椭圆的标准方程(基础)

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求椭圆的标准方程式

求椭圆的标准方程式首先，我们来看一下椭圆的定义。

椭圆的定义可以通过一个动点到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹来描述。

这两个固定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距，常数称为椭圆的长轴长度。

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这就是椭圆的定义。

接下来，我们来推导椭圆的标准方程式。

设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。

根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，即。

PF1 + PF2 = 2a。

设椭圆上一点P（x，y），则。

PF1 = √((x+c)²+y²)。

PF2 = √((x-c)²+y²)。

代入椭圆的定义式，得。

√((x+c)²+y²) + √((x-c)²+y²) = 2a。

整理得。

[(x+c)²+y²] + [(x-c)²+y²] + 2√((x+c)²+y²)√((x-c)²+y²) = 4a²。

化简得。

2x² + 2y² + 2c² 2c² + 2√((x²-c²)²+y²) = 4a²。

化简得。

x²/a² + y²/b² = 1。

这就是椭圆的标准方程式。

在求椭圆的标准方程式时，我们还可以通过椭圆的焦点、长轴、短轴等参数来确定椭圆的标准方程式。

对于一个已知焦点、长轴、短轴的椭圆，我们可以根据焦点的坐标、长轴的长度、短轴的长度来求出椭圆的标准方程式。

在实际问题中，求椭圆的标准方程式是解析几何中的一个重要问题。

通过求椭圆的标准方程式，我们可以更好地理解椭圆的性质，进而应用到实际问题中。

比如在工程中，我们可以利用椭圆的性质设计出更加合理的结构；在物理学中，椭圆的运动规律也有着重要的应用价值。

椭圆的标准方程

（1）椭圆标准方程的两种形式及区别：椭圆标准方程的两种形式及区别： 2 y2 y2 x2 x + 2 =1, 2 + 2 =1(其中a b > 0) 其中a > 2 a b a b （2）解析几何的基本思想：几何问题代数化解析几何的基本思想：（3）数形结合的思想方法
试一试
椭圆的标准方程
焦点在 x Байду номын сангаас点在 y
2 x2 y 轴上椭圆的标准方程：轴上椭圆的标准方程： + b2 = 1(a> b > 0) a2 y2 x2 轴上椭圆的标准方程：轴上椭圆的标准方程： + b2 = 1(a> b > 0) a2
（1）椭圆上的点的坐标是方程的解. 椭圆上的点的坐标是方程的解. （2）以方程的解为坐标的点在椭圆上. 以方程的解为坐标的点在椭圆上.
探究拓展
F(1,0) 设动点 P到点的距离是到直线x = 9 的 1 距离的 3，求点P的轨迹方程，并判断的轨迹方程，此轨迹是什么图形？此轨迹是什么图形？ 2 2 2 a −cx= a (x−c) + y 你还有其它方法得到椭圆吗？你还有其它方法得到椭圆吗？
课堂小结
这节课你有哪些收获？
例1：判断下列椭圆的焦点在哪个轴上，判断下列椭圆的焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标. 并写出焦点坐标. 2 x2 x2 y 2 (1) + y =1 (2) + =1 3 12 9
2 + 2 (3)25x 16y = 400
2
y x2 (4) 2 + 2 =1 m m +1
练一练
求适合下列条件的椭圆的标准方程. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

椭圆的标准方程及性质

椭圆的标准方程及性质(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--椭圆的标准方程及性质1．椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距.(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF =，0＜e ＜1的常数}.2．标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -= 3.椭圆一般方程两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。

与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。

5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。

与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为，6：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2x y O F F PA AB 11121222M M K K离心率)10(<<=e ace 准线方程 c a x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=7．性质：对于椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：1.范围；②对称轴、对称中心；③顶点；④焦点、焦距；⑤准线方程；⑥离心率. 焦半径c a PF c a PF -=+=min max,. 2.焦准距c b p 2=；两准线间的距离c a 22=；通径长22b a⨯.半通径.3.最大角()12122max FPF FB F ∠=∠4.8.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:当12222>+by a x 时,点P在椭圆外; 当12222>+by a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;9.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔10.弦长公式11．对椭圆方程22221x ya b +=作三角换元可得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ，θ为参数． 12．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：13对椭圆：12222=+b x a y ，则k AB =2020a xb y -．第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题. 两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x BB=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=；（4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠.两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP . 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==。

