第三章_几种常见的概率分布律b
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 在4次贝努利试验里，获得 2次成功的方式有 C4 种：
ssff
sfsf
sffs
fssf
fsfs
ffss
2 注意 ：C 4 是从四个位置选取两个 位置的组合方式。
n! 4! 4 3 2 1 2 依据计算公式C , C4 ＝6 x!(n x)! 2!2! 2 1 2 1
2. 二项分布的常用记号
n:
x:
贝努利试验的次数 ;
二项分布变量 X的取值，即总共获得“ 成功”的次数；
:
1 － :
一次贝努利试验中获得 “成功”的概率；
显然是一次试验中获得 “失败”的概率；
P( x) :
总共获得x次“成功”的概率。
3. 二项分布的概率函数P(x)
• 怎样得到P(x)?
以n＝4，x＝2为例，欲求P（x＝2）＝？。
n 1
n 1
(n 1)! n t (1 ) n1t t 0 t!(n 1 t )!
n[ (1 )]n1
n
• 方差和标准差
Var( X ) n (1 )
2
n (1 )
证明： 2 Var( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2
泊松分布变量X只取零和正整数：0,1,2…，其概率 函数为 x
P( x)
x!
e
其中 0, e 2.7182 是自然对数底数。
注意：P( x)怎么得到的呢？泊松分 布可以用二项分布在 n , 0, n 的情形来近似。在这种 情形下C (1 )
x n x n x
e
t 0
t
t!
泰勒级数
e e
• 泊松分布的方差和标准差 2＝Var( X )
证明： 2 Var( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2
E[ X ( X 1) X ] [ E( X )]2 E[ X ( X 1)] E( X ) [ E( X )]2
n
n
n(n 1) 2 n n 2 2 n 2 n
2 Var( X ) n 2 2 n 2 n (n ) 2 n n 2 n (1 )
例三，某树种幼苗成材率为70％，现种植 2000株，问成材幼苗数的平均值和标准差是 多少？
二项分布 泊松分布
正态分布
离散变量
连续变量
超几何分布
标准正态分布 指数分布
负二项分布
第一节 二项分布
（Binomial Distribution）
1.贝努利试验和在什么情形下应用二项分布
•贝努利试验（Bernoulli trial）：试验只有两种可能的结果， 并且发生每种结果的概率是一定的。 例如：抛一枚硬币，看得到正面还是 反面；掷一次骰子，看得到6还是没有 得到6；随机抽查一名婴儿的性别，看 是男是女 在贝努利试验里，两种结果可分别称为“成功”和“失败”， 或者“事件A发生”和“事件A没有发生”。
1. 在什么情形下应用泊松分布
泊松分布是一种用来描述一定的空间或时间里稀有事件发生次 数的概率分布。 服从泊松分布的变量的一些例子： • 一定畜群中某中患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数。 • 畜群中遗传的畸形怪胎数 • 单位空间内某些野生动物或昆虫数 • 每升饮水中的大肠杆菌数
2. 泊松分布的概率函数与特征数
0 0 1 1 n n [ (1 )]n Cn (1 )n Cn (1 )n1 Cnx x (1 )n x Cn (1 )0
（2） P( x) Cnx x (1 ) n x [ (1 )]n 1n 1
x n
每种方式发生的概率为：
P(ssff)
乘法法则
P(s)P(s)P( f)P(f) (1 ) (1 ) 2 (1 ) 2
其它5种方式发生的概率也是如此。
因此，在n 4次试验中取得 x 2次成功的概率为
2 2 P(2) C4 (1 ) 42
大约有 100 P( X 3) 100 0.4232 42.32(张)
第三节 正态分布
（Normal Distribution）
正态分布是一种最重要的连续型变量的概率分布。
• 在生物科学研究里，有许多变量是服从或近似 服从正态分布的，如水稻产量、小麦株高、玉 米百粒重等； • 许多统计分析方法是以正态分布为基础的。 • 不少随机变量的概率分布在样本容量增大时趋于 正态分布。
x 0 1 2
P(x) 0.0625 0.250 0.375
n 4, 0.5,
0 P(0) C4 0.500.54 0.062
3 4
0.250 0.0625
X的概率分布图为
二项分布 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 获得正面的次数x 3 4
n n! n! x n x 2 (1 ) [(x x)] x (1 ) n x x x 2 x!( n x )! x 1 x!( n x )! n (n 2)! (n 1)! x2 n x n(n 1) (1 ) n x 1 (1 ) n x x 2 ( x 2)!( n x )! x 1 ( x 1)!( n x )! 2 n n
注意：
0.5时，分布对称； 0.5时，分布偏斜：
概率
0.5时，正偏 0.5时，负偏
5 二项分布变量的平均数和标准差
• 平均数
E ( X ) n
定义 n
证明： E ( X )
P( x) x
x 0
n! x (1 ) n x x x 0 x!( n x)!
