高中物理竞赛_话题4：曲率半径问题

话题4：曲率半径问题

一、曲率半径的引入

在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。因为在0t ∆→ 的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。

对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。也就是说，我们在处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代曲”。可以通过曲线上一点A 与无限接近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，这个圆就是A 点的曲率圆。

二、曲线上某点曲率半径的定义

在向心加速度公式2

n v a ρ

=

中ρ为曲线上该点的曲率半径。

圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。我们应该注意到，这也造成了对ρ意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。

曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。曲率k 是用来描述曲线弯曲程度的概念。曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径ρ越小，且1

k

ρ=。这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。

二、曲线上某点曲率半径的确定方法

1、 从向心加速度n a 的定义式2

n v a ρ

=

出发。

将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v 和法向加速度n a ，再利用2

n v a ρ

=求出该点的曲率半径ρ。

例1、将1kg 的小球从A 点以10/m s 的初速度水平抛出，设重力加速度2

10/g m s =，求：

(1)在抛出点的曲率半径； (2)抛出后1s 时的曲率半径。

解析: (1)初时在A 点向心加速度2

10/n a g m s ==，方向竖直向下，所以小球在曲线上A

点的曲率半径10A m ρ=

(2)如图，抛出后1s 时到达B

点，切向速度/v s =，0

45α=.

向心加速度02cos45/n a g s == 小球在B

点的曲率半径B ρ=

2、已知曲线()y f x =，由322

(1)

y y ρ'+=

''

可得某点曲率半径。 证明：对于任意曲线()y f x =，均可理解为x 方向的匀

0x a =0x v v =n y a a =2

n v a ρ=

=例2

24x ay =的抛物线，

点O 、

抛物线顶点时速度大小v 抛物线2

4x ay =a

a x y y a v n 21))2(1()1(2

3

22

322

+=

'

''+==ρ 在原点O ，0x =，所以2a ρ=。而此时2

v F mg m

ρ

-=，所以2F mg =。

3、矢量分解法求椭圆22

221x y a b

+=的长轴与短轴端点的曲率半径(已知长半轴和短

半轴分别为a 和b )。

如图所示，设质点在M 平面内沿椭圆轨道以速率v 运动。这个运动在1M 平面的一个分运动轨道恰成半径为b 的圆，则两

平面间夹角arccos b

a

θ=。

对于椭圆上A 点，设曲率半径为A ρ，质点以线速度v 通过

A 点，则该点的向心加速度2

A A

v a ρ=

(1)

对A 在1M 平面上的投影1A 点，其线速度为v ,向心加速度1A a 为A a 沿1M 平面方向分

量，则2

A b v a a b

= (2)

比较(1)、(2)两式可得22

2A

av v b ρ=,2A a b ρ=同理，对B 点及其投影1B 点有

2

B B

v

a ρ=

, 2

1()B B b

v a a a b ==

即2

B a b

ρ=

4、构造运动法

构造两个相互垂直的分运动，写出分运动表达式。

如图所示为椭圆22

221x y a b += ，求椭圆上A 、B 两点处的曲率半径。

解：椭圆22

221x y a b

+= ，可以看成是两个函数的合成。

cos x a t ω= , s i n

y b t ω= 即可进一步写出x ,y 两个方向的速度v 和加速度a

则sin x v a t ωω=- , c o s

y v b t ωω= 2cos x a a t ωω=- , 2s i n y a b t

ωω=-

在(,0)A a 处0

0t ω=，y v b ω=，2x a a ω=- ,

求得A 处的曲率半径为22y

A x v b a a

ρ== 在(0,)B b 处2

t πω=

，x v a ω=-，2

y a b ω=- ,

求得B 处的曲率半径为22

x B y v a a b

ρ== 5、利用开普勒第二定律和机械能守恒定律求椭圆的曲率半径

例3、地球m 绕太阳M （固定）作椭圆运动，已知轨道半长轴为A ，半短轴为B ，如图所示，试求地球在椭圆各顶点1、2、3的运动速度的大小及其曲率半径． 解：对顶点1、2，由机械能守恒定律有

22121122Mm Mm

mv G mv G A C A C

-=--+ (1) 根据开普勒第二定律有

12V A C V A C -=+（）（） (2) (2)

式中C =