历年初中数学竞赛试题及答案解析

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初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)

初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)

初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)第一套试题1. 某数与它的四分之一之和的和是28,求这个数是多少?解:设这个数为x,根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28,化简得9/4x = 28,解得 x = 44.2. 有一个矩形,长是宽的3倍,如果长再加上宽再加上1的和等于50,求矩形的长和宽各是多少?解:设矩形的宽为x,则长为3x,根据题意可得方程 3x + x + 1 = 50,化简得 4x + 1 = 50,解得 x = 12,所以长为3 * 12 = 36,宽为12.3. 某个数的三次方减去它自身等于608,求这个数是多少?解:设这个数为x,根据题意可得方程 x^3 - x = 608,化简得 x^3 - x - 608 = 0,因此需求解该方程的解x.4. 甲数和乙数之和是300,甲数比乙数大30,求甲数和乙数各是多少?解:设甲数为x,乙数为y,根据题意可得方程 x + y = 300,x - y = 30,联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.5. 家长购买某品牌的饮料,每瓶售价为5元,如果购买10瓶,优惠50%,那么需要支付的价格是多少?解:购买10瓶优惠50%,相当于购买5瓶的价格,所以需要支付 5 * 10 * (1 - 50%) = 25元.第二套试题1. 学校图书馆购买300本新书,若图书馆中已有书籍500本,现将这些书按每排放10本的方式摆放,共需要多少排?解:新书300本加上原有书籍500本,共计800本书,每排放10本,所以需要 800 / 10 = 80排.2. 小明每天早上跑步30分钟,下午骑自行车25分钟,晚上游泳40分钟,求他一天中运动的总时长是多少分钟?解:小明一天早上跑步30分钟,下午骑自行车25分钟,晚上游泳40分钟,总时长为 30 + 25 + 40 = 95分钟.3. 甲、乙两人开始一起钓鱼,甲每分钟能钓2条鱼,乙每分钟能钓1条鱼,如果他们一起钓了45分钟,那么他们一共钓到了多少条鱼?解:甲每分钟能钓2条鱼,乙每分钟能钓1条鱼,他们一起钓了45分钟,所以甲和乙一共钓到了 2 * 45 + 1 * 45 = 135 条鱼.4. 某商品原价100元,现在打8折,过了一段时间后再降价,降到原价的85%,现在这个商品的售价是多少?解:原价100元,打8折后为 100 * (1 - 80%) = 80元,再降到原价的85%为 80 * 85% = 68元.5. 某人的年收入为12000元,每月生活费占月收入的1/5,那么这个人每月的生活费用是多少元?解:年收入12000元,月收入为 12000 / 12 = 1000元,生活费占收入的1/5,所以生活费用为 1000 * 1/5 = 200元.第三套试题1. 甲、乙两个人合作修一个房子,甲一个人修需要8天,乙一个人修需要12天,问他们一起修需要多少天?解:甲一个人修需要8天,乙一个人修需要12天,他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8天.2. 甲购买一本书花费了原价的3/4,折后价格为60元,问这本书的原价是多少?解:折后价格为60元,花费原价的3/4,所以原价为 60 / (3/4) = 80元.3. 甲、乙两人比赛,甲第一轮跑步用时1分钟,第二轮用时50秒,第三轮用时40秒;乙第一轮跑步用时55秒,第二轮用时45秒,第三轮用时35秒,问谁的平均速度更快?解:甲第一轮跑步用时1分钟,第二轮用时50秒,第三轮用时40秒,平均速度为 (60 + 50 + 40) / 3 = 50 秒/轮;乙第一轮跑步用时55秒,第二轮用时45秒,第三轮用时35秒,平均速度为 (55 + 45 + 35) / 3 = 45 秒/轮;所以甲的平均速度更快.4. 一只小狗每小时能跑5公里,一只小猫每小时能跑8公里,如果它们从同一地点同时出发并分别向东和西跑,4小时后它们相距了多少公里?解:小狗每小时能跑5公里,4小时后跑了5 * 4 = 20公里,小猫每小时能跑8公里,4小时后跑了8 * 4 = 32公里,所以它们相距了 32 -20 = 12 公里.5. 三个连续的偶数相加的和是60,求这三个数分别是多少?解:设第一个偶数为x,那么第二个偶数为x + 2,第三个偶数为x+ 4,根据题意可得方程 x + (x + 2) + (x + 4) = 60,求解该方程可得x及其对应的三个连续偶数.第四套试题1. 一个数的2倍加上5等于13,求这个数是多少?解:设这个数为x,根据题意可得方程 2x + 5 = 13,解得 x = 4.2. 甲乙两数相差22,乙数的2倍与甲数的3倍之和等于70,求甲、乙两数各是多少?解:设甲数为x,乙数为y,根据题意可得方程 y - x = 22,2y + 3x= 70,联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.3. 一辆汽车以每小时80千米的速度行驶,行驶了1小时20分钟后停下来休息,求这段时间内汽车行驶的路程?解:汽车以每小时80千米的速度行驶,1小时20分钟共1.33 小时,所以汽车行驶的路程为 80 * 1.33 = 106.4 千米.4. 甲、乙两个人一起做一件工作,甲单独完成需要4小时,乙单独完成需要6小时,他们一起完成这件工作需要多少小时?解:甲单独完成需要4小时,乙单独完成需要6小时,他们一起完成需要的时间为 1/(1/4 + 1/6) = 2.4小时.5. 一个数加上它的四分之一之和的和是28,求这个数是多少?解:设这个数为x,根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28,化简得9/4x = 28,解得 x = 44.第五套试题1. 一条宽10米的路,两边分别种植了向阳向每排7棵树或9棵树,每棵树之间距离相等,而且与路两边相邻树之间距离也相等,问道路中间最宽的地方有多宽?解:分别种植7棵树和9棵树,每棵树之间距离相等,所以道路中间最宽的地方为两排树之间的距离.2. 一个数与4的乘积减去2等于18,求这个数是多少?解:设这个数为x,根据题意可得方程 4x - 2 = 18,解得 x = 5.3. 甲、乙、丙三人合作种田,甲一个人种地需要10天,乙一个人种地需要12天,丙一个人种地需要15天,问他们三个人一起种地需要多少天?解:甲一个人种地需要10天,乙一个人种地需要12天,丙一个人种地需要15天,他们一起种地需要的时间为 1/(1/10 + 1/12 + 1/15) =4.8天.4. 某人共有100元,买了一本书花掉了原价的3/5,剩下的钱还能买另一本原价为80元的书吗?解:100元买了一本书花掉了原价的3/5,剩下的钱为 100 * (1 - 3/5) = 40元,剩下的钱不足以购买另一本80元的书.5. 一团面粉重800克,其中水分为15%,求这团面粉中水分的重量是多少克?解:面粉重800克,其中水分为15%,所以水分的重量为800 * 15% = 120克.第六套试题1. 一个数与它的五分之一之和的和是40,求这个数是多少?解:设这个数为x,根据题意可得方程 x + (1/5)x + x = 40,化简得7/5x = 40,解得 x = 28.57.2. 甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2:5,如果他们一起完成这项工作需要3小时,求乙单独完成这项工作需要多少时间?解:甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2:5,设甲单独完成需要的时间为x,乙单独完成需要的时间为y,根据题意可得方程 2x + 5x = 3,解得 y = 7.5.3. 有两个相交的圆,圆心之间的距离为8,两圆的半径分别为5和3,求两圆相交的弦的长度是多少?解:两个圆的半径分别为5和3,圆心之间的距离为8,利用勾股定理可以求得两圆相交的弦的长度.4. 甲乙两个人一起做一件工作,甲单独完成需要10小时,乙单独完成需要15小时,他们一起完成这件工作需要多少小时?解:甲单独完成需要10小时,乙单独完成需要15小时,他们一起完成需要的时间为 1/(1/10 + 1/15) = 6小时.5. 甲给乙20元,乙给丙30元,丙给甲10元,这三个人一共交易了多少元?解:甲给乙20元,乙给丙30元,丙给甲10元,所以一共交易了20 + 30 + 10 = 60元.第七套试题1. 某数比它的2/3小12,求这个数是多少?解:设这个数为x,根据题意可得方程 x - (2/3)x = 12,化简得 1/3x = 12,解得 x = 36.2. 甲、乙两个人一起修一条路,甲单独修需要8小时,乙单独修需要12小时,也有可能甲的速度是乙的倍数,问他们一起修需要多少小时?解:甲单独修需要8小时,乙单独修需要12小时,他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8小时.3. 某品牌的衣服原价为200元,现在打折8折,过了一段时间后再降价,降到原价的85%,现在这件衣服的售价是多少?解:原价200元,打8折后为 200 * (1 - 80%) = 160元,再降到原价的85%为 160 * 85% = 136元.4. 甲、乙两个人一起做工,甲一个小时能做1/3的工作量,乙一个小时能做1/4的工作量,问他们一起做一份工作需要多少时间?解:甲一个小时能做1/3的工作量,乙一个小时能做1/4的工作量,他们一起做一份工作需要的时间为 1/(1/3 + 1/4) = 12/7小时.5. 某人的年收入为12000元,每月花销占收入的1/4,那么这个人每月的花销是多少元?解:年收入12000元,。