另外一种方法： P (至少有1粒出苗)＝1－P(没有出苗)＝1 P( x 0)
0 1 C6 0.670 0.336 1 0.0013 0.9987
这说明每穴种6粒种子，几乎肯定出苗。
4 二项分布的概率分布表和概率分布图
除以P(x)表示，二项分布也可通过表或图来直观显示。 例如，抛硬币4次，获得的正面数记为X，则X服从二项 分布。X的概率分布表为
7 10 7
107
10! 0.757 0.253 7!3! 0.2503
所以，窝产仔10头，有7头白猪的概率是0.2503。
例二，有一批玉米种子，出苗率为0.67。现任取6粒 种子种1穴中，问这穴至少有1粒种子出苗的概率是 多少？
解：根据题意，这是一 个二项分布的问题。 视出苗为成功，有 n 6, ＝0.67。 设出苗的种子数为 x, 则x服从二项分布。
x
x!
e , 证明见40页。
• 泊松分布的平均数
＝E ( X )
证明：E ( X ) P( x) x
x 0 x 0
xe
x!
x
e
x 1
x
( x 1)!
e
x 1
x1
( x 1)!
t x 1
x 0 x 0
n
n
例一，纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传 理论，子二代中白猪与黑猪的比率为3：1。求产仔 10头，有7头白猪的概率。
解：根据题意，这是一 个二项分布的问题， 3 视白猪为成功，有 n 10, ＝ 0.75，x 7。 4
P( x 7) P(7) C 0.75 (1 0.75)
解：一张片子里看到的 微粒数X，可以看成是一定空间 里的稀有 事件数，所以它服从泊 松分布，且有 3。
P( X 3)
xe
x!
33 e 3 0.2240 3!
P ( X 3) P( X 0) P ( X 1) P ( X 2) 30 e 3 31 e 3 32 e 3 0! 1! 2! 0.4232
第三章 几种常见的概率分布律
回顾一下，在上一章里讲了变量及其概率分布的一 般概念。
• 离散变量用概率函数来研究，概率函数定义了这个变量
取每个值的概率；
ຫໍສະໝຸດ Baidu
• 连续变量用密度函数（一条曲线）来研究，通过这条曲线我
们可以求得变量在某个特定区间取值的概率。
在这一章里，我们将介绍一些在实际研究中应用最 广的变量类型及其概率分布。
* * 由此类推到一般情形， 在n此贝努利试验中， 共获得x次成功的概率是 P( x) C (1 )
x n x n x
关于P( x) C (1 )
x n x
n x
的讨论：
（ 1 ）从形式上来说， Cnx x (1 ) n x 是二项式 [ (1 )]n 展开 的第x 1项，所以有“二项分布 ”这个名称。
• 什么情形时应用二项分布：实验中进行了n次独立的贝努利 试验，统计在这n次试验中总共获得了多少次“成功”。“成 功”的次数，记为变量X；X称为二项分布变量，X的概率分布 称为二项分布。 X的可能取值为0，1，2，…，n。所以X是个离散型变量。
二项分布变量的一些例子：
（1）连续抛硬币100次，统计总共出现正面的次数。次数X服从二项分布。 （2）调查250名新生婴儿的性别，记男婴的总数为X，则X服从二项分布。 （3）调查n枚种蛋的出雏数，出雏数X服从二项分布。 （4）n头病畜治疗后的治愈数X，X服从二项分布。 （5）n尾鱼苗的成活数X，X服从二项分布。
定义 n
E( X )
2
2 P ( x ) x x 0
n! x (1 ) n x x 2 x 0 x!(n x)!