椭圆的标准公式

椭圆的标准公式椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。

椭圆的标准公式可以通过几何性质和代数方程两种方式来描述。

下面我们将详细介绍椭圆的标准公式及其相关性质。

首先，我们来看椭圆的几何性质。

设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴为x轴，短轴为y轴，焦距为2c。

点P（x,y）到两个焦点的距离之和等于常数2a，根据勾股定理可得。

√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a。

整理得到椭圆的标准方程。

(x²/a²)+(y²/b²)=1。

其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。

其次，我们来看椭圆的代数方程。

设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。

根据椭圆的定义可得。

PF1+PF2=2a。

根据点到定点的距离公式可得。

√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a。

整理得到椭圆的标准方程。

(x²/a²)+(y²/b²)=1。

其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。

椭圆的标准方程中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴，a>b。

椭圆的离心率e的计算公式为e=c/a，其中c为椭圆的焦距。

椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当e<1时，椭圆的形状更加扁平；当e=1时，椭圆的形状为椭圆；当e>1时，椭圆的形状为双曲线。

椭圆的标准方程可以通过平移、旋转和缩放来得到不同形式的椭圆方程。

通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地求得椭圆的焦点、离心率、焦距、长轴、短轴等重要参数，从而更好地理解和研究椭圆的性质和特点。

总之，椭圆的标准公式是描述椭圆几何性质和代数方程的重要工具，通过标准公式我们可以更加深入地理解椭圆的形状、性质和特点，为进一步研究椭圆提供了重要的数学基础。

圆锥曲线——椭圆(基础知识)

圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、第一定义：平面内的轨迹叫椭圆。

其中叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。

叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。

★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、第二定义：平面内的轨迹叫椭圆。

其中定直线为：定点为：定值为：范围：(0＜e ＜1)。

三、标准方程。

椭圆的标准方程为：或（a>b>0）。

注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。

如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。

例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。

∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。

四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。

①、范围。

以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。

关于X 、Y 轴成轴对称。

关于原点成中心对称。

③、顶点。

坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。

长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。

构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。

椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。

⑤、扩展。

通径：过焦点且垂直于长轴。

焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。

焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。

标准椭圆方程

标准椭圆方程椭圆是一种常见的几何图形，它在数学和工程领域都有着重要的应用。

在本文中，我们将讨论椭圆的标准方程及其性质，希望能够帮助读者更好地理解和运用椭圆。

首先，让我们来看一下椭圆的定义。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，它表示焦点到椭圆中心的距离与长轴长度的比值。

