k •360°+30°， ∴当k =–1时，β=–330°， 当k =0时，β=30°， 当k =1时，β=390°，∴在–360°～720°范围内，与α终边相同的角是–330°，30°，390°．20．【解析】（1）直线y =–x 过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y =–x 上的角有两个：135°，315°． 因此，终边在直线y =–x 上的角的集合S ={β|β=135°+k •360°，k ∈Z }∪{β|β=315°+k •360°，k ∈Z } ={β|β=135°+2k •180°，k ∈Z }∪{β|β=135°+（2k +1）•180°，k ∈Z } ={β|β=135°+n •180°，n ∈Z }． （2）由于–360°<β<360°，即–360°<135°+n •180°<360°，n ∈Z ． 解得–114<n <54，n ∈Z ．所以n =–2，–1，0，1．所以集合S 中适合不等式–360°<β<360°的元素为： 135°–2×180°=–225°； 135°–1×180°=–45°； 135°+0×180°=135°； 135°+1×180°=315°．22．【解析】（1）所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ=2k π+3π，k ∈Z }． （2）由（1）令–4π<2k π+3π<2π（k ∈Z ）， 则有–2–16<k <1–16． 又∵k ∈Z ，∴取k =–2，–1，0． 故在（–4π，2π）内与α终边相同的角是–113π、–53π、3π． （3）由（1）有β=2k π+3π（k ∈Z ），则2β=k π+6π（k ∈Z ）， 当k 为偶数时，2β在第一象限，当k 为奇数时，2β在第三象限． ∴2β是第一、三象限的角．。
数学人教B版必修4教材习题点拨：1.1任意角的概念与弧度制 Word版含解析
教材习题点拨练习A1．(1)假；(2)假；(3)真；(4)假；(5)真；(6)假．2．(1)120°；(2)30°；(3)－120°；(4)210°.图略．3．(1)855°＝2×360°＋135°；(2)－750°＝－2×360°－30°.图略．4．(1)－45°＝－1×360°＋315°，315°，第四象限角；(2)760°＝2×360°＋40°，40°，第一象限角；(3)－480°＝－2×360°＋240°，240°，第三象限角．5．由题意知∠AOB＝270°，∠BOC＝－360°，因此，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝270°＋(－360°)＝－90°.6．(1)S＝{β|β＝k·360°＋100°}，－260°，100°，460°；(2)S＝{β|β＝k·360°－120°}，－120°，240°，600°；(3)S＝{β|β＝k·360°－380°20′}，－20°20′，339°40′，699°40′.练习B1．终边在y轴正半轴上的角的集合是S1＝{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}；终边在y轴负半轴上的角的集合是S2＝{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}；终边在y轴上的角的集合是S3＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}；2．终边在直线y＝x上的角的集合是S1＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}；终边在直线y＝－x上的角的集合是S2＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．3．角的终边落在坐标轴上(提示：对k取值0,1,2,3,4，…，得出周期性)．4．终边在第二象限的角的集合是：S1＝{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}；终边在第三象限的角的集合是：S2＝{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}；终边在第四象限的角的集合是：S3＝{α|k·360°＋270°＜α＜(k＋1)·360°，k∈Z}或{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}．5．星期一；100＝7×14＋2，星期三．练习A1．相等．由公式α＝lr可知，此比值即为圆心角的弧度数，与圆的大小无关．2．(1)－4π3；(2)－5π4；(3)π15；(4)6π；(5)π8；(6)7π8⎝⎛⎭⎫提示1°＝π180 rad . 3．(1)15°；(2)300°；(3)54°；(4)22.5°；(5)－270°；(6)－150°⎝⎛⎭⎫提示：1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. 4．略．5．l ＝αr ＝2×0.5＝1(m)，l ＝αr ＝3×0.5＝1.5(m)．练习B1．由已知得圆心角为60°，60×π180＝π3rad. 2．时针每小时转－30°，－30°×4＝－120°，－2π3；分针每小时转－360°，－360°×4＝－1 440°，－8π.3．α＝l r ＝144120＝1.2 rad ，约等于68.75°. 4．(1)因为圆心角为1 rad 的扇形面积为πR 22π＝R 22，所以圆心角为α弧度的扇形面积为S ＝α·R 22＝12R 2α.(2)S ＝12R 2α＝12×52×2＝25(cm 2)，即所求扇形的面积为25 cm 2. 5．(1)23π6＝11π6＋2π，第四象限角； (2)－1 500°＝－25π3＝5π3－10π，第四象限角； (3)－18π7＝10π7－4π，第三象限角； (4)672°3′＝6 241π3 600＋2π，第四象限角． 6．记n 是角的弧度数．(1)给变量n 和圆周率π的近似值赋值；(2)计算180π，得出的结果赋给变量a ；(3)计算na ，得出的结果赋值给变量α.α就是这个角的度数．习题1－1A1．α1为第一象限角；α2为第二象限角；α3为第三象限角；α4为第四象限角． 2．19π6＝2π＋7π6，是第三象限角； －25π6＝－4π－π6，是第四象限角． 与19π6终边相同的角的集合是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝7π6＋2k π，k ∈Z ；与－25π6终边相同的角的集合是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝－π6＋2k π，k ∈Z . 3．(1)－64°＝－1645π＝74π45－2π； (2)400°＝20π9＝2π9＋2π； (3)－722°30′＝－28972π＝143π72－6π. 4．360°32＝11.25°；11.25°×π180＝π16. 5．112100×180°π≈64°. 习题1－1B1．第一象限角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＜α＜2k π＋π2，k ∈Z ； 第二象限角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ； 第三象限角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪α2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ； 第四象限角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ 2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π，k ∈Z 或⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π－π2＜α＜2k π，k ∈Z . 2．200°×π180＝109π，r ＝l α＝50×910π＝14.3(m)． 3．略．4．(1)2π×300＝600π；(2)每秒钟转过的弧度数为2π×300×160＝10π，l ＝αr ＝10π×1.22＝6π(m)．5．1×π180×6 370＝111(km)．。
【精品】高中数学 必修4_任意角和弧度制_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。
2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。