初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解

初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解

初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解初中数学奥林匹克竞赛是挑战数学天赋和才能的绝佳场所。

这种竞赛是为那些对数字和逻辑有天赋和兴趣的人所设计的。

无论是追求数学事业,还是成为一名数学家,初中数学奥林匹克竞赛都是一个巨大的机会,可以开阔思维和向高级数学的道路迈进。

本文所述的四套初中数学奥林匹克竞赛题带有详细解析,可供所有有兴趣的人参考学习。

第一套试题:平方和试题:假设我们有两个正整数 a 和 b。

如果我们写一个等式 a²+ b² = 130, 请问这个方程有多少对正整数解?解析:通过对题目的分析,我们发现 a 和 b 都是小于等于 11 的正整数,因为如果是大于 11,它们的平方数之和会大于 130。

我们可以用双重循环解决这个问题:```ans = 0for a in range(1, 12):for b in range(1, 12):if a * a + b * b == 130:ans += 1print(ans)```第二套试题:比率试题:如果 3 个大苹果的重量等于 4 个小苹果的重量,又知道3 个小苹果重量等于 2 个中等苹果的重量,那么问:如果要将 20 个中等苹果与其中 $x$ 个大苹果混合,让它们的重量相等,求出$x$ 的值。

解析:我们可以用比率法解决这个题目。

首先,根据第一个给出的条件,我们有:```3a = 4b```其中,$a$ 是大苹果的重量,$b$ 是小苹果的重量。

然后,根据第二个条件,我们可以得到:```3b = 2c```其中,$c$ 是中等苹果的重量。

现在我们只需要将 $a$ 和$c$ 的比率相等,即:```a / c = 20x / (20 - x)```通过简单的代数运算,我们可以得到:```60x = 80(20 - x)x = 16```因此,我们需要加入 $16$ 个大苹果。

第三套试题:平均值试题:32 个正整数的平均值为20,当其中一个数字被改变后,平均数变为 19.875。

全国初中数学竞赛试题及解答

全国初中数学竞赛试题及解答

ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个是正确的。

请将正确答案的代号填在题后的括号里)1、设a ,b ,c 的平均数为M ,a ,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若c b a ,则M 与P 的大小关系是( )A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案:B 解析:∵3c b a M ,2b a N ,222c b a c N P ,122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ,即0 P M ,即P M 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(a b ),再前进c 千米,则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是( )答案:C解析:因为图(A )中没有反映休息所消耗的时间;图(B )虽表明折返后S 的变化,但没有表示消耗的时间;图(D )中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C )正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( ) A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案:A解析:由题意知3×(甲-乙)151025 ∴甲-乙=5。

4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有( )A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案:B解析:在直线AB 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ,N y 525 ,(N 是整数).在线段AB 上这样的点应满足041 N ,且0525 N ,∴541N ,即1 N ,2,3,4,55、设a ,b ,c 分别是ABC 的三边的长,且cb a ba b a,则它的内角A 、B 的关系是( )A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案:B解析:由c b a b a b a得c a bb a ,延长CB 至D ,使AB BD ,于是c a CD 在ABC 与DAC 中,C C ,且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ,D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,面积为S ,111C B A 的三边长分别为1a ,1b ,1c ,面积为1S ,且1a a ,1b b ,1c c ,则S 与1S 的大小关系一定是( )A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案:D解析:分别构造ABC 与111C B A 如下:①作ABC ∽111C B A ,显然1211a a S S ,即1S S ;②设101b a ,20c ,则1 c h ,10 S ,10111 c b a ,则10100431S ,即1S S ;③设101 b a ,20 c ,则1 c h ,10 S ,2911 b a ,101 c ,则2 c h ,101 S ,即1S S ;因此,S 与1S 的大小关系不确定。

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b,那么a + b 等于_____.答案:-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1(m、n 都不为 0),若 m + n 等于 8,则 m - n 等于_____.答案:73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=3,Sn=15,则 n 的值是_____.答案:64. 在△ABC 中,已知 a=4,b=4,c=8,若 AB+AC=9,则∠B =_____.答案:45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为(3,1)、(5,-1),则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案:B6. 若正方形的边长为 x,周长为 5x,则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案:A7. 已知tanα=2,cotβ=-3,则 tan(α-β)等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案:B8. 把一个正整数分成 K 份,第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的()A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案:B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1,若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切,求该曲线上点 P 的坐标答:设点 P 的坐标为 (x,y),因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切,所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得,即 y=12-4/3x,由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1,故 x=7,代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。

点 P的坐标即为 (7, 8)。

10. 已知△ABC 中,a=3,b=3,∠A=120°,求 B 的坐标答:由△ABC 中 A 的坐标为(0,0),a=3,b=3 可知 C 的坐标为(3,0),∠A=120°,∠C=60°,因为∠B=60,则以 C 为外接圆圆心,半径为3 的圆○上可得点B,即B(√3,1),综上所述,点B 的坐标为(√3,1)。

全国初中数学竞赛试题及解答

全国初中数学竞赛试题及解答

ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个是正确的。

请将正确答案的代号填在题后的括号里)1、设a ,b ,c 的平均数为M ,a ,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若c b a ,则M 与P 的大小关系是( )A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案:B 解析:∵3c b a M ,2b a N ,222c b a c N P ,122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ,即0 P M ,即P M 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(a b ),再前进c 千米,则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是( )答案:C解析:因为图(A )中没有反映休息所消耗的时间;图(B )虽表明折返后S 的变化,但没有表示消耗的时间;图(D )中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C )正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( ) A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案:A解析:由题意知3×(甲-乙)151025 ∴甲-乙=5。

4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有( )A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案:B解析:在直线AB 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ,N y 525 ,(N 是整数).在线段AB 上这样的点应满足041 N ,且0525 N ,∴541N ,即1 N ,2,3,4,55、设a ,b ,c 分别是ABC 的三边的长,且cb a ba b a,则它的内角A 、B 的关系是( )A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案:B解析:由c b a b a b a得c a bb a ,延长CB 至D ,使AB BD ,于是c a CD 在ABC 与DAC 中,C C ,且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ,D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,面积为S ,111C B A 的三边长分别为1a ,1b ,1c ,面积为1S ,且1a a ,1b b ,1c c ,则S 与1S 的大小关系一定是( )A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案:D解析:分别构造ABC 与111C B A 如下:①作ABC ∽111C B A ,显然1211a a S S ,即1S S ;②设101b a ,20c ,则1 c h ,10 S ,10111 c b a ,则10100431S ,即1S S ;③设101 b a ,20 c ,则1 c h ,10 S ,2911 b a ,101 c ,则2 c h ,101 S ,即1S S ;因此,S 与1S 的大小关系不确定。

历年初中数学竞赛试题精选(含解答)

历年初中数学竞赛试题精选(含解答)

初三数学竞赛试题 4、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是()A. m(1+a%)(1-b%)元B. m?a%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元解:选C。

设全天下雨a天,上午晴下午雨b天,上午雨下午晴c天,全天晴d天。

由题可得关系式a=0①,b+d=6②,c+d=5③,a+b+c=7④,②+③-④得2d-a=4,即d=2,故b=4,c=3,于是x=a+b+c+d=9。

解:出发1小时后,①、②、③号艇与④号艇的距离分别为各艇追上④号艇的时间为对>>>有,即①号艇追上④号艇用的时间最小,①号是冠军。

解:设开始抽水时满池水的量为,泉水每小时涌出的水量为,水泵每小时抽水量为,2小时抽干满池水需n台水泵,则由①②得,代入③得:∴,故n的最小整数值为23。

答:要在2小时内抽干满池水,至少需要水泵23台解:设第一层有客房间,则第二层有间,由题可得由①得:,即由②得:,即∴原不等式组的解集为∴整数的值为。

答:一层有客房10间。

解:设劳动竞赛前每人一天做个零件由题意解得∵是整数∴=16(16+37)÷16≈3.3故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。

初中数学竞赛专项训练(2)(方程应用)一、选择题:答:D。

解:设甲的速度为千米/时,乙的速度为千米/时,根据题意知,从出发地点到A的路程为千米,到B的路程为千米,从而有方程:,化简得,解得不合题意舍去)。

应选D。

答:C。

解:第k档次产品比最低档次产品提高了(k-1)个档次,所以每天利润为所以,生产第9档次产品获利润最大,每天获利864元。

答:C。

解:若这商品原来进价为每件a元,提价后的利润率为,则解这个方程组,得,即提价后的利润率为16%。

答:B。

解:设甲乙合作用天完成。

由题意:,解得。

故选B。

答:A。

解:A与B比赛时,A胜2场,B胜0场,A与B的比为2∶0。

数学竞赛初中组试题及答案

数学竞赛初中组试题及答案

数学竞赛初中组试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列哪个数是最小的正整数?A. 0B. 1C. -1D. 2答案:B2. 如果一个数的立方等于它本身,那么这个数可能是:A. 1B. -1C. 0D. 1和-1答案:D3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边的长度是:A. 5B. 6C. 7D. 8答案:A4. 一个数的平方根是它本身,这个数可能是:A. 1B. -1C. 0D. 1和0答案:D5. 一个数的倒数是它本身,这个数可能是:A. 1B. -1C. 0D. 1/2答案:A二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个数的绝对值是它本身,这个数是______。

答案:非负数7. 一个数的相反数是它本身,这个数是______。

答案:08. 如果a和b互为倒数,那么ab=______。

答案:19. 一个数的平方等于16,这个数可能是______。

答案:±410. 一个数的立方等于8,这个数是______。

答案:2三、简答题(每题5分,共20分)11. 证明:对于任意实数x,都有(x+1)^2 ≥ 2x。

答案:展开(x+1)^2得x^2+2x+1,因为x^2总是非负的,所以(x+1)^2 ≥ 2x。

12. 一个数列的前三项是1, 2, 3,如果每一项都是前一项的两倍,求第10项的值。

答案:这是一个等比数列,首项a1=1,公比r=2。

根据等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1),第10项a10=1*2^(10-1)=2^9。

13. 一个圆的半径为5,求圆的周长。

答案:圆的周长公式为C=2πr,代入半径r=5,得C=2*π*5=10π。

14. 一个长方体的长宽高分别为2, 3, 4,求其体积。

答案:长方体的体积公式为V=lwh,代入长l=2,宽w=3,高h=4,得V=2*3*4=24。

四、解答题(每题10分,共30分)15. 某班有40名学生,其中1/4的学生数学成绩优秀,1/3的学生英语成绩优秀,求至少有1门成绩优秀的学生人数。

数学竞赛试题及答案初中

数学竞赛试题及答案初中

数学竞赛试题及答案初中试题一:代数问题题目:如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数,且\( a^2 + b^2= 45 \),求\( a \)和\( b \)的值。

解答:设\( a \)为较小的自然数,那么\( b = a + 1 \)。

根据题意,我们有:\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得:\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此,\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。

由于\( a \)是自然数,所以\( a = 2 \),\( b = 3 \)。

试题二:几何问题题目:在一个直角三角形中,直角边的长度分别为3厘米和4厘米,求斜边的长度。

解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算:\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。

代入数值:\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。

试题三:数列问题题目:一个等差数列的前三项分别是2,5,8,求这个数列的第10项。

解答:等差数列的通项公式是:\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项,\( a_1 \)是首项,\( d \)是公差。

已知首项\( a_1 = 2 \),公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。

代入公式求第10项:\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。

初中奥林匹克数学竞赛试题

初中奥林匹克数学竞赛试题

初中奥林匹克数学竞赛试题一、选择题(每题3分,共30分)1. 若实数a,b满足 a + 2 +(b - 4)² = 0,则a + b的值为()。

A. - 2B. 2C. 6D. - 6答案:B。

解析:因为绝对值是非负的,一个数的平方也是非负的,要使 a + 2 +(b - 4)² = 0,那么a+2 = 0且b - 4 = 0,解得a=-2,b = 4,所以a + b=2。

2. 把多项式x² - 4x+4分解因式,结果正确的是()。

A. (x - 2)²B. (x+2)²C. (x - 4)²D. (x+4)²答案:A。

解析:x²- 4x + 4符合完全平方公式a²- 2ab+b²=(a - b)²的形式,这里a=x,b = 2,所以分解因式结果为(x - 2)²。

3. 已知一元二次方程x² - 3x - 2 = 0的两个实数根为x1,x2,则(x1 - 1)(x2 - 1)的值是()。

A. - 4B. - 2C. 0D. 2答案:C。

解析:根据韦达定理,对于一元二次方程ax²+bx + c = 0(a≠0),x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

在方程x² - 3x - 2 = 0中,a = 1,b=-3,c = - 2,所以x1+x2 = 3,x1x2=-2。

(x1 - 1)(x2 - 1)=x1x2-(x1+x2)+1=-2 - 3+1 = 0。

4. 一个三角形的三个内角之比为1:2:3,则这个三角形是()。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案:B。

解析:设三个内角分别为x,2x,3x,因为三角形内角和为180°,所以x+2x+3x = 180°,解得x = 30°,那么三个角分别为30°,60°,90°,所以是直角三角形。

历年初中数学竞赛试题精选(含解答)

历年初中数学竞赛试题精选(含解答)

初中数学竞赛专项训练(1)1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被( )整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 解:依题意设六位数为abcabc ,则abcabc =a ×105+b ×104+c ×103+a ×102+b ×10+c =a ×102(103+1)+b ×10(103+1)+c (103+1)=(a ×103+b ×10+c )(103+1)=1001(a ×103+b ×10+c ),而a ×103+b ×10+c 是整数,所以能被1001整除。

