2020高考人教版数学理科一轮复习课后练52【椭圆】及解析
【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案
教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。
高考数学统考一轮复习课后限时集训52椭圆及其性质理含解析新人教
学习资料课后限时集训(五十二）椭圆及其性质建议用时：40分钟一、选择题1．（2019·北京高考)已知椭圆x2a2＋错误!＝1（a〉b〉0)的离心率为错误!，则() A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4bB［由题意,错误!＝错误!，得错误!＝错误!，则错误!＝错误!，∴4a2－4b2＝a2,即3a2＝4b2.故选B．]2．已知方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（) A．错误!B．（1，＋∞)C．(1,2）D．错误!C［由题意得错误!解得1＜k＜2.故选C．］3．（2020·皖南八校联考）已知椭圆C的焦点为F1(－1，0），F2(1，0）．过点F1的直线与C交于A，B两点．若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为（）A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1C[根据椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝8，∴a＝2，又c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝1.］4．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为()A．3－错误!B．错误!－1 C．错误!D．错误!B[设椭圆的两个焦点为F1,F2，圆与椭圆交于A,B，C，D四个不同的点,设错误!＝2c，则错误!＝c，错误!＝错误!c。
由椭圆定义,得2a＝|DF1|＋|DF2|＝错误!c＋c，所以e＝错误!＝错误!＝错误!－1，故选B．]5．(2020·武邑模拟)点P在焦点为F1（－4,0)和F2（4，0）的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16,则椭圆标准方程为（)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1C［由题意，2c＝8，即c＝4,∵△PF1F2面积的最大值为16，∴错误!×2c×b＝16，即4b＝16，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝16＋16＝32.则椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.故选C．］6．已知椭圆C:错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点．若∠A1P A2的最大值可以取到120°,则椭圆C的离心率为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!D［由题意知,当点P在椭圆的短轴端点处时,∠A1P A2有最大值，则tan 60°＝错误!，即错误!＝错误!.所以e2＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，即e＝错误!,故选D．]二、填空题7．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为．（－5，0）［∵圆的标准方程为（x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为（3,0)，∴c＝3。
2020版高考数学一轮复习教案 第8章_第5节_椭圆(含答案解析)
a，b，c 的关系
c2＝a2－b2
[常用结论] 与椭圆定义有关的结论
x2 y2
以椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)上一点 a2 b2
P(x0，y0)(y0≠0)和焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的
△PF1F2 中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)
＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 3.]
2．(2019·济南调研)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1 内
部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
x2 y2 A. － ＝1
64 48
x2 y2 B. ＋ ＝1
48 64
x2 y2 C. － ＝1
48 64
x2 y2 D. ＋ ＝1
64 48
D [设圆 M 的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以 M 的轨
y2 x2 ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2
图形
－a≤x≤a，
－b≤x≤b，
范围
－b≤y≤b
－a≤y≤a
性质
对称性 顶点 离心率
对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0)， A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：52 椭圆 Word版含解析
课时作业52椭圆一、选择题x2 y21．设F1，F2 分别是椭圆＋＝1 的左、右焦点，P为椭圆上25 16一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(A) A．4 B．3C．2 D．51解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，2∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.x2 y2 x2 y2 2．(2019·开封模拟)曲线C1：＋＝1 与曲线C2：＋25 9 25－k9－k＝1(k<9)的(D)A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：因为c21＝25－9＝16，c2＝(25－k)－(9－k)＝16，所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等．x23．已知实数4，m,9 构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1m的离心率为(C)30A. B.6730 5C. 或7D. 或6 67解析：由题意知m2＝36，解得m＝±6.当m＝6 时，该圆锥曲线30表示椭圆，此时a＝6，b＝1，c＝5，则e＝；当m＝－6 时，6该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝6，c＝7，则e＝7.故选C.x 2 y 2 4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点 F 1，F 2 分别为椭圆 C ： ＋ ＝ 4 3 1 的左、右焦点，若点 P 在椭圆 C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2| ＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝4， |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60° ＝|F 1F 2|2，得 3|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选 A.x 2 y 25．焦点在 x 轴上的椭圆方程为 ＋ ＝1(a >b >0)，短轴的一个端a 2b 2b点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为 ，则3 椭圆的离心率为( C )1 1 A.B.4 3 1 2 C. D. 2 3 解 析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由 1 1 bc 1 三角形面积公式得 ×2c ·b ＝ (2a ＋2c )· ，得 a ＝2c ，即 e ＝ ＝ ，故223a 2选 C.x 2 y 26．正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 ＋ ＝1(a >b >0)上，若椭 a 2 b 2圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )5－1 A.(，1)B.(0， 25－1 2 )3－1C.( ，1)D.(0，2 3－1 2 )解析：设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴Earlybirdx2 y2 m2 m>c.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，∴a2 b2 a2m2 c2 c2 e2 3－ 5＋＝1> ＋＝e2 ＋，整理得e4 －3e2 ＋1>0 ，e2< ＝b2 a2 b2 1－e2 25－1 2 5－1，∴0<e< .故选B.4 2二、填空题7．(2019·河北保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，且与圆x2 y2C2：(x－3)2＋y2＝81 内切的动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1.25 16解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2| ＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)x2 y2为焦点，长轴长为10 的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.25 16x2 y28．(2019·四川南充模拟)已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左、右焦点4 b2分别为F1，F2，过F1 的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是 3.解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2| ＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过2b2椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3，所以b2＝3，即b＝ 3.ax2 y29．(2019·云南昆明质检)椭圆＋＝1 上的一点P到两焦点的距9 25离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是(－3,0)或(3,0)．解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.|PF1|＋|PF2|则m＝|PF1|·|PF2|≤( 2 )2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．Earlybirdx2 y210．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦a2 b2所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的3离心率是.2x2 y2解析：设直线x－y＋5＝0 与椭圆＋＝1 相交于A(x1，y1)，a2 b2B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝y2－y12.易知直线AB的斜率k＝＝1.由Error!两式相减得，x2－x1x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2＋＝0，a2 b2y1－y2 b2 x1＋x2 b2 1所以＝－·，所以－＝，x1－x2 a2 y1＋y2 a2 4c b2 3于是椭圆的离心率e＝＝＝.1－a a2 2三、解答题11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－33 3 (1，).，0)，F(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积．x2 y2解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可得Error!a2 b2解得Error!x2故椭圆C的方程为＋y2＝1.43 3(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，2 2A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋3mx＋m2－1Earlybird＝0，由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，Error!→→→→ 3 由OA⊥OB，得OA·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x2＋mOB OA OB23 7 3 7 3 5 x1＋m＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝(m2－1)＋m·(－3m)＋m2＝24 2 4 2 47 7m2－＝0，得m2＝.4 534又|AB|＝1＋x1＋x 22－4x1x27 |m| |m|＝·4－m2，O到直线AB的距离d＝＝.2 731＋4 21 1 7 |m| 91所以S△AOB＝|AB|·d＝×× 4－m2×＝.2 2 2 7 102x2 y212．已知椭圆C：＋＝1，直线l：x＋y－2＝0 与椭圆C相3m m交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合．(1)求椭圆C的离心率；(2)当S△OPQ＝2 时，求椭圆C的方程；(3)过原点O作直线l的垂线，垂足为N.若|PN|＝λ|BQ|，求λ的值．c2 2解：(1)a2＝3m，b2＝m，c2＝2m，e2＝＝，a2 36故e＝.3(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将x＋y－2＝0 代入椭圆C的方程并整理得4x2－12x＋12－3m＝0，依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m)>0 得m>1.Earlybird且有Error!|PQ|＝1＋k2|x1－x2|＝2·9－12－3m＝ 6 m－1，原点到直线l的距离d＝2，1 1 7所以S△OPQ＝|PQ|·d＝×6·m－1×2＝2，解得m＝>1，故2 2 3x2 3y2椭圆方程为＋＝1.7 7(3)直线l的垂线为ON：y＝x，由Error!解得交点N(1,1)．因为|PN|＝λ|BQ|，又x1＋x2＝3，|PN| |x1－1| |2－x2|所以λ＝＝＝＝1，故λ的值为1.|BQ| |x2－2| |x2－2|x2 y213．(2019·合肥市质量检测)如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右a2 4焦点分别为F1，F2，过F1 的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为(D)A．20 B．10C．2 5 D．4 5解析：由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，Earlybird4又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得Error!得N(c，)，∴a2－ 22 2 4c2 aH(0，)，M(－2c，－)．把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝a a a2 4a2－1 a2－11，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴4 4a＝ 5.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4 5，故选D.x2 y214．(2019·南昌摸底调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心a2 b23率为，短轴长为2.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，5若k OM·k ON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．4c 3解：(1)由题知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，a 2∴b＝1，a＝2，x2∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.4(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得Error!得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1，①8km4m2－4x1＋x2＝－，x1x2＝，4k2＋1 4k2＋1y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，5 y1y2 5 若k OM·k ON＝，则＝，4 x1x2 4 即4y1y2＝5x1x2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2， 4m 2－1 8km∴(4k 2－5)· ＋4km ·(－ )＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－4k 2＋1 4k 2＋11)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，5化简得 m 2＋k 2＝ ，②46 1 5由①②得 0≤m 2< ， <k 2≤ ，5 20 4|m |∵原点 O 到直线 l 的距离 d ＝ ，1＋k 25－k 2m 2 4 9∴d 2＝ ＝ ＝－1＋ ，1＋k 2 1＋k 2 41＋k 21 5 8又 <k 2≤ ，∴0≤d 2< ，20 4 72 14∴原点 O 到直线 l 的距离的取值范围是[0， )． 7尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用x 2 y 215．(2019·郑州市第一次质量预测)已知椭圆 ＋ ＝1(a >b >0)的 a 2 b 2左顶点和上顶点分别是 A ，B ，左、右焦点分别是 F 1，F 2，在线段 AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( B )3 3－ 5 A.B. 2 2 －1＋ 5C.D. 23－1 2 解析：如图，由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段 AB 上有 且只有一个点 P 满足 PF 1⊥PF 2，得点 P 是以点 O 为圆心，线段 F 1F 2 为直径的圆 x 2＋y 2＝c 2 与线段 AB 的切点，连接 OP ，则 OP ⊥AB ，且 OP ＝c ，即点 O 到直线 AB 的距离为 c .b又直线AB的方程为y＝x＋b，整理得bx－ay＋ab＝0，点O到aab直线AB的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2＋a2b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以b2 b2 b2 －1＋ 5 c2 a2－b2 b2 a4，得( )2＋－1＝0，可得＝，则e2＝＝＝1－＝a2 a2 a2 2 a2 a2 a2－1＋ 5 3－ 51－＝，故选B.2 2x2 y2 y2 x2 16．(2019·重庆六校联考)如图，记椭圆＋＝1，＋＝1 内25 9 25 9部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：①P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称；③曲线C所围区域的面积必小于36；④曲线C的总长度不大于6π.其中正确命题的序号是②③.x2 y2解析：对于①，若点P在椭圆＋＝1 上，P到F1(－4,0)，25 9F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程，得Error!得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6 的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域的内切圆为半径为3 的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故④错．故答案为②③.。
人教版2020高考数学(理科)一轮复习课时作业：52 椭圆_含解析
