高考数学赢在微点2018年 理科使用-6-6

(2)由 C＝23π，c＝2b－a 及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有 5ab －3b2＝0，所以ab＝35，即 5a＝3b。
综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要 证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。 其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎 规律，才能保证结论的正确性。
证明 要证
a2＋a12－ 2≥a＋1a－2，只要证
a2＋a12＋2≥a＋1a＋
2。
因为
a>0
，
故
只
要
证


a2＋a12＋2
2
≥
a＋a1＋

2
2
，
即

a2
＋
1 a2
＋
4
a2＋a12＋4≥a2＋2＋a12＋2 2a＋a1＋2，从而只要证 2
a2＋a12≥ 2
a＋a1，只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然 成立，故原不等式成立。
答案 D
2．(选修 2－2P89 练习 T2 改编)若 P＝ a＋6＋ a＋7，Q＝ a＋8＋ a＋5
(a≥0)，则 P，Q 的大小关系是( )
A．P>Q
B．P＝Q
C．P<Q
D．不能确定
解析 假设 P>Q，只需 P2>Q2，即 2a＋13＋2 a＋6a＋7>2a＋13＋ 2 a＋8a＋5，只需 a2＋13a＋42>a2＋13a＋40。因为 42>40 成立，所以 P>Q 成立。故选 A。
【典例 3】 已知 f(x)＝ln(1＋ex)－mx(x∈R)，对于给定区间(a，b)，存
在 x0∈(a，b)，使得fbb－－faa＝f′(x0)成立，求证：x0 唯一。 证明 假设存在 x′0，x0∈(a，b)，且 x′0≠x0，使得fbb－－faa＝f′(x0)，
fbb－－faa＝f′(x′0)成立，即 f′(x0)＝f′(x′0)。 因为 f′(x)＝1＋exex－m，记 g(x)＝f′(x)， 所以 g′(x)＝1＋exex2>0，f′(x)是(a，b)上的单调递增函数。所以 x0＝x′0，
答案 D
3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳 为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为 180° 矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°。 正确顺序的序号排列为________。 解析 由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①， 最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②。故填③①②。 答案 ③①②
2.间接证明 反证法：假设命题__不__成__立____(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过 正确的推理，最后得出___矛__盾_____。因此说明假设错误，从而证明了原命题
成立，这样的证明方法叫做反证法。
重点微提醒 1．分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法 是由因导果，就是寻找已知的必要条件。 2．综合法和分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法。 3．用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的 情况。然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相 矛盾。
n＝1
＋2)×504＝10 080。 【答案】 10 080
【点评】 试题以某中学数学杂志为背景，给人耳目一新的感受，定 会给考生留下深刻印象。创新题中常见数学的“新定义”，首当其冲要准 确理解“新定义”的内涵和本质，再将其转化为我们熟悉的数学问题，便 可迎刃而解。这类试题表面十分新颖，细看却又似曾相识。考生千万不要 被表象所蒙蔽，否则容易滋生放弃的消极心理。
小|题|快|速|练
一、回归教材
1．(选修 2－2P89 练习 T1 改编)对于任意角 θ，化简 cos4θ－sin4θ＝( )
A．2sinθ
B．2cosθ
C．sin2θ
D．cos2θ
解析 因为 cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝ cos2θ。故选 D。
(2)证明：令 h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－31x3＋21x2－x(x＞－1)。 h′(x)＝x＋1 1－x2＋x－1＝x－＋x13。 h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数。 h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0， 即 f(x)≤g(x)。
考点三 反证法
拓视野 ·提素养