故选C方法二:代入法2、若2001119811198011⋯⋯++=S ,则S 的整数部分是____________________解:因1981、1982……2001均大于1980,所以9022198019801221==⨯>S ,又1980、1981……2000均小于2001,所以22219022*********221==⨯<S ,从而知S 的整数部分为90。

3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有100个学生,第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是2的倍数的开关拉一下,第n 个(n ≤100)学生进来,凡号码是n 的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。

解:首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的,所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。

历届初中数学竞赛试题及答案

历届初中数学竞赛试题及答案

历届初中数学竞赛试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列哪个数是最小的正整数?A. 0B. 1C. -1D. 2答案:B2. 如果一个数的平方等于16,那么这个数是多少?A. 4B. -4C. 4 或 -4D. 16答案:C3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,斜边的长度是多少?A. 5B. 6C. 7D. 8答案:A4. 一个数列1, 1, 2, 3, 5, ...,每个数都是前两个数的和,这个数列的第6个数是多少?A. 8B. 13C. 21D. 34答案:B5. 如果一个圆的半径是5,那么它的面积是多少?A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π答案:B二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个数的绝对值是它本身,这个数是________。

答案:非负数7. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm和4cm,它的体积是________。

答案:24立方厘米8. 一个分数的分子和分母同时乘以一个相同的数,这个分数的值________。

答案:不变9. 如果一个数的立方等于它本身,那么这个数是________。

答案:1,-1,010. 一个圆的周长是2πr,其中r是圆的半径,π是圆周率,π的值约等于________。

答案:3.14三、解答题(每题5分,共20分)11. 一个班级有50名学生,其中30名学生参加了数学竞赛,20名学生参加了英语竞赛,并且有5名学生同时参加了数学和英语竞赛。

请问只参加数学竞赛的学生有多少人?答案:只参加数学竞赛的学生有30-5=25人。

12. 一个等差数列的前三项分别是2,5,8,求这个数列的第10项。

答案:等差数列的公差d=5-2=3,第10项a10=a1+(10-1)*d=2+9*3=29。

13. 一个直角三角形的斜边长为13,一条直角边长为5,求另一条直角边长。

答案:根据勾股定理,另一条直角边长b=√(13²-5²)=12。

数学竞赛初中试题及答案

数学竞赛初中试题及答案

数学竞赛初中试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个数是最小的正整数?A. 0B. 1C. -1D. 2答案:B2. 计算下列表达式的值:(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x - 3) = ?A. 4x^2 + 2x - 2B. 4x^2 + 2x + 2C. 5x^2 + 2x - 2D. 5x^2 + 2x + 2答案:D3. 一个圆的半径是5厘米,那么它的周长是多少?A. 10π厘米B. 20π厘米C. 25π厘米D. 30π厘米答案:C4. 如果一个数的平方是36,那么这个数是?A. 6B. ±6C. 36D. ±36答案:B5. 以下哪个分数是最简分数?A. 6/8B. 9/12C. 5/10D. 7/14答案:B6. 一个等差数列的第一项是2,公差是3,那么第5项是多少?A. 17B. 14C. 11D. 8答案:A7. 下列哪个图形的面积是最大的?A. 边长为4的正方形B. 半径为2的圆C. 长为5,宽为3的矩形D. 底为6,高为2的三角形答案:B8. 一个正方体的体积是27立方厘米,那么它的表面积是多少?A. 54平方厘米B. 63平方厘米C. 81平方厘米D. 108平方厘米答案:A9. 一个数的立方根是2,那么这个数是?A. 6B. 8C. 2D. 4答案:D10. 下列哪个方程的解是x=2?A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - 6x + 9 = 0答案:A二、填空题(每题4分,共20分)11. 一个数的相反数是-5,那么这个数是________。

答案:512. 一个等腰三角形的底边长是6厘米,两腰长分别是8厘米,那么这个三角形的周长是________厘米。

答案:2213. 如果一个数除以3余1,除以5余2,那么这个数最小是________。

2024年全国初中数学知识竞赛试题及答案

2024年全国初中数学知识竞赛试题及答案
(1)若圆周上依次放着数 1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限 次操作后,对圆周上任意依次相连的 4 个数 a,b,c,d,都有
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(a d )(b c) ≤0 ?请说明理由. (2 )若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003 个正整数1 ,
2 ,…,2 0 0 3 ,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连 的 4 个数a ,b ,c ,d ,都有(a d )(b c) ≤0 ?请说明理由.
1 0 .已知二次函数y ax2 bx c (其 中 a 是正整数)的图象经 过点 A ( - 1 ,4 ) 与点 B ( 2 ,1 ),并且与x 轴有两个不同的交点,则 b+c 的 最大值为 . 三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分)
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1 1 .如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,B C 是⊙O 的切线,O C 平行于
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注:1 3 B 和14B 相对于下面的13A 和14A 是较容易的题. 13B 和14B 与 前面的12 个题组成考试卷.后面两页13A 和14A 两题可留作考试后的研究题 。
1 3 A .如图所示,⊙O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x2 2(k 2) x k 0
(k是整数)的最大整数根. P 是⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的切线 PA
和割线 P B C ,其中 A 为切点,点 B ,C 是直线 PBC 与⊙O 的交点.若
PA ,P B ,P C 的长都是正整数,且 PB 的长不是合数,求 PA2 PB2 PC2 的 值.
A O
解:
P
B
C
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(第 13A 题图)
1 4 A .沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的 4 个数 a,b,c,d 满 足不等式(a d )(b c) >0,那么就可以交换 b,c 的位置,这称为一次操 作.

2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编(解析版)

2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编(解析版)