课时作业52 椭圆一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( A )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.2．(2019·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( D )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：因为c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝16，所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( C )A.306B.7C.306或7D.56或7 解析：由题意知m 2＝36，解得m ＝±6.当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，则e ＝306；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，则e ＝7.故选C.4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝4， |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60° ＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.5．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( C )A.14B.13C.12D.23 解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝(5－1)24，∴0<e <5－12.故选B. 二、填空题7．(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|＝6，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是 3.解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3，所以b 2＝3，即b ＝ 3.9．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是(－3,0)或(3,0)．解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是32.解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2－＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.三、解答题11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋32x 2＋m 32x 1＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75.又|AB |＝1＋34(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72. 所以S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.12．已知椭圆C ：x 23m ＋y 2m ＝1，直线l ：x ＋y －2＝0与椭圆C 相交于两点P ，Q ，与x 轴交于点B ，点P ，Q 与点B 不重合．(1)求椭圆C 的离心率；(2)当S △OPQ ＝2时，求椭圆C 的方程；(3)过原点O 作直线l 的垂线，垂足为N .若|PN |＝λ|BQ |，求λ的值．解：(1)a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝2m ，e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将x ＋y －2＝0代入椭圆C 的方程并整理得4x 2－12x ＋12－3m ＝0，依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m )>0得m >1.且有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝12－3m4，|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·9－(12－3m )＝6m －1， 原点到直线l 的距离d ＝2，所以S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12×6·m －1×2＝2，解得m ＝73>1，故椭圆方程为x 27＋3y 27＝1.(3)直线l 的垂线为ON ：y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，解得交点N (1,1)． 因为|PN |＝λ|BQ |，又x 1＋x 2＝3，所以λ＝|PN ||BQ |＝|x 1－1||x 2－2|＝|2－x 2||x 2－2|＝1，故λ的值为1.13．(2019·合肥市质量检测)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( D )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎨⎧x ＝c ，x 2a 2＋y 24＝1，得N (c ，4a )，∴H (0，2a )，M (－2c ，－2a )．把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋(－2a )24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.14．(2019·南昌摸底调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54， ∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， ∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94(1＋k 2)，又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是[0，2147)． 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·郑州市第一次质量预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( B )A.32B.3－52 C.－1＋52D.3－12解析：如图，由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .又直线AB 的方程为y ＝ba x ＋b ，整理得bx －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝abb 2＋a 2＝c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a 4＝0，两边同时除以a 4，得(b 2a 2)2＋b 2a 2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－－1＋52＝3－52，故选B. 16．(2019·重庆六校联考)如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号是②③.解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．故答案为②③.。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题50 椭圆(解析版)
考点50 椭圆1．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C：22221x ya b+=，()0a b>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（）A ．2 B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( ) A 32B 31-C 2D 3【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以3131c e a ===-+, 故选：B ．4．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【答案】12【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（河南省洛阳市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =u u u v u u u v，则椭圆的离心率为______. 【答案】3【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=u u u v由2AF FB =u u u v u u u v 得：23AF c AB BC ==u u u vu u uv u u u v 32BC c ∴=u u u v ，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-u u u v232B AF a a c c a ex FB a a ∴===--⋅u u u v u u u v ，整理可得：223a c = 213e ∴=，即3e =本题正确结果：37．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O，球2O的半径分别为3和1，球心距离128OO=,截面分别与球1O，球2O切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O，2O分别相切与B,A，连接12,O B O A则1O B AB^，2O A AB^，过1O作12O D O A^垂直于D，连接12,O F O E，EF交12O O于点C设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β在12Rt O O DD中，2312DO=-=，22182215O D=-=11221515cos84OO ODa\===128O OQ=218CO O C\=-21EO C FO CD DQ:11218O C O CO E O F-\= 解得1=2O C 222211213CF O FO C \=-=-=即13cos 2CF O C b ==则椭圆的离心率3cos 252cos 515e b a ===8．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=u u u r u u u r，当230t <≤时，求λ的取值范围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……② 因为AP PB λ=u u u r u u u r，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解λ⎫⎛∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦U 由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =±【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】（1）由2OC OB BC BA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，得2B A C C =u u u r u u u r，即2O A C C =u u u r u u u r ，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=u u u r u u u r ，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（天津市河北区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQV为等边三角形，求直线1l 的方程。
高考数学(理科)一轮复习椭圆学案带答案
高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案51 椭圆导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理．椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m||mF1|＋|mF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：若________，则集合P为椭圆；若________，则集合P为线段；若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1，A2B1，B2A1，A2B1，B2轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测．已知△ABc的顶点B、c在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在Bc边上，则△ABc的周长是A．23B．6c．43D．122．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1的焦点在y轴上，则α的取值范围是A.3π4，πB.π4，3π4c.π2，πD.π2，3π44．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的A．7倍B．5倍c．4倍D．3倍5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是，那么k等于A．－1B．1c.5D．－5探究点一椭圆的定义及应用例1 一动圆与已知圆o1：2＋y2＝1外切，与圆o2：2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：长轴是短轴的3倍且经过点A；经过两点A和B12，3.变式迁移2 已知椭圆过，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1、P2，求椭圆的标准方程．探究点三椭圆的几何性质例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥om.求椭圆的离心率e；设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．方程思想的应用例已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为12，且经过点m，过点P的直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B.求椭圆c的方程；是否存在直线l，满足PA→•PB→＝Pm→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆c的方程为x24＋y23＝1.[4分] 若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y ＝k＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，得x2－8kx＋16k2－16k－8＝0.[6分]因为直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为，，所以Δ＝[－8k]2－4••>0.整理得32>0，解得k>－12.[7分]又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，且PA→•PB→＝Pm→2，即＋＝54，所以＝54，即[x1x2－2＋4]＝54.[9分]所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4]＝4＋4k23＋4k2＝54，解得k＝±12.[11分]所以k＝12.于是存在直线l满足条件，其方程为y＝12x.[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．一、选择题．若△ABc的两个顶点坐标分别为A、B，△ABc的周长为18，则顶点c的轨迹方程为A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1c.x216＋y29＝1D.y216＋x29＝12．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于A．4B．5c．7D．83．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是A.32B.22c.2－1D.24．已知圆2＋y2＝36的圆心为m，设A为圆上任一点，N，线段AN的垂直平分线交mA于点P，则动点P的轨迹是A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线5．椭圆x225＋y29＝1上一点m到焦点F1的距离为2，N是mF1的中点，则|oN|等于A．2B．4c．8D.32二、填空题6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．8.如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题9．已知方向向量为v＝的直线l过点和椭圆c：x2a2＋y2b2＝1的右焦点，且椭圆的离心率为63.求椭圆c的方程；若已知点D，点m，N是椭圆c上不重合的两点，且Dm →＝λDN→，求实数λ的取值范围．0．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B 两点，c是AB的中点，若|AB|＝22，oc的斜率为22，求椭圆的方程．1．已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点A，且点F为其右焦点．求椭圆c的方程．是否存在平行于oA的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭圆自主梳理．椭圆焦点焦距a>c a＝c a<c自我检测．c 2.c 3.D 4.A 5.B课堂活动区例1 解如图所示，设动圆的圆心为c，半径为r.则由圆相切的性质知，|co1|＝1＋r，|co2|＝9－r，∴|co1|＋|co2|＝10，而|o1o2|＝6，∴点c的轨迹是以o1、o2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c ＝6，b＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.变式迁移1 解将圆的方程化为标准形式为：2＋y2＝62，圆心B，r＝6.设动圆圆心m的坐标为，动圆与已知圆的切点为c.则|Bc|－|mc|＝|Bm|，而|Bc|＝6，∴|Bm|＋|cm|＝6.又|cm|＝|Am|，∴|Bm|＋|Am|＝6>|AB|＝4.∴点m的轨迹是以点B、A为焦点、线段AB中点为中心的椭圆．a＝3，c＝2，b＝5.∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.例2 解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件和两个定形条件．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1．解若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9a2＝1，∴a＝3，又2a＝3•2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3•2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.设经过两点A，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1⇒m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.变式迁移2 解当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.设椭圆方程为mx2＋ny2＝1．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.例3 解题导引椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c 的关系．对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝2－2mn＝4a2－2mn.∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤m＋n22＝a2，∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.∴e的取值范围是12，1.证明由知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解∵F1，则xm＝－c，ym＝b2a，∴kom＝－b2ac.∵kAB＝－ba，om∥AB，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区．A 2.D 3.c 4.B 5.B6.x236＋y29＝17.2 120°8.539．解∵直线l的方向向量为v＝，∴直线l的斜率为k＝3.又∵直线l过点，∴直线l的方程为y＋23＝3x.∵a>b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.∴椭圆方程为x26＋y22＝1.若直线mN⊥y轴，则m、N是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.若mN与y轴不垂直，设直线mN的方程为x＝my＋3．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得y2＋6my＋3＝0.设m、N坐标分别为，，则y1＋y2＝－6mm2＋3，①y1y2＝3m2＋3，②Δ＝36m2－12＝24m2－36>0，∴m2>32.∵Dm→＝，DN→＝，Dm→＝λDN→，显然λ>0，且λ≠1，∴＝λ．∴y1＝λy2.代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.∵m2>32，得2<λ＋1λ<10，即λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，且λ≠1.0．解方法一设A、B，代入椭圆方程并作差得a＋b＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝koc＝22，代入上式可得b＝2a.由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得x2－2bx＋b－1＝0，∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，得2ba＋b2－4•b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1得x2－2bx＋b－1＝0.设A、B，则|AB|＝k2＋1x1－x22＝2•4b2－4a＋bb－1a＋b2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设c，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵oc的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.1．解方法一依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且可知其左焦点为F′．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆c的方程为x216＋y212＝1.假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆c有公共点，所以Δ＝2－4×3×≥0，解得－43≤t≤43.另一方面，由直线oA与l的距离d＝4，得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3．从而a2＝16.所以椭圆c的方程为x216＋y212＝1.同方法一．。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第九章 第五节 椭圆 第一课时 椭圆及其性质 Word版含答案
第五节椭__圆1．椭圆的定义平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数．(1)当2a ＞|F 1F 2|时，M 点的轨迹是椭圆；(2)当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹是线段F 1F 2；(3)当2a ＜|F 1F 2|时，M 点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2x 2b 2图形范围 x ∈[－a ，a ]， y ∈[－b ，b ] x ∈[－b ，b ]，y ∈[－a ，a ]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)性质离心率e ＝，且e ∈(0,1)caa ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2离心率表示椭圆的扁平程度.当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b ＝越小，因a 2－c 2此椭圆越扁；当e 越接近于0时，c 越接近于0，从而b ＝越大，因此椭圆越接近圆；a 2－c 2当e ＝0时，c ＝0，a ＝b ，两焦点重合，图形就是圆.[熟记常用结论]1．焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|.(1)＋＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0；x 2a 2y 2b 2(2)＋＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0；y 2a 2x 2b2(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．2．焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)中x 2a 2y 2b2(1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan ＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，12θ2最大值为bc .(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝.2b 2a 4．AB 为椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则x 2a 2y 2b 2(1)弦长l ＝|x 1－x 2|＝ |y 1－y 2|；1＋k 21＋1k 2(2)直线AB 的斜率k AB ＝－.b 2x 0a 2y0[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(4)＋＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( )y 2a 2x 2b 2答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×二、选填题1．椭圆C ：＋＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，x 225y 216则△F 1AB 的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选C △F 1AB 的周长为|F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B |＝2a ＋2a ＝4a .∵在椭圆＋＝1中，a 2＝25，即a ＝5，x 225y 216∴△F 1AB 的周长为4a ＝20.故选C.2．椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为( )A. B.6323C.D.33223解析：选D 不妨设椭圆C 的方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝2b ×3，即a ＝3b .∴a 2＝9b 2x 2a 2y 2b 2＝9(a 2－c 2)．即＝，∴e ＝＝.故选D.c 2a 289c a 2233．椭圆C 的一个焦点为F 1(0,1)，并且经过点P ，则椭圆C 的标准方程为( )(32，1)A.＋＝1 B.＋＝1x 24y 23y 23x22C.＋＝1 D.＋＝1x 23y 22y 24x 23解析：选D 由题意可设椭圆C 的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，且另一个焦点为F 2(0，y 2a 2x 2b 2－1)，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝＋ ＝4.(32)2＋(1－1)2(32)2＋(1＋1)2所以a ＝2，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的标准方程为＋＝1.故选D.y 24x 234．已知椭圆＋＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________.x 225y 2m 2解析：依题意有25－m 2＝16，∴m 2＝9，∵m ＞0，∴m ＝3.答案：35．若方程＋＝1表示椭圆，则k 的取值范围是______________．x 25－k y 2k －3解析：由已知得Error!解得3＜k ＜5且k ≠4.答案：(3,4)∪(4,5)第一课时 椭圆及其性质考点一 椭圆的定义及其应用[师生共研过关][典例精析](1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.－＝1B.＋＝1x 264y 248y 264x 248C.－＝1 D.＋＝1x 248y 264x 264y 248(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且⊥x 2a 2y 2b 2PF 1―→ .若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________.PF 2―→(3)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．[解析] (1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16＞8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.x 264y 248(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则Error!∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r ＋r )＝4a 2－4c 2＝4b 2，212∴S △PF 1F 2＝r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.12(3)椭圆方程化为＋＝1，x 29y 25设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，∴|AF 1|＝，∴|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6，2又－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)，∴6－≤|PA |＋|PF |≤6＋.22[答案] (1)D (2)3 (3)6＋ 6－22 [变式发散]1．在本例(2)中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________．解析：由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆方程为＋＝1.x 225y 29。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《椭圆》(版含答案)
第五节椭圆知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．1．判断正误(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(×)2．已知动点P(x，y)的坐标满足x2＋(y＋7)2＋x2＋(y－7)2＝16，则动点P的轨迹方程为x215＋y264＝1.解析：由等式关系可知，点P(x，y)到两定点(0,7)以及(0，－7)的距离之和等于16，且距离之和大于两定点间的距离，由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以点(0,7)和点(0，－7)为焦点，长半轴长为8的椭圆，其方程为x2 15＋y264＝1.知识点二椭圆的标准方程和几何性质3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1解析：∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.4．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( C )A.13B.12C.22D.223解析：不妨设a >0，因为椭圆C 的一个焦点为(2,0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.5．(2018·浙江卷)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2(y 2－1)，即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋(3－2y 2)2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.1．椭圆方程中的a ，b ，c (1)a ，b ，c 关系：a 2＝b 2＋c 2. (2)e 与b a ：因为e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以离心率e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁；离心率e 越小，则ba 越大，椭圆就越圆．2．焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a .4．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.考向一 椭圆的定义【例1】 (1)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12(2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72D.752【解析】 (1)由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.(2)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8.∴|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72. 【答案】 (1)C (2)C椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等.(1)椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(D)A．5 B．6C．7 D．8(2)(2019·河北衡水中学调研)设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为－5.解析：(1)由椭圆的定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.(2)由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.考向二 椭圆的标准方程【例2】 (1)(2019·济南调研)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1(2)(2019·宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1D.x 28＋y 24＝1【解析】 (1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1. 【答案】 (1)D (2)A(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.解析：(1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1. (2)设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1. 考向三 椭圆的几何性质【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12 C.13 D.14(2)椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△F AB 外接圆的圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos60°，2c sin60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.(2)设F (－c,0)，A (0，b )，B (a,0)，且△F AB 的外接圆的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2.将(－c,0)，(0，b )，(a,0)分别代入圆的方程，可得m ＝－c ＋a2，n ＝b 2－ac 2b .由m ＋n <0，可得－c ＋a 2＋b 2－ac 2b <0，即1－c ＋b －cb <0⇒b －c ＋b －c b <0，所以b －c <0，即b 2<c 2，则e 2>12，所以22<e <1，故选A.【答案】 (1)D (2)A椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法：(1)求出a ，c ，代入公式e ＝ca .(2)根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为关于a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e 的值或取值范围.(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，位于第一象限，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q →＝2QP →.若F 1P →·F 2Q →＝0，则e 2＝( C )A.2－1 B ．2－ 2 C ．2－ 3D.5－2(2)中心为原点O 的椭圆的焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点，若∠OP A ＝90°，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( B )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，63D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22解析：(1)由题可得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，2b 23a ，∴F 2Q→＝－2c 3，2b 23a ，F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ，∴F 2Q →·F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3，2b 23a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ＝－4c 23＋2b 43a 2＝0，结合b 2＝a 2－c 2化简得e 4－4e 2＋1＝0，解得e 2＝2±3.∵0<e <1，∴e 2＝2－3，故选C.(2)设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，P (x ，y )，由题意知点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，化简为x 2－ax ＋y 2＝0.由⎩⎨⎧x 2－ax ＋y 2＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，则x ＝ab2c 2，因为0<x <a ，所以0<ab 2c 2<a ，可得22<e <1，故选B.考向四 直线与椭圆的位置关系【例4】 (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .【解】 (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为(1，22)或(1，－22)．所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2.(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k 2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .(1)解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率).(2019·贵州适应性考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0,1)是E 上一点．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程．解：(1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，x ＝my －1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，①y 1y 2＝－1m 2＋2，②因为F 1(－1,0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144，则kBF 2＝146或－146，所以直线BF 2的方程为 y ＝146x －146或y ＝－146x ＋146.。
专题50 椭圆及其性质-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
专题50椭圆及其性质最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.基础知识融会贯通1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.重点难点突破【题型一】椭圆的定义及应用【典型例题】如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选：A．【再练一题】已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|＝5，则点M的轨迹是（）A．双曲线B．椭圆C．线段D．不存在【解答】解：∵F1（﹣3，0），F2（3，0），∴|F1F2|＝6，又|MF1|+|MF2|＝5＜6，∴点M的轨迹不存在．故选：D．思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．【题型二】椭圆的标准方程命题点1利用定义法求椭圆的标准方程【典型例题】已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A． 1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|＝2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|＝4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2c＝1∴b2＝3，∴椭圆的方程是故选：C．【再练一题】已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|＝10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．【解答】解：（1）由椭圆定义及条件，可得2a＝|F1B|+|F2B|＝10，得a＝5．又∵c＝4，∴b3．因此可得该椭圆方程为．（2）∵点B（4，y B）在椭圆上，∴将x＝4，代入椭圆方程求得y B，可得|F2B|＝|y B|．∵椭圆右准线方程为x，即x，离心率e．根据圆锥曲线统一定义，得|F2A|（x1），|F2C|（x2）．由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得2|F2B|＝|F2A|+|F2C| 即（x1）（x2）＝2，由此解得x1+x2＝8．设弦AC的中点为P（x0，y0），可得中点横坐标为则x0（x1+x2）＝4．命题点2利用待定系数法求椭圆方程【典型例题】椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（）A． 1B． 1C．1或 1D．1或 1【解答】解：∵椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，∴，解得a＝5，b2＝25﹣16＝9，∴当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为，当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为．故选：D．【再练一题】已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），点F关于直线y＝x的对称点为（0，1），故b＝1，c＝1，因此，∴椭圆方程为：．（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2＝1 ①当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：②联立①②得，，∴定点M（0，1）．证明：设直线l：，代入，有．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．则，（x2，y2﹣1）；（1+k2）x1x2k0，在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．思维升华(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．【题型三】椭圆的几何性质【典型例题】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有，，可得2，即有2，即有e，故选：B．【再练一题】已知AB是椭圆的长轴，若把线段AB五等份，过每个分点作AB的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C，D，E，G四点，设F是椭圆的左焦点，则|FC|+|FD|+|FE|+|FG|的值是（）A．15 B．16 C．18 D．20【解答】解：椭圆的a＝5，b，c＝2，e，左准线方程为x，由题意可得x C＝﹣3，x D＝﹣1，x E＝1，x G＝3，由椭圆的第二定义可得，可得|FC|＝5x C，同理可得|FD|＝5x D，|FE|＝5x E，|FG|＝5x G，可得|FC|+|FD|+|FE|+|FG|＝20（﹣3﹣1+1+3）＝20．故选：D．思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．基础知识训练1．【山东省聊城市2019届高三三模】若方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ） A ．4k > B ．4k =C ．4k <D ．04k <<【答案】D 【解析】由题得2214x y k +=，因为方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以04k <<. 故选：D2．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】“02m <<”是“方程2212x y m m+=−表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】方程2212x ym m +=−表示椭圆，即020022m m m m m>⎧⎪−>⇒<<⎨⎪≠−⎩且1m ≠所以“02m <<”是“方程2212x y m m+=−表示椭圆”的必要不充分条件故选C3．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，P 为椭圆C上任一点，若12PF PF +=12F F =（ ） A ．4 B ．23C ．2D【答案】A 【解析】据题意，得a =24b =，所以有2c ==，所以124F F =，故选A.4．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】已知椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =−过C 的一个焦点，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．13C．2D．3【答案】C 【解析】椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =−过椭圆C 的一个焦点，可得2c =，则a ==，所以椭圆的离心率为：2c e a ===．故选：C ．5．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（ ）. A ．8 B ．6C ．5D ．4【答案】A 【解析】椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率：3c e a ==椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即：212a = 可得：6a =，c =4b ∴===则椭圆短轴长：28b = 本题正确选项：A6．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】已知圆锥曲线1C ：221(0)mx ny n m +=>>与2C ：221(0,0)px qy p q −=>>的公共焦点为1F ，2F ．点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，则2C 的离心率为（ ） A ．92B．2C ．32D ．54【答案】B 【解析】1C ：22111x y m n+=，2C ：22111x y p q −=．设1a =2a =1MF s =，2MF t =，由椭圆的定义可得12s t a +=，由双曲线的定义可得22s t a −=， 解得12s a a =+，12t a a =−，由1290F MF ∠=︒，运用勾股定理，可得2224s t c +=，即为222122a a c +=，由离心率的公式可得，2212112e e +=， ∵134e =，∴2292e =，则22e =． 故选：B ．7．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)】嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A ．125B ．340C ．18D ．35【答案】B 【解析】如下图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF ｜＝100＋1738＝1838， ｜BF ｜＝400＋1738＝2138. 2a ＝1838＋2138， a ＝1988， a ＋c ＝2138， c ＝2138－1988＝150， 椭圆的离心率为：1503198840c e a ==≈， 选B .8．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知点F 1，F 2是椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，动点Q 在射线F 1P 的延长线上，且|PQ |=|2PF |，若|PQ |的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（ ） A ．35B ．13C ．45D ．19【答案】C 【解析】因为2||,||PQ PF PQ =的最小值为1，最大值为9，∴|PF 2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1，∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=45c a =， 故选：C ．