【要点梳理】要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|2k k Z βββπα∈=+∈，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角α是第一象限角，所以()1|222k k k Z απαππ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭α是第二象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα222|α是第三象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα2322|α是第四象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα22232|要点二：弧度制 1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：终边相同的角的集合例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。
人教版高中数学必修四1.1任意角和弧度制1.1.2含答案
1.1.2 弧度制 课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度360°＝________ rad 2π rad ＝________180°＝______ rad π rad ＝________1°＝______rad ≈ 0.017 45 rad1 rad ＝______≈57°18′ 3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制 α为弧度制扇形的弧长 l ＝________ l ＝______扇形的面积 S ＝________ S ＝______＝______一、选择题1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．] 5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ， 则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2. S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π 解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
2019-2020学年高一数学人教B版必修4考点同步：(1)任意角的概念与弧度 Word版含答案
考点同步(1)任意角的概念与弧度1、设α角属于第二象限,且coscos22αα=-,则2α角属于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2、已知α为第三象限角,则2α所在的象限是( )A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限 3、200︒是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 4、若α是第四象限角,则180α︒-是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 5、集合{}|9036,A k k Z αα==⋅︒-︒∈,{}|180180B ββ=-︒<<︒,则A B ⋂等于( ) A. {}36,54-︒︒ B. {}126,144-︒︒C. {}126,36,54,144-︒-︒︒︒D. {}126,54-︒︒6、α的终边经过点()0,3M -,则α( ) A.是第三象限角 B.是第四象限角C.既是第三象限角又是第四象限角D.不是任何象限角7、如果角α与角45γ+︒的终边重合,角β与角45γ-︒的终边重合,那么角α与角β的关系为( )A. 0αβ+=︒B. 90αβ-=︒C. ()2?180k k Z αβ+=︒∈D. ()2?18090k k Z αβ-=︒+︒∈8、若角α与β的终边相同,则角αβ-的终边( ) A.在x 轴的非负半轴上 B.在x 轴的非正半轴上 C.在y 轴的非正半轴上 D.在y 轴的非负半轴上9、已知α是第三象限角,则α-是第______象限角( )A.四B.三C.二D.一 10、已知集合(){}|221,A k k k Z απαπ=≤≤+∈,{}|44B αα=-≤≤,则A B ⋂等于( ) A. ∅B. {}|44αα-≤≤C. {}|0ααπ≤≤D. {|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤11、已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R ,若扇形的周长是一定值(0)C C >,则该扇形的最大面积为__________.12、已知扇形的周长是6,圆心角是弧度1,则该扇形的面积为__________.13、一个圆的一段圆弧长度等于其内接正三角形的边长 , 则该圆弧所对圆心角的弧度数为__________.14、设一扇形的弧长为4cm ,面积为24cm ,则这个扇形的圆心角的弧度数是______. 15、按照要求回答问题.1. 160-︒= rad ;2.310rad π=__________度; 3. 5rad = 度.16、两个圆心角相同的扇形面积之比为1:2,则这两个扇形的周长之比为__________. 17、自行车大链轮有48齿,小链轮有20齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是__________.18、已知扇形周长为20?cm ,则扇形面积的最大值是 .答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：D解析：由3π2ππ2π2k k α+<<+,Z k ∈得3πππ24πk k α+<<+,对k 分奇偶数讨论:当2k n =,Z n ∈时,2α为第二象限角;当21k n =+,Z k ∈时,2α为第四象限角.3答案及解析： 答案：C解析：200︒是第三象限角4答案及解析： 答案：A解析：∵36090360180k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒,36018036090k k α-⋅︒-︒<-<-⋅︒-︒, 36018036090k k α-⋅︒-︒-<-⋅︒+︒,∴180α︒-是第一象限角5答案及解析： 答案：C解析：由1809036180()k k Z -︒<⋅︒-︒<︒∈得14490216()k k Z -︒<⋅︒<︒∈,∴144216()9090k k Z -<<∈,∴1,0,1,2k =-,∴{}126,36,54,144A B ⋂=-︒-︒︒︒,故选C6答案及解析： 答案：D解析：因为点()0,3M -在y 轴负半轴上,因而α的终边不在任何象限上.7答案及解析： 答案：D 解析：选D .由条件知()451?3601,k k Z αγ=+︒+︒∈()452?3602.k k Z βγ=-︒+︒∈将两式相减消去γ,得()12?36090,k k αβ-=-︒+︒ 即()2?18090.k k Z αβ-=︒+︒∈8答案及解析： 答案：A 解析：选.A 由已知可得()·360,k k Z αβ=+︒∈ ∴()·360,k k Z αβ-=︒∈∴αβ-的终边在x 轴的非负半轴上.9答案及解析： 答案：C解析：选C .∵α是第三象限角,∴360180360270,k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈ 则360270360180,k k k Z α-⋅︒-︒<-<-⋅︒-︒∈. ∴α-是第二象限角10答案及解析： 答案：D解析：k 的取值为1,0-,A B ⋂为{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤,k 若为其他情况则为空集.11答案及解析：答案：216C解析：因为扇形的半径为R ,周长为C ,所以扇形的弧长为2C R -,故扇形的面积2221(2)()()2244C C C S C R R R R R =-=-+=--+,当4C R =,即22C R Rα-==时,扇形的面积最大,最大面积为216C .12答案及解析： 答案：2解析：设扇形的弧长为l ,所在圆的半径为r ,则26,l r l r +==,解得2l r ==,所以该扇形的面积为122S lr ==.13答案及解析：解析：设圆的半径为r ,,,其所对圆心角的弧度数为α==14答案及解析： 答案：2解析：设扇形半径为r ,圆心角为α,依题意得及l r α=,扇形的面积21122S lr ar ==得, 2r =,2α=,即这个扇形的圆心角的弧度数是2.15答案及解析： 答案：1. 89π- 2.54; 3.900π解析：1. 16081601809ππ-︒=-⨯=-. 2.33180541010rad π=⨯︒=︒. 3. 18090055rad ππ⎛⎫⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16答案及解析：答案：解析：设两扇形的圆心角为α,半径分别为12,r r ,扇形面积分别为12,S S ,周长分别为12,C C ,由题意知, 211222112122r S S r αα⋅==⋅,得12r r =故1111222222C r r r C r r r αα⋅+===⋅+.17答案及解析：答案：864°解析：大链轮转一周,小链轮转4820周,即小链轮转过的角度为4836086420⨯︒=︒.18答案及解析： 答案：225cm解析：设扇形半径为r ,弧长为l ,则周长为220r l +=,面积为()2112021022S lr r r r r ==-=-,当5r =时, S 有最大值25.。
