固体物理 第4章 能带理论5

当温度趋于0k时定域态中电子迁移率趋于零,而扩展态中迁移率仍然 为有限值,因此莫特将EC称为迁移率边缘.对于任意E态,定域化 E 条件为:
W > 2Z V e 2E 1 W
1 2 2
2E 1 W
W
2E 1+ W
莫特还进一步提出了安德森转变(Anderson transition)的概念,如果 在Si晶体中掺入施主杂质磷,由于施主杂质的分布是无规的,就形成 无序系统,无序性将导致有一个迁移率边缘,设导带中电子的费米能 无序性将导致有一个迁移率边缘,
§4-7 能态密度和费米面 一,能态密度函数 在单个原子中电子的本征态形成一系列分立的能级,可以具体标 明各个能级的能量,说明它们的分布情况.而在晶体中电子能级是准 连续分布的,为了概括这种情况下的能级分布,引入"能态密度"的概 E 念.用 表示能量在 E→E+ 之间的状态数,则能态密度函数定义 Z 为: Z dZ
对于无序系统的电子态理论研究有两种处理方法;其一是对无序系 统作某种平均后近视当作有序系统处理,这种方法以相干势近似为代 表.其二是从无序系统的定域态出发,设计一些无序模型,研究无序 系统与有序系统电子态的差别,这种方法以安德森的工作为代表. 1,安德逊(P.W.Anderson)无序模型 无序系统由于不具有平移对称性,波矢k不再是描述电子状态的 好量子数,必须从定域态(或者原子轨道态)出发设计模型和讨论 从定域态(或者原子轨道态) 问题.安德森将紧束缚近似(TBA)方法推广用于无序系统,用 旺尼而函数作为基本函数把波函数进行二次量子化展开,引入反映 "无序程度"的变化宽度的参量W,而格点近邻交叠积分均取相同的 无序程度" 值V则表示无序系统的"短程有序"特征.因此,这个简化的模型概括 则表示无序系统的"短程有序" 了无序系统的主要特点,由此出发将便于求得定域化条件和引进 迁移率边界等新概念.安德森定域化条件为(E=0态): W > e 2Z V (z为每个格点的近邻数,e为自然对数的底数). 2,莫特(N.F.Mott)模型 当安德森条件不满足时,三维无序系统中E=0态不满足收敛条件,
单电子的薛定谔方程为:d 2
在 z > 0 的区域,当 E < V0 时,方程的解为:
dz

ψ(z) + 2
2m(E V (z)) h2
ψ(z) = 0
z
2 m (V0 E ) ψ 外 ( z ) = A exp h
在 z < 0 的区域,方程的解为: ψ内( z ) = Buk ( z )eikz + Cu k ( z )e ikz 由于周期性势场在表面处中断,因此在表面处附近可能出现复波矢 k = k′ + ik′′ 的许可态: ψ内表面( z) = B′uk ( z)eik ′z ek ′′z + C′uk ( z)eik ′z ek ′′z 根据波函数及其导数在边界处连续的条件以及波函数有限的要求(设 k ′′ > 0 ,当 z → ∞ 时, 内表面 (z ) 保持有限),可以得到表面态能级 ψ
它不能形成稳定的定域态,仍然是在系统中传播的扩展态.莫特指出 不能形成稳定的定域态,仍然是在系统中传播的扩展态.
这时在无序系统中既存在扩展态,也存在定域态.扩展态分布在紧束 这时在无序系统中既存在扩展态,也存在定域态. 缚近似能带的中心,定域态在带尾部分,并有一个划分扩展态与定域 缚近似能带的中心,定域态在带尾部分, 态的能量边界 Ec ,如下图
1
当金属中电子密度 n : 10 ~ 10 cm 费米能量大约在1.5~15eV. N个电子填充这些能级中最低的N个,有两种可能: 1,电子恰好填满最低的一系列能带,再高的各带全部都是空的.最 高的满带称为价带,最低的空带称为导带,价带最高能级与导带最低 高的满带称为价带, 能级之间的能量范围称为带隙.这种情况对应于绝缘体和半导体.带 隙宽度大的(大约10eV)为绝缘体,带隙宽度小的(1eV)为半导体
ξ
附近作定域化的运动,有别于扩展在整个晶体中的共有化运动,称为 电子的定域态(localized states).实验表明当杂质浓度增高时,定域 当杂质浓度增高时,
态的电子能级可能密集成带,并与导带相连接,形成导带的尾部 态的电子能级可能密集成带, 与导带相连接, (tail)它们对电导率的贡献很小.存在定域态是无序的标志. tail)
属导体. 属导体.