9．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．3【答案】D 【解析】 如图，c =，则2b 2＝c 2， 即2（a 2﹣c 2）＝c 2，则2a 2＝3c 2，∴2223c a =，即e 3c a ==． 故选：D ．10．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y −−,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c −∴=++−,即00002y y c x x a c=++−, 002c x x a c ∴+=+−,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 11．【广东省揭阳市2019届高三高考二模】设F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆E 的左顶点，P 为直线32ax =上一点，APF ∆是底角为030的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为 A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】B 【解析】 如图，设直线32ax =与x 轴的交点为C ， 因为由椭圆性质可知，3,2aPF AF a c FC OC OF c ==+=−=−， 由题意可知031260,cos ,2acFC PFx PFx PF a c −∠=∴∠===+解得23c e a ==，故选B.12．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试】已知1F ，2F 是椭圆22x y143+=的左右焦点，点M 的坐标为31,2⎛⎫− ⎪⎝⎭，则12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率为( ) A ．2− B ．1−C．D．【答案】A 【解析】31,2A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，1F ，2F 是椭圆22143x y+=的左右焦点，()11,0F −， 1AF x ∴⊥轴， 132AF ∴=，252AF =，∴点()21,0F 关于12F AF ∠的角平分线l 对称的点F 在线段1AF 的延长线上，又252AF AF ==，11FF ∴=， ()1,1F ∴−−，线段2F F 的中点10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭，12F AF ∠的角平分线l 的斜率13122210k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭==−−−．故选A ． 13．【江苏省高三泰州中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试】椭圆T ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点(,0)A a ，(0,)B b ，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点），若3BC AD =，则椭圆T 的离心率为_____．【答案】3【解析】依题意可得1BC AD AB a k k k b==−=， 因为过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点）， 所以直线BC ：a y x b b =+，直线AD ：()ay x a b=−． 由()4423222222220ay x bba x ab x bb x a y a bì=+ï+=íï+=î，所以3232444422C B C a b a b x x x b a b a−−+=⇒=++. 由()4425624222222()20ay x a b a x a x a a b bb x a y a bì=-ï-+-=íï+=î，所以62444A D a a b x x a b −⋅=+，5444D a ab x b a−=+.因为()0C CB x =，()D AD a x ，由3BC AD =可得33D C x x a −=，所以223a b =，椭圆T的离心率3e ===，故答案为：3。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业51椭圆 含解析
课时作业51椭圆基础达标]一、选择题1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.x2＋y2＝122则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝a 2＋b 2y 1y 2＝－b 4a 2＋b2，又AF →＝2FB →，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2－2y 22＝－b4a 2＋b2，∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设解析：以F A 为直径的圆经过椭圆的上顶点B ，则FB ⊥AB ，所以FB →·AB →＝0，FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，即a 2－c 2－ac ＝0. 两边同除以a 2，得e 2＋e －1＝0，所以e ＝5－12.答案：5－127．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与3设椭圆C ⎪⎧a 2＝b a b ＝3＝2，的方程为x 216y 2＝12926三、解答题9．[2019·贵州适应性考试]设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2a >b >0)的右、右焦点，E 的离心率为22，点(0,1)是E 上一点．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程．2c 2a 2－b 213交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是AB 中点，且点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，当QM ⊥AB 时，直线l 的方程．解析：(1)由题意可知a 2＋b 2＝5，又e ＝c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝3，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM ⊥AB ，A.55 B.22C.12 D.33解析：∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)，即4c2＝a2－c2，即5c2＝a2，即a＝5c，∴椭圆C的离心率e＝ca＝55，故选A.答案：Ay22。
2020版高考新创新一轮复习数学理科通用版讲义：第九章第三节椭圆含答案
第三节 椭圆[考纲要求]1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．了解椭圆的简单应用． 4．理解数形结合的思想．突破点一 椭圆的定义和标准方程[基本知识]1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆． (2)若a ＝c ，则集合P 为线段． (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程(1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.(2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，其中c 2＝a 2－b 2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案：4 32．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)3．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________． 答案：x 216＋y 212＝1[全析考法]考法一 椭圆的定义及应用[例1] (1)(2019·衡水调研)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 (2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为( )A.233B.332C.334D.433[解析] (1)由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2， ∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2， ∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D.(2)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则cos 60°＝m 2＋n 2－(2c )22mn ＝(2a )2－2mn －(2c )22mn ＝12，化简得，3mn ＝4(a 2－c 2)＝4b 2，∵b 2＝4，∴mn ＝163，∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝433.故选D. [答案] (1)D (2)D [方法技巧]椭圆焦点三角形中的常用结论以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的 △PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3) S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值为bc .(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．考法二 椭圆的标准方程[例2] (1)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1 (2)(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____________．[解析] (1)设F ′为椭圆的右焦点，连接PF ′，在△POF 中，由余弦定理，得cos ∠POF ＝|OP |2＋|OF |2－|PF |22|OP |·|OF |＝35，则|PF ′|＝|OP |2＋|OF ′|2－2|OP |·|OF ′|cos (π－∠POF )＝8，由椭圆定义，知2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，又c ＝25，所以b 2＝16.故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上， ∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2， ∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.[答案] (1)C (2)x 28＋y 26＝1[方法技巧] 待定系数法求椭圆方程的思路[集训冲关]1.[考法二]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1 解析：选B 由题意可得2c 2a ＝13，2a ＝6，解得a ＝3，c ＝1，则b ＝32－12＝8，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.2.[考法一、二]已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )A.x 236＋y 29＝1 B.x 29＋y 236＝1 C.x 24＋y 29＝1 D.x 29＋y 24＝1 解析：选A 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为32，∴e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32，即1－b 236＝32，解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1，故选A. 3.[考法一]P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A.254B.83 C ．8D.94解析：选D 由椭圆x 225＋y 29＝1得a 2＝25，b 2＝9，则c ＝a 2－b 2＝25－9＝4， ∴|F 1F 2|＝2c ＝8.由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝82. ∴2|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2) ＝100－64＝36，∴|PF 1|·|PF 2|＝18.又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|·|PH |，∴|PH |＝|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|＝94.故选D.突破点二 椭圆的几何性质[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a .( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案：322．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________． 答案：(0，±69)3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________．答案：x 245＋y 236＝1[全析考法]考法一 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围．[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13D.14(2)(2019·江西临川二中、新余四中联考)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1,1)C ．(0，3－1)D ．(3－1,1)[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB a ＝4，所以e ＝c a ＝14.(2)∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1＜45°，∴tan ∠AF 2F 1＜1，∴b 2a2c ＜1，整理得b 2＜2ac ，∴a 2－c 2＜2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e＜－2－1(舍去)，∵0＜e ＜1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1,1)，故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]1．求椭圆离心率的3种方法(1)直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．[提醒] 在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．2．求椭圆离心率范围的2种方法考法二 与椭圆性质有关的最值范围问题[例2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF ―→·PA ―→的最大值为________．[解析] (1)当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则ab ≥tan 60°＝3，即3m ≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． (2)由题意知a ＝2， 因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)． 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)，PF ―→＝(－1－x 0，－y 0)，PA ―→＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF ―→·PA ―→＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 则当x 0＝－2时，PF ―→·PA ―→取得最大值4. [答案] (1)A (2)4 [方法技巧]与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．[提醒] 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．[集训冲关]1.[考法一]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM ―→·NF ―→＝0，则椭圆的离心率为( )A.32B.2－12 C.3－12D.5－12解析：选D 由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)，∴NM ―→＝(－a ，－b )，NF ―→＝(c ，－b )．∵NM ―→·NF ―→＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac .∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)．∴椭圆的离心率为5－12，故选D. 2.[考法一]如图，F1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 28＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的交点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.23B.45C.35D.25解析：选C 设椭圆的长半轴长为a .由题意可知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝6，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝4，∴|F 1A |＋|F 2A |＝10，∴2a ＝10，∴C 2的离心率是610＝35.故选C.3.[考法二]已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0＜x 22＋y 20＜1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＜2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)．答案：[2,22)[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m ＜n ＜0，∴0＜－n ＜－m .∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m .2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.3．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.5．(2019·长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1 B.x 22＋y 2＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.y 24＋x 22＝1 解析：选C 由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.故选C.6．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1D.⎝⎛⎦⎤0，13 解析：选C 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c . ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D 曲线x 225＋y 29＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为45.曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为425－k.对照选项，知D 正确．故选D.2．(2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．6解析：选C ∵P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2· ⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．(2019·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠PAF＝12，则椭圆的离心率e 为( ) A.23 B.22C.33D.12解析：选D 不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠PAF ＝|PF ||AF |＝b 2a a ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac －a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.5．(2019·长郡中学选拔考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与圆D ：x 2＋y 2－2ax ＋316a 2＝0交于A ，B 两点，若四边形OADB (O 为原点)是菱形，则椭圆C 的离心率为( )A.13 B.12 C.32D.62解析：选B 由已知可得圆D ：(x －a )2＋y 2＝1316a 2，圆心D (a ，0)，则菱形OADB 对角线的交点的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，将x ＝a 2代入圆D 的方程得y ＝±3a 4，不妨设点A 在x 轴上方，即A ⎝⎛⎭⎫a 2，3a 4，代入椭圆C 的方程可得14＋9a 216b 2＝1，所以34a 2＝b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2c ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12. 6．(2019·沙市中学测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 26＋y 23＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：选C 由题意知双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为22，所以点(2，2)在椭圆上，所以2a 2＋2b2＝1.①又椭圆的离心率为22， 所以a 2－b 2a 2＝12，所以a 2＝2b 2.②由①②得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.故选C.7．(2019·安阳模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|＝2|PF 2―→|，则椭圆的离心率为( )A.6－ 3B.6－32 C.6－ 5D.6－52解析：选A 以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴|OP ―→|＝ |OF 1―→|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得⎩⎨⎧2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－ 3.故选A.8．(2019·西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A ∵椭圆的方程为y 24＋x 23＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴B (0，－1)是椭圆的一个焦点， 设另一个焦点为C (0,1)，如图所示， 根据椭圆的定义知，|PB |＋|PC |＝4，∴|PB |＝4－|PC |，∴|PA |＋|PB |＝4＋|PA |－|PC |≤4＋|AC |＝5.9．