初三锐角三角函数知识点与典型例题

锐角三角函数:
知识点一：锐角三角函数的定义：
一、锐角三角函数定义：
在Rt△ ABC 中，/ C=90°, / A、/ B、/ C 的对边分别为a、b、c, 则/ A的正弦可表示为：sinA= __________ ,
/ A的余弦可表示为cosA= ___________
/ A的正切：tanA= ________ ，它们弦称为/ A的锐角三角函数
【特别提醒：1、sinA、/ cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没值只与_________ 有关，与直角三角形的_________ 无关
2、取值范围___ vsinA _______ c osA< ______ tanA> ________】
例1.如图所示，在Rt△ ABC中，/ C = 90°.
例2.锐角三角函数求值：
在Rt△ ABC 中，/ C= 90°，若a= 9,
sinA= ______ , cosA= ______
sinB = _____ , cosB = ______
例3.已知：如图，Rt△ TNM 中，/ TMN = 90°, MR丄TN 于R点，TN= 4, 求: sin/TMR、cos/TMR、tan/ TMR.
典型例题：
类型一：直角三角形求值有，这些比
① sin A 一()
斜边
② cosA -)
斜边
③ tan A _ ()
Z A的邻边
sin B 一(
)
斜边;
cos^ =—)
斜边
.B的对边
tan B ------------- =.
()
b= 12,贝U c=_______
tanA = ______ ,
tanB = ______ .
MN = 3. 第1题图
3
4
3
1 已知 Rt △ ABC 中， C =90,ta nA
, BC =12,求 AC 、AB 和 cosB . 4
3
2. 已知：如图，O O 的半径 OA = 16cm , OC 丄AB 于C 点，sin. AOC 二—-
4
求：AB 及OC 的长.
3
3. 已知：O O 中，OC 丄 AB 于 C 点，AB = 16cm , sin . AOC 二—
5 (1)求O O 的半径OA 的长及弦心距 OC ; ⑵求 cos / AOC 及 tan / AOC .
8
4.已知• A 是锐角，si nA
，求cosA , ta nA 的值 17
对应训练:
C = 90° 若 BC = 1，AB=J 5，贝U tanA 的值为
B.-
5
类型二.利用角度转化求值：
1. 已知：如图， Rt △ ABC 中，/ C = 90°. D 是AC 边上一点，DE 丄AB 于E 点.
DE : AE = 1 : 2.
求: sinB 、cosB 、tanB .
(房山)5.在△ ABC 中，/ C=90° sinA= 3
，那么tanA 的值等于（
5
（西城北）3.在Rt △ ABC 中，/ C. D.-
3
2. 如图，直径为10的O A 经过点C （0,5）和点0（0,0），与x 轴的正半轴交于点 D , B 是y
的面积= _______ cm 2.
3
半径为3 , AC =2，则sin B 的值是（
）
2
轴右侧圆弧上一点，则 cos / OBC 的值为（
C . 3
:-的顶点为0,它的一边在x 轴的正半轴上，另
OA 上有
ABCD 的边长为10cm , DE 丄AB ,
则这个菱形
5. （2009齐齐哈尔中考）如图,
O O 是厶ABC 的外接圆, AD 是O O 的直径, 若O O 的
D .
3. （2009孝感中考）如图，角
4. （2009庆阳中考）如图，菱形
3
度数及边BC 、AB 的长.
类型三.化斜三角形为直角三角形
例 1 （ 2012?安徽）如图，在△ ABC 中，/ A=30°，/ B=45 , AC=2 .3，求 AB 的长.
1 例 2.已知：如图，△ ABC 中，AC = 12cm , AB = 16cm , sinA= — （1）求AB 边上的高CD ; ⑵求△ ABC 的面积S ; ⑶求tanB .
6.如图4，沿AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 BC =10, AB=8,则 tan / EFC 的值为(
F 处•已知AB =8,
A. 3 4
B. 4 3
C. 3 5
在等腰直角三角形
：
ABC 中，.C =90 , AC =6 ,
1
tan 一匕 DBA
5
7.如图6,
则AD 的长为（）
A. C.
.2.2
8.如图 6,在 Rt △ ABC 中，/ C=90° , AC=8,/ A 的平分线
D 为AC 上一点，若
AD = ^ 求
3
D 落在BC 边的点 D.
图
6
例 3.已知：如图，在△ ABC 中，/ BAC = 120°, AB = 10 , AC = 5. 求：sin / ABC 的值.