根据离心率的不同取值，椭圆可以分为圆（e=0）、椭圆（0<e<1）和双曲线（e>1）三种情况。

接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。

其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。

根据椭圆的定义，我们可以得出椭圆的性质：1. 椭圆的中心在坐标系的原点，即(h,k)=(0,0)。

2. 椭圆的长轴与短轴分别与x轴和y轴平行。

3. 椭圆关于x轴和y轴对称。

4. 离心率e的取值范围为0<e<1。

5. 椭圆的焦点到中心的距离为c=ae。

在实际问题中，我们经常需要根据给定的条件来确定椭圆的标准方程。

例如，已知椭圆的焦点坐标和长轴长度，我们可以通过简单的推导得出椭圆的标准方程。

又如，已知椭圆上的两个点和离心率，我们也可以利用这些信息来确定椭圆的标准方程。

除了标准方程外，椭圆还有其他一些常见的参数方程和极坐标方程，它们在不同的问题中有着重要的应用。

我们可以根据具体的问题要求选择合适的方程形式来描述椭圆。

最后，让我们来总结一下本文的内容。

我们首先介绍了椭圆的定义和性质，然后讨论了椭圆的标准方程及其推导方法，最后提到了椭圆的其他方程形式。

希望本文能够帮助读者更好地理解和运用椭圆的相关知识。

总之，椭圆作为一种重要的几何图形，在数学和工程领域有着广泛的应用。

通过学习椭圆的标准方程及其性质，我们可以更好地理解和运用椭圆，为实际问题的解决提供帮助。

椭圆规范标准方程

椭圆标准方程【知识点】知识点一椭圆的定义(1)我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，2a>|F 1F 2|}.(3)2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a >|F 1F 2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F 1F 2| 动点的轨迹是线段F 1F 2 2a <|F 1F 2| 动点不存在，因此轨迹不存在【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c 一定成立吗？不一定，只需a>b ，a>c 即可，b ，c 的大小关系不确定【问题二】若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x ，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以x －32＋y2＋x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x225＋y216＝1.椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2.类型一：椭圆的定义【例1】点P(－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹.【变式】若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程.即x －32＋y －02－x ＋32＋y －02＝3，整理得x 294－y 2274＝1(x <0).方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆.设M (x ，y )，据题，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3，【变式2】下列命题是真命题的是__②__.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ①已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ①到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.类型二：求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程【例2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程.方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a2＋132b 2＝1，0＋－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a>b>0知不合题意，故舍去②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0).①2<2，故点P 的轨迹不存在；①因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；①到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a 2＋132b 2＝1，－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，m ≠n).则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.【变式】求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程.据题可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)，故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.总结：(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m>0，n>0). (2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1 (a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ).【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；解：设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).据题2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.（2）椭圆过点(3，2)，(5，1)；设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A>0，B>0，A ≠B)，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1.（3）椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程【例3】已知一动圆M 与圆C1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 总结：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值.【变式3】已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长据题C 1(－3，0)，r 1＝1，C 2(3，0)，r 2＝9，设M (x ，y )，半径为R ，则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ，故|MC 1|＋|MC 2|＝10，据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程. 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253，由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5.即a ＝5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴. 在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.类型三: 椭圆中焦点三角形问题【例4】已知P 是椭圆y 25＋x 24=1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积.解：由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°，即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3).∴ ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－43.【例5】已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上.若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小.解：由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.【变式】(1)在椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(2)已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.（1）S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y 0|＝c |y 0|.12F PF S △在①PF 1F 2中，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.①根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2. ①所以|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos α.根据三角形的面积公式，得＝12|PF 1||PF 2|sin α＝12·2b 21＋cos α·sin α＝b 2·sin α1＋cos α.又因为sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝sin α2cos α2＝tan α2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan α2.（2）由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在①PF 1F 2中，由勾股定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4，所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF1|2＋4.解得|PF1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.总结：(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x ，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程，并将其坐标化为x ＋c 2＋y 2＋x －c 2＋y 2＝2a . ①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). ②知识点椭圆标准方程的认识与推导【问题1】椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于xa与yb的平方和，并且分母为不相等的正值．【问题2】依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．【问题3】观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．(1)椭圆的标准方程的形式(2)方程22(3)椭圆方程中参数a ，b ，c 之间的关系为____a 2＝b 2＋c 2____．类型一椭圆标准方程的确定例1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程．解方法一 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，12a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解．故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.反思与感悟求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．【变式1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0)．解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知： 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6. ∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．解设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①，得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆．反思与感悟如果一个动点P 随着另一个在已知曲线上运动的动点Q 而运动，则求P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．跟踪训练2 如图所示，B 点坐标为(2,0)，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，∠POB 的平分线交直线PB 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．解由三角形角平分线性质得|BQ ||QP |＝|OB ||OP |＝2. ∴BQ →＝2QP →.设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －22，y 0＝3y 2.又∵点P 在单位圆x 2＋y 2＝1上． ∴(3x －22)2＋(32y )2＝1. ∴点Q 的轨迹方程为(3x －2)24＋94y 2＝1.。

椭圆标准方程

椭圆标准方程椭圆是平面上的一个闭合曲线，它是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

椭圆在几何学和工程学中有着广泛的应用，因此了解椭圆的标准方程对于理解其性质和应用具有重要意义。

椭圆的标准方程是椭圆的一种数学表达形式，它可以简洁地描述椭圆的几何特征。

在直角坐标系中，椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。

在标准方程中，a大于b，因为椭圆在x轴上的半轴长通常大于在y轴上的半轴长。

椭圆的中心位于原点(0,0)处，F1和F2分别位于x轴上的(-c,0)和(c,0)处，其中c满足c^2 = a^2 b^2。

椭圆的标准方程可以帮助我们快速了解椭圆的形状和特征。

通过标准方程，我们可以得知椭圆的长轴、短轴、焦点位置等重要信息，从而更好地应用椭圆的性质和定理。

除了直角坐标系下的标准方程，椭圆还有参数方程、极坐标方程等不同的数学表达形式。

这些表达形式在不同的问题和应用中具有各自的优势，但标准方程作为最常见的表达形式之一，具有重要的地位和作用。

在实际问题中，我们经常需要根据具体的条件和要求来确定椭圆的标准方程。

通过已知的焦点、顶点、离心率等信息，我们可以利用椭圆的性质和定义来推导出其标准方程，从而更好地理解和应用椭圆的相关知识。

总之，椭圆的标准方程是描述椭圆几何特征的重要数学工具，它能够简洁地表达椭圆的形状和性质，为我们深入理解和应用椭圆提供了重要的数学支持。

通过学习和掌握椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，解决实际问题中的相关应用，并为进一步深入学习椭圆的相关知识打下坚实的数学基础。