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G .∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．10．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1―→·PF 2―→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫33，1 B.⎣⎡⎦⎤33，22C.⎣⎡⎦⎤13，12D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析：选B 设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 2－b 2a2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1―→＝(－c －x ，－y )，PF 2―→＝(c －x ，－y )．所以PF 1―→·PF 2―→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c 2a2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1―→·PF 2―→≤b 2. 所以b 2－c 2≤c 2≤b 2. 所以2c 2≤a 2≤3c 2. 所以33≤c a ≤22.故选B. 11．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．解析：当k ＞4 时，有e ＝ 1－4k ＝23，解得k ＝365；当0＜k ＜4时，有e ＝ 1－k 4＝23，解得k ＝209. 故实数k 的值为209或365.答案：209或36512．(2019·湖北稳派教育联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac ＜0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：∵c 2－b 2＋ac ＜0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac ＜0，即2c 2－a 2＋ac ＜0，∴2c 2a2－1＋ca ＜0，即2e 2＋e －1＜0，解得－1＜e ＜12.又∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 13.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______． 转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，114．(2019·辽宁联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3，所以焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋(2a －|PF 2|)＝10＋(|PM |－|PF 2|)．∵|PM |－|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号， (6－3)2＋(4－0)2＝5，此∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM |－|PF 2|)max ＝时得|PM |＋|PF 1|的最大值，为10＋5＝15.答案：1515．(2019·武汉调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R )上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△FAB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)S △FAB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )，则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a2＋y 20＝1， k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2(x 2－x 20)x 2－x 2＝－1a 2＝－13， 所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2， 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝23＝63.16．(2019·广东七校联考)已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．解：(1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，42为长轴长的椭圆．由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.故动点M 的轨迹C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. Δ＝[4k (k －2)]2－4(1＋2k 2)(2k 2－8k )＞0，则k ＞0或k ＜－47.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(k －4)4k (k －2)2k 2－8k ＝4.当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142.所以k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.。
2020届高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第3节椭圆课时作业理(含解析)新人教A版
第3节 椭圆课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．(改编题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为22，则椭圆C 的方程为( )(A)x 22＋y 2＝1(B)x 2＋y 22＝1(C)x 22＋y 22＝1(D)x 22＋y 2＝1或y 22＋x 22＝1A 解析：由e ＝ca ＝22得，a 2＝2b 2，依题意12×2a ×2b ＝22，即ab ＝2，解方程组⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.故选A.2．(改编题)点P 在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此椭圆的离心率是( )(A)57 (B)56 (C)45(D)35A 解析：设|PF 1|＝m ＜|PF 2|，则由椭圆的定义可得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －m ，而|F 1F 2|＝2c .因为△F 1PF 2的三条边长成等差数列，所以2|PF 2|＝|PF 1|＋|F 1F 2|，即m ＋2c ＝2(2a －m )，解得m ＝13(4a －2c )，即|PF 1＝13(4a －2c )，所以|PF 2|＝2a －13(4a －2c )＝13(2a ＋2c )．又∠F 1PF 2＝90°，所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤13a －2c 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13a ＋2c 2＝(2c )2，整理得5a 2－2ac －7c 2＝0，解得a ＝75c 或a ＝－c (舍去)．故e ＝c a ＝57.故选A.3．(2019湖南调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，点M 、N 、F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN ＝∠NMF ＋90°，则椭圆C 的离心率是( )(A)5－12(B)3－12(C)2－12(D)32A 解析：cos ∠MFN ＝cos(∠NMF ＋90°)＝－sin ∠NMF 即－c a＝－b a 2＋b 2∴c 2(a 2＋b 2)＝a 2b 2即c 2(2a 2－c 2)＝a 2(a 2－c 2) ∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0即e 4－3e 2＋1＝0，e 2＝3±52，e ＝3－52＝6－254＝5－12，故选A. 4．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) (A)514 (B)513 (C)49D.59B 解析：由题意知a ＝3，b ＝ 5.由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，因为PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，由三角形中位线性质可得PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ＝53，所以|PF 1|＝6－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513，故选B.5．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )(A)12 (B)3－12(C)32(D)3－1D 解析：设A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c －3＝－1，3×m －c 2＋n2＝0，解得A (c2，32c )，代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)， ∴c 4－8a 2c 2＋4a 2＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23，∴e ＝3－1.故选D.6．(2018三明5月)已知中心是坐标原点的椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫1，255，且它的一个焦点为(2,0)，则C 的标准方程为________．解析：椭圆的焦点位于x 轴，则设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255，则：1a 2＋45b 2＝1，①它的一个焦点为(2,0)，则a 2－b 2＝4，②①②联立可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝1，则C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.答案：x 25＋y 2＝17．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________． 解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k＞2，解得0＜k ＜1.答案：(0,1)8．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 上在第二象限内的点，直线BO 交E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率是________．解析：设AC 的中点为M ，连接OM ，FM ，则OM 为△ABC 的中位线，B ，F ，M 在一条线上，于是△OFM ～△AFB ，且|OF ||FA |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝13.答案：139．(2019聊城调研)已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则AM →·AN →的最大值为________．解析：记圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，设A (x ，y )，x ∈[－3,3]，则|AC |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋5－59x 2＝49x 2－2x ＋6，当x＝－3时，(|AC |2)max ＝4＋6＋6＝16.AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·(AC →－CM →)＝|AC →|2－|CM →|2＝|AC →|2－1≤15，故AM →·AN →的最大值为15.答案：1510．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，若椭圆C 上存在点P 满足OS →＋OT →＝tOP →(其中O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．解析：(1)由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝c ＋12＝a ，(*)∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c ，a ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，∴a ＝2b ＝2，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，设P (x 0，y 0)， 将直线l 的方程代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， ∴Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＞0，解得k 2＜12.设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋2k2.由OS →＋OT →＝tOP →，得tx 0＝x 1＋x 2，ty 0＝y 1＋y 2，当t ＝0时，直线l 为x 轴，则椭圆上任意一点P 满足OS →＋OT →＝tOP →，符合题意；当t ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝8k 21＋2k2，ty 0＝－4k1＋2k 2.∴x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2.将上式代入椭圆方程得32k4t 2＋2k22＋16k2t 2＋2k22＝1，整理得t 2＝16k 21＋2k 2＝161k2＋2， 由k 2＜12知，0＜t 2＜4，所以t ∈(－2,0)∪(0,2)，综上可得，实数t 的取值范围是(－2,2)．能力提升练(时间：15分钟)11．(2019昆明二模)已知F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，过原点的直线交E 于A ，B 两点，AF 2→·BF 2→＝0，且|AF 2||BF 2|＝34，则E 的离心率为( )(A)12 (B)34 (C)27(D)57D 解析：∵AF 2→·BF 2→＝0，∴AF 1→⊥BF 2→，连接AF 1，BF 1，由椭圆的对称性可知，F 1AF 2B 是矩形，设|AF 2→|＝3t ，则|BF 2→|＝4t ，可知|AF 1→|＝4t,2a ＝3t ＋4t ，a ＝72t ，由勾股定理可知，2c ＝t2＋t2＝5t ，c ＝52t ，e ＝c a ＝57，故选D.12．(2019烟台三模)已知动点P 在椭圆x 249＋y 240＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，点M 满足|AM →|＝1，PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是( )(A)4 (B)15 (C)15(D)16B 解析：设P (x ，y )，A (3,0)为焦点，所以|PM →|＝PA 2－1，而焦半径4≤PA ≤10，所以|PM →|∈[15，311]，故选B.13．已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________．解析：依题意：F 1(0，－3)，F 2(0,3)．又因为3＜4，所以∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°，设P (x,3)，代入椭圆方程得：x ＝±165，即点P 到y 轴的距离为165.答案：16514．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1k 2|＝14，则椭圆的离心率e ＝________.解析：设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)， 则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0， 由题意有|k 1k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－y 20x 2－x 20＝14， 因为P ，M ，N 在椭圆上，所以x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y 20b2＝1，两式相减得x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，即y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，所以b 2a 2＝14，即a 2－c 2a 2＝14，解得e ＝c a ＝32.答案：3215．点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点P 到点M 的距离d 的最小值．解：(1)由题意可知点A (－6,0)，F (4,0)设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP→＝(x －4，y )，且y ＞0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋x －＋y 2＝0.即2x 2＋9x －18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝532或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝0.(舍)∴点p 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)直线AP 的方程为x －3y ＋6＝0，设点M 的坐标为(m,0)，由题意可知|m ＋6|2＝|m－6|.又－6≤m ≤6，∴m ＝2，∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15.∴当x ＝92时，d 取得最小值15.16．(2019衡水中学)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线的方程．解析：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝12b 2＝a 2－c2，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝3c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴以圆心(0,0)到直线的距离d ＝2|m |5.由d ＜1，得|m |＜52，(*)． ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m x 24＋y 23＝1得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3， ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－m 2－＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.。
2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元课时作业第52讲椭圆
课时作业第52讲椭圆时间/45分钟分值/100分■基础热身1 •椭圆2x2+y2=4的焦点坐标为（）A. （也,0）B.（土一,0）C.（0, ±） D .（0,±一）2. 已知焦点在x轴上冲心为坐标原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6若该椭圆的离心率为-，则椭圆的方程是（）A.—+y2=1B.—+—=1C.—+—=1D.—+—=13. m2>5”是亠+—=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若F（c,0）是椭圆一+一=1（a>b>0）的右焦点,F与椭圆上的点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与点F的距离等于的点的坐标是_________ .5. ____________________________ [ 2018 •凉山诊断]已知点P 一是椭圆一+y2=1（a>1）上的点,A,B分别是椭圆的左、右两个顶点，则△ PAB的面积为.■能力提升6. [ 2018 •大连二模]设椭圆C:—+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx （k^ 0）与椭圆C交于A,B 两点，则|AF|+|BF|的值是（）A. 2B.2 -C.4D.4 —7. [2018 •唐山二模]椭圆C:—+—=1（a>b>0）的右焦点为F,若存在直线y=t与椭圆C交于A,B 两点，使得△ ABF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e=（）A.—B. 一-1C. 一-1 D-8. [2018 •长春质检]已知椭圆一+—= 1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点，则△ ABF1的内切圆的半径为（）A.-B.1C.— D-9. [2018 •永州二模]已知点F1,F2是椭圆x2+3y2=12的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点,那么| + |的最小值是（）A.OB. 4C. 4 —D. 4 一10. 设椭圆E:一+—=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),点A(-1,1)为椭圆E内一点若椭圆E上存在一点P,使得+ =9,则椭圆E的离心率的取值范围是()A. -B. - -C. --D. --11. [2018 •郑州质检]已知椭圆C:—+—=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F I,F2，离心率为-,过F2的直线l交C于A,B两点,若厶AF1B的周长为12则C的方程为 ______________________ .12. [2018 •唐山一模]已知F为椭圆C：—+—=1(a>b>0)的一个焦点，过点F且垂直于x轴的直线交椭圆C于点A,B,若原点O在以AB为直径的圆上，则椭圆C的离心率为____________ . 13. ____________________________________________________________________________ 已知椭圆一 +—=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，且△ F1AB的面积为——,点P为椭圆上的任意一点则——+——的取值范围为__________________ .14. (10分)[2018 •吉林实验中学模拟]如图K52-1所示椭圆W:——=1(a>b>0)的焦距与椭圆+y2=1的短轴长相等且W与Q的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A,直线I经过◎在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA(O为坐标原点)垂直,1与Q的另一个交点为C,l与W交于M,N两点.(1) 求W的标准方程；(2) 求——.图K52-115. (12分)已知椭圆C：—+—=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，椭圆C的上顶点到直线x+2y-4a=0的距离为一，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于M,N两点,且|MN|=1.(1)求椭圆C的方程；⑵过点-—的直线与椭圆C相交于P,Q两点，点A 一一，且/ PAQ= 90。
【2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析】椭圆——椭圆的概念及其性质(课后层级训练)
∴A→P ·B→P ＝(A→B＋B→P)·B→P＝|B→P|2＝9.]