§4-8 表面电子态 I.Tamm于1932年提出晶体存在自由表面时,会在能隙中产生表面电 子态的能级,这就是通常所说的Tamm表面态.1939年 W.Shockley又 提出共价晶体的表面悬挂键在能隙中产生表面电子态,这就是通常 所说的Snockley表面态.为了说明金属—半导体接触势垒的高度对 金属功函数的依赖关系,J. Bardeen 于1947年提出在半导体表面存 在密度相当大的表面态,表面态中的电荷产生的电势差对金属—半 导体接触势垒高度有控制作用.直接测定金属或者半导体的表面电子 态是70年代XPS(Xray photoelectron spectroscopy)和 UPS(ultraviolet photoelectron spectroscopy)等新技术发明以后. 假定表面是理想的,考察晶体表面对电子本征态的影响.设晶体表面 z z 以z=0为分界面, < 0 的区域为具有周期性势场V (z) 的晶体;>0 的区 域是真空,电子势能 V ( z) = V0 为一常数.如下图.
�
v 所有电子均在有序晶格中作共有化运动,且各格点周围振幅 uk (r ) 相同
v v ψ k ( r ) = u k ( r )e
v v ik r
,这种状态在整个晶体中的扩展特征是长程有序效应的反映,因此 布洛赫态又称为扩展态(extended states).具有扩展态是有序晶格的 特征. 当有序晶格中掺入少量杂质后,周期性被局部破坏,这时将有电 子或者空穴被束缚在杂质上,并在导带之下或者价带之上(能隙区中 形成施主和受主能级,这些电子(或者空穴)的波函数是指数衰减型 v v 的定域函数: ( r ) ~ exp( r ) ξ 称为定域化长度.这时电子在杂质 ψ
22 23
r 3 时, s a 的值在2—6之间 0
2,如果除完全被电子充满的一系列能带外,还存在被部分充满的能 如果除完全被电子充满的一系列能带外, 带,这个被部分充满的能带称为导带.这时最高占据能级称为费米能 级.在每个部分占据的能带中,k空间都有一个占有电子和不占有电 子区域的分界面,所有这些表面的集合就是费米面.这种情况对应金
2
V
1 4π 3 3 13 k F = n k F = 2π n 2× 3 (2π ) 3 8π
1 3
3 rs 这里n为电子密度.引入自由电子球半径 ,可得 rs = 3 ,代入上式有: 4πn 1 9π ) 3 ( 3.63 o a 4 kF = ≈ 1.92 / rs ≈ A 为氢原子基态波尔半径,假定电子可以 0 rs rs ( ) 2 a0 h 2k F 50.1eV v = hkF ≈ 4.20 ×108 cm/ s EF = ≈ F rs m rs 2 2m 看成自由电子,从而有: ( ) a0 a0
位于迁移率边缘之下,此时系统中电子态都是定域态,可以认为是一 位于迁移率边缘之下,此时系统中电子态都是定域态, 个"绝缘体".如果继续掺杂,使费米能级通过迁移率边缘,位于它的 绝缘体" 如果继续掺杂,使费米能级通过迁移率边缘, 上面,系统将出现"金属性",因为在扩展态上占有电子.这里发生了 上面,系统将出现"金属性" 因为在扩展态上占有电子. 从绝缘体向金属是转变. 从绝缘体向金属是转变.
′ h uk (0) Es = V0 ik ′ 2m uk (0)
2
2
表面能级对应的波矢既然是复数,这个能级就不可能在无限晶体的许 表面能级对应的波矢既然是复数, 可能带中,只可能位于能隙中.其波函数在真空中指数衰减,在晶体 可能带中,只可能位于能隙中.其波函数在真空中指数衰减, 中是衰减的振荡函数.这种形式的波函数称为迅衰波(evanescent wave 中是衰减的振荡函数.这种形式的波函数称为迅衰波(
§4-9 无序系统中的电子态 在固体系统中无序是指相对于完整晶体中原子排列的高度有序状 态的偏离.无序系统大致可以分为:(1)成分无序(compositional disorder);(2) 拓扑无序(topological disorder).具有严格周期性的有
序晶格是平移不变的,单电子态可用波矢量k标记并形成能带,能带 电子的状态由布洛赫函数表示
N ( E ) = lim
E 在三维情况,状态在k空间分布的密度为: (2π )3 ,能量在 E→E+ (E → 0 ) 之间对应的体积为 4πk 2 dk ,则:
V
E →0 E
=
dE
dk N (E) = 4πk 3 dE ( 2π ) v 如果已知 E(k ) ,则可以计算出态密度. 二,费米面 若固体中有N个电子,它们的基态是按泡利原理由低到高填充尽 可能低的N个量子态,设N个电子在k空间填充半径为 kF 的球,计及 电子自旋有: