2020高考人教版数学理科一轮复习课后练52【椭圆】及解析

2020高考人教版数学理科一轮复习

课后练52【椭圆】及解析

一、选择题

1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16

＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P

点到椭圆左焦点的距离为( A )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．5

解析：由题意知|OM |＝1

2|PF 2|＝3，

∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.

2．(2019·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 2

9－k ＝1(k <9)的( D )

A ．长轴长相等

B ．短轴长相等

C ．离心率相等

D ．焦距相等 解析：因为c 21＝25－9＝16，c 2

2＝(25－k )－(9－k )＝16，所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．

3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2

＝1的离心率为( C )

A.306

B.7

C.

30

6

或7 D.5

6

或7 解析：由题意知m 2＝36，解得m ＝±6.当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，则e ＝

30

6

；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，则e ＝7.故选C. 4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2

3

＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，

且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( A )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12

解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝4， |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60° ＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.

5．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该

三角形内切圆的半径为b

3

，则椭圆的离心率为( C )

A.14

B.13

C.12

D.23

解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b

3

，

得a ＝2c ，即e ＝c a ＝1

2，故选C.

6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离

心率的取值范围是( B )

A.⎝ ⎛⎭

⎪

⎫5－12，1

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，5－12 C.⎝

⎛⎭⎪

⎫3－12，1

D.⎝

⎛⎭

⎪⎫

0，

3－12 解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭

圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e

21－e

2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝(5－1)24，∴0

.故选B.

二、填空题

7．(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P

的轨迹方程为x 225＋y 2

16＝1.

解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|

＝6，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 2

16＝1.

8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆x 24＋y 2

b

2＝1(0

于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是 3.

解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋

|BF 2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2

a ＝3，所以

b 2＝3，即b ＝ 3.

9．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 2

25

＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P

的坐标是(－3,0)或(3,0)．

解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.

则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝

⎛⎭

⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22

＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．

10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中

点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是3

2.

解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，

所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1

x 2－x 1

＝1.由⎩

⎨⎧

x 21a 2＋y 21

b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2

＝1，两式相减得，

(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)

b 2＝0，

所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2－＝14，

于是椭圆的离心率e ＝c

a ＝

1－b 2a 2＝3

2

. 三、解答题

11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝

⎛⎭

⎫

1，

32. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．

解：(1)设椭圆C 的方程为x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2－

b 2

＝3，1a 2＋34b 2＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝4，

b 2

＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)直线OP 的方程为y ＝

32x ，设直线AB 的方程为y ＝3

2

x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0， 由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，

得m 2

<4，⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＋x 2＝－3m ，

x 1x 2＝m 2

－1.

由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →

＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋32x 2＋m 32x 1＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝7

4

(m 2