推理中的创新问题 创新意识是理性思维的高层次表现，在各级各类考试中，一般通过设 置创新题来考查创新意识。背景创新是命制创新题的重要途径，一些原本 朴实无华、平淡无奇的常规题，通过背景创新往往可以演变为吸人眼球、 让人眼前一亮的创新题。 【典例】 某中学数学杂志，它的国内统一刊号是 CN42－1152/O1，
答案 A
二、小题查验
1．如果 a a＋b b>a b＋b a，则实数 a，b 应满足的条件是( )
A．a>b>0
B．a<b<0
C．a>b
D．a≥0，b≥0，且 a≠b
解析 因为(a a＋b b)－(a b＋b a)＝(a－b)( a－ b)>0，所以 a≥0， b≥0，且 a≠b。故选 D。
答案 D
微考点 ·大课堂
考点一 分析法 【典例 1】 已知 a，b∈R，a>b>e(其中 e 是自然对数的底数)，用分析 法求证：ba>ab。
证明 因为 a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证 ba>ab，只需证 alnb>blna， 只需证lnbb>lnaa。
取函数 f(x)＝lnxx，因为 f′(x)＝1－x2lnx，所以当 x>e 时，f′(x)<0，所以函 数 f(x)在(e，＋∞)上单调递减。
过程和特点
法)
3．反证法
2．了解反证法的思考过程和 2014·山东高考·T4(5 分)(反证
特点
法)
微知识 ·小题练
自|主|全|排|查
1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学 从要证明的___结__论 _____出发，逐步 定义、公理、定理等，经 寻求使它成立的_充__分__条__件___，直至 过一系列的_推__理__论__证___， 最后，把要证明的结论归结为判定
【变式训练】 已知函数 f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－12x2＋13x3，函数 y＝f(x)与函数 y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线。
(1)求 a，b 的值。 (2)证明：f(x)≤g(x)。
解 (1)f′(x)＝1＋1 x，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得gf′00＝ ＝fg′00，， 解得 a＝ 0，b＝1。
(2)设 bn＝Snn (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为 等比数列。
解 (1)由已知得a31a＝1＋32d＋＝19，＋3 2， 所以 d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)。
(2)证明：由(1)得 bn＝Snn＝n＋ 2。 假设数列{bn}中存在三项 bp，bq，br(p、q、r∈N*，且互不相等)成等比 数列，则 b2q＝bpbr。即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)。 所以(q2－pr)＋ 2(2q－p－r)＝0。 因为 p，q，r∈N*，所以q22q－－ppr－＝r0＝，0， 所以p＋2 r2＝pr，(p－r)2＝0，所以 p＝r。与 p≠r 矛盾。 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列。
【解析】 42n 的个位数字与 2n 的个位数字相同，1 152n 的个位数字也 与 2n 的个位数字相同，从而 42n＋1 152n 的个位数字与 2n＋1 的个位数字相同， 而 2n＋1 的个位数字是以 4 为周期的数列，即 4、8、6、2、…。故 42n＋1152n
2 016
的个位数字是以 4 为周期的数列：4、8、6、2、…。所以 an＝(4＋8＋6
最后推导出所要证明的结 一个明显成立的条件(已知条件、定
论___成___立____
理、定义、公理等)为止
实质
由因导果
执果索因
内容
综合法
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →…→ 框图表示
Qn⇒Q
文字语言
因为…所以… 或由…得…
分析法 Q⇐P1 → P1⇐P2 →…→ 得到一个明显 成立的条件
要证…只需证…即证…
所以当 a>b>e 时，有 f(b)>f(a)，即lnbb>lnaa。得证。
分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的 充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、 公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。
【变式训练】 已知 a>0，求证：
a2＋a12－ 2≥a＋1a－2。
2．设 a，b，c 都是正数，则 a＋1b，b＋1c，c＋1a三个数( )
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
解析 因为a＋b1＋b＋1c＋c＋a1＝a＋a1＋b＋b1＋c＋1c≥6，当且 仅当 a＝b＝c＝1 时取等号，所以三个数中至少有一个不小于 2。故选 D。
2 016
设 an 表示 42n＋1 152n 的个位数字，则 an＝________。
n＝1
【导思】 此题初看起来无从下手，但若仔细分析就容易求解，注 意到要求一个新定义数列的前 2 016 项的和，自然想到验证此数列是否具 有周期性，写出这个数列的前几项，通过归纳推理，易得此数列的周期 为 4，从而问题便迎刃而解。