第六章 动态规划

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动态规划

动态规划

多阶段决策问题中,各个阶段采取的决策,一般来说是与时间有关的,决策依赖于当前状态,又随即引起状 态的转移,一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的,故有“动态”的含义,称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性,超出了特定条件,它就失去了作用。同样,动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划(Dynamic Programming,DP)是运筹学的一个分支,是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初,美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等人在研究多阶段决策过程的优化问题时,提出了著名的最优化原理, 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛,包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域, 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述:一个最优化策略具有这样的性质,不论过去状态和决策如何,对前面的决策所形成 的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之,一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后,对于某个给定的阶段状态,它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策,而只能通过当前的这个状态。换句话说,每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性,又 称为无后效性 。
状态:状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件,它不以人们的主观意志为转移,也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置,它既是该阶段某路的起点,同时又是前一阶段某支路的终点 。

第6章动态规划

第6章动态规划

第6章 动态规划动态规划(Dynamic Programming )是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。

它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的,1957年他的专著《动态规划》一书问世,标志着运筹学的一个重要分支-动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。

在动态规划中,把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。

动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法,不像线性规划那样有统一的数学模型和算法(如单纯形法).事实上,在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。

因此,动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。

动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用,并且获得了显著的效果。

在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等,是经济管理中一种重要的决策技术。

许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。

特别是对于离散的问题,由于解析数学无法发挥作用,动态规划便成为了一种非常有用的工具。

动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划;也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。

本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。

6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段,每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。

任何一个阶段(stage ,即决策点)都是由输入(input )、决策(decision )、状态转移律(transformation function )和输出(output )构成的,如图6-1(a )所示.其中输入和输出也称为状态(state ),输入称为输入状态,输出称为输出状态。

动态规划的基本原理和基本应用

动态规划的基本原理和基本应用

动态规划的基本原理和基本应用动态规划(Dynamic Programming)是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。

动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题,以减少不必要的重复计算。

它在计算机科学和数学中具有广泛的应用,尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。

1.确定最优子结构:将原问题分解为较小的子问题,并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。

2.定义状态:确定存储子问题解的状态变量和状态方程。

3.确定边界条件:确定初始子问题的解,也称为边界状态。

4.递推计算:利用状态方程将子问题的解计算出来,并存储在状态变量中。

5.求解最优解:通过遍历状态变量找到最优解。

1.背包问题:背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体,其中最基本的是0/1背包问题,即在限定容量的背包中选择物品,使得所选物品的总价值最大。

可以使用动态规划的思想来解决背包问题,确定状态为背包容量和可选物品,递推计算每个状态下的最优解。

2. 最长递增子序列:最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence)是一种常见的子序列问题。

给定一个序列,找到其中最长的递增子序列。

可以使用动态规划来解决这个问题,状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度,并递推计算每个状态的解。

3.矩阵链乘法:矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。

给定一系列矩阵,求解它们相乘的最小计算次数。

可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题,状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置,递推计算每个状态下最小计算次数。

4.最短路径问题:最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。

可以使用动态规划解决最短路径问题,状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离,递推计算每个状态的最优解。

动态规划算法教学PPT

动态规划算法教学PPT

03
动态规划算法的实现步骤
明确问题,建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件,将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分,将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量,以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段,确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分,将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量,以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来,得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估,确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法,它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限,来寻找最优解。 在动态规划中,分支定界法可以用来 优化状态转移方程,减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛,如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类,解决的问题需要在多个阶段做出决策,每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛,如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中,动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中,动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。

运筹学第六章 动态规划

运筹学第六章 动态规划

f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A ( A,B2) B2 (B2,C1) C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9