对应训练
1. （ 2012?重庆）如图，在 Rt △ ABC 中，/ BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ ABD 是等边 三角形.若AB=2，求△ ABC 的周长.（结果保留根号）
2. 已知：如图，△ ABC 中，AB = 9, BC = 6,A ABC 的面积等于 9，求sinB .
3. ABC 中，/ A=60°, AB=6 cm , AC=4 cm ，则△ ABC 的面积是
A.2 ■■ 3 cm 2 C.6 一 3 cm 2
类型四：利用网格构造直角三角形
例1 （2012?内江）如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点， 则sinA 的值为（
）
A 丄
B 国
C 巫
D M
2
5
10 5
l' i
1 i ■ ■1 -
…右…[
4
L
… t 7
Zu /
:c
1
■ 1 8
对应练习:
1.
如图，△ ABC 的顶点都在方格纸的格点上，贝U
sin A = ______
B.4 - 3 cm 2 D.12 cm 2
A B
特殊角的三角函数值
锐角G 30°45°60°
si n ot
cosot
ta n a
当________ 时，正弦和正切值随着角度的增大而 ___________ 余弦值随着角度的增大而例1求下列各式的值.
（昌平）1）.计算：2cos30 = .2sin45 ‘—tan 60 .
（朝阳）2）计算:ta n60°+si n245 °- 2cos30°.
（2009黄石中考）计算：
3
一
1
+（2 n
-
1）
0-号
tan30—
tan45
°
△AC'B'，则tanB'的值为
1 1 1
A. —
B. —
C.—
D. 1
4 3 2
J7
_
A」
———a
B. 2 ,'5
5
tan / AOB的值是（
C.2
D. 2
2 .如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到3•正方形网格中, / AOB如图放置，则
(石景山)4 •计算:
+ T2cos60 * + si n4 5°-"¥ta n30 =
(5)已知：•为锐角，且tan(鼻亠30°) =
3，求tan 〉的值
例3.三角函数的增减性
1
1. 已知/ A 为锐角，且sin A < ，那么/ A 的取值范围是
2
A. 0 <A < 30
° B. 30<A v 60° C. 60 <A < 90
° D. 30 <A < 90
2. 已知A 为锐角，且cos A < sin 300，贝U (
)
A. 0 <A < 60
° B. 30 <A < 60
° C. 60 <A < 90 ° D. 30 <A < 90
例4.三角函数在几何中的应用
(通县)5 •计算:
tan 45 sin 30 ；
1 -cos60
例2.求适合下列条件的锐角
:-
•
1
(1) COS _：i
⑵ tan 二=
(3) si n2:=
、
2
2
(4) 6cos(: - 16 )=3.3
(■')在=ABC 中，若
cosA-丄 2
(sinB --2)2 = 0,
2
.A, . B 都是锐角，求
■ C 的度
求此菱形的周长.
2. 已知：如图，Rt△ ABC 中，/ C= 90°, AC =BC =$3，作/ DAC
=30 ° , AD交CB于D点，求：
(1) / BAD;
(2) sin / BAD、cos/ BAD 和tan / BAD .
1
3. 已
知：
如图
△
ABC
中，D
为BC
中
点，
且/
BAD =
90°,
tan
^B ，
求：
sin/C
AD、
cos 3
/ CAD、tan/ CAD .
3
4. 如图，在Rt△ ABC 中，/ C=90° , sin B ，点D
在BC 边上，DC= AC = 6，求tan / BAD 5
的值.
1已知：如图，在菱形ABCD 中，DE 丄AB 于E, BE= 16cm,sinA，
13
B
D
C
5. （本小题5分）如图，△ ABC中，/ A=30 AC = 4、、3 .求AB 的长.
,tanB 二,
2
C
解直角二角形：
1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下
（如图所示）:
在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AC = b , BC = a , AB = c , ① 三边之间的等量关系： ___________________________________ ② 两锐角之间的关系： _____________________________________ ③ 边与角之间的关系：
sinA=cosB= ______ ； cosA = sinB =
④ 直角三角形中成比例的线段（如图所示）• 在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, CD 丄 AB 于 D • CD 2= _________ ； AC 2= ________ ； BC 2= _________ ； AC • BC = ________ •
类型一
例 1.在 Rt A ABC 中，/ C = 90°.
(1)已知：a = 35, c=35.2，求/ A 、/ B , b ;
⑵已
知：
a = 2. 3 , b=2，求/ A 、/ B , c ；
⑶已
知：
2
sin A
, c = 6，求 a 、b ；
3
⑷已
知：
3
tan B , b = 9,求 a 、c ；
2
⑸已知：/ A = 60°,A ABC 的面积 S =12、. 3,求 a 、b 、c 及/ B .
tan A =
1 tan B
tan B =
tan A
例2.已知：如图，△ ABC 中，/ A = 30°,/ B= 60°,
AC = 10cm .求AB 及BC 的长.