n
n! x (1 ) n x [(x 2 x) x] x 0 x!(n x)!
n n! n! x (1 ) n x [(x 2 x)] x (1 ) n x x x 0 x!(n x)! x 0 x!(n x)!
P( x) x( x 1) 2
x
x 0
xe
x!
x 2
x( x 1) 2
x 2
2
2e
( x 2)!
2e e 2
例一，显微镜下观察一种悬浮液中的某种颗粒，据前人报告， 平均每张样片可以观察到3个微粒，问在一次观察中看到3个 微粒的概率是多大？少于3个微粒的概率是多少？若观察100 张片子，大约有多少张片子看到的微粒数少于3个？
因此，在统计学里，正态分布无论在理论研究上还是在实际 应用中均占有重要的地位。
1 正态分布的定义与主要特征
n! x (1 ) n x x x 1 x!( n x)!
n
n
n! x (1 ) n x x 1 ( x 1)!( n x)!
t x 1
n
n! t 1 n 1t ( 1 ) t 0 t!( n 1 t )!
解：设2000 株幼苗的成材数为 X , 则X服从二项分布。
根据题意， n 2000 , 0.70 。
平均数 n 2000 0.70 1400
标准差 n(1 ) 2000 0.7 0.3 20.49
第二节 泊松分布
（Poisson Distribution）
P(至少有 1粒出苗)＝P( x 1) P( x 1) P( x 2) P( x 6)
1 2 6 C6 0.6710.335 C6 0.6720.334 C6 0.6760.330
0.0157 0.0799 0.0905 0.9987
ssff
sfsf
sffs
fssf
fsfs
ffss
2 注意 ：C 4 是从四个位置选取两个 位置的组合方式。
n! 4! 4 3 2 1 2 依据计算公式C , C4 ＝6 x!(n x)! 2!2! 2 1 2 1
2. 二项分布的常用记号
n:
x:
贝努利试验的次数 ;
二项分布变量 X的取值，即总共获得“ 成功”的次数；
:
1 － :
一次贝努利试验中获得 “成功”的概率；
显然是一次试验中获得 “失败”的概率；
P( x) :
总共获得x次“成功”的概率。
3. 二项分布的概率函数P(x)
• 怎样得到P(x)?
以n＝4，x＝2为例，欲求P（x＝2）＝？。
n 1
n 1
(n 1)! n t (1 ) n1t t 0 t!(n 1 t )!
n[ (1 )]n1
n
• 方差和标准差
Var( X ) n (1 )
2
n (1 )
证明： 2 Var( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2
泊松分布变量X只取零和正整数：0,1,2…，其概率 函数为 x
P( x)
x!
e
其中 0, e 2.7182 是自然对数底数。
注意：P( x)怎么得到的呢？泊松分 布可以用二项分布在 n , 0, n 的情形来近似。在这种 情形下C (1 )
x n x n x
e
t 0
t
t!