动态规划

动态规划

5 . 最短路问题:给定一个交通网络图如下,其 中两点之间的数字表示距离(或花费),试求从A点 到G点的最短距离(总费用最小)。
1 C1 3 6 8 3 D1 1 2 2 2 5 E2 2 D2 E1 3
5
A 3
B1
6
8 B2 7 6
C2
5
3
5
F1
3
4
G
C3 8 C4
3
4 D3
3
3 4 E3
6
6
F2
3.航天飞机飞行控制问题:由于航天飞机的运 动的环境是不断变化的,因此就要根据航天飞机飞 行在不同环境中的情况,不断地决定航天飞机的飞 行方向和速度(状态),使之能最省燃料和实现目 的(如软着落问题)。
不包含时间因素的静态决策问题(本质上是一 次决策问题)也可以适当地引入阶段的概念,作为 多阶段的决策问题用动态规划方法来解决。 4.线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可 以通过适当地引入阶段的概念,应用动态规划方法 加以解决。
f k sk min d k sk , uk sk f k 1 uk sk u k Dk s k f 6 s6 0或 写 成 5 s5 d 5 s5 , F f
k 5,4,3,2,1
动态规划的基本方程(二)
D4(D1)={E1,E2},D4(D2)= {E1,E2}
D5(E1)={F}, D5(E2)={F}
4 A 5
2 B1 3 5 B2 8 7 7
⑷状态转移方程 上例中的状态转移方程sk+1=uk(sk)
C1 5 8 C2 45 3 C3 4 84 C4
D1 3 5 E1 4 6 D2 2 3 E2 1 3 D3

动态规划讲解大全(含例题及答案)

动态规划讲解大全(含例题及答案)
基本模型
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中,有一类活动的过程,由于它的特殊性,可将过程分成若干个互相联系的阶段,在 它的每一阶段都需要作出决策,从而使整个过程达到最好的活动效果。当然,各个阶段决策的选取不 是任意确定的,它依赖于当前面临的状态,又影响以后的发展,当各个阶段决策确定后,就组成一个 决策序列,因而也就确定了整个过程的一条活动路线,如图所示:(看词条图) 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程,这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中,第一个阶段就是点 A,而第二个阶段就是点 A 到点 B,第三个阶段是点 B 到点 C,而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态:状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件,它不以人们的主观意志为转移,也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置,它既是该阶段某路的起点,同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下: 在生物学中,一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的(称之为元素的)序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联(允许重复;串联,相当于 Pascal 中的 “+” 运算符) 组成一个序列 S ,那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子,序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素: {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序,输入一个元素集合以及一 个大写字母序列,计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素(长度为 1..10 )组成的集合,用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写,数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ,长度为 1..200,000 ,用一行或者多行的字符串 来表示,每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行,输出一个整数,表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下: #include <stdio.h>

《动态规划》课件

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特点
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点,能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题,能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案,同时能够高效地解决问题,避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程,对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧, 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题,并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域,包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件,作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径,以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列,可以有效 地避免重复计算,提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列,可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中,通过求解子问题的最短路 径,可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中,计算每个数字需要依赖于 前两个数字,导致重复计算了相同的子问题。

《动态规划算法》课件

《动态规划算法》课件
总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题,通过将问题分解 为多个阶段,并为每个阶段定义状态和状态转移方程, 我们可以找到最优解。在背包问题中,我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解,并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题,用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划, 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较,从 而提高算法效率。在动态规划中,我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解,并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ,子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ,以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解,通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行,以提高计算效率,这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高:动态规划算法需要存储大量的中间状态,因此其空间复杂度通常较高,有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制:由于动态规划算法的空间复杂度较高,因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算:在动态规划算法中,对于每个子问题,可能会被多次计算和存储,这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现:动态规划算法的应用范围有限,对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题,动态规划算法可能不适用。因此,在解决问题时需要仔细分析问题特性,判断是

高等运筹学教学大纲

高等运筹学教学大纲

研究生课程教学大纲格式课程编号:(由研究生院统一编写)课程名称:高等运筹学开课院系:数学系任课教师:刘巍先修课程:高等数学、线性代数、概率论与数理统计适用学科范围:交通信息工程及控制、交通运输规划与管理、物流工程与管理、管理科学与工程、交通工程、企业管理、行政管理学时:36 学分:2开课学期:第一学期开课形式:课堂讲授为主课程目的和基本要求:(200字左右)课程目的是通过本课程的教学使学生掌握运筹学的基本原理和方法,具有运用运筹学思想和方法分析、解决实际问题的能力和创新思维与应用能力。

基本要求:正确理解运筹学方法论,掌握运筹学整体优化思想;熟悉决策分析的思路和过程;掌握线性规划、动态规划、网络模型等基本模型的功能和特点,熟悉其建模条件、步骤及相应技巧;能够采用计算机软件对常用模型进行求解计算和分析,能正确应用各类模型分析、解决一些实际问题;培养和提高学生科学思维、科学方法和创新能力,为进一步的研究和应用打下基础。