类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角: 例1.（2012?福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30° 45°如果
此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（
）
例2•已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的
顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点.已知/ BAC = 60°,/ DAE =
45° .点D到地面的垂直距离DE =3、2m，求点B到地面的垂直距离BC.
例3 （昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m
从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角/ DCA=60°,
测得山顶B的仰角/ DCB=30°,求风力发电装置的高AB的长.
例3.已知：如图，Rt△ ABC中，/ D =
90 =10cm .求AD的长.
,/ B = 45,/ ACD = 60 ° .
BC
例4.已知：如图，△ ABC中，/ A = 30°,/
C. 220 二米
D. 100 (V)米
高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距
为1.7米，求这棵树的高度•
例5.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为30 °，测得岸 边点D 的俯角为45°,又知河宽CD 为50m .现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆 绳AC ,求山的高度及缆绳 AC 的长（答案可带根号）.
例5. （2012?泰安）如图，为测量某物体 AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°,朝物 体AB 方向前进20米，到达点C ,再次测得点A 的仰角为60°,则物体AB 的高度为（ ）
D
C
B
A . 10血米
B .
10米
C . 20近米
D 竽米
例6. （2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一•上周末，小明和三位同学尝 试用自己所学的知识检测车速•如图，观测点设在 A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30
米.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，
/ BAC=75 .
（1 ）求B 、C 两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道 60千米/小时的限制速度？ （计算时距离精确到
1 米，参考数据：
sin75 °~ 0.9659cos75°~ 0.2588 tan75 °~ 3.732
亦 ~ 1.732 60 千米 /小时 ~ 16.7米/秒）
3.3米，小聪身高 AB
A B
E
类型四.坡度与坡角
类型五.方位角
继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少 ？（精确到0.1海里，.3 1.732）
2. （2012?恩施州）新闻链接，据［侨报网讯］外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退 2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的 中国渔
政310”船人船未歇立即追往北纬 11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护 100多 名中国
渔民免受财产损失和人身伤害. 某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救
图1 图2
例.（2012?广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 则应水坡面AB 的长度是（ ）
A . 100m
B . 100.3 m
C . 150m
AB 的坡比是1:
3，堤坝高BC=50m ,
D . 50 3
m 1•已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点
每小时20海里的速度航行，1小时后到达 A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以 B
处，测得灯塔 M 在北偏西45°,问该货轮
0 A
解决问题
如图2,已知中国渔政310”船（A ）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于中国渔政310”船西南方向，中国渔政310”船位于陆地指挥中心
南偏东60°方向，AB「：：海里，中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息，
3
请你求出中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间.
综合题：
三角函数与四边形:
tan/ BDC=
（1）求BD的长;
⑵求AD的长.
（2011东一）18.如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE丄BC于点E, AF丄CD
于点F .
(1)求证： / BAE= / DAF ;
24 3
(2)若AE=4, AF= , sin. BAE ，求CF 的长.
5 5
三角函数与圆：
1.如图，直径为10的O A经过点C（0,5）和点0（0,0），与x轴的正半轴交于点D, B是y
轴右侧圆弧上一点，则cos/ OBC的值为（)
A.-
B.
C.3
4 D.
2255 y
\A；
O
1B
第8题图
（西城二模）1 .如图，四边形ABCD中, / BAD= 135°,
（延庆）19.已知：在O O 中,AB 是直径，CB 是O O 的切线，连接 AC 与O O 交于点D, （1）求证：/ AOD=2/ C
4
⑵ 若AD=8 tanC=—，求O O 的半径。

3
作业:
（西城北）2.在Rt △ ABC 中，/ C = 90° 若
（大兴）4.若sin ，则锐角 .：＞ = ___________ .
（石景山）1.如图，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°，BC = 3, 2 3 2,5 A. -
B. -
C.
-
3
2
5
（昌平）1.已知皿1
，则锐角A 的度数是 B . 60
A . 75
C . 45
D . 30 （房山）3.在△ ABC 中，/ C=90° A . 3
5 B.- 5
1
C . 一
2
,sinA=-，
5 C. 3
4
那么 tanA 的值等于（
D.-
3
（丰台）5•将/ a 放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则 tan a 的值是
（2013朝阳期末）21.如图，DE 是O O 的直径, 于点B ，在EC 上取一个点 F ，使EF=BF. （1）求证:BF 是O O 的切线；
4
（2 ）若 COSC , DE=9，求 BF 的长.