专题分式学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)如图,已知在△ABC 中,点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上的点,且AE 、BF 、CD 相交于点G ,如果AG GE +BG GF +CG GD =2014,那么AG GE ⋅BG GF ⋅CGGD的值为.【答案】2016【分析】本题主要考查了三角形面积的计算,分式化简求值,解题的关键是设S △ABG =a ,S △ACG =b ,S △BCG =c ,得出AG GE =a +b c ,BG GF =a +c b ,CG DG =b +c a ,根据AG GE +BG GF +CG GD=2014,得出a +b c +a +cb +b +c a =2014,将a +b c ⋅a +c b ⋅b +c a 化简为a +b c +a +c b +a +b c +2即可得出答案.【详解】解:设S △ABG =a ,S △ACG =b ,S △BCG =c ,则AG GE=S △ABG S △BEG =S △ACG S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BEG +S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BCG =a +bc ,同理可得:BG GF =a +c b ,CG DG=b +ca ,∵AG GE +BG GF +CG GD =2014,∴a +b c +a +c b +b +c a =2014,∴AG GE ⋅BG GF ⋅CG GD =a +b c ⋅a +c b⋅b +c a =a +b a +c b +c abc=a 2b +a 2c +abc +ac 2+ab 2+abc +b 2c +bc 2abc=a +b c +a +c b +a +b c +2=2014+2=2016.故答案为:2016.2(2024·全国·八年级竞赛)设a 、b 、c 是互不相等的实数,且a +4b=b +4c =c +4a ,则abc =.【答案】±8【分析】本题考查分式的化简求值,由a +4b =b +4c 可得bc =4b -c a -b ,同理可得ac =4c -a b -c,ab =4a -bc -a,由此三式相乘即可解答.【详解】解:∵a +4b=b +4c =c +4a ,∴a -b =4c -4b =4b -c bc ,b -c =4a -4c =4c -a ac ,c -a =4b -4a =4a -b ab ,∴bc =4b -c a -b ,ac =4c -a b -c,ab =4a -bc -a ,∴a 2b 2c 2=4(b -c )a -b ⋅4(c -a )b -c.4(a -b )c -a =64,∴abc =±8.故答案为:±8.3(2024·全国·八年级竞赛)已知6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2其中A 、B 、C 、D 为常数,则A ⋅B ⋅C ⋅D =.【答案】-24【分析】此题主要考查了分式的加减运算,先对Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2进行计算,然后根据题意列出关于A 、B 、C 、D 的方程组即可解决问题,解题的关键是熟练掌握分式的运算及法则的应用.【详解】解:6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +D x 2-1 x 2-2 Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2=Ax +B x 2-2 x 2-1 x 2-2 +Cx +D x 2-1 x 2-1 x 2-2=A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +Dx 2-1 x 2-2,∵6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2,∴A +C =6,B +D =2,2A +C =8,2B +D =1,解得A =2,B =-1,C =4,D =3,∴A ⋅B ⋅C ⋅D =2×-1 ×4×3=-24,故答案为:-24.4(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ,y 满足条件1x -1y =2x +y ,则代数式y 2x -x2y=.【答案】1【分析】本题主要考查代数式求值,先将1x -1y =2x +y 变形为2xy =y -x y +x ,再把y 2x -x2y变形为y -x y +x2xy,然后代入计算即可.【详解】解:∵1x -1y =2x +y,∴2xy =y -x y +x ,∴y 2x -x 2y=y2-x2 2xy=y-xy+x2xy=y-xy+xy-xy+x=1,故答案为:1.5(2024·全国·七年级竞赛)已知实数a、b、c满足等式a2013=b2014=c2015,且2a+b-c=8050,则a-b+12c+1=.【答案】2014【分析】本题考查了分式的化简求值,代数式求值;解题的关键是令a2013=b2014=c2015=k求出a、b、c的值.令a2013=b2014=c2015=k,求得a=2013k,b=2014k,c=2015k,结合题意求出a、b、c的值,代入即可求解.【详解】解:设a2013=b2014=c2015=k,故a=2013k,b=2014k,c=2015k,则2a+b-c=2×2013k+2014k-2015k,即2×2013k+2014k-2015k=8050,解得:k=2;∴a=4026,b=4028,c=4030,∴a-b+12c+1=4026-4028+12×4030+1=2014.故答案为:2014.6(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x、y、z满足下列等式:xyx+y =1b-1,yzy+z=1b,xzx+z=1b+1,那么代数式xyzxy+xz+yz的值为.【答案】1 6【分析】本题考查了分式的混合运算,熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键.根据分式的性质将分式适当变形后进行计算即可.【详解】由题意知xy、yz、xz都不为零,∴x+yxy=b-1 y+zyz=bx+zxz=b+1,即1x+1y=3 1y+1z=4 1x+1z=5,∴1x +1y +1z =6,即xy +yz +xz xyz =6,∴xyz xy +xz +yz =16.故答案为:16.7(2024·全国·八年级竞赛)已知三个数x ,y ,z 满足xy x +y =2015,yz y +z =43,zx z +x =-43,则xyzxy +yz +zx 的值为.【答案】4030【分析】本题考查分式的化简求值,灵活运用分式的运算法则是解答的关键.将所有分式的分子和分母颠倒位置,然后利用分式的混合运算法则化简求解即可.【详解】解:将所有分式的分子和分母颠倒位置,则由xy x +y =2015得x +y xy =1x +1y =120151 ,由yz y +z =43得y +z yz =1y +1z =342 ,由zx z +x =-43得x +z xz =1x +1z =-343 ,三式相加得21x +1y +1z=12015,则1x +1y +1z =xy +yz +zx xyz =12⋅12015=14030,∴xyzxy +yz +zx=4030.8(2024·全国·八年级竞赛)如图,将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后,恰好能拼成图2所示的矩形,若S ①:S ③=1:5,则a :b =.【答案】2∶3【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用,求比值,解题的关键是理解题意,根据S ①:S ③=1:5,得出S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5,求出AE ED=15,设AE =x ,则ED =5x ,得出a +b x +5x =b ⋅5x +5x ,求出3a =2b ,即可求出结果.【详解】解:如图所示,∵S ①:S ③=1:5,∴S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5,∴a +b ⋅AE a +b ⋅ED=15,∴AE ED=15,设AE =x ,则ED =5x ,∴a +b x +5x =b ⋅5x +5x ,整理得:3a =2b ,∴a :b =2:3.故答案为:2:3.9(2024·全国·八年级竞赛)对于正数x ,规定f x =x x +1,例如f 1 =11+1=12,f 2 =22+1=23,f 12 =1212+1=13,则f 12017 +f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =.【答案】40332【分析】本题考查代数式求值,分式的加法以及数字类规律探究,理解新定义函数的意义,掌握数字所呈现的规律是解决问题的关键.利用加法结合律以及探究所得规律得出答案.【详解】解:∵f x =xx +1,∴f x +f 1x =x x +1+1x1x+1=x x +1+1x +1=1,∴f 12017+f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =f 12017 +f 2017 +f 12016 +f 2016 +⋯+f 12 +f 2+f 1 =2016+11+1=40332.故答案为:40332.10(2024·全国·八年级竞赛)若x 为正数,且x -1x =3,则x x 2-x +1=.【答案】13+112【分析】先求出x 2+1x 2=11,再求出x +1x =13,最后整体代入x x 2-x +1=1x -1+1x进求解即可,此题考查了分式的运算和二次根式的运算,熟练掌握运算法则和灵活变形是解题的关键.【详解】解:∵x 为正数,且x -1x=3,∴x -1x 2=9,x +1x >0,即x 2+1x 2=11,∴x +1x 2=x 2+1x 2+2=13,∴x +1x =13,∴x x 2-x +1=1x -1+1x =113-1=13+112,故答案为:13+11211(2024·全国·八年级竞赛)已知x =2y +33y -2,则3x -2 3y -2 的值为.【答案】13【分析】本题考查了分式的混合运算,多项式乘以多项式,根据x 的值和题中式子即可求解,根据解题的关键是明确它们各自的计算方法.【详解】解:∵x =2y +33y -2,∴3x -2=6y +93y -2-2=6y +9-6y +43y -2=133y -2,∴3x -2 3y -2 =133y -2×3y -2 =13,故答案为:13.12(2024·全国·八年级竞赛)比较大小:22000+122001+1-22001+122002+10(填“>”、“=”或“<”).【答案】>【分析】本题考查了实数的比较大小,异分母分式的运算.熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键.设a =22000,根据22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0作答即可.【详解】解:设a =22000,∴22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0,故答案为:>.13(2024·全国·八年级竞赛)已知11的小数部分为a .则a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=.【答案】-31111/-31111【分析】本题考查了分式的混合运算,无理数的估算,分母有理化,先根据分式的运算法则把所给代数式化简,再求出a 的值,然后代入化简后的结果计算即可.【详解】解:a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=a -3 2a +3 a +4 ×a +4a -3-a a +3=a -3a +3-a a +3=-3a +3,∵3<11<4,∴11的整数部分3,∴a =11-3.∴-3a +3=-31111.故答案为:-31111.14(2024·全国·八年级竞赛)函数y =x -4-2-x -3x -5的自变量x 的取值范围是.【答案】x ≥3且x ≠4且x ≠5【分析】本题考查确定函数自变量取值范围.熟练掌握负整指数幂有意义的条件,二次根式有意义的条件,分式有意义的条件是解题的关键.根据题意得不等式组x -3≥0x -4≠0,x -5≠0求解即可.【详解】解:根据题意,得x -3≥0x -4≠0,x -5≠0∴x ≥3且x ≠4且x ≠5.故答案为:x ≥3且x ≠4且x ≠5.15(2024·全国·八年级竞赛)如果对于分式3x 2+4x +m,存在两个数使分式没有意义,则m 的取值范围是.【答案】m <4【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点,理解分式有意义的条件是解题的关键.由存在两个数使分式没有意义,则对于x 2+4x +m =0的判别式Δ>0,据此列不等式求解即可.【详解】解:∵分式3x 2+4x +m,存在两个数使分式没有意义,∴x 2+4x +m =0有两个解,∴Δ=42-4m >0,解得:m <4,∴当m <4时,存在两个实数使原式没有意义.故答案为m <4.二、单选题16(2024·全国·九年级竞赛)要使式子x +6x有意义,则x 的取值范围是()A.x ≥-6B.x ≠0C.x >6D.x ≥-6且x ≠0【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件,分式有意义的条件.熟练掌握概念是解题的关键.分子上的二次根式要有意义,根号里面的式子为非负数,且分母不为零,分别求解满足条件的x 值.【详解】∵式子x +6x有意义,∴x +6≥0,x ≠0,∴x ≥-6且x ≠0.故选:D .17(2024·全国·八年级竞赛)已知1x +1y =2,则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的值为()A.74B.72C.5D.12【答案】A【分析】本题考查分式的化简求值,根据1x +1y =2得x +y =2xy ,再将2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的分子分母变形为含xy 的式子,即可解题.【详解】解:由1x +1y=2得x +y =2xy ,则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y =2x +y +3xy 3x +y -2xy =7xy 4xy =74.故选:A .18(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ,y 满足x +y =2,xy =-5,则xy +y x 的值为( ).A.65B.-145C.-65D.-45【答案】B【分析】本题考查了分式的化简求值,配方法,熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.先将xy +y x通分,然后将分子配方,并将分式化简成只含x +y ,xy 的代数式,最后将x +y ,xy 的值代入并计算即得答案.【详解】xy +y x =x 2+y 2xy=x 2+2xy +y 2-2xy xy=(x +y )2xy -2,当x +y =2,xy =-5时,原式=22-5-2=-145.故选B.19(2024·全国·八年级竞赛)若分式x-1x -2的值为正数,则x的取值范围是()A.1<x<2或x<-2B.x<-2或x>2C.-2<x<1或x>2D.-2<x<2【答案】C【分析】根据题意列出不等式组,解不等式组则可.此题考查分式的值,解不等式组,解题关键在于根据题意列出不等式组.【详解】解:∵分式x-1x -2的值为正数,∴x -2>0x-1>0或x -2<0x-1<0,解得:-2<x<1或x>2.故选:C.20(2024·全国·七年级竞赛)灰太狼在跑一段山路时,上山速度是80米/分,到达山顶后再下山,下山的速度是上山速度的3倍,如果上、下山的路程相同,那么灰太狼跑这段山路的平均速度是()A.160米/分B.140米/分C.60米/分D.120米/分【答案】D【分析】本题考查了分式乘除的应用,整式加减的应用,正确理解题中的数量关系是解答本题的关键,设上坡的路程为S,则上、下坡的总路程为2S,可逐步求得上下坡的总时间,最后利用平均速度等于上、下坡的总路程除以总时间,计算即得答案.【详解】设上坡的路程为S,则上、下坡的总路程为2S,上坡时间为S80,下坡时间为S80×3=S240,总时间为S80+S240=S60,所以平均速度为2S÷S60=120(米/分).故选D.21(2024·全国·八年级竞赛)若xx2+x+1=15,则x2x4+x2+1=()A.5B.115C.4 D.14【答案】B【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式,根据xx2+x+1=15得出x+1x=4,再将x2x4+x2+1变形为1x+1x2-1,将x+1x=4整体代入求值即可.【详解】解:∵xx2+x+1=1x+1x+1=15,∴x+1x=4,∴x2x4+x2+1=1x2+1x2+1=1x+1x2-1=142-1=115,故选B.22(2024·全国·八年级竞赛)若x2-3x+1=0,则x2x4+x2+1的值是( ).A.8B.110C.18D.14【答案】C【分析】本题考查了分式的混合运算,完全平方公式变形求值,换元法,由x2-3x+1=0得到x2+1x2=7,设x2x4+x2+1=A,得到1A=x2+1x2+1,代入即可求解,掌握完全平方公式是解题的关键.【详解】解:由x2-3x+1=0知x≠0,∴x+1x=3,∴x2+1x2=7,设x2x4+x2+1=A,则1A=x2+1x2+1=8,∴A=18,即x2x4+x2+1=18,故选:C.三、解答题23(2024·全国·九年级竞赛)若x-3x-2=13+2+1,求1-1x-2÷x-4+1x-2的值.【答案】3+2【分析】本题考查了分式的化简求值,涉及整体代入法;先化简分式,再由x-3x-2=13+2+1,得到x-2 x-3=3+2+1,变形为1+1x-3=3+2+1,即可求得1x-3的值.关键是由已知变形求得1x-3.【详解】解:1-1 x-2÷x-4+1x-2=x-3 x-2÷x2-6x+9x-2=x-3 x-2·x-2 x-3 2=1x-3;∵x-3 x-2=13+2+1,∴x-2x-3=3+2+1,∴1+1x-3=3+2+1,∴1x-3=3+2,即原式=3+2.24(2024·全国·九年级竞赛)已知实数a 满足a 2+2a -2016=0,求a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1的值.【答案】-22017.【分析】此题考查了分式的化简求值,先把要求的式子进行计算,先进行因式分解,再把除法转化成乘法,然后进行约分,得到一个最简分式,最后把a 2+2a -2016=0进行配方,得到a +1 2=2017的值,再把它整体代入即可求出答案,解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤.【详解】解:由a 2+2a -2016=0可得(a +1)2=2017,a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1=(a -1)2a +1 a +4 ×a +4a -1 a +1-1a +1,=a -1(a +1)2-1a +1,=-2(a +1)2,=-22017.25(2024·全国·八年级竞赛)先化简,再求值:x 2-1x 2+x÷x +1x -2 ,其中x =2.【答案】1x -1,2+1【分析】本题考查了分式的混合运算以及分母有理化,解答时,先进行分式运算,再代入求值即可.【详解】解:x 2-1x 2+x÷x +1x -2 =x -1 x +1 x x +1 ÷x 2+1-2x x =x +1 x -1x x +1÷x -12x =x +1 x -1 x x +1 ⋅x x -1 2=1x -1,当x =2时,原式=12-1=2+1.26(2024·全国·八年级竞赛)如图1,有一个高为hcm 的瓶子,瓶中水面的高度为acm ,盖好瓶盖后倒置,这时瓶中水面的高度为bcm ,如图2,用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比;当a =9,b =15,h =21时,求出这个比值.【答案】a a +h -b ,35【分析】此题考查圆柱体体积的应用,解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用.根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”,即可列式;瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积,即底面积×9+底面积×21-15 ,也就是底面积×15;水的体积为底面积×9,即可得到答案.【详解】解:瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积,设瓶子的底面积为S ,即Sa +S h -b ;水的体积为Sa ,∴瓶中水的体积与瓶子容积之比为Sa Sa +S h -b=aa +h -b ,∵瓶子的容积=底面积×9+底面积×21-15 =底面积×15,水的体积=底面积×9,∴瓶中水的体积:瓶子容积=(底面积×9):(底面积×15)=35,答:这个比值是35.27(2024·全国·八年级竞赛)(1)求证:1+1n 2+1(n +1)2=1+1n 2+n2;(2)计算:1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172.【答案】(1)证明见解析(2)201620162017【分析】本题主要考查了分式的化简求值,数字规律的运算;对于(1),先将等式左边通分,再根据完全平方公式整理可得答案;对于(2),先根据(1)整理得1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1 =1+1n -1n +1,再计算加减即可得出答案.【详解】(1)解:1+1n 2+1n +12=n 2n +1 2+n +1 2+n 2n 2n +1 2=n 2n +1 2+2n n +1 +1n 2n +1 2=n n +1 +1n n +12=1+1n 2+n2;(2)由(1)可知1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1=1+1n -1n +1,则原式=1+11-12+1+12-13+1+13-14+⋯+1+12016-12017=1×2016+1-12017=201620162017.28(2024·全国·八年级竞赛)(1)计算24×13-4×18×(2015-2016)0;(2)先化简,再求值:x 2-y 2x 2-2xy +y 2+xy -x÷y 2x 2-xy,其中x 、y 满足x +1+(y -3)2=0.【答案】(1)2(2)化简得:x y ;原式=33【分析】本题考查有理数的运算和分式的化简求值,熟练掌握二次根式的运算和正确化简分式是解题的关键,(1)根据二次根式的运算法则和零指数幂即可得到结果;(2)直接利用括号里面因式分解进行化简,再利用分式乘除运算法则化简,再根据二次根式、绝对值的性质得出x 、y 的值,进行代入求出答案.【详解】解:(1)原式=26×33-4×24×1=22-2=2;(2)原式=x -y x +y x -y2+x y -x ×x x -y y 2=x +y x -y -xx -y×x x -y y 2=yx -y ×x x -y y 2=x y.∵x +1+(y -3)2=0,∴x -1=0,y -3=0,∴x =1,y =3,故原式=x y =13=33.29(2024·全国·七年级竞赛)已知a 、b 、c 均为大于1的正整数,且1a <1b <1c ,1a +1b +1c -1abc为正整数.求a +b +c 的值.【答案】10【分析】本题考查异分母分式的加减,先得出1<1a +1b+1c <3c ,求出c =2,进而得出a =4或5,当a =4,b =3,c =2时,1a +1b +1c -1abc =2524(舍).当a =5,b =3,c =2时,1a +1b +1c -1abc=1,进而可得出答案.【详解】解:因为1a +1b +1c -1abc 为正整数,且a 、b 、c 为大于1的正整数,1a <1b <1c ,所以1<1a +1b+1c <3c ,得1<c <3,所以c =2,∴1a +1b >1-1c =12,得12<1a +1b <2b ,所以c <b <4,∴b =3.∴1a >1-1b -1c =16,得b <a <6,所以a =4或5,当a =4,b =3,c =2时,1a +1b +1c -1abc =2524(舍).当a =5,b =3,c =2时,1a +1b+1c -1abc=1,所以a +b +c =5+3+2=10.30(2024·全国·八年级竞赛)如果a 、b 、c 是不同的实数,且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0,求1a +1b+1c 的值.【答案】-15【分析】本题考查分式的求值,根据a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0,得到a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根,进而得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ,推出abc =-15,ab +bc +ac =3,即可得出1a +1b+1c 的值.解题的关键是得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c .【详解】解:1a +1b +1c =ac +bc +acabc,∵a 、b 、c 是不同的实数,且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0,∴a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根.∴x 3+3x +15=x -a x -b x -c ,∴abc =-15,ab +bc +ac =3.∴1a +1b+1c =3-15=-15.31(2024·全国·八年级竞赛)求值:12+13+14+15+1⋯+12007+11+11+13+14+15+1⋯+【答案】1【分析】本题考查了繁分式的计算,设1+13+14+1⋯+12007=x ,变形计算即可.【详解】解:设1+13+14+1⋯+12007=x ,则原式=11+x +11+1x=11+x +x x +1=1+x1+x =1.32(2024·全国·八年级竞赛)设a ,b ,c 都是实数,若(a -2b +c )2+(a -2c +b )2+(b -2a +c )2=(a -b)2+(b-c)2+(c-a)2,求分式2ab2+7(2ab+6)2bc2+7(bc+3)的值.【答案】2【分析】本题主要考查了分式化简求值,解题的关键是熟练掌握分式的性质.设a-b=x,b-c=y,c-a =z,得出x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0①,x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0②,由①+②得x2+y2+z2=0,求出x=y=z=0,则a=b=c,代入进行变形求值即可.【详解】解:设a-b=x,b-c=y,c-a=z,由已知得:(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=x2+y2+z2,故x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0,①又x+y+z=a-b+b-c+c-a=0,故x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0,②①+②得x2+y2+z2=0,故x=y=z=0,则a=b=c,∴原式=22a3+7a2+32a3+7a2+3=2.。

初中数字竞赛试题及答案

初中数字竞赛试题及答案

初中数字竞赛试题及答案1. 计算下列表达式的值:(a) 3x + 2y = 7(b) 5x - y = 11解:将方程 (a) 乘以 5,方程 (b) 乘以 3,得到:15x + 10y = 3515x - 3y = 33相减得:13y = 2,所以 y = 2/13。

将 y 的值代入方程 (a) 得:3x + 2(2/13) = 7,解得 x = 3。

答案:x = 3,y = 2/13。

2. 一个数的三倍加上另一个数的两倍等于 60,如果第一个数是第二个数的两倍,求这两个数。

解:设第一个数为 x,第二个数为 y,则有:3x + 2y = 60x = 2y将 x = 2y 代入第一个方程得:3(2y) + 2y = 60,解得 y = 6。

则 x = 2y = 12。

答案:第一个数是 12,第二个数是 6。

3. 一个两位数,十位数字是 x,个位数字是 y,如果这个数加上 9 后,个位数字和十位数字互换,求 x 和 y 的值。

解:设这个两位数为 10x + y,根据题意有:10x + y + 9 = 10y + x9x - 9y = -9x - y = -1因为 x 和 y 都是 0 到 9 之间的整数,所以 x = 4,y = 5。

答案:x = 4,y = 5。

4. 一个班级有 45 名学生,其中男生人数是女生人数的两倍,求男生和女生各有多少人。

解:设女生人数为 x,则男生人数为 2x。

根据题意有:x + 2x = 453x = 45x = 15则男生人数为 2x = 30。

答案:男生有 30 人,女生有 15 人。

5. 一个三位数,它的百位数字是 a,十位数字是 b,个位数字是 c,如果这个数加上 198 后,百位数字、十位数字和个位数字都增加了 1,求这个三位数。

解:设这个三位数为 100a + 10b + c,根据题意有:100a + 10b + c + 198 = 100(a+1) + 10(b+1) + (c+1)100a + 10b + c + 198 = 100a + 100 + 10b + 10 + c + 189 = 10 + cc = 89 - 10 = 79因为 c 是个位数,所以 c = 9。

近三年初中数学竞赛真题及解答汇总

近三年初中数学竞赛真题及解答汇总

近三年初中数学竞赛真题及解答汇总在初中数学的学习中,参加数学竞赛是一项极具挑战性和有益的活动。

它不仅能够检验学生对数学知识的掌握程度,还能培养学生的思维能力和创新精神。

以下是近三年初中数学竞赛的部分真题及详细解答,希望能对同学们的学习有所帮助。

一、2021 年真题(1)已知直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4,则斜边的长度为()A 5B 7C 5 或 7D 无法确定解答:根据勾股定理,直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