数学必修4知识导航 1.1任意角、弧度 含解析 精品
1.1 任意角、弧度知识梳理一、角的概念的推广1.定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类:正角、零角、负角.3.象限角如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角时，可表示为{α|2kπ<α<2kπ+2π,k ∈Z }； α是第二象限角时，可表示为{α|2kπ+2π<α<2kπ+π,k ∈Z }； α是第三象限角时，可表示为{α|2kπ+π<α<2kπ+23π,k ∈Z }； α是第四象限角时，可表示为{α|2kπ+23π<α<2kπ+2π,k ∈Z }. 4.轴线角(象限界角)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角，也叫象限界角.终边落在x 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ,k ∈Z }；终边落在x 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+π,k ∈Z }；终边落在y 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+2π,k ∈Z }； 终边落在y 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+23π,k ∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为{α|α=2πk ,k ∈Z }. 5.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k ∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的3601为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制. 2.弧度的定义:规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即3601周角=1°，π21周角=1弧度. 3.弧度与角度的换算360°=2π rad ，180°=π rad ，1°=180πrad≈0.017 45 rad ，1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式:l=|α|·r(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数).5.扇形的面积公式:S 扇形=21l·r=21|α|r 2(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数). 知识导学要理解任意角概念，可创设情境“转体720°，逆(顺)时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、象限界角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.疑难突破1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？剖析:(1)用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的.于是，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进制)，需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.(2)弧度制下的弧长公式l=|α|r 、扇形面积公式S=21|α|r 2，与角度制下的弧长公式l=180r n π、扇形面积公式S=3602r n π比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数时，角的集合与实数集R 是一一对应关系？ 剖析:在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R 建立了一种一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的角度数或弧度数等于这个实数)与它对应.于是，有了角的集合与实数集R 的一一对应关系，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题 ，因为弧度制是十进制的实数.。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.1任意角和弧度制(教师版)【个性化辅导含答案】-最新学习文档
任意角和弧度制__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。
与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 （3）区间角的表示： ①象限角：象限角 象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第三象限角的集合o o o o {|360180<<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z }②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3α所在的象限 (二)弧度制1 弧度角的规定.它的单位是rad 读作弧度如图：∠AOB=1rad∠AOC=2rad 周角=2πrad 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点及例题讲解
任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲解读 1.通过角的变换，判断角所在象限；2.常见的角度与弧度之间的转化；3.已知角的终边求正弦、余弦、正切值；4.利用三角函数线求角的大小或角的范围；5.利用扇形面积公式和弧长公式进行相关计算．[基础梳理]1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝lr .(3)角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝(180π)°≈57°18′.(4)扇形的弧长及面积公式： 弧长公式：l ＝α·r . 面积公式：S ＝12l ·r ＝12α·r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．[三基自测]1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10 D.10π9答案：D2．若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C3．弧长为3π、圆心角为34π的扇形半径为________．答案：44．(必修4·4.1例题改编)α终边上一点P (－3,4)．则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.答案：45 －35 －435．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α的终边过点(3,4)，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________. 答案：7210[考点例题]考点一 终边相同的角及象限角|易错突破高考总复习·数学(理)第三章 三角函数、解三角形[例1] (1)若角α满足α＝2k π3＋π6(k∈Z )，则α的终边一定在( )A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上(2)已知sin α＞0，cos α＜0，则12α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限(3)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )[解析] (1)由α＝2k π3＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，α＝π6，终边在第一象限．当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π6，终边在第二象限．当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.(2)因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，则π4＋k π＜12α＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角，故选C.(3)由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z )．[答案] (1)D (2)C (3)C [易错提醒][纠错训练]1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°<45°＋k ×360°＜0°， 得－765°<k ×360°＜－45°， 解得－765360<k ＜－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________． 解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ， 可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z考点二 扇形弧长、面积公式的应用|方法突破[例2] (1)(2018·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？( )A ．120B ．240C ．360D ．480(2)(2018·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2 sin 1[解析] (1)由题意可得：S ＝12×8×30＝120(平方步)．(2)如图：∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而弧AB 的长为l ＝α·r ＝2sin 1.[答案] (1)A (2)C [方法提升][母题变式]将本例(1)改为已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ， 由S ＝12θr 2，得8＝12×θ×4，∴θ＝4.答案：A考点三 三角函数的定义|模型突破角度1 用三角函数的定义求值[例3] (1)(2018·大同模拟)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x的值为________．(2)已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α的值为________． [解析] (1)∵cos α＝－x(－x )2＋(－6)2＝－x x 2＋36＝－513，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2x 2＋36＝25169，解得x ＝52.(2)设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.[答案] (1)52 (2)0[模型解法]角度2 三角函数值符号的判断[例4] (1)(2018·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在(2)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)∵π2<2<3<π<4<32π.∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α<0，所以角α的终边在第二象限，故选B.[答案] (1)A (2)B [模型解法]角度3 利用三角函数线比较大小，解不等式[例5] (1)(2018·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α[解析] 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.[答案] C (2)y ＝sin x －32的定义域为________． [解析] ∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z[模型解法]形如sin α≥a 或sin α≤a ()a ∈[－1，1]的解，其关键点为： (1)作出sin α＝a 的函数线；(2)根据不等式，确定α的转动方向； (3)写出α的区域．[高考类题](2014·高考大纲全国卷)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a . 又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C. 答案：C[真题感悟]1.[考点一、二] (2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案：C2.[考点二、三](2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝__________.解析：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．1答案：3。
高中数学必修4(人教B版)第一章基本初等函数(2)1.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 基本初等函数（II） 1.1 任意角的概念与弧度制
一、学习任务
1. 了解任意角的概念，了解终边相同的角的意义．
2. 了解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的互化．
二、知识清单
任意角的概念 弧度制
三、知识讲解
1.任意角的概念
任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线的端点是 ，它从起始位置 按逆时针方向旋转到终止位置 ，形成一个角 ，射线 称为角的始边，射线 称为角的终边．
角的分类
正角（positive angle） 按逆时针方向旋转形成的角．
负角（negative angle） 按顺时针方向旋转形成的角．
零角（zero angle） 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．象限角与轴线角
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角（quadrant angle）．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角．
终边相同的角
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可以构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和．
O OA OB αOA OB x ααS ={β| β=α+k ⋅,k ∈Z
}360∘αα在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是 ；
②钝角一定大于锐角；
60∘
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高中数学必修四同步练习题库：任意角和弧度制(简答题：容易1,较易8,一般26,较难29,困难30)
任意角和弧度制（简答题：容易1，较易8，一般26，较难29，困难30）1、把下列各角用另一种度量制表示出来：；；；.2、如果角的终边经过点，试写出角的集合，并求集合中最大的负角和绝对值最小的角.3、已知扇形的中心角为，扇形所在圆的半径为，若扇形的面积值与周长值的差为，求的最小值及对应的值.4、扇形AOB的周长为8cm，它的面积为3 cm2，求圆心角的大小．5、（本小题满分13分）直角坐标系中，锐角的终边与单位圆的交点为，将绕逆时针旋转到，使，其中是与单位圆的交点，设的坐标为．（Ⅰ）若的横坐标为，求；（Ⅱ）求的取值范围．6、一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.7、一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.8、已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求的弧长；(2)求弓形OAB的面积．9、写出如图所示阴影部分的角α的范围．10、如图，动点，从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，求，第一次相遇时所用的时间及，点各自走过的弧长．11、已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）；（2）；（3）.12、已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：（I）弧的长；（II）扇形所含弓形的面积 (即阴影面积)．13、一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．14、在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中：（1）有几种终边不相同的角？（2）有几个适合不等式﹣360°＜α＜360°的角？（3）写出其中是第二象限角的一般表示法．15、已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.（1）若，，求扇形的弧长.（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.16、已知一个扇形的半径为，圆心角为，求这个扇形的面积。
高中数学 必修四 1.1.1任意角和弧度制
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
人教B版高一数学必修四同步专练任意角的概念与弧度
同步单元专练(1)任意角的概念与弧度1、已知α为第三象限角,则2α所在的象限是( )A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限 2、200︒是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 3、若α是第四象限角,则180α︒-是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 4、α的终边经过点()0,3M -,则α( ) A.是第三象限角 B.是第四象限角C.既是第三象限角又是第四象限角D.不是任何象限角5、如果角α与角45γ+︒的终边重合,角β与角45γ-︒的终边重合,那么角α与角β的关系为( ) A. 0αβ+=︒ B. 90αβ-=︒C. ()2?180k k Z αβ+=︒∈D. ()2?18090k k Z αβ-=︒+︒∈6、若角α与β的终边相同,则角αβ-的终边( ) A.在x 轴的非负半轴上 B.在x 轴的非正半轴上 C.在y 轴的非正半轴上 D.在y 轴的非负半轴上7、已知α是第三象限角,则α-是第______象限角( )A.四B.三C.二D.一 8、若角α满足45180,,k k Z α=︒+⋅︒∈则角α的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限 9、已知252α=︒,则角α的终边位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 10、在0360~︒范围内,与85318-︒'终边相同的角为( )A. 13618︒'B. 13642︒'C. 22618︒'D. 22642︒'11、设α是第二象限角, 且325sin ,cos ,33m m m m αα--==++则m 的值为( ) A. 109-或2 B. 109C. 109或2D. 2-12、若tan sin cos 0,0sin θθθθ⋅<>,则角θ是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 13、已知角 3 000-︒,则与α终边相同的最小正角是__________.14、若,αβ两角的终边互为反向延长线,且120α=-︒,则β=__________. 15、如图所示,终边落在直线3y x =上的角的集合为__________.16、有一个小于360︒的正角,这个角的6倍的终边与x 轴的非负半轴重合,则这个角为__________.17、若时针走过2小时40分,则分针走过的角是__________.18、在360720-︒︒:之间,与367-︒角终边相同的角是__________. 19、完成下列填空. 1.若α是第一象限角,则2α是第__________象限角;并在图中的直角坐标系内,画出2α角所在的区域.2.已知θ角的终边与168︒角的终边相同,则在[)0,360︒︒范围内终边与3θ角的终边相同的角是__________.20、若角α的终边在图中阴影所表示的范围内,则α角组成的集合为__________.22、已知角,αβ的终边关于0x y +=对称,且60α=-︒,则β=__________. 21设集合,,则集合与集合的关系是 .答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：由3π2ππ2π2k k α+<<+,Z k ∈得3πππ24πk k α+<<+,对k 分奇偶数讨论:当2k n =,Z n ∈时,2α为第二象限角;当21k n =+,Z k ∈时,2α为第四象限角.2答案及解析： 答案：C解析：200︒是第三象限角3答案及解析： 答案：A解析：∵36090360180k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒,36018036090k k α-⋅︒-︒<-<-⋅︒-︒, 36018036090k k α-⋅︒-︒-<-⋅︒+︒,∴180α︒-是第一象限角4答案及解析： 答案：D解析：因为点()0,3M -在y 轴负半轴上,因而α的终边不在任何象限上.5答案及解析： 答案：D 解析：选D .由条件知()451?3601,k k Z αγ=+︒+︒∈()452?3602.k k Z βγ=-︒+︒∈将两式相减消去γ,得()12?36090,k k αβ-=-︒+︒ 即()2?18090.k k Z αβ-=︒+︒∈6答案及解析： 答案：A 解析：选.A 由已知可得()·360,k k Z αβ=+︒∈ ∴()·360,k k Z αβ-=︒∈∴αβ-的终边在x 轴的非负半轴上.7答案及解析： 答案：C 解析：选C .∵α是第三象限角,∴360180360270,k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈ 则360270360180,k k k Z α-⋅︒-︒<-<-⋅︒-︒∈. ∴α-是第二象限角8答案及解析： 答案：A解析：当k 为奇数时,角α与225︒角终边相同,在第三象限;当k 为偶数时,角α与45o角终边相同,在第一象限9答案及解析： 答案：C 解析：10答案及解析： 答案：D 解析：11答案及解析： 答案：C 解析：12答案及解析： 答案：D 解析：13答案及解析： 答案：240° 解析：与α终边相同的角的集合为{}·360 3 000|,,k k Z θθ=︒-︒∈与θ终边相同的最小正角是当9k =时, 9360 3 000240θ=⨯︒-︒=︒,所以与α终边相同的最小正角为240︒.14答案及解析：答案：36060,k k ⋅︒+︒∈Z解析：β与-120°终边互为反向延长线,则β与60°终边重合,∴36060,k k β=⋅︒+︒∈Z.15答案及解析：答案：{α|α＝60°＋n•180°，n∈Z}解析：终边落在射线()0y x =≥上的角的集合是{}160?360,|,S k k Z αα==︒+︒∈终边落在射线()0y x =≤上的角的集合是{}2240|·360,.S k k Z αα==︒+︒∈于是终边落在直线y =上的角的集合是{}{}{}(){}{}60?360,240?360,602?180,6021|||·180,60?180,|.