5
CE 与O O 相切，E 为切点•连接CD 交O O
BC = 1, AB= •. 5，则 tanA 的值为
AC=2，贝U tanB 的值是
2 1
3 D.
-
13
C. （大兴）5. △ ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，
则 3 3
A. B.-
5 4
（通县）4.如图，在直角三角形
A
、
C1
ABC中，斜边AB的长为m , . B =40；,
则直角边BC的长是（
）
A. ms in 40：C. mtan40；
B. m cos 40"
m
tan 40
（通州期末））1.
且OM : 如图，已知
:5,贝U cos a
P是射线OB上的任意
的值等于（）
占
八、、
：
PM丄OA于M ,
P I B
3443
A .—B. ——C. D. —严a in
4355O第1题图M A AB为O O的弦，半径OC丄AB于点D，若
（西城）
6.
如图, 长为10, 3
cos/BOD =-
5
,则AB的长是
A . 20 B. 16 C. 12 D. 8
7•在Rt △ ABC 中，/
C=90°
如果
4
cosA= ，那么
5
3
C.—
4
ta nA的值是
OB
11.如图，在△ ABC中，/ ACB= / ADC= 90 ° 若
4
D .—
3
3
sinA=-，贝V
5
cos/ BCD的值为
B
13.计算：2cos30 i2sin45 -tan60
13.计算 2sin 60'「cos45'-3tan30
tan 45 .
13.计算:、、2 sin60；
- 4cos 2 30 +sin 45 tan60 . 14•如图，小聪用一块有一个锐角为 已知小聪和树都与地面垂直，且相距 1.7米，求这棵树的高度• 15.已知在 Rt △ ABC 中，/ C = 90° a=4j6 , b=12^2 •解这个直角三角形 20.如图，在 Rt △ ABC 中，/ CAB=90 ° AD 是/ CAB 的平分线, tanB=-，求 CD 的值. （延庆）19. （3）求证：/ ⑷若AD=8
已知：在O O 中,AB 是直径，CB 是O O 的切线，连接 AC 与O O 交于点D, C AOD= 2/C 4 tanC=—，求O O 的半径。

3 （延庆期末） B 处的俯角为30，荷塘另一端D 处C 、B 在 同一条直线上，已知 AC =32米，CD =16米, 求荷塘宽BD 为多少米？（结果保留根号） 19.如图，某同学在 楼房的A 处测得荷塘的一端A B O D
C
18. (6分)如图，在 △ ABC 中，点0在AB 上，以0为圆心的圆 经过A ,
C 两点，交 AB 于点
D ，已知2 /A + / B = 90 . (1)求证：BC 是O 0的切线； (2 )若 0A=6, BC=8，求 BD 的长. (1)证明： (2)解:
18.如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东45。

方向，距离灯塔100海
里的A 处，它 计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P 的北偏东
30方向上的B 处. (1) B 处距离灯塔P 有多远？
..
(2) 圆形暗礁区域的圆心位于 PB 的延长线上，距离灯塔
200
..
海里的O 处•已知圆形暗礁区域的半径为 50海里，进入
'
圆形暗礁区域就有触礁的危险•请判断若海轮到达
B 处是
(西城)
15.如图，在Rt △ ABC 中, 1
/ C=90°，点 D 在 AC 边上.若 DB=6 ,AD = —CD ,
2 sin / CBD= —，求AD 的长和tanA 的值.
3 ［来源学科网］
否有触礁的危险，并说明理由.
22.已知，如图，在△ ADC中，.ADC =90，以DC为直径作半圆，交边AC于点F , 点B在CD的
延长线上，连接BF，交AD于点E, . BED = 2. C .
（1）求证：BF是L O的切线；
(2)若BF =FC , AE—.3，求L O 的半径.
15.如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为300又向前走了20
米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为600,求楼AB 的高.
B D
14. （2009眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海
船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向, 求此时灯塔B到C处的距离。

15. （2009常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为300，向前走200米来到山脚A处，
测得山坡AC的坡度为i=1 : 0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3〜1.73 , 结果保留整数）.
16. （2008 广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理, 决定将园内的滑滑板的倾角由450
降为300,已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上.
(1) 改善后滑滑板会加长多少？(精确到 0.01)
(2) 若滑滑板的正前方能有 3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 空地，像这样改造是否可行？说明理由。

（参考数据： 2 =1.414^.3 =1.732^,^2.449 ）
18.在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，
如图13所示, 某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点
C ,测得C 在A 北偏西31的方向上，沿 河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助 该同学
计算出这条河的宽度.
图13
6米长的
(参考数值：tan31 ~ — , sin31 Di。