泰勒级数
e e
• 泊松分布的方差和标准差 2＝Var( X )
证明： 2 Var( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2
E[ X ( X 1) X ] [ E( X )]2 E[ X ( X 1)] E( X ) [ E( X )]2
n
n
n(n 1) 2 n n 2 2 n 2 n
2 Var( X ) n 2 2 n 2 n (n ) 2 n n 2 n (1 )
例三，某树种幼苗成材率为70％，现种植 2000株，问成材幼苗数的平均值和标准差是 多少？
二项分布 泊松分布
正态分布
离散变量
连续变量
超几何分布
标准正态分布 指数分布
负二项分布
第一节 二项分布
（Binomial Distribution）
1.贝努利试验和在什么情形下应用二项分布
•贝努利试验（Bernoulli trial）：试验只有两种可能的结果， 并且发生每种结果的概率是一定的。 例如：抛一枚硬币，看得到正面还是 反面；掷一次骰子，看得到6还是没有 得到6；随机抽查一名婴儿的性别，看 是男是女 在贝努利试验里，两种结果可分别称为“成功”和“失败”， 或者“事件A发生”和“事件A没有发生”。
1. 在什么情形下应用泊松分布
泊松分布是一种用来描述一定的空间或时间里稀有事件发生次 数的概率分布。 服从泊松分布的变量的一些例子： • 一定畜群中某中患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数。 • 畜群中遗传的畸形怪胎数 • 单位空间内某些野生动物或昆虫数 • 每升饮水中的大肠杆菌数
2. 泊松分布的概率函数与特征数
0 0 1 1 n n [ (1 )]n Cn (1 )n Cn (1 )n1 Cnx x (1 )n x Cn (1 )0
（2） P( x) Cnx x (1 ) n x [ (1 )]n 1n 1
x n
每种方式发生的概率为：
P(ssff)
乘法法则
P(s)P(s)P( f)P(f) (1 ) (1 ) 2 (1 ) 2
其它5种方式发生的概率也是如此。
因此，在n 4次试验中取得 x 2次成功的概率为
2 2 P(2) C4 (1 ) 42
大约有 100 P( X 3) 100 0.4232 42.32(张)
第三节 正态分布
（Normal Distribution）
正态分布是一种最重要的连续型变量的概率分布。
• 在生物科学研究里，有许多变量是服从或近似 服从正态分布的，如水稻产量、小麦株高、玉 米百粒重等； • 许多统计分析方法是以正态分布为基础的。 • 不少随机变量的概率分布在样本容量增大时趋于 正态分布。
x 0 1 2
P(x) 0.0625 0.250 0.375
n 4, 0.5,
0 P(0) C4 0.500.54 0.062
3 4
0.250 0.0625
X的概率分布图为
二项分布 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 获得正面的次数x 3 4
n n! n! x n x 2 (1 ) [(x x)] x (1 ) n x x x 2 x!( n x )! x 1 x!( n x )! n (n 2)! (n 1)! x2 n x n(n 1) (1 ) n x 1 (1 ) n x x 2 ( x 2)!( n x )! x 1 ( x 1)!( n x )! 2 n n
注意：
0.5时，分布对称； 0.5时，分布偏斜：
概率
0.5时，正偏 0.5时，负偏
5 二项分布变量的平均数和标准差
• 平均数
E ( X ) n
定义 n
证明： E ( X )
P( x) x
x 0
n! x (1 ) n x x x 0 x!( n x)!
另外一种方法： P (至少有1粒出苗)＝1－P(没有出苗)＝1 P( x 0)
0 1 C6 0.670 0.336 1 0.0013 0.9987
这说明每穴种6粒种子，几乎肯定出苗。
4 二项分布的概率分布表和概率分布图
除以P(x)表示，二项分布也可通过表或图来直观显示。 例如，抛硬币4次，获得的正面数记为X，则X服从二项 分布。X的概率分布表为
7 10 7
107
10! 0.757 0.253 7!3! 0.2503
所以，窝产仔10头，有7头白猪的概率是0.2503。
例二，有一批玉米种子，出苗率为0.67。现任取6粒 种子种1穴中，问这穴至少有1粒种子出苗的概率是 多少？
解：根据题意，这是一 个二项分布的问题。 视出苗为成功，有 n 6, ＝0.67。 设出苗的种子数为 x, 则x服从二项分布。
x
x!
e , 证明见40页。
• 泊松分布的平均数
＝E ( X )
证明：E ( X ) P( x) x
x 0 x 0
xe
x!
x
e
x 1
x
( x 1)!
e
x 1
x1
( x 1)!
t x 1
x 0 x 0
n
n
例一，纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传 理论，子二代中白猪与黑猪的比率为3：1。求产仔 10头，有7头白猪的概率。
解：根据题意，这是一 个二项分布的问题， 3 视白猪为成功，有 n 10, ＝ 0.75，x 7。 4
P( x 7) P(7) C 0.75 (1 0.75)
解：一张片子里看到的 微粒数X，可以看成是一定空间 里的稀有 事件数，所以它服从泊 松分布，且有 3。
P( X 3)
xe
x!