椭圆及其标准方程--基础练习

课题：椭圆及其标准方程椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+问题：如图已知焦点为21,F F 的椭圆，且21F F =2c,对椭圆上任一点M ，有a MF MF 221=+，尝试推导椭圆的方程。

方案一22a x +22by =1（0>>b a ），其中b 2 = a 2－c 2( b > 0 )；选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出22ay +22b x =1，同样也有a 2－c 2 = b 2 ( b >0 )。

我们所得的两个方程22a x +22b y =1和22ay +22b x =1（0>>b a ）都是椭圆的标准方程。

（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形及其标准方程，归纳总结（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c 关系：222c a b -=)0(>>b a ；（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b 的值。

M 2F 1F2、归纳总结如下表[例1].判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距以及b a ,的值（口答）①1342222=+y x ②1)3(42222=-+y x ③ 14322=+y x [例2].已知椭圆两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过点)23,25(-；求它的标准方程.变式训练1.如图，圆Ｏ的半径为定长r ，A 是圆Ｏ内的一定点，P 为圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆周上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？2.已知B 、C 是两个定点，|BC|=6，ABC ∆的周长为16.问点A 的轨迹是什么曲线？你能写出它的方程吗？椭圆的标准方程一、填空题1．方程x 225－m ＋y 216＋m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．解析：因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >92，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m的取值范围为92<m <25.答案：92<m <252．椭圆x2－m ＋y2－n＝1(m<n<0)的焦点坐标是________．解析：因为m<n<0，所以－m>－n>0，故焦点在x轴上，所以c＝－m－－n＝n－m，故焦点坐标为(n－m，0)，(－n－m，0)．答案：(n－m，0)，(－n－m，0)3．已知椭圆的标准方程是x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．解析：因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF2的周长为4a＝441.答案：4414．过点(－3,2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．解析：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2a2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a2＋4a2－5＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x215＋y210＝1.答案：x215＋y210＝15．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．解析：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是y24＋x23＝1.答案：y24＋x23＝16．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，则椭圆的标准方程是________．解析：由椭圆定义知c＝1，∴b＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x225＋y224＝1.答案：x225＋y224＝17．若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________．解析：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为x2 25＋y29＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)答案：x225＋y29＝1(y≠0)8．已知椭圆x216＋y29＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________.解析：如图所示，连结PF2，由于Q是PF1的中点，所以OQ是△PF12的中位线，所以PF2＝2OQ＝2，根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1＝6.答案：69．设F1、F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为12PF1·PF2＝12×2×4＝4.答案：4二、解答题10．已知椭圆x 2＋2y 2＝a 2(a >0)的左焦点F 1到直线y ＝x －2的距离为22，求椭圆的标准方程．解：原方程可化为x 2a 2＋y 2a 22＝1(a >0)，∴c ＝a 2－a 22＝22a ，即左焦点F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0.由已知得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22a －22＝22，解得a ＝22或a ＝－62(舍去)，即a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.11．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝100及点A (－3,0)，P 是圆C 上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．解：如图所示．∵l 是线段PA 的垂直平分线，∴AQ ＝PQ .∴AQ ＋CQ ＝PQ ＋CQ ＝CP ＝10，且10>6.∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，且2a ＝10，c ＝3，即a ＝5，b ＝4.∴点Q 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.12．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积； (2)求PF 1·PF 2的最大值．解：(1)设PF 1＝m ，PF 2＝n (m >0，n >0)．根据椭圆的定义得m ＋n ＝20.在△F 1PF 2中，由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2＝F 1F 22，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122.∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝20.∵PF 1＋PF 2≥2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100，当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100.。

椭圆知识点总结

椭圆知识点总结【椭圆】一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。

二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2、两种标准方程可用一般形式表示：或者 mx2+ny2=1 三、椭圆的性质（以为例） 1、对称性：对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2、范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。

3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，。

③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，。

和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率：① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。

② 因为，所以的取值范围是。

越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。

③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆（）。

即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：6、椭圆的内外部（1）点在椭圆的内部（2）点在椭圆的外部四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，，五、其他结论 1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是2、若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是3、椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为4、椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , )5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。

