第2节证明不等式的基本方法

考点三 用反证法证明不等式 【例3】 (2019·银川月考)已知a1+a2+a3+a4>100,求证:a1,a2,a3,a4中至少有一 个数大于25.
证明:假设a1,a2,a3,a4均不大于25, 即a1≤25,a2≤25,a3≤25,a4≤25. 则a1+a2+a3+a4≤100,这与已知a1+a3+a3+a4>100矛盾.故假设错误. 所以a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25.
(2)a+b≤2.
答题模板:第一步:展开不等式的左边并适当整理; 第二步:利用已知条件将展开结果进行配方; 第三步:利用两数和的立方公式展开整理; 第四步:利用ab≤( )2进行放缩; 第五步:解不等式获得待证结论.
利用综合法证明不等式
【典例】 (10分)(2019·全国Ⅱ卷)已知a>0,b>0,a3+b3=2, 证明:(1)(a+b)(a5+b3)≥4;
满分展示:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6……1分 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) ……………………3分 =4+ab(a2-b2)2……………………………………4分 所以(a+b)(a5+b5)≥4. ………………………5分
缩小 ,简化
≥ 不小于
a=b=c
不小于
≥
a1=a2=…=an
双基自测
B
(A)综合法 (C)反证法
(B)分析法 (D)归纳法
解析:根据条件和分析法的定义可知选项B最合理.故选B.
2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的反设为(
Fra Baidu bibliotek
)C
(A)a<0,b<0,c<0
反思归纳 对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“ 至少”等问题,一般用反证法.其一般步骤是反设→推理→得出矛盾→肯定原 结论.
考点四 放缩法证明不等式
反思归纳 放缩法的关键是控制放缩的幅度,幅度过大或过小都会与所证不 等式有差异.
备选例题
解题规范夯实
把典型问题的解决程序化
出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一
系列的 推理 、论证而得出命题成立. (2)分析法:从 要证的结论 出发,逐步寻求使它成立的 充分 条件,直至所需
条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质
等),从而得出要证的命题成立.
3.反证法与放缩法
(1)反证法 证明命题时先假设要证的命题 不成立 ,以此为出发点,结合 已知条件 ,应
考点二 用综合法、分析法证明不等式
反思归纳
(2)用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析的过程 是寻求结论成立的充分条件,而不一定是充要条件,同时要正确使用“要证 ”“只需证”这样的连接“关键词”. (3)分析法与综合法常常结合起来使用,称为分析综合法,其实质是既充分利用 已知条件,又时刻瞄准解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要明确干什么,通 常用分析法找到解题思路,用综合法书写证题过程.
(B)a≤0,b>0,c>0
(C)a,b,c不全是正数
(D)abc<0
解析:反证法提出假设时,是否定“a>0,b>0,c>0”,应为a,b,c不全是正 数,故选C.
答案:9
考点专项突破
考点一 比较法证明不等式
在讲练中理解知识
反思归纳 比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法:作差、变形、判号、下结论. (2)作商比较法:作商、变形、判断、下结论. 提醒:(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差 比较法. (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较 法.
第2节证明不等式的基本 方法
考纲展示 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法 、分析法.
知识梳理自测 考点专项突破 解题规范夯实
知识梳理自测
1.比较法
方法 作差法 作商法
知识梳理
把散落的知识连起来
原理 a-b>0⇔a>b ________⇔a>b(a>0,b>0)
2.综合法与分析法 (1)综合法:从 已知条件
用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证 明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾 的结论,以说明假设不正确,从
而得出原命题成立,我们把这种证明方法称为反证法.
(2)放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 放大 或
不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.