|S k k Z k k Z k k Z k k Z n n Z αααααααααα==︒+︒∈⋃=︒+︒∈==︒+︒∈⋃=︒++︒∈==︒+︒∈16答案及解析：答案：60°，120°，180°，240°，300° 解析：由题意知, 6360,,k k Z α=⋅︒∈ 所以60,.k k Z α=⋅︒∈又因为α是小于360︒的正角,所以满足条件的角α的值为60,120,180,240,300.︒︒︒︒︒17答案及解析： 答案：－960° 解析：2小时40分83=小时83609603-︒⨯=-︒,故分针走过的角为960-o .18答案及解析：答案：－7°，353°，713°解析：与367-︒角终边相同的角可表示为360367,.k k Z α=⋅︒-︒∈当1,2,3k =时,7,353,713α=-︒︒︒,这三个角都是符合条件的角19答案及解析：答案：1.一或三;2.56°,176°,296°解析：1.∵α是第一象限角,∴()36036090k k k Z α︒⋅<<︒⋅+︒∈, ∴()180180452k k k Z α︒⋅<<︒⋅+︒∈.若()2k n n Z =∈,则360360452n n α︒⋅<<︒⋅+︒,()n Z ∈,2α是第一象限角;若()21k n n Z =+∈,则3601803602252n n α︒⋅+︒<<︒⋅+︒,()n Z ∈,2α是第三象限角,故2α是第一象限或第三象限角.2α所在区域如本题答案中的阴影部分所示.2.根据已知,有360168k θ=⋅︒+︒,k Z ∈,∴120563k θ=⋅︒+︒,k Z ∈.又∵012056360k ︒≤⋅︒+︒<︒, ∴满足上式的k 值为0,1,2.∴在[)0,360︒︒内56,176,2963θ=︒︒︒.20答案及解析： 答案：{}|36030360150,k k k Z αα⋅︒+︒≤≤⋅︒+︒∈ 解析：在0°~360°范围内,终边落在阴影范围内的角是30150α︒≤≤︒,故满足条件的角的集合为{}|36030360150,k k k Z αα⋅︒+︒≤≤⋅︒+︒∈.21答案及解析： 答案： 解析： 集合中的各类角的终边用直线 (包括坐标轴所在的直线)表示如图①.集合中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图②.比较图①和图②,不难得出 .22答案及解析：答案：{}|30360,k k Z ββ=-︒+⋅︒∈解析：60-o 角的终边关于y x =-对称的射线对应角为451530-︒+︒=-︒,∴30360,k k Z β=-︒+⋅︒∈.。
数学必修4达标训练：1.1任意角、弧度 含解析 精品
更上一层楼基础·巩固1.我国于2005年10月12日从酒泉载人航天发射场发射升空的“神舟”六号飞船遨游太空115小时又32分，在预定轨道上环绕地球运行了77圈，巡天325余万公里后，在内蒙古安全着陆.我国载人航天第二次载人飞行获得圆满成功！“神舟”六号飞船绕地球转的角度为( )A.154πB.277 200°C.77πD.13 860°思路解析：绕地球一周转过的角度为360°或2π.由于飞船环绕地球运行了77圈，则转过的角度为2π×77=154π或360°×77=27 720°.答案：A2.下列命题中,真命题是( )A.1弧度是1度圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位思路解析:本题利用的是弧度制下的度量单位1弧度的概念,则可根据1弧度的概念对照各选项进行判断即可.答案：D3.与-462°角终边相同的角可以表示为( )A.k·360°+462°，k ∈ZB.k·360°+102°，k ∈ZC.k·360°+258°，k ∈ZD.k·360°-258°，k ∈Z思路解析：解此题只要在462°、102°、258°、-258°这四个角中找出与-462°角终边相同的角即可.通过运算不难得出258°角的终边与-462°角的终边相同，所以与258°角终边相同的角也与-462°角的终边相同.答案：C4.4弧度的角所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限思路解析：利用角度制与弧度的换算关系化为角度制,再进行判断.答案：C5.扇形的周长是16，圆心角是2 rad ，则扇形的面积是( )A.16πB.32πC.16D.32思路解析：解题时可设扇形的半径为r,则由题意得r+r+2r=16，即r=4，扇形的弧长为l=2r=2×4=8，扇形的面积是S 扇=21l·r=21×８×４=16． 答案:C6.设A=｛θ|θ为正锐角｝，B=｛θ|θ为小于90°的角｝，C=｛θ|θ为第一象限角｝，D=｛θ|θ为小于90°的正角｝，则( )A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D思路解析：A=｛θ|0°＜θ＜90°｝，B=｛θ|θ＜90°｝，C=｛θ|k·360°＜θ＜k·360°+90°，k ∈Z ｝，D=｛θ|0°＜θ＜90°｝，显然A=D.答案：D7.在-720°到720°之间与-1 000°角终边相同的角是_______________________.思路解析：与角-1 000°终边相同的角的集合是S=｛α|α=-1 000°+k·360°，k ∈Z ｝，S 中适合-720°≤α＜720°的元素是-1 000°+1×360°=-640°，-1 000°+2×360°=-280°，-1 000°+3×360°=80°，-1 000°+4×360°=440°.答案：-640°，-280°，80°，440°8.与-1 050°角终边相同的最小正角是______________________.思路解析：由于最小正角的范围在0°到360°之间，则找与-1 050°角终边相同的最小正角只需除以360°取余数即可，即即-1 050°=30°-3×360°.答案：30°9.一圆弧长度等于其内接正三角形边长,则其所对圆心角的弧度数为____________________. 思路解析：本题利用圆心角公式.半径为R 的圆内接正三角形边长为R 3,故弧长为R 3的弧所对的圆心角的弧度数为33=RR . 答案：310.若角α的终边与6π的终边关于直线y=x 对称,且α∈(-4π,4π),求角α的取值集合. 思路分析：本题利用终边相同的角的表示方法,解题时先在［0,2π)内找出与6π的终边关于直线y=x 对称的角,再利用终边相同的角表示出来,最后根据范围求解即可.解：在［0,2π)内找出与6π的终边关于直线y=x 对称的角为3π, 则与6π的终边关于直线y=x 对称的角的集合为{β|β=2kπ+3π,k ∈Z }. 又由于α∈(-4π,4π),则有-4π＜2kπ+3π＜4π,解得-613＜k ＜611. 又k ∈Z ,∴k=-2,-1,0,1.∴α=-311π,-35π,3π,37π. 综合·应用11.若角α的终边与45π的终边关于x 轴对称,且-4π＜α＜-2π,那么α等于( ) A.-2π-43π B.-2π-4π C.-2π-45π D.-2π-411π 思路解析：先在［-2π,0)范围内找出与45π终边相同的角,然后再根据所给范围进行判断排除. 答案：A12.若角α和β的终边关于y 轴对称，则必有( ) A.α+β=2π B.α+β=(2k+1)π,k ∈ZC.α+β=2kπ,k ∈ZD.α+β=2kπ+2π,k ∈Z 思路解析：α与π-α的终边关于y 轴对称，则角β只要与π-α终边相同，它就与α关于y 轴对称.由于α与π-α的终边关于y 轴对称，则有β=2kπ+π-α,k ∈Z ，即α+β=(2k+1)π,k ∈Z . 答案：B13.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8点5分时，时针与分针构成的角度是_______________________.思路解析：应从任意角的概念出发，研究时针与分针所构成的角，其中有正角、负角等无穷多个角，要求出这些角需先求出负角中绝对值最小的角.由表盘可知，绝对值最小的负角为-(4+1211)·30°=-147.5°，则所求的角为k·360°-147.5°(k ∈Z ). 答案：k·360°-147.5°(k ∈Z )14.已知直径为10 cm 的滑轮上有一条长为6 cm 的弦，P 是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度转动，则经过5 s 后，点P 转过的弧长是_______________________.思路解析：本题考查弧长公式的应用.解题时,先利用圆中半径、弦、弦心距间的关系求出OC 的长度,再由已知求出点P 经过5 s 所转过的弧度数,最后代入弧长公式即可求值.答案：100 cm15.角α小于180°而大于-180°，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角α的集合为___________________．