课程主要内容:(1000~1500字)第一章线性规划及单纯形法1.线性规划问题及其数学模型2.线性规划问题的几何意义3.单纯形法4.应用举例第二章对偶理论与灵敏度分析1.单纯形法的矩阵描述2.对偶问题的提出3.线性规划的对偶理论4.对偶问题的经济解释—影子价格5.对偶单纯形法6.灵敏度分析第三章运输问题1.运输问题的数学模型2.表上作业法3.产销不平衡的运输问题及其求解方法4.应用举例第四章目标规划1.目标规划的数学模型2.解目标规划的图解法3.解目标规划的单纯形法4.应用举例第五章整数规划1.整数规划问题的提出2.分枝定界法3.割平面解法4.指派问题第六章动态规划1.多阶段决策过程及实例2.动态规划的基本概念和基本方程3.动态规划的最优性原理和最优性定理4.动态规划和静态规划的关系第七章图与网络分析1.基本概念2.最短路问题3.网络最大流问题4.最小费用最大流问题第八章网络设计的图解评审法1.网络计划2.图解评审法第九章决策论1.决策的分类2.决策过程3.不确定型的决策4.风险决策5.效用理论在决策中的应用6.序列决策课程主要教材:1. 《运筹学》(修订版),《运筹学》教材编写组编,清华大学出版社。

运筹学课件(动态规划)

运筹学课件(动态规划)

(二)、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件(简称基本方程)。要做到 这一点,就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段,恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数,从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题, 然后逐个求解。即从边界条件开始,逐段递推寻优, 在每一个子问题的求解中,均利用了它前面的子问题 的最优化结果,依次进行,最后一个子问题所得的最 优解,就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为(30,20),此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为(20,20),此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为(20,10),此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为(20,0),此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3

基于动态规划的全局最优控制

基于动态规划的全局最优控制

(6-1)
ωw
=
ωe R(i)
=
ωm ρ ⋅ R(i)
式中: Tw 为车轮轴输出扭矩 Te 为发动机轴输出扭矩 Tm 为电机轴输出扭矩 Tbh 为摩擦制动器在车轮上产生的制动力矩(负值) R(i)为变速器第 i 档速比与主减速比的乘积 ρ为电机轴与发动机轴的速比
(6-2)
ηT 为变速器与驱动桥的总传动效率
SOC0为初始SOC值,SOCf为行驶循环终端时刻的SOC值,均为预先给定值。为保证 整个循环的SOC平衡,一般令SOCf=SOC0。对于末态R(i(tf))没有约束。如果在性能 指标函数中包含进汽车的污染物排放,那么,所求得的最优控制解是对燃油经济性
和排放的综合最优。考虑排放的 L(x(t),u(t),t) 为如下形式:
ηe为电机轴到变速器输入轴的传动效率
ωw、ωe、ωm分别为车轮、发动机和电机的转速
各部件的机械约束如下:
发动机: Te_ min (ωe ) ≤ Te ≤ Te_ max (ωe )
ω e_min ≤ ω e ≤ ω e_max
电机:
Tm_ min (ω m ) ≤ Tm ≤ Tm_ max (ωm )
L(x(t), u(t),t) = Fuel(t) + α ⋅ Emis(t)
(6-7)
式中 Fuel(t) 表示发动机的瞬时燃油消耗率, Emis(t) 表示发动机的瞬时排放,
Emis(t) 可以只包含一项排放,如 NOx,也可以包含所有的排放指标,依需要取舍。
排放项前面的系数α=0,表示仅考虑燃油经济性;α >0,则表示综合考虑经济性和 排放。
博士学位论文
第六章 基于动态规划的全局最优控制
第六章 基于动态规划的全局最优控制