x2 y2 12．(2019·山东临沂月考)过椭圆 ＋ ＝1 的中心任意作一条直线交椭圆于 P，Q 两点，F 是椭圆的一个
25 16
焦点，则△PQF 周长的最小值是( )
A．14
B．16
C．18
D．20
【答案】C [如图，设 F1 为椭圆的左焦点，右焦点为 F2，
根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1 的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|
＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知 2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点 P，Q 为椭圆的上下顶点时，
△PQF1 即△PQF 的周长取得最小值为 10＋2×4＝18.] x2 y2
a2 b2
11 射影恰好为右焦点 F2，若 <k< ，则椭圆的离心率的取值范围是______________.
32
12 ，
【答案】 2 3
a2－c2
[如图所示，|AF2|＝a＋c，|BF2|＝
，
a
a2－c2
∴k＝tan∠BAF2＝||BAFF22||＝
a a＋c
a－c ＝ ＝1－e．
a
11 1
1
12
(2)若 P 为短轴的一个端点，求△F1PF2 的面积． x2 y2
【答案】解 (1)设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)， a2 b2
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2a＝10，
依题意得
因此 a＝5，b＝4，
c＝3，
x2 y2 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1．
2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：椭圆
a＝ 2， b2＝ a2－ c2＝ 3，因此其方程是
x2 y2 ＋ ＝1，
43
故选 C．
2．到点 A( － 4， 0) 与点 B(4 ，0) 的距离之和为 10 的点的轨迹方程为 (
)
x2 y2
x2 y2
A． ＋ ＝1 B ． － ＝ 1
25 16
25 16
x2 y2
x2 y2
C． 25＋ 9 ＝ 1 D ． 25－ 9 ＝ 1
3＋ m
x2 y2 11．(2018 ·全国卷Ⅱ ) 已知 F1， F2 是椭圆 C： a2＋b2 ＝1( a>b>0) 的左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A
3
且斜率为 的直线上，△ PF1F2 为等腰三角形，∠ F1F2P＝120°，则 C的离心率为 (
)
6
2
1
1
1
A． 3 B ．2 C ． 3 D ． 4
解析 在△ F1PF2 中，∠ F1 PF2＝90°，∠ PF2F1＝60°，
设| PF2| ＝ m，则 2c＝ | F1 F2| ＝ 2m， | PF1| ＝ 3m，
又由椭圆定义可知 2a＝ | PF1| ＋ | PF2| ＝ ( 3＋ 1) m，
c 2c 则离心率 e＝ a＝ 2a＝
2m ＝ 3－ 1．故选 D．
＝ 8． 二、高考小题
2 / 12
x2 y2
9．(2018 ·全国卷Ⅰ ) 已知椭圆 C： a2＋ 4 ＝ 1 的一个焦点为 (2 ， 0) ，则 C的离心率为 (
)
1
1
2
22
A． 3 B ．2 C ． 2 D ． 3
答案 C
解析
根据题意，可知
人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案
——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案______年______月______日____________________部门(附参考答案)一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2 [答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(20xx·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(20xx·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1 D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝.5．(20xx·××市模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±2xC．y＝±4x D．y＝±x[答案] A[解析] ∵由椭圆的离心率e＝＝，∴＝＝，∴＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，选A.6．(文)(20xx·××市模考)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( )A. B.C. D.45[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，故，∴，∴e＝＝.(理)(20xx·北京崇文区)已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于( )A. B.5－12C. D.5＋12[答案] B[解析] ∵＝(c，b)，＝(－a，b)，·＝0，∴－ac＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0，∵e>0，∴e＝.7．(20xx·浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若·＝0，则＋＝( )A．2 B.C. D．3[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a′，焦距为2c，则由条件知||PF1|－|PF2||＝2a′，|PF1|＋|PF2|＝2a，将两式两边平方相加得：|PF1|2＋|PF2|2＝2(a2＋a′2)，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴a2＋a′2＝2c2，∴＋＝＋＝＝2.8．(20xx·重庆南开中学)已知椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝；正确结论的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0[答案] A[解析] ∵a＝2，∴△ABF1的周长为|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故①正确；∵F2(，0)，∴l：y＝x－，原点到l的距离d＝＝1，故②正确；将y＝x－代入＋＝1中得3x2－4x＝0，∴x1＝0，x2＝，∴|AB|＝＝，故③正确．9．(文)(20xx·北京西××区)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案] B[解析] 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM 是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．(理)F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为( ) A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案] A[解析] ∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a ， ∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．(文)(20xx·辽宁沈阳)过椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若<k<，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[答案] C[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标，已知k∈，∴B. 斜率k ＝＝＝＝. 由<k<，解得<e<.(理)(20xx·宁波余姚)如果AB 是椭圆＋＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则kAB·kOM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e2－1D ．1－e2[答案] C[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，＋＝1，＋＝1，作差得＝，∴kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案]22[解析] 因为∠AOB＝90°，所以∠AOF＝45°，所以＝，所以e2＝＝＝1－＝，即e ＝.(理)(20xx·××市模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，22[解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b>c ，∴b2>c2，即a2>2c2，∴<.12．(20xx·××市)已知△ABC 顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B 在椭圆＋＝1上，则＝________.[答案] 54[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知，sinA ＋sinCsinB＝＝.13．(文)若右顶点为A 的椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P(x ，y)，使得·＝0，则椭圆离心率的范围是________．[答案] <e<1[解析] 在椭圆＋＝1上存在点P，使·＝0，即以OA为直径的圆与椭圆有异于A的公共点．以OA为直径的圆的方程为x2－ax＋y2＝0与椭圆方程b2x2＋a2y2＝a2b2联立消去y得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，将a2－b2＝c2代入化为(x－a)(c2x－ab2)＝0，∵x≠a，∴x＝，由题设<a，∴<1.即e>，∵0<e<1，∴<e<1.(理)已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最大值是________．[答案] 10＋210[解析] 如图，直线BF与椭圆交于M1、M2.任取椭圆上一点M，则|MB|＋|BF|＋|MA|≥|MF|＋|MA|＝2a＝|M1A|＋|M1F|＝|M1A|＋|M1B|＋|BF|∴|MB|＋|MA|≥|M1B|＋|M1A|＝2a－|BF|.同理可证|MB|＋|MA|≤|M2B|＋|M2A|＝2a＋|BF|，10－2≤|MB|＋|MA|≤10＋2.14．(文)已知实数k使函数y＝coskx的周期不小于2，则方程＋＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件≥2，∴－π≤k≤π，当0<k≤π且k≠3时，方程＋＝1表示椭圆，∴概率P＝.(理)(20xx·××市调研)已知椭圆M：＋＝1(a>0，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为________．[答案] ＋＝1[解析] 平面区域Ω：是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得＝，即ab＝2.因为0<a≤2,0<b≤，所以a＝2，b＝.所以，椭圆M的方程为＋＝1.三、解答题15．(文)(20xx·山东××市模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM·kPN＝－时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋2相切，∴b＝，得b＝.又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为(，0)，(－，0)．(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有＋＝1，＋＝1.两式相减得：＝－.由题意可知直线PM、PN的斜率存在，则kPM＝，kPN＝，kPM·kPN＝·＝＝－，则－＝－，由a＝2得b＝1，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(理)(20xx·北京东××区)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．[解析] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)由题意，解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.因为＝(x－m，y)，所以||2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12×.＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x＝4时，||2取得最小值．而x∈[－4,4]，故有4m≥4，解得m≥1.又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.故实数m的取值范围是m∈[1,4]．16．(20xx·辽宁文，20)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果＝2，求椭圆C的方程．[解析] (1)设焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)∵kl＝tan60°＝3∴l的方程为y＝(x－c)即：x－y－c＝0∵F1到直线l的距离为23∴＝c＝23∴c＝2∴椭圆C的焦距为4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0直线l的方程为y＝(x－2)由消去x得，(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b2(a2－4)＝0由韦达定理可得错误!∵＝2，∴－y1＝2y2，代入①②得③2得＝·错误!④＝⑤又a2＝b2＋4 ⑥由⑤⑥解得a2＝9 b2＝5∴椭圆C的方程为＋＝1.17．(文)(20xx·安徽文)椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.(1)求椭圆E的方程；(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)∵e＝，即＝，∴a＝2c又b2＝a2－c2＝3c2∴椭圆方程为＋＝1.又∵椭圆过点A(2,3)∴＋＝1，解得c2＝4，∴椭圆方程为＋＝1.(2)法一：由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1的方程y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2.设P(x，y)为角平分线上任意一点，则点P到两直线的距离相等．即＝|x－2|∴3x－4y＋6＝5(x－2)或3x－4y＋6＝5(2－x)即x＋2y－8＝0或2x－y－1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.法二：设AM平分∠F1AF2，则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称．由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设为k.则直线AM方程y－3＝k(x－2)．由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1方程为y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2′(x0，y0)，则错误!解之得F2′(，)．∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称，∴点F2′在直线AF1上．即3×－4×＋6＝0.解得k＝－或k＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k＝－(舍去)．故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.法三：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)，∴＝(－4，－3)，＝(0，－3)，∴＋＝(－4，－3)＋(0，－3)＝－(1,2)，∴kl＝2，∴l：y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.[点评] 因为l为∠F1AF2的平分线，∴与的单位向量的和与l共线．从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(20xx·湖北黄冈)已知点A(1,1)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；(3)设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a＝4，∴a＝2，∴＋＝1把(1,1)代入得＋＝1∴b2＝，则椭圆方程为＋＝1∴c2＝a2－b2＝4－＝，∴c＝263故两焦点坐标为，.(2)用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为(－1，－1)，此时|AB|＝2，取椭圆上一点M(－2,0)，则|AM|＝10∴|AM|>|AB|.从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．(3)设AC方程为：y＝k(x－1)＋1联立消去y得(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0∵点A(1,1)在椭圆上∴xC＝3k2－6k－13k2＋1∵直线AC、AD倾斜角互补∴AD的方程为y＝－k(x－1)＋1同理xD＝3k2＋6k－13k2＋1又yC＝k(xC－1)＋1，yD＝－k(xD－1)＋1 yC－yD＝k(xC＋xD)－2k所以kCD＝＝13即直线CD的斜率为定值.。