椭圆的定义与标准方程

椭圆的定义与标准方程
首先，让我们来了解一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点
F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点被称为焦点，常数2a
被称为椭圆的长轴。

椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与长轴的比值，即
e=c/a，其中c为焦距。

当e小于1时，椭圆是一个封闭曲线，当e等于1时，椭圆
变成一个圆。

接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以写成(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴的长度，b为短轴的长度。

通
过标准方程，我们可以很容易地得到椭圆的中心、长短轴的长度以及椭圆的离心率等重要信息。

在实际问题中，椭圆有着广泛的应用。

比如在天体力学中，行星围绕太阳运动
的轨道就是椭圆；在工程中，椭圆的反射性质被应用在抛物面天线的设计中；在数学建模中，椭圆可以用来描述很多现实世界中的问题，比如椭圆的轨迹可以用来描述地球绕太阳的运动轨迹等。

总之，椭圆作为一种重要的几何图形，具有着丰富的数学性质和广泛的应用价值。

通过本文的介绍，相信读者对椭圆的定义与标准方程有了更清晰的认识，也能够更好地理解椭圆在实际问题中的应用。

希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读。

椭圆的定义与标准方程基础练习(含答案)

椭圆的定义与标准方程一．选择题（共19小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．或2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A．4B．5C．6D．104．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10B．8C．6D．不确定6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16B．11C．8D．38．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）A．5个B．10个C．20个D．25个9．方程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6]11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在D．不存在12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4B．C．D．16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分又不必要17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是_________ ．21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|= _________ ．22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2= _________ ．23．若k∈Z，则椭圆的离心率是_________ ．24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是_________ ．25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_________ ．26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：_________ ．三．解答题（共4小题）27．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x＞1时f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）判断f（x）的单调性（3）若f（3）=﹣1，解不等式f（|x|）＜228．已知对任意x．y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣t（t为常数）并且当x＞0时，f（x）＜t（1）求证：f（x）是R上的减函数；（2）若f（4）=﹣t﹣4，解关于m的不等式f（m2﹣m）+2＞0．29．已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=﹣3．（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．30．已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立．参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．或考点：椭圆的定义。

椭圆的标准方程怎么求

椭圆的标准方程怎么求椭圆是平面上一个点到两个不同固定点的距离之和等于常数的点的集合。

在解析几何中，椭圆是一个非常重要的图形，它具有许多独特的性质和特点。

而要求椭圆的标准方程，就需要通过一定的方法和步骤来进行推导和计算。

下面我们将介绍如何求椭圆的标准方程。

首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。

椭圆的标准方程是指通过数学方法得到的一种表示椭圆的方程形式，它可以直观地描述椭圆的形状、位置和大小。

椭圆的标准方程通常采用平面直角坐标系来表示，其中椭圆的中心坐标为(h, k)，长轴和短轴的长度分别为2a和2b。

根据这些基本概念，我们可以通过以下步骤来求解椭圆的标准方程。

首先，我们需要确定椭圆的中心坐标(h, k)和长短轴的长度2a和2b。

在已知椭圆的焦点和顶点坐标的情况下，可以通过一定的方法来求解中心坐标和长短轴的长度。

接着，我们可以利用椭圆的性质和定义来建立椭圆的一般方程。

椭圆的一般方程可以表示为，$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度。

通过这个一般方程，我们可以得到椭圆的标准方程。

接下来，我们可以通过一些代数运算和化简来将椭圆的一般方程转化为标准方程。

首先，我们可以将椭圆的一般方程中的分式进行通分和整理，然后通过配方法将方程转化为标准方程的形式。

最终得到的标准方程形式为，$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$。

在实际应用中，我们也可以通过已知椭圆上的三个点来求解椭圆的标准方程。

通过将这三个点的坐标代入椭圆的一般方程中，可以建立一个包含三个未知数的方程组。

通过求解这个方程组，我们可以得到椭圆的中心坐标和长短轴的长度，进而得到椭圆的标准方程。

总之，求解椭圆的标准方程是一个重要且常见的数学问题，它需要我们熟练掌握椭圆的定义、性质和相关的代数运算方法。

17知识讲解【基础】椭圆的方程

椭圆的方程【学习目标】1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；2.掌握椭圆的定义和标准方程；3.能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形. 要点二、椭圆的标准方程标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系(如图)．设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF 1|+|MF 2|=2a ｝． (3)代数方程即：(4)化简方程由22a c >可得222a cb -=，则得方程22221(0)x y a b a b+=>>关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)．这里c 2=a 2-b 2．椭圆的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；要点诠释：1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222b ac -=；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4. 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b ，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0m n)mx ny m n +=>≠且.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。