动态规划

动态规划



状态 B1 在决策 u2 ( B1 ) 作用下的一个新的状态,记作u2 ( B1 ) C2 . 4、策略 策略是一个按顺序排列的决策组成的集合。由过程的第 k 阶段开始到 终止状态为止的过程,称为问题的后部子过程(或称为 k 子过程)。
返回 结束
动态规划
由每段的决策按照顺序排列组成的决策函数序列
k 1,2,, n.
对于动态规划模型的指标函数,应具有可分离性,并满足递推关系
Vk ,n k [ sk , uk ,Vk 1,n ( sk 1 ,, sn1 )]
在实际问题中指标函数都满足这个性质。 常见的指标函数有下列两种形式 (1)过程和任一子过程的指标是它所包含的各阶段指标的和,即
指标函数的最优值,称为最优值函数,记作 f k (sk ) 它表示从第 k 阶段 的状态 sk 开始到第 n 阶段的终止状态的过程,采取最优策略所得到的 指标函数值。即
f k ( sk ) opt Vk ,n ( sk , uk ,, sn1 )
uk ,,un
返回 结束
动态规划
在不同的问题中,指标函数的含义不同,它可能是距离,利润,成本 ,产品的产量,资源消耗等。 二、动态规划的基本思想和基本方程 结合最短路问题介绍动态规划的基本思想 。最短路线有一个重要特性,
这种递推关系式称为动态规划的基本方程。
返回
结束
动态规划
资源分配问题 某工业部门根据国家计划的安排,将某种高效率的设备 五台,分配给所属的甲、乙、丙三个工厂,各工厂若获得 这种设备之后,可以为国家提供盈利如表2-2所示。
问这五台设备应如何分配给工厂,才能使国家得到的 盈利最大。
返回
结束
动态规划
表2-2

数据、模型与决策 第六章 动态规划

数据、模型与决策 第六章 动态规划

• (2)在多阶段决策过程中,动态规划方法是既将当前一阶段和未 来各阶段分开,又将当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最
优化方法。因此,每阶段决策的选取是从全局来考虑的,与该段 的最优选择答案一般是不同的。
• (3)在求整个问题的最优策略时,由于初始状态是已知的,而每
阶段的决策都是该阶段状态的函数,故最优决策所进过的各阶段
f s • k( k) 表示第k周的价格为 s k时,从第k周到第5周采取最优
策略所得的最小期望值。
• 所以,我们得到逆推关系式为: •

第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
• 其中 • Sk 50, 060, 0700 k1, 2, 3, 4, 5
• • 并且得出最优决策为

第六章 动态规划
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
6.1.5动态规划的最优性原理 和最优性定理
动态规划的最优性定理:
• 设阶段数为n的多阶段决策过程,其阶段编号为k=0,1
,…… ,n-1。允许策略
p dd d 是最优决策的 * ( *, *,....*. )
0,n1
01
n1
重要条件,对任一个k,0<k<n-1和 s0S0 有
状态便可逐次变换得到,从而确定了最优路线。
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
• 步骤:
• (1)将系统分为恰当的阶段,并编号;
• (2)确定状态变量sk,状态集合Sk; • (3)确定决策变量dk(sk),以及允许决策的
集合Dk(Sk); • (4)建立状态转移方程Sk+1=Tk(Sk,uk); • (5)建立指标函数Vk,n的关系。

