山东省泰安市高三一模(数学理)(word版)

泰安市高三第一轮复习质量检测数 学 试 题（理科）
一、选择题：本大题共12个小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数
2()1ai
a i
+∈-R 是纯虚数(i 是虚数单位)，则a 的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
2．已知a b c 、、均为实数，则""a b >是2
2
""ac bc >成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．已知双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线方程为43y x =，
则双曲线的离心率为
A ．
5
3 B
C ．5
4
D
4．若右面的程序框图输出的S 是126，则①应为 A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤
5．如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2
y x = 图象下方的点构成的区域。

在D 中随机取一点，则该点在E 中的 概率为 A ．
1
5
B ．
1
4
C ．
1
3
D ．
12
6．在ABC ∆中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边，且2
2
sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，则角C 等于
A ．
6
π B ．
3
π C ．
56
π D ．
23
π 7．定义在R 上的函数(1)y f x =+的图像如图所示，它在定义域上 是减函数，给出如下命题：
①(0)1f =；②(1)1f -=；③若0x >，则()0f x <；
④若0x <，则()1f x >。

其中正确的命题是
A ．②③
B ．①④
C ．②④
D ．①③
8．如图，在棱长均为1的三棱锥S ABC -中，E 为棱SA 的中点，F 为
ABC ∆的中心，则直线EF 与平面ABC 所成角的正切值是 A
．B ．1
C
D
．
2
9．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(,),(1)2,f x y f x f y xy x y f +=++∈=R 则(2)f -等于 A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
10．已知非零向量,a b 满足：2=||||a b ，若函数3211
()32
f x x x x =
++⋅||a a b 在R 上有极值，设向量,a b 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为 A ．[1[,1]2
B ．1(,1]2
C ．1[1,]2
- D ．1
[1,)2
-
11．如果直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M N 、两点，且M N 、关于直线0x y +=对
称，则不等式组 1
0,
0,0,
kx y kx my y -+≥-≤≥表示的平面区域的面积是
A ．
1
4
B ．
1
2
C ．1
D ．2
12．某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则
该钢厂2010年的年产量约为
A ．60万吨
B ．61万吨
C ．63万吨
D ．64万吨
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

请把答案填在答题纸的相应位置。

13．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积为 。

14．如果函数2sin(2)y x ϕ=+的图像关于点(
,0)3
π
中心对称，那么ϕ||的最小值为 。

15．若(12)n x +展开式中含3
x 的项的系数等于含x 的项系数的8倍， 则n 等于 。

16．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 依次交抛物线
及其准线与点A B C 、、，若2BC BF ||=||，且3AF ||=，则
抛物线的方程是 。

三、解答题：本大题共6个小题，满分74分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

请将
解答过程写在答题纸的相应位置。

17．(本小题满分12分) 已知函数44cos 2cos 21()sin()sin()
44
x x f x x x ππ
--=
+-
(Ⅰ)求11()12
f π
-
的值； (Ⅱ)当[0,
)4
x π
∈时，求g 1
()()sin 22
g x f x x =
+的最大值和最小值。

18．(本小题满分12分)
某校举行了“环保知识竞赛”，为了解本次竞赛成 频率分布表 绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数， 满分100分)，进行统计，请根据频率分布表中所提供
的数据，解答下列问题：
(Ⅰ)求a b c 、、的值及随机抽取一考生其成绩不
低于70分的概率；
(Ⅱ)按成绩分层抽样抽取20人参加社区志愿者活 动，并从中指派2名学生担任负责人，记这2名学生中 “成绩低于70分”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望。

19．(本小题满分12分)
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知。

1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-=
(Ⅰ)求{},{}n n a b 的通项公式；
(Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意n ∈*N 都成立；
求证：数列{}n c 是等比数列。

20．(本小题满分12分)
如图，已知AB ⊥平面,//,BCE CD AB BCE ∆是正三角 形，2AB BC CD ==。

(Ⅰ)在线段BE 上是否存在一点F ，使//CF 平面ADE ? (Ⅱ)求证：平面ADE ⊥平面ABE ；
(Ⅲ)求二面角A DE B --的正切值。

21．（本小题满分12分)
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个
端点与F 构成正三角形。

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P Q 、，试问在x 轴上是否存在定点(,0)E m ，使
PE QE ⋅恒为定值?若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由。

22．(本小题满分14分)
已知函数()ln x
f x a x a =-，其中(1,]a e ∈ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；
(Ⅱ)求证：对12,[1,1]x x ∀∈-，都有12()()2f x f x e -≤-||。