椭圆及其标准方程(基础)-学生版

椭圆及其标准方程（基础）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设定点1(2,0)F -，2(2,0)F ，平面内满足124PF PF +=的动点P 的轨迹是（） A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．不存在2．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()0,23．已知椭圆22:1169x y C +=的左右焦点分别是12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点则2ABF ∆的周长为（）A ．B ．16-C ．8D ．164．椭圆2218x y +=上的点P 到一个焦点的距离为P 到另一个焦点的距离为（）A ．4B ．CD ．25．设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．106．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )A ．22143x y +=B ．22143y x +=C ．2211615x y +=D ．2211615y x +=7．已知()1F 、)2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.若2ABF ∆周长是( )A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2211210x y +=D ．22143x y +=8．已知椭圆222:1(0)25x y C m m +=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且12PF F ∆的周长为16，则m 的值是A ．2B ．3C ．D ．49．与椭圆221259x y +=有相同的焦点，且经过点()5,3的椭圆的标准方程是（）A ．2212440x y +=B ．2214024x y +=C ．2213620x y +=D ．2214026x y +=10．椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为4,短轴长为2,则椭圆方程是( )A ．22143x y +=B ．2214x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=11．已知a ，b R ∈，则“0a b >>”是“221x ya b-=表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1210=的化简结果为（）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．221259x y +=D ．221259y x +=13．方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠14．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭15．如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,)+∞16．椭圆221123x y +=的左焦点为1F ，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（）A ．4±B ．2±C ．2±D ．34±二、填空题17．一个椭圆中心在原点，焦点12F F ，在x 轴上，(P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____．18．点P 为椭圆2212516x y +=上一点，M 、N 分别是圆()2234x y ++=和()2231x y -+=上的动点，则PM PN +的取值范围是_______．19．焦点坐标为()5,0-和()5,0，且点()0,12B 在椭圆上，那么这个椭圆的标准方程___________.20．能够说明“方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--的曲线是椭圆”的一个m 的值是______.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，焦距为则椭圆的方程为____.22．设定点()10,3F -，()20,3F ，动点P 满足条件129PF PF t t+=+（t 为常数，且0t >），则点P 的轨迹是______.三、解答题23．已知椭圆()22(3)0x m y m m ++=>的离心率2e =，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．24．动点P (x ，y )8=.试确定点P 的轨迹．25．如图所示，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．26．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．27．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点()0,2A 和12B ⎛ ⎝，求椭圆C 的标准方程.28．已知点()3,4P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，若12PF PF ⊥，试求：（1）椭圆的方程；（2）12PF F △的面积．参考答案1．B2．A3．D4．C5．D6．A7．A8．D9．B10．B11．B12．D13．D14．B15．A16．A17．221 86x y+18．[]7,1319．221 169144x y+=20．32（答案不唯一，只要在m的取值范围内的任何一个值都可以）21．221 4xy+=22．线段12F F或椭圆23．见解析24．点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆25．221 252144x y+=26．221 4015x y+=27．2214yx+=28．（1）2214520x y+=；（2）20。

椭圆及其标准方程逐字稿

椭圆及其标准方程逐字稿
椭圆是一个在平面上的几何图形，它具有特定的形状和性质。

椭圆的标准方程可用以下方
式表示：
(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心点，a和b分别是椭圆在x轴和y轴方向的半长轴。

椭圆的形状由a和b的大小确定。

当a=b时，椭圆变成一个圆形；当a>b时，椭圆变为在x轴
方向上被拉长的形状；当a<b时，椭圆变为在y轴方向上被拉长的形状。

椭圆的中心点(h,k)是椭圆所在的平面上的一个点，可以通过平移椭圆来改变中心点的位置。

椭圆上的点(x,y)满足标准方程的条件，即它到椭圆中心的距离与a和b有关。

当点在椭圆上时，它到椭圆中心的距离等于a；当点在椭圆内部时，它到椭圆中心的距离小于a；当点在椭圆外
部时，它到椭圆中心的距离大于a。

椭圆的标准方程可以用来描述椭圆上的点的位置和形状。

通过改变a、b和中心点的位置，我
们可以得到不同形状和位置的椭圆。