运筹学:第6章:动态规划

运筹学:第6章:动态规划
动态规划问世之初,受计算技术水平的限制,对人们所关心 的许多复杂问题难以进行处理。以后,随着计算技术的进步,动态 规划的思想方法,在工程技术、企业管理、工农业生产以及军事 等部门都有广泛的应用。例如在企业管理方面,动态规划可以 用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存 问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控 制问题等等。
例6-4中,从s到t可以分成四个阶段:s~A(A有三种选择, A1或A2或A3),A~B(B1或B2或B3),B~C(C1或C2),C~t,
因此k=1,2,3,4。
2、状态 表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件。
描述各阶段状态的变量称为状态变量,常用sk表示第k阶段的 状态变量。
状态变量的取值有一定的允许集合或范围,此集合称为状态 允许集合,第k阶段的可能状态集用Sk表示。
8
s6
4
A1
3 6
7
4
A2
3 5
B1 2
5
7
B2 4
C1
2 10
min7 6
12
6 2
A3 6
4 4
B3
C2
二、动态规划的数学模型
动态规划的数学模型可以描述如下:
opt V1,n (s1,u1, s2,u2,, sn ,un )
sk 1 Tk sk ,uk
uskk
Sk
sk
Dk
sk
k 1,2,,n
建立实际问题的动态规划模型一般可遵循以下步骤:
第一,按时间或空间顺序将多阶段决策问题划分为适当的 阶段;
二、多阶段决策问题举例
【例6-1】生产与存贮问题。某工厂每月需供应市场一定数量 的产品,并将所余产品存入仓库。一般某月适当增加产量可降 低生产成本,但超产部分存入仓库会增加库存费用。要求确定 一个逐月的生产计划,在满足需求的条件下,使一年的生产与 存贮费用之和最小。
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C1 C2 C3
D1 D2
5 2
E
1
4
(3) 决策与决策集 决策——x k( S k) :每阶段状态给定后,从该状 态演变到下阶段某状态的选择。 决策集——D k( S k):状态S k的可能决策的集 合。
注:• x k( S k) ∈D k( S k); • 状态是客观条件,而决策是主观选择。 例:最短路问题中, x 2( B 1) =C1 ∈ D 2(B 1) 12 C1 3 B1 2 14 9 D1 6 5 5 C2 B2 10 6 A 4 5 1 13 D2 2 8 B3 12 C3 10 11
和允许状态s1 , 有f1 = opt{v1k + f k +1} 。
p1k
推论( Bellman 最优性原理):若 P 是最优策略,
∗ 1n
则对任何 k (1 < k < n),子策略 P 对于以 s 为起
∗ ∗ kn k
点的 k 至 n子过程来说必为最优策 略。
以最短路为例说明
(2)基本方程 根据最优性原理,可建立从后向前逆推求 解的递推公式——基本方程:
6 . 阶段指标——每阶段选定决策xk后所产生的效 益,记 vk= vk(Sk, xk)。
指标函数——各阶段的总效益,记相应于Pkn的指标函数 为vkn= vkn(Sk, Pkn )。其中最优的称最优
指标函数。 最优指标:指标函数的最优值
Max 或 Min
fk(Sk)=opt Vkn
问题:动态规划的最优解和最优值各是什么? ——最优解:最优策略P1n , 最优值:最优指标f1。
max Z = ∑ g i ( x i ) ⎧ ⎪∑ x i ≤ a st ⎨ i =1 ⎪ ⎩ xi ≥ 0
n i =1
模型特点:变量分离
3. 用动态规划法求解 阶段:k=1,…,n;表示把资源分配给第k种产品的过程; 状态Sk: 表示把资源分配给第k种产品之前的剩余资源量; (即用于k~n可支配资源量) 决策 第k种产品的资源分配量; xk: 状态转移方程: Sk+1= Sk-xk; 阶段指标: Vk= gk(xk);
阶段指标: Vk= 8xk+5(Sk-xk) ; 指标函数:Vk 5 = ∑ Vi
⎧ f k = max {Vk + f k +1 } k = 5, " ,1 基本方程:⎨ ⎩ f6 = 0 K=5. f 5 = max {V5 + f 6 } = max {8 x5 + 5( S 5 − x5 )}
1. 离散型 A
2 5 1
12 B1 14 6 B2 10 4 13 B3 12 11
C1 C2 C3
9 5 6
3
D1
5
D2 8 10
E
2
1 2 3 4 方法:先从后向前计算,再从前向后找出最短路线。 k=1,2,3,4; 解:阶 段:状态S : k 第k阶段初可能处的位置; 决策xk: 第k阶段选哪条路; 阶段指标: Vk—路长; 指标函数: Vkn =
E
(4) 状态转移方程 第k+1阶段的状态完全由第k阶段的状态Sk和 决策xk确定,即由Sk转变为Sk+1的规律 Sk+1=Tk(Sk , xk)
2
B1
5 1
12
A
14 6 B2 10 4 13
C1
9
3
C2 C3
6 5 8 10
D1 D2
5
E
2
B3
12 11
(5) 策略:由每阶段决策组成的决策序列,记作 P1n={x1,……,xn} 后部子策略:从第k阶段开始到最后的决策序列,记作 Pkn={xk,……,xn}
vk
0 4 6 11 12 12
vk+fk+1
0+0 4+0 6+0 11+0 12+0 12+0
fk
0 4 6 11 12 12
P
0 1 2 3 4 5
∗ kn
3
k
Sk
0 1 2
xk
0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5
vk
0 0 5 0 5 10 0 5 10 11 0 5 10 11 11 0 5 10 11 11 11
n
注: ¾ 一般的, Vkn = ∑ Vi
i =k