思路解析：终边相同的角的大小相差360°的整数倍．与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β=α+k·360°,k ∈Z }.∵它的7倍角的终边与其终边相同,∴7α=α+k·360°,解得α=k·60°,k ∈Z ．∴满足α的集合为{-120°,-60°,0°,60°,120°}．答案：{-120°,-60°,0°,60°,120°}16.一只时钟,自零点开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少?思路分析：这是一道实际生活中的问题,时钟从1点再走一部分角度后时针与分针相重合,因此解此题应分两部分来解决.此外,由于分针是按逆时针方向转,则其转过角为负角.解：当时针与分针在零点后第一次重合时,暂不考虑分针先走的一周.可设分针走了x 弧度(此时不考虑方向,x ＞0), 那么时针走了6π+12x 弧度,则有x=6π+12x . 解得x=112π,则分针转过的总弧度数为112π+2π=1124π. 又分针旋转方向为逆时针方向,故分针所转过的角为-1124π. 回顾·展望17.(2005全国高考Ⅲ)已知α是第三象限的角，则2α所在的象限是( ) A.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限思路解析：本题是给出一种角的范围，确定与其有关的角的范围，要从象限角的概念入手.只需将2α表示出来即可，注意最好用0°到360°角来表示. 方法一:因为α是第三象限的角，所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k ∈Z .又k·180°+90°＜2α＜k·180°+135°,k ∈Z , 当k=2n(n ∈Z )时有n·360°+90°＜2α＜n·360°+135°,n ∈Z ， 则此时2α为第二象限的角； 当k=2n+1(n ∈Z )时有n·360°+270°＜2α＜n·360°+315°,n ∈Z ， 此时2α为第四象限的角. 方法二:如下图，2α所在的区域是图中的阴影部分，在第二或第四象限.答案：D。
人教B版高中数学必修四1.1+任意角的概念与弧度制+(人教实验B版).docx
1.1 任意角的概念与弧度制建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1．已知α是锐角，那么2α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．小于180的正角D ．第一或第二象限角 2.将 885°化为360(0360,αα+⋅≤<∈k k )Z 的形式是（ ）A.165(2)360-+-⨯B.195(3)360+-⨯C.195(2)360+-⨯D.165(3)360+-⨯3. 若集合3A x k x k k π⎧⎫=π+≤≤π+π∈⎨⎬⎩⎭|,Z ，{}|22B x x =-≤≤，则集合B A 为（ ） A ．[1,0][,1]3π- B ．[,2]3πC ．[2,0][,2]3π-D ．[2,][,2]43ππ-4. 若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( )A.2k π＋β(k ∈Z )B.2k π－β(k ∈Z )C.k π＋β(k ∈Z )D.k π－β(k ∈Z )二、填空题(每小题5分，共10分)5．设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 ． 6．设角α、β满足180180αβ-<<<，则αβ-的范围是___________．三、解答题(共70分) 7. （15分）若θ角的终边与3π的终边相同，在[0,2)π 内哪些角的终边与3θ角的终边相同．8. （20分）已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．9．(20分) 写出与3π-终边相同的角的集合S ，并把S 中在4-π到4π之间的角写出来．10. （15分）已知扇形AOB 的圆心角为120，半径为6，求此扇形所含弓形面积．1.1 任意角的概念与弧度制答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.1.1 任意角的概念与弧度制 答案一、选择题1. C 解析：因为090,02180αα<<<<所以．2. B 解析：885195(1080)-=+-195(3)360=+-⨯．3. C 解析：2|,[,0][,]333A x k x k k πππ⎧⎫=π+≤≤π+π∈=-π⎨⎬⎩⎭Z ,故C 正确.4. B 解析：因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝2k π(k ∈Z )，所以α＝2k π－β(k ∈Z ).二、填空题 5. 2 解析：211(82)4,440,2,4,222lS lr r r r r r l rα==-=-+=====． 6. (360,0)- 解析：∵αβ<，∴0αβ-<，又180180α-<<，180180β-<-<，∴360360αβ-<-<．综上可知αβ-的范围是3600αβ-<-<． 三、解答题7. 解： 设2()3k k θπ=π+∈Z ，则2()339k k θππ=+∈Z . 令20239k ππ≤+<π，得15266k -≤<,∴ 0,1,2k =.把0,1,2k =代入239k ππ+，得9π，79π，139π， 故在[0,2π）内与3θ终边相同的角为9π，79π，139π．8．解：设扇形的弧长为l ，则230l R +=,∴ 302l R =-，由02l R <<π得03022R R <-<π，∴ 15151R <<π+,∴ 211(302)1522S lR R R R R ==-=-+21522515()(15)241R R =--+<<π+,∴ 当1515(,15)21R =∈π+时，2254S =最大． 此时1530215,2152l l R R α=-====,故当15,2rad 2R α==时，扇形面积最大为2254． 9. 解：{|2,}3S k k ααπ==π-∈Z ，设424,3k k π-π≤π-≤π∈Z ，∴ 112266k -+≤≤+，即1,0,1,2k =-， ∴ S 中在4-π到4π之间的角是：23π-π-，3π-，23ππ-，43ππ-，即73π-，3π-，53π，113π．10. 解：由2120,63r απ===,∴ 2||643l r απ==⨯=π,∴ 11461222S lr ==⨯π⨯=π扇形.又221213sin 6932322S r AOB ∆π==⨯⨯=, ∴ 1293S S S AOB ∆=-=π-弓形扇形．。
人教B版高中数学必修四1.1+任意角的概念与弧度制+(人教实验B版).docx
高中数学学习材料唐玲出品1.1 任意角的概念与弧度制建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1．已知α是锐角，那么2α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．小于180的正角D ．第一或第二象限角 2.将 885°化为360(0360,αα+⋅≤<∈k k )Z 的形式是（ ）A.165(2)360-+-⨯B.195(3)360+-⨯C.195(2)360+-⨯D.165(3)360+-⨯3. 若集合3A x k x k k π⎧⎫=π+≤≤π+π∈⎨⎬⎩⎭|,Z ，{}|22B x x =-≤≤，则集合B A 为（ ） A ．[1,0][,1]3π- B ．[,2]3πC ．[2,0][,2]3π-D ．[2,][,2]43ππ-4. 若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( )A.2k π＋β(k ∈Z )B.2k π－β(k ∈Z )C.k π＋β(k ∈Z )D.k π－β(k ∈Z )二、填空题(每小题5分，共10分)5．设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 ． 6．设角α、β满足180180αβ-<<<，则αβ-的范围是___________．三、解答题(共70分) 7. （15分）若θ角的终边与3π的终边相同，在[0,2)π 内哪些角的终边与3θ角的终边相同．8. （20分）已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．9．(20分) 写出与3π-终边相同的角的集合S ，并把S 中在4-π到4π之间的角写出来．10. （15分）已知扇形AOB 的圆心角为120，半径为6，求此扇形所含弓形面积．