高考数学一轮总复习课时质量评价52
课时质量评价(五十二)A组全考点巩固练1．已知左、右焦点分别为F1，F2的椭圆C：＝1(a>b>0)过点()，以F1F2为直径的圆过C的下顶点A．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P(0，1)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且直线AM、AN的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值．2．已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：x＝ty＋1交椭圆E于A，B两点．当t＝0时，|AB|＝.(1)求椭圆E的方程；(2)设点A在直线x＝3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标．3．直线l过点P(0，b)且与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B(A，B都在x轴同侧)两点，过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D．(1)若b＞0，|AC|＋|BD|＝p，证明：l的斜率为定值；(2)若Q(0，－b)，设△QAB的面积为S1，梯形ACDB的面积为S2，是否存在正整数λ，使3S1＝λS2成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．B组新高考培优练4．(2023·临沂模拟)已知椭圆C的方程为＝1，A是椭圆上的一点，且A在第一象限，过A且斜率等于－1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．(1)证明：直线BD的斜率为定值；(2)求△ABD面积的最大值．5．已知曲线C1：x2＋y2＝r2(r＞0)和C2：＝1(a＞b＞0)都过点P(0，－2)，且曲线C2的离心率为.(1)求曲线C1和曲线C2的方程；(2)设点A，B分别在曲线C1，C2上，PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1＝4k2＞0时，直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．课时质量评价(五十二)A组全考点巩固练1．(1)解：因为以F1F2为直径的圆过点A(0，－b)，所以b＝c，又a＝＝b，所以椭圆C：＝1，又C过点()，所以＝1，解得b＝2，a＝2，所以椭圆C的方程为＝1.(2)证明：由题意，直线l的斜率一定存在，所以设直线l的方程为y＝，y2)，由消去y得(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0，Δ＝64k2＋24>0.于是x1＋x2＝－，x1x2＝.又A(0，－2)，所以k1＝，k2＝，则k1·k2＝＝＝＝k2＋2k2－＝－为定值．2．(1)解：由题意得e2＝＝＝，整理得a2＝3b2，由t＝0时，|AB|＝，得＝1，因此a＝，b＝1.故椭圆E的方程是＋y2＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(3，y1)，将x＝ty＋1代入＋y2＝1得(t2＋3)y2＋2ty－2＝0，y1＋y2＝－，y1·y2＝－，从而ty1·y2＝y1＋y2.①直线BD：y＝(x－3)＋y1，设直线BD与x轴的交点为(x0，0)，则(x0－3)＋y1＝0，所以x0＝＋3＝＋3＝＋3，将①式代入上式可得x0＝2，故直线BD过定点(2，0)．3．(1)证明：据题意设直线l方程是y＝kx＋b(k＞0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AC|＋|BD|＝p，所以y1＋y2＝p，由得ky2－2py＋2pb＝0，所以y1＋y2＝＝p，所以k＝2，即l的斜率为定值2.(2)解：由(1)Δ＝4p2－8pkb＞0，即0＜kb＜p，因为点Q到直线l的距离d＝，且|AB|＝|x1－x2|，所以S1＝|AB|d＝|b||x1－x2|，S2＝(|AC|＋|BD|)|CD|＝|y1＋y2||x1－x2|＝·|x1－x2|，所以＝＝＝，因为0＜kb＜p，所以0＜＜，假设存在正整数λ，使3S1＝λS2成立，则0＜＜，所以0＜λ＜.所以存在正整数λ＝1，使3S1＝λS2成立．B组新高考培优练4．(1)证明：设D(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，直线BD的斜率k＝，由两式相减得＝－. 因为k AB＝＝－1，所以k＝＝，故直线BD的斜率为定值.(2)解：连接OB(图略)，因为A，D关于原点对称，所以S△ABD＝2S△OBD，由(1)可知BD的斜率k＝，设BD的方程为y＝x＋t.因为D在第三象限，所以－＜t＜1且t≠0，O到BD的距离d＝＝.由整理得3x2＋4tx＋4t2－8＝0，Δ＝(4t)2－4×3×(4t2－8)>0(－<t<1且t≠0)，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，所以S△ABD＝2S△OBD＝2××|BD|×d＝＝|t|×＝|t|·＝·≤2.所以当且仅当t＝时，S△ABD取得最大值2.5．解：(1)曲线C1：x2＋y2＝r2(r＞0)和C2：＝1(a＞b＞0)都过点P(0，－2)，所以r＝2，b＝2，所以曲线C1的方程为x2＋y2＝4.因为曲线C2的离心率为，所以e2＝＝1－＝，所以a＝4，所以曲线C2的方程＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA的方程为y＝k1x－2，代入到x2＋y2＝4中消去y，可得)x2－4k1x＝0，解得x＝0或x1＝，所以y1＝.直线PB的方程为y＝k2x－2，代入方程＝1，消去y，可得x2－16k2x＝0，解得x＝0或x2＝，所以y2＝.因为k1＝4k2，所以直线AB的斜率k＝＝－，故直线AB的方程为＝，即y＝－x＋2，所以直线AB恒过定点(0，2)．。
2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：52 椭圆 Word版含解析
考点测试52 椭圆高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．了解椭圆的简单应用3．理解数形结合的思想一、基础小题1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于，则C 的方程12是( )A ．＋＝1B ．＋＝1x 23y 24x 24y 23C ．＋＝1 D ．＋y 2＝1x 24y 23x 24答案 C解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝c a 3，因此其方程是＋＝1，故选C ．x 24y 232．到点A (－4，0)与点B (4，0)的距离之和为10的点的轨迹方程为( )A ．＋＝1B ．－＝1x 225y 216x 225y 216C ．＋＝1 D ．－＝1x 225y 29x 225y 29答案 C解析 由椭圆的定义可知该点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，而c ＝4，a ＝5，故b 2＝a 2－c 2＝9．故选C ．3．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，x 23且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2B ．6C ．4D ．1233答案 C解析 依题意，记椭圆的另一个焦点为F ，则△ABC 的周长等于|AB |＋|AC |＋|BC |＝|AB |＋|AC |＋|BF |＋|CF |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4，故选C ．34．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 等于( )A ． B ．2 C ．4 D ．1214答案 D 解析 由x 2＋＝1及题意知，2＝2×2×1，m ＝，故选D ．y 21m1m 145．已知动点M (x ，y )满足 ＋＝4，则动点M 的轨迹是(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段答案 D解析 设点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由题意知动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝4＝|F 1F 2|，故动点M 的轨迹是线段F 1F 2．故选D ．6．设F 1，F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中x 29y 25点在y 轴上，则的值为( )|PF 2||PF 1|A ．B ．C ．D ．5145134959答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝．由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6．在△PF 1F 2中，5因为PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF 2⊥x 轴，所以由x ＝c 时可得|PF 2|＝＝，所以|PF 1|＝6－|PF 2|＝，所以＝，b 2a 53133|PF 2||PF 1|513故选B ．7．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 B解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，动点P 的轨迹是椭圆．故选B ．8．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝x 210－a y 2a －2________．答案 4或8解析 对椭圆的焦点位置进行讨论．由椭圆的焦距为4得c ＝2，当2<a <6时，椭圆的焦点在x 轴上，则10－a －(a －2)＝4，解得a ＝4；当6<a <10时，椭圆的焦点在y 轴上，则a －2－(10－a )＝4，解得a ＝8．故a ＝4或a ＝8．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心x 2a 2y 24率为( )A ．B ．C ．D ．131222223答案 C解析 根据题意，可知c ＝2，因为b 2＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝8，即a ＝2，2所以椭圆C 的离心率为e ＝＝．故选C ．2222210．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－B ．2－C ．D ．－13233－123答案 D解析 在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，设|PF 2|＝m ，则2c ＝|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝m ，3又由椭圆定义可知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(＋1)m ，3则离心率e ＝＝＝＝－1．故选D ．c a 2c 2a 2m(3＋1)m311．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，Ax 2a 2y 2b 2是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝36120°，则C 的离心率为( )A ．B ．C ．D ．23121314答案 D解析 依题意易知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，且P 在第一象限内，由∠F 1F 2P ＝120°可得P 点的坐标为(2c ，c )．3又因为k AP ＝，即＝，所以a ＝4c ，e ＝，故选D ．363c 2c ＋a 361412．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，x 2a 2y 2b 2且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A ．B ．C ．D ．63332313答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a ．又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝＝a ，解得a ＝b ，2ab a 2＋b 23∴＝，∴e ＝＝＝ ＝ ＝．故选A ．b a 13c a a 2－b 2a 1－(b a )21－(13)26313．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆＋＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝x 2a 2y 2b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．b2答案 63解析 由已知条件易得B ，C ，F (c ，0)，∴＝c ＋a ，－(－32a ，b 2)(32a ，b 2)BF →32，＝c －a ，－，由∠BFC ＝90°，可得·＝0，b 2CF → 32b 2BF → CF →所以＋2＝0，(c －32a )(c ＋32a )(－b2)c 2－a 2＋b 2＝0，3414即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以＝，则e ＝＝．c 2a 223ca 63三、模拟小题14．(2018·山东济南一模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且x 2a 2y 2b 2两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A ．＋＝1B ．＋＝1x 236y 232x 29y 28C ．＋＝1 D ．＋＝1x 29y 25x 216y 212答案 B解析 椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c ＝·2a ＝2，得c ＝1，因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为＋＝13x 29y 281．故选B ．15．(2018·河南六市一模)已知点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A ．B ．C ．D ．551052552105答案 A解析 A (－1，0)关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点为A ′(－3，2)，连接A ′B 交直线l 于点P ，则此时椭圆C 的长轴长最短，为|A ′B |＝2，所以椭圆C 的离心5率的最大值为＝．故选A ．155516．(2018·四川德阳模拟)设P 为椭圆C ：＋＝1上一点，F 1，F 2分别是椭x 249y 224圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．6答案 C解析 ∵P 为椭圆C ：＋＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2ax 249y 224＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝2＝10，∴易知△PF 1F 2是直49－24角三角形，S △PF 1F 2＝|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S12△GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C ．17．(2018·安徽宣城二模)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，x 2a 2y 2b 2右焦点为F ，若·＝0，则椭圆的离心率为( )NM → NF →A ．B ．C ．D ．322－123－125－12答案 D解析 由题意知，M (－a ，0)，N (0，b )，F (c ，0)，∴＝(－a ，－b )，＝(c ，－NM → NF → b )．∵·＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac ．又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac ．∴e 2＋e －NM → NF →1＝0，解得e ＝或e ＝(舍去)．∴椭圆的离心率为，故选D ．5－12－5－125－1218．(2018·湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．，1B ．，3－123－1212C ．，1 D ．0，1212答案 B解析 由题意可得，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2＝4c 2＋4c 2－2·2c ·2c ·cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|＝2c ·，所以a ＝＝c ＋21－cos ∠PF 1F 2|PF1|＋|PF 2|22c ·，又60°<∠PF 1F 2<120°，∴－<cos ∠PF 1F 2<，所以2c <a <(＋1－cos ∠PF 1F 2121231)c ，则<<，即<e <．故选B ．13＋1c a 123－1212一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：＋＝1交于A ，B 两x 24y 23点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－；12(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F ＋F ＋F ＝0．证明：||，|P → A → B → FA →|，||成等差数列，并求该数列的公差．FP → FB →解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋＝1，＋＝1．x 214y 213x 24y 23两式相减，并由＝k 得＋·k ＝0．y 1－y 2x 1－x 2x 1＋x 24y 1＋y 23由题设知＝1，＝m ，于是k ＝－．①x 1＋x 22y 1＋y 2234m由题设得m < ＝，且m >0，即0<m <，故k <－．1－14×3323212(2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0．又点P 在C 上，所以m ＝，34从而P 1，－，|F |＝．32P → 32于是|F |＝＝ ＝2－．同理|F |＝2－．A → (x 1－1)2＋y 21(x 1－1)2＋31－x 214x 12B → x 22所以|F |＋|F |＝4－(x 1＋x 2)＝3．A →B →12故2|F |＝|F |＋|F |，即||，||，||成等差数列．P → A → B → FA → FP → FB →设该数列的公差为d ，则2|d |＝|||－|||＝|x 1－x 2|FB → FA →12＝ ． ②12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2将m ＝代入①得k ＝－1．34所以l 的方程为y ＝－x ＋，74代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋＝0．14故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝，代入②解得|d |＝．12832128所以该数列的公差为或－．32128321282．(2018·天津高考)设椭圆＋＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ．已知x 2a 2y 2b 2椭圆的离心率为，|AB |＝．5313(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得＝，c 2a 259又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b ．由|AB |＝＝，从而a ＝3，b ＝2．a 2＋b 213所以，椭圆的方程为＋＝1．x 29y 24(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1．易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组Error!消去y ，可得x 2＝．63k ＋2由方程组Error!消去y ，可得x 1＝．69k 2＋4由x 2＝5x 1，可得＝5(3k ＋2)，9k 2＋4两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－，或k ＝－．8912当k ＝－时，x 2＝－9<0，不符合题意，舍去；89当k ＝－时，x 2＝12，x 1＝，符合题意．12125所以，k 的值为－．123．(2017·北京高考)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为．32(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5．解 (1)设椭圆C 的方程为＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2由题意得Error!解得c ＝，所以b 2＝a 2－c 2＝1，3所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1．x 24(2)证明：设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )，由题设知m ≠±2，且n ≠0．直线AM 的斜率k AM ＝，n m ＋2故直线DE 的斜率k DE ＝－，m ＋2n 所以直线DE 的方程为y ＝－(x －m )，m ＋2n 直线BN 的方程为y ＝(x －2)．n2－m 联立Error!解得点E 的纵坐标y E ＝－．n (4－m 2)4－m 2＋n 2由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－n ．45又S △BDE ＝|BD |·|y E |＝|BD |·|n |，1225S △BDN ＝|BD |·|n |，12所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5．二、模拟大题4．(2018·湖南衡阳一模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，x 2a 2y 2b 2F 2，离心率为，直线y ＝1与C 的两个交点间的距离为．12463(1)求椭圆C 的方程；(2)分别过F 1，F 2作l 1，l 2满足l 1∥l 2，设l 1，l 2与C 的上半部分分别交于A ，B 两点，求四边形ABF 2F 1面积的最大值．解 (1)易知椭圆过点，1，263所以＋＝1，①83a 21b 2又＝，②c a 12a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为＋＝1．x 24y 23(2)设直线l 1的方程为x ＝my －1，它与C 的另一个交点为D ．将直线l 1与椭圆C 的方程联立，消去x ，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，Δ＝144(m 2＋1)>0．|AD |＝·，1＋m 2121＋m 23m 2＋4又F 2到l 1的距离d ＝，21＋m 2所以S △ADF 2＝．121＋m 23m 2＋4令t ＝，t ≥1，则S △ADF 2＝，1＋m 2123t ＋1t 当t ＝1时，S △ADF 2取得最大值，为3．又S 四边形ABF 2F 1＝·(|BF 2|＋|AF 1|)·d 12＝(|AF 1|＋|DF 1|)·d ＝|AD |d ＝S △ADF 2，1212所以四边形ABF 2F 1面积的最大值为3．5．(2018·河南六市三模)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率e ＝，原点到过x 2a 2y 2b 263点A (0，－b )和B (a ，0)的直线的距离为．32(1)求椭圆的方程；(2)设F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，过F 2作直线交椭圆于P ，Q 两点，求△PQF 1内切圆半径r 的最大值．解 (1)直线AB 的方程为＋＝1，即bx －ay －ab ＝0．x a y －b原点到直线AB 的距离为＝，|－ab |(－a )2＋b 232即3a 2＋3b 2＝4a 2b 2，①由e ＝＝，得c 2＝a 2，②c a 6323又a 2＝b 2＋c 2，③所以联立①②③可得a 2＝3，b 2＝1，c 2＝2．故椭圆的方程为＋y 2＝1．x 23(2)由(1)得F 1(－，0)，F 2(，0)，22设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．易知直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为x ＝ky ＋，2联立直线与椭圆的方程得Error!消去x 得(k 2＋3)y 2＋2ky －1＝0．2故Error!④而S △PQF 1＝S △F 1F 2P ＋S △F 1F 2Q ＝|F 1F 2||y 1－y 2|12＝· ，⑤2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2将④代入⑤，得S △PQF 1＝· ＝．2－22k k 2＋32＋4k 2＋326·k 2＋1k 2＋3又S △PQF 1＝(|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |)·r ＝2a ·r ＝2r ，所以＝2r ，12326· k 2＋1k 2＋33故r ＝＝≤，2· k 2＋1k 2＋32k 2＋1＋2k 2＋112当且仅当＝，即k ＝±1时取等号．k 2＋12k 2＋1故△PQF 1内切圆半径r 的最大值为．126．(2018·山东济宁一模)已知椭圆C ：＋＝1(a >2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)x 2a 2y 24与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－，求椭圆C 的方程；12(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由Error!得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，2a 2k 4＋a 2k 2－3a 24＋a 2k2∴x 0＝－，y 0＝－＋1＝，a 2k 4＋a 2k 2a 2k 24＋a 2k 244＋a 2k 2∴k ·＝k ·－＝－，y 0x 04a 2k 12∴a 2＝8．∴椭圆C 的方程为＋＝1．x 28y 24(2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0．∴＋＝0．y 1－m x 1y 2－m x 2即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0．由(1)知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，4k 1＋2k 2－61＋2k 2∴－－＋＝0，12k 1＋2k 24k 1＋2k 24mk 1＋2k 2∴＝0，即＝0，－16k ＋4mk 1＋2k 24k (－4＋m )1＋2k 2∵k ≠0，∴－4＋m ＝0，∴m ＝4．∴存在定点M (0，4)，使得∠AMO ＝∠BMO ．。
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2020高考人教版数学理科一轮复习课后练52【椭圆】及解析一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( A )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.2．(2019·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( D )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 解析：因为c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝16，所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( C )A.306B.7C.306或7 D.56或7 解析：由题意知m 2＝36，解得m ＝±6.当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，则e ＝306；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，则e ＝7.故选C. 4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝4， |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60° ＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.5．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( C )A.14B.13C.12D.23解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3－12 解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e21－e2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝(5－1)24，∴0<e <5－12.故选B.二、填空题7．(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|＝6，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是 3.解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3，所以b 2＝3，即b ＝ 3.9．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P的坐标是(－3,0)或(3,0)．解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是32.解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2－＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32. 三、解答题11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0， 由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋32x 2＋m 32x 1＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75. 又|AB |＝1＋34(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72. 所以S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110. 12．已知椭圆C ：x 23m ＋y 2m＝1，直线l ：x ＋y －2＝0与椭圆C 相交于两点P ，Q ，与x 轴交于点B ，点P ，Q 与点B 不重合．(1)求椭圆C 的离心率；(2)当S △OPQ ＝2时，求椭圆C 的方程；(3)过原点O 作直线l 的垂线，垂足为N .若|PN |＝λ|BQ |，求λ的值． 解：(1)a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝2m ，e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将x ＋y －2＝0代入椭圆C 的方程并整理得4x 2－12x ＋12－3m ＝0，依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m )>0得m >1.且有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝12－3m4，|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·9－(12－3m )＝6m －1，原点到直线l 的距离d ＝2，所以S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12×6·m －1×2＝2，解得m ＝73>1，故椭圆方程为x 27＋3y 27＝1.(3)直线l 的垂线为ON ：y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，解得交点N (1,1)． 因为|PN |＝λ|BQ |，又x 1＋x 2＝3，所以λ＝|PN ||BQ |＝|x 1－1||x 2－2|＝|2－x 2||x 2－2|＝1，故λ的值为1.13．(2019·合肥市质量检测)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( D )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y 24＝1，得N (c ，4a )，∴H (0，2a )，M (－2c ，－2a )．把点M 的坐标代入椭圆方程得4c2a 2＋(－2a )24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.14．(2019·南昌摸底调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54，∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94(1＋k 2)，又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87， ∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是[0，2147)．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·郑州市第一次质量预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( B )A.32B.3－52C.－1＋52D.3－12解析：如图，由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .又直线AB 的方程为y ＝bax ＋b ，整理得bx －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝ab b 2＋a2＝c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a 4＝0，两边同时除以a 4，得(b 2a2)2＋b 2a 2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－－1＋52＝3－52，故选B. 16．(2019·重庆六校联考)如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号是②③.解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程，得⎩⎨⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．故答案为②③.。