∗ 1n
¾ fk(Sk)只与Sk有关,而与xk无关; ¾ 求解动态规划的最优解:
P (最优策略)
f1(S1) (最优目标)
三.动态规划基本原理与基本方程 (1)基本原理
∗ ∗ ∗ 定理:P = ( x , , x 1 < k < n) " 1n 1 n )是最优策略 ⇔ 对任何k(
vk+fk+1
0+0 0+4 5+0 0+6 5+4 10+0 0+11 5+6 10+4 11+0 0+12 5+11 10+6 11+4 11+0 0+12 5+12 10+11 11+6 11+4 11+0
Vk+ fk+1 2+20 5+14 1+19
fk 19
Pkn * A1—B2—C1 —D1—E
∴ 最短路线: A1—B2—C1—D1—E 最短距离:19
2. 连续型 例:某机器可在高低两种负荷下生产,高负荷 年产量为8、完好率为0.7,低负荷年产量为5、 完好率为0.9。现有完好机器1000台,制定一个 5年计划,确定每年安排高低各多少台,可是总 产量最高?
k xk k k +1 4
i =k
i
i
问题:本问题是属于离散型还是属于连续型?怎样解? ——离散型,用表格的方式求解。
效益 设备台数 0 1 2 3 4 5

甲 0 3 7 9 12 13
乙 0 5 10 11 11 11
丙 0 4 6 11 12 12
k
Sk
0 1 2 3 4 5
xk
0 1 2 3 4 5
⎧ f k = max {Vk + f k +1 } k = n," ,1 基本方程:⎪ ⎨ ⎪ ⎩ f n +1 = 0
指标函数:Vkn = ∑ Vi
i =k

n
例3 某公司拟将某种高效设备5台分配给所属甲、 乙、丙3厂。各厂获此设备后可产生的效益如下 表。问应如何分配,可使所产生的总效益最大?
效益 设备台数 0 1 2 3 4 5 厂 甲 0 3 7 9 12 13 乙 0 5 10 11 11 11 丙 0 4 6 11 12 12
v +f } ⎧ ⎪ f = opt { ⎨ ⎪ ⎩ f = 0, k = n , " ,1
k xk k k +1 n +1
四、动态规划的求解方法
求解步骤:
(1)确定过程的分段,构造状态变量; (2)设置决策变量,写出状态转移; (3)列出阶段指标和指标函数;
离散问题有时不 能用解析式表 达!
(4)写出基本方程,由此逐段递推求解。
0≤ x4 ≤ S 4 0≤ x4 ≤ S 4
∗ = max {1.4 x4 + 12.2 S 4 } ∴ x4 = S4 , f4 = 13.6 S4
同理: K=3.
f 3 = max {V3 + f 4 } = max {0.28 x3 + 17.24 S 3 }
∗ 3
0≤ x 3 ≤ S 3
∗ 2
0≤ x 2 ≤ S 2
∴ x = 0, f1 = 23.72 S1 = 23720
故最优计划为:
年份 高负荷 低负荷 1 0 1000 2 3 4 567 0 5 397 0 0 810 900 0
∗ 1
0 ≤ x1 ≤ S 1
总产量:23720
§2
动态规划应用举例
一、 资源分配问题 1. 问题一般提法: 设有某种资源,总数量为a,用于生产n种产 品,若分配数量xi用于生产第i种产品,其收益为 gi(xi)。 问题:应如何分配可使总收益最大? 2. 静态模型 n
9 5 6
3
D1 D2
5 2
E
8 10 3
1
4
(2) 状态与状态集 状态:每阶段可能处的位置或条件,是决策的前 提和背景。记作——S k 状态集:{S k},即第k阶段状态可能取值的集 合。
注:动态规划按{S k}是否连续,分为 连续型 离散型 3 9 5 6 8 10 3
2
B1 12
5 1
A
14 6 B2 10 4 13 B3 12 11 2
i =k
5
= max {3 x5 + 5 S 5 }
0≤ x5 ≤ S 5
0≤ x5 ≤ S 5
∴ x = S5 , f 5 = 8 S5
K=4. f 4 = max {V4 + f 5 } = max {8 x4 + 5( S 4 − x4 ) + 8 S 5 }
0≤ x4 ≤ S 4
∗ 5
= max {3 x4 + 5 S 4 + 8[0.7 x4 + 0.9( S 4 − x4 )]}
解:阶段k =1,2,3依次表示把设备分配给甲、乙、丙厂的过程; 状态sk 表示在第k阶段初还剩有的可分台数; 决策xk 表示第k阶段分配的设备台数; 状态转移sk+1 = sk- xk ; 阶段指标vk 表示第k 阶段分配后产生的效益; 指标函数vk3 = ∑v ( x );
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