1.1 任意角的概念与弧度制答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.1.1 任意角的概念与弧度制 答案一、选择题1. C 解析：因为090,02180αα<<<<所以．2. B 解析：885195(1080)-=+-195(3)360=+-⨯．3. C 解析：2|,[,0][,]333A x k x k k πππ⎧⎫=π+≤≤π+π∈=-π⎨⎬⎩⎭Z ,故C 正确.4. B 解析：因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝2k π(k ∈Z )，所以α＝2k π－β(k ∈Z ).二、填空题 5. 2 解析：211(82)4,440,2,4,222lS lr r r r r r l rα==-=-+=====． 6. (360,0)- 解析：∵αβ<，∴0αβ-<，又180180α-<<，180180β-<-<，∴360360αβ-<-<．综上可知αβ-的范围是3600αβ-<-<． 三、解答题7. 解： 设2()3k k θπ=π+∈Z ，则2()339k k θππ=+∈Z . 令20239k ππ≤+<π，得15266k -≤<,∴ 0,1,2k =.把0,1,2k =代入239k ππ+，得9π，79π，139π， 故在[0,2π）内与3θ终边相同的角为9π，79π，139π．8．解：设扇形的弧长为l ，则230l R +=,∴ 302l R =-，由02l R <<π得03022R R <-<π，∴ 15151R <<π+,∴ 211(302)1522S lR R R R R ==-=-+21522515()(15)241R R =--+<<π+,∴ 当1515(,15)21R =∈π+时，2254S =最大． 此时1530215,2152l l R R α=-====,故当15,2rad 2R α==时，扇形面积最大为2254． 9. 解：{|2,}3S k k ααπ==π-∈Z ，设424,3k k π-π≤π-≤π∈Z ，∴ 112266k -+≤≤+，即1,0,1,2k =-， ∴ S 中在4-π到4π之间的角是：23π-π-，3π-，23ππ-，43ππ-，即73π-，3π-，53π，113π．10. 解：由2120,63r απ===,∴ 2||643l r απ==⨯=π,∴ 11461222S lr ==⨯π⨯=π扇形.又221213sin 6932322S r AOB ∆π==⨯⨯=, ∴ 1293S S S AOB ∆=-=π-弓形扇形．。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.1任意角和弧度制(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角和弧度制__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式3.熟记特殊角的弧度数(一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。
与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 （3）区间角的表示： ①象限角：象限角 象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z }②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3α所在的象限(二)弧度制1 弧度角的规定.它的单位是rad 读作弧度如图：∠AOB=1rad∠AOC=2rad 周角=2πrad定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
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练习一 任意角的概念和弧度制
一、选择题
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确的是（ ）
Α.终边相同的角一定相等。
B.第一象限的角都是锐角。
C.锐角都是第一象限的角。
D.小于︒90的角都是锐角。
3．如果一扇形的弧长为2πcm ，半径等于2cm ，则扇形所对圆心角为（ ）
Ａ．π
Ｂ．2π
Ｃ．
π2
Ｄ．
3π2
4.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）
Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 5．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）
Ａ．2112sin 222R ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
Ｂ．21sin 22R
Ｃ．212
R
Ｄ．221
sin 22
R R -
6．若α角的终边落在第三或第四象限，则2
α
的终边落在（ ）
A ．第一或第三象限
B ．第二或第四象限
C ．第一或第四象限
D ．第三或第四象限 二、填空题
7．若三角形的三个内角的比等于2:3:7，则各内角的弧度数分别为 ． 8．将时钟拨快了10分钟，则时针转了 度，分针转了 弧度． 9．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________． 10．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 . 三、解答题
11. 在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120- （2）640 （3）95012'- 12．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）
（1） （2） （3） 13．单位圆上两个动点M N ，，同时从(10)P ，点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向
旋转
π6弧度／秒，N
点按顺时针方向旋转
π
3弧度／秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度．
能力题
14．如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角
（0πθ<≤），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．
15．在扇形AOB 中，90AOB ∠=°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积．
练习一 任意角的概念和弧度制
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 答案
B
C
A
B
D
B
二、填空题
7．ππ7π6412，，
8．π
53
--
，
9．},4
32|{Z k k x x ∈+
=π
π 10．]2,2
(),23(πππ⋃--
三、解答题 11．（1）240°，第三象限；（2）280°，第四象限；（3）129.48°，第二象限． 12．（1）},1359013545|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒αα； （2）},904590|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅αα；
（3）},360150360120|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒-αα．
13．解：设从P 点出发后，t 秒时M N ，第三次相遇，则有ππ
6π63
t t +=，解得12t =（秒）．
故M 走了π122π6⨯=弧度，N 走了π
124π3⨯=弧度，且知两点又回到了P 点．
能力题
14．解：由题目得142πk k θ=∈Z ，，即π7
k
θ=
，k ∈Z ， 又0πθ<≤，所以022πθ<≤，
又2θ在第三象限，即3π2π2θ<<，则π3π24θ<<，即ππ3
π274k <<．
解得
721
24
k <<，k ∈Z ，故4k =或5． 4π7
θ∴=或5
π7．
15．解：设扇形AOB 所在圆半径为R ，此扇形内切圆的半径为r ，
如图所示，则有2R r r =+，π
2
AB l R ==·．
由此可得2(21)l
r -=
． 则内切圆的面积22
1282πS r l -==．
练习二 任意角的三角函数。