33 e 3 0.2240 3!
P ( X 3) P( X 0) P ( X 1) P ( X 2) 30 e 3 31 e 3 32 e 3 0! 1! 2! 0.4232
第三章 几种常见的概率分布律
回顾一下，在上一章里讲了变量及其概率分布的一 般概念。
• 离散变量用概率函数来研究，概率函数定义了这个变量
取每个值的概率；
ຫໍສະໝຸດ Baidu
• 连续变量用密度函数（一条曲线）来研究，通过这条曲线我
们可以求得变量在某个特定区间取值的概率。
在这一章里，我们将介绍一些在实际研究中应用最 广的变量类型及其概率分布。
* * 由此类推到一般情形， 在n此贝努利试验中， 共获得x次成功的概率是 P( x) C (1 )
x n x n x
关于P( x) C (1 )
x n x
n x
的讨论：
（ 1 ）从形式上来说， Cnx x (1 ) n x 是二项式 [ (1 )]n 展开 的第x 1项，所以有“二项分布 ”这个名称。
• 什么情形时应用二项分布：实验中进行了n次独立的贝努利 试验，统计在这n次试验中总共获得了多少次“成功”。“成 功”的次数，记为变量X；X称为二项分布变量，X的概率分布 称为二项分布。 X的可能取值为0，1，2，…，n。所以X是个离散型变量。
二项分布变量的一些例子：
（1）连续抛硬币100次，统计总共出现正面的次数。次数X服从二项分布。 （2）调查250名新生婴儿的性别，记男婴的总数为X，则X服从二项分布。 （3）调查n枚种蛋的出雏数，出雏数X服从二项分布。 （4）n头病畜治疗后的治愈数X，X服从二项分布。 （5）n尾鱼苗的成活数X，X服从二项分布。
定义 n
E( X )
2
2 P ( x ) x x 0
n! x (1 ) n x x 2 x 0 x!(n x)!
n
n! x (1 ) n x [(x 2 x) x] x 0 x!(n x)!
n n! n! x (1 ) n x [(x 2 x)] x (1 ) n x x x 0 x!(n x)! x 0 x!(n x)!
P( x) x( x 1) 2
x
x 0
xe
x!
x 2
x( x 1) 2
x 2
2
2e
( x 2)!
2e e 2
例一，显微镜下观察一种悬浮液中的某种颗粒，据前人报告， 平均每张样片可以观察到3个微粒，问在一次观察中看到3个 微粒的概率是多大？少于3个微粒的概率是多少？若观察100 张片子，大约有多少张片子看到的微粒数少于3个？
因此，在统计学里，正态分布无论在理论研究上还是在实际 应用中均占有重要的地位。
1 正态分布的定义与主要特征
n! x (1 ) n x x x 1 x!( n x)!
n
n
n! x (1 ) n x x 1 ( x 1)!( n x)!
t x 1
n
n! t 1 n 1t ( 1 ) t 0 t!( n 1 t )!
解：设2000 株幼苗的成材数为 X , 则X服从二项分布。
根据题意， n 2000 , 0.70 。
平均数 n 2000 0.70 1400
标准差 n(1 ) 2000 0.7 0.3 20.49
第二节 泊松分布
（Poisson Distribution）
P(至少有 1粒出苗)＝P( x 1) P( x 1) P( x 2) P( x 6)
1 2 6 C6 0.6710.335 C6 0.6720.334 C6 0.6760.330
0.0157 0.0799 0.0905 0.9987