概率论第四章课后习题解答

概率论第四章习题解答

1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。

“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y

（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。

解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为

所以 1

51115()234988884

E X =⨯+⨯

+⨯+⨯=。 （2）因为Y 的取值为2,3，4，9

当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故

1

21{2}3015

C P Y ==

=； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故

135151

{3}30302

C P Y ==

== 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故

1442{4}303015

C P Y ==

== 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故 993{9}303010

P Y ====

112314673

()234915215103015

E Y =⨯

+⨯+⨯+⨯==。 （3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；

若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。

1(1)(2)(3)(4)(5)6

P X P X P X P X P X ==========

(7)(8)(9)(10)P X P X P X P X =======(11)(12)P X P X ==== 111

=⨯= 61217

11215759

()63663612i i E X i i ===+=+=∑∑

2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）

解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率

因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y ，则

(10,0.1)Y B :，于是有 1010

{}(0.1)(0.9)k

k k P Y k C -== （2）一次检验中不需要调整设备的概率

{1}{0}{1}P Y P Y P Y ≤==+=101

191010(0.1)(0.9)

(0.1)(0.9)k k k C C -=+ 109

(0.9)(0.9)34860.38740.7361=+=+=

则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律

由于X 取值为0，1，2，3，4。0.2369p =，则(4,0.2369)X B :

于是 004

4{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C ===

13

4{1}(0.2639)(0.7361)40.26390.39890.4211P X C ===⨯⨯= 222

4{2}(0.2639)(0.7361)60.06960.54180.2263P X C ===⨯⨯=

33

4{3}(0.2639)(0.7361)40.01840.73610.0542P X C ===⨯⨯= 44

4{4}(0.2639)0.0049P X C ===

（4）求数学期望

()00.293610.421120.226330.054240.0049E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

1.0556=。

3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X ＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。）试求()E X 。 解 （1）求X 的分布律

由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有3

464= 种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而 1

{4}64

P X ==； 又{3}X = “3X

=”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只

能放在第3、4号两个盒子中，共有3

28=种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合3X

=这一要求，需要除去，故有

3217{3}6464

P X -===

“2X

=”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、

4号三个盒子中，共有3

327=种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有3

28=种放法，即2号盒子是空的，这不符合2X

=这一要求，需要除去，故有

333219

{2}6464

P X -===

171937

{1}1{1}164646464

P X P X ==-≠=-

--= 即

（2）求()E X