泰安市高三第一轮复习质量检测 数学参考答案及评分标准（理科）
一、选择题：(每小题5分，共60分)
二、填空题：(每小题4分，共16分) 13．π 14．3
π
15
．5 16．23y x =’ 三、解答题： 17．解：（Ⅰ）22(1cos 2)2cos 21cos 2()sin()sin()
sin()cos()
4444
x x x f x x x x x ππ
ππ
+--=
=
+-++
222cos
22cos 22cos 2cos 2sin(2)2
x
x
x x x π=
==+…………………………………4分 1111()2cos()2cos 1266
f πππ
∴-
=-==6分 (Ⅱ)()cos 2sin 2)4
g x x x x π
=+=
+ ……………………………………8分
[0,)
4x π
∈
32[,)444x π
ππ
∴+
∈ ………………………………………………………………10分 ∴当8
x π
=
时，max ()g x =
当0x =时．min ()1g x =……………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) 100a = 20b = 0.35c =
由频率分布表可得成绩不低予70分的概率为：
0.350.300.100.75p =++=……………………………………………………………4分
（Ⅱ)由频率分布表可知，“成绩低予70分”的概率为0.25
∴按成绩分层抽样抽取20人时．
“成绩低于70分”的应抽取5人………………6分 ξ的取值为0,1,2
2
1522021
(0)38c p c ξ===
1151522015
(1)38
c c p c ξ===
252201
(1)19
c p c ξ===
ξ∴的分布列为
………………………………………………………9分
21
1511
0123838192
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯=………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >
由题意得
2
375
d q q q d +=+-=……………………………………………………………2分
解得 1
2
d q ==
132n n n a n
b -∴==⨯………………………………………………………5分
(Ⅱ)由11212(1)22n n n c c n c nc n +-++
+-+=--
知12212(2)(1)2(1)2(2)n n n c c n c n c n n --++
+-+-=---≥
两式相减：12121(2)n n n c c c c n -++++=-≥………………………………8分
1122121(3)n n n c c c c n ---∴++
++=-≥
12(3)n n c n -∴=≥…………………………………………………………………10分 当1,2n =时，121,2c c ==，适合上式 1
2
()n n c n -∴=∈*N
即{}n c 是等比数列…………………………………………………………………12分 20．解：(Ⅰ)当F 为BE 的中点时，//CF 平面ADE ………………………………………1分
证明：取BE 的中点F 、AE 的中点G ，连结FG GD CF 、、 1
,//2
GF AB GF AB ∴=
1
,//2
DC AB CD AB =
B //CD GF ∴
CFGD ∴是平行四边形……………………3分 //CD GD ∴
//CF ∴平面ADE …………………………4分
(Ⅱ)
,CF BF CF AB ⊥⊥
CF ∴⊥平面ABE //CF DG
DG ∴⊥平面ABE ……………………………………………………………………6分 DG ⊂平面ADE
∴平面ABE ⊥平面ADE ……………………………………………………………7分 (Ⅲ) AB BE = AE BG ∴⊥
BG ∴⊥平面ADE
过G 作GM DE ⊥，连结BM ，则BM DE ⊥
则BMG ∠为二面角A DE B --的平面角………………………………………9分 设22AB BC CD ===，则
BG GE == 在Rt DCE ∆中，1,2CD CE ==
DE ∴=
又DG CF ==
由DE GM DG EG ⋅=⋅得5
GM =
…………………………………………11分
tan BG BMG GM ∴∠=
=
∴面角A DE B --………………………………………………12分
21．解：(Ⅰ)由题意知抛物线的焦点F
c ∴=1分
又椭圆的短轴的两个端点与F 构成正三角形 1b ∴=
∴椭圆的方程为2
214
x y +=……………………………………………………3分 (Ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为：(1)y k x =-
2
214(1)
x y y k x +==- 2222(41)8440k x k x k +-+-= 1122(,),(,)P x y Q x y
2
212122284441
41
k k x x x x k k -∴+=
=++………………………………………5分
则1122(,)
(,)PE m x y QE m x y =--=--
∴1212()()PE QE m x m x y y ⋅=--+
2121212()m m x x x x y y =-+++
22121212()(1)(1)m m x x x x k x x =-+++--
222
22
22
222844448(1)41414141
k k k k m m k k k k k --=-++-+++++ 2222(481)(4)
41
m m k m k -++-=+……………………………………7分
22222
11
(481)()(4)(481)
4441m m k m m m k -+++---+=+ 2217214(481)441m m m k -
=-+++……………………………………9分 当17204m -= 即178m =时PE QE ⋅为定值33
64
…………………………10分 当直线l 的斜率不存在时，(1,(1,22
P Q - 由17
(
,0)8
E 可得
939(,)(,8282PE QE =-=
81333
64464PE QE ∴⋅=
-= 综上所述当17(,0)8E 时，PE QE ⋅为定值33
64
……………………………………12分
22．解：(Ⅰ)
()ln x f x a x a =-
()ln ln (1,]x f x a a a a e '∴=-∈…………………………………………………1分
由()0f x '>可得0x >
()0f x '=可得0x = ()0f x '<可得0x <
()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增…………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]在单调递增
∴当0x =时()f x 取得最小值min ()(0)1f x f ==
max ()max{(1),(1)}f x f f =-……………………………………………………6分
又1
(1)ln ,(1)ln f a a f a a
=--=
+ 1
(1)(1)2ln f f a a a
--=-
- 设1
()2ln ,[1,]g a a a a e a =-
-∈ 22121
()1(1)0g a a a a
'=+-=->
()g a ∴在[1,]e 上单调递增．又(1)0,()0,[1,]g g a a e =∴>∈ (1)(1)0,(1)(1)f f f f ∴-->∴>-
∴在[1,1]-上，()f x 的最大值为(1)ln f a a =-……………………………9分 ∴对12,[1,1]x x ∀∈-，都有12()()(1)(0)f x f x f f -≤-||
又(1)(0)ln 1f f a a -=--
即对12,[1,1]x x ∀∈-，都有12()()ln 1f x f x a a -≤--||…………………11分
设()ln 1,[1,]h a a a a e =--∈则 1
()10h a a
'=-
> ()h a ∴在(1,]e 上单调递增，max ()()2h a h e e ∴==- ln 12a a e ∴--≤-
综上所述，对12,[1,1]x x ∀∈-，都有12()()2f x f x e -≤-||…………14分。