所以斜边的长度为√(3²+ 4²) =√(9 + 16) =√25 = 5,答案选 A。

(2)若关于 x 的方程 x²+ 2x + k = 0 有两个相等的实数根,则 k 的值为()A 1B -1C 2D -2解答:对于一元二次方程 ax²+ bx + c = 0,当判别式△= b² 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根。

在方程 x²+ 2x + k = 0 中,a =1,b = 2,c = k,所以△= 2² 4×1×k = 4 4k = 0,解得 k = 1,答案选 A。

(3)在平行四边形 ABCD 中,∠A :∠B :∠C :∠D 的值可能是()A 1 : 2 : 3 : 4B 1 : 2 : 2 : 1C 2 : 2 : 1 : 1D 2 : 1 :2 : 1解答:因为平行四边形的两组对角分别相等,所以∠A =∠C,∠B =∠D。

所以∠A :∠B :∠C :∠D 的值应该是 2 : 1 : 2 :1,答案选 D。

二、2022 年真题(1)若 a + b = 5,ab = 6,则 a²+ b²的值为()A 13B 19C 25D 28解答:因为(a + b)²= a²+ 2ab + b²,所以 a²+ b²=(a + b)²2ab = 5² 2×6 = 25 12 = 13,答案选 A。

初中数学竞赛试卷及答案解析

初中数学竞赛试卷及答案解析

初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题1.已知函数f(x) = 2x - 3,求f(4)的值。

A. 2B. 5C. 6D. 7答案:C. 6解析:将x = 4代入函数f(x) = 2x - 3,得到f(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5。

因此,答案为C. 6。

2.下列哪个不是三角形的内角?A. 90度B. 120度C. 180度D. 270度答案:C. 180度解析:三角形的内角之和总是等于180度。

因此,180度不是三角形的内角,而是一条直线的内角。

答案为C. 180度。

3.已知a = 3,b = 4,c = 5,求三角形的周长。

A. 6B. 12C. 15D. 20答案:C. 15解析:三角形的周长等于三条边的长度之和。

因此,周长 = a + b +c = 3 + 4 + 5 = 12。

答案为C. 15。

4.若x + 3 = 7,则x的值是多少?A. 2B. 3C. 4D. 5答案:A. 2解析:将x + 3 = 7转化为x = 7 - 3,得到x的值为2。

因此,答案为A. 2。

5.已知正方形的周长为20cm,求正方形的边长。

A. 4cmB. 5cmC. 10cmD. 20cm答案:B. 5cm解析:正方形的周长等于4倍的边长。

因此,边长 = 周长 / 4 = 20 /4 = 5。

答案为B. 5cm。

二、填空题1.已知等差数列的首项a₁ = 2,公差d = 3,求该数列的第10项。

答案:28解析:根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n - 1) * d,代入a₁ = 2,d = 3,n = 10,得到a10 = 2 + (10 - 1) * 3 = 2 + 9 * 3 = 2 + 27 = 28。

2.若x² + 3x + k是一个完全平方数,则k的值为多少?答案:9/4解析:对于一个完全平方数,它的因式分解必然是两个相同的因式相乘。

根据已知的二次项系数求平方根的方法,可以得到k = (b/2a)² = (3/2)² = 9/4。

分式—2024年全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编含参考答案

分式—2024年全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编含参考答案

专题分式学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别为边AB、BC、AC上的点,且AE、BF、CD相交于点G,如果AGGE +BGGF+CGGD=2014,那么AGGE⋅BGGF⋅CGGD的值为.2(2024·全国·八年级竞赛)设a、b、c是互不相等的实数,且a+4b=b+4c=c+4a,则abc=.3(2024·全国·八年级竞赛)已知6x3+2x2-8x-1x2-1x2-2=Ax+Bx2-1+Cx+Dx2-2其中A、B、C、D为常数,则A⋅B⋅C⋅D=.4(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x,y满足条件1x-1y=2x+y,则代数式y2x-x2y=.5(2024·全国·七年级竞赛)已知实数a、b、c满足等式a2013=b2014=c2015,且2a+b-c=8050,则a-b+12c+1=.6(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x、y、z满足下列等式:xyx+y =1b-1,yzy+z=1b,xzx+z=1b+1,那么代数式xyzxy+xz+yz的值为.7(2024·全国·八年级竞赛)已知三个数x,y,z满足xyx+y=2015,yzy+z=43,zxz+x=-43,则xyzxy+yz+zx的值为.8(2024·全国·八年级竞赛)如图,将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后,恰好能拼成图2所示的矩形,若S①:S③=1:5,则a:b=.9(2024·全国·八年级竞赛)对于正数x,规定f x =xx+1,例如f1 =11+1=12,f2 =22+1=2 3,f12=1212+1=13,则f12017+f12016+⋯+f12 +f1 +f2 +⋯+f2016+f2017=.10(2024·全国·八年级竞赛)若x为正数,且x-1x=3,则xx2-x+1=.11(2024·全国·八年级竞赛)已知x=2y+33y-2,则3x-23y-2的值为.12(2024·全国·八年级竞赛)比较大小:22000+122001+1-22001+122002+10(填“>”、“=”或“<”).13(2024·全国·八年级竞赛)已知11的小数部分为a.则a2-6a+9a2+7a+12÷a-3a+4-aa+3=.14(2024·全国·八年级竞赛)函数y=x-4-2-x-3x-5的自变量x的取值范围是.15(2024·全国·八年级竞赛)如果对于分式3x2+4x+m,存在两个数使分式没有意义,则m的取值范围是.二、单选题16(2024·全国·九年级竞赛)要使式子x+6x有意义,则x的取值范围是()A.x≥-6B.x≠0C.x>6D.x≥-6且x≠017(2024·全国·八年级竞赛)已知1x+1y=2,则2x+3xy+2y3x-2xy+3y的值为()A.74B.72C.5D.1218(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x,y满足x+y=2,xy=-5,则xy+yx的值为( ).A.65B.-145C.-65D.-4519(2024·全国·八年级竞赛)若分式x-1x -2的值为正数,则x的取值范围是()A.1<x<2或x<-2B.x<-2或x>2C.-2<x<1或x>2D.-2<x<220(2024·全国·七年级竞赛)灰太狼在跑一段山路时,上山速度是80米/分,到达山顶后再下山,下山的速度是上山速度的3倍,如果上、下山的路程相同,那么灰太狼跑这段山路的平均速度是()A.160米/分B.140米/分C.60米/分D.120米/分21(2024·全国·八年级竞赛)若xx2+x+1=15,则x2x4+x2+1=()A.5B.115C.4D.1422(2024·全国·八年级竞赛)若x 2-3x +1=0,则x 2x 4+x 2+1的值是( ).A.8 B.110 C.18 D.14三、解答题23(2024·全国·九年级竞赛)若x -3x -2=13+2+1,求1-1x -2 ÷x -4+1x -2 的值.24(2024·全国·九年级竞赛)已知实数a 满足a 2+2a -2016=0,求a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1的值.25(2024·全国·八年级竞赛)先化简,再求值:x 2-1x 2+x÷x +1x -2 ,其中x =2.26(2024·全国·八年级竞赛)如图1,有一个高为hcm 的瓶子,瓶中水面的高度为acm ,盖好瓶盖后倒置,这时瓶中水面的高度为bcm ,如图2,用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比;当a =9,b =15,h =21时,求出这个比值.27(2024·全国·八年级竞赛)(1)求证:1+1n 2+1(n +1)2=1+1n 2+n2;(2)计算:1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172.28(2024·全国·八年级竞赛)(1)计算24×13-4×18×(2015-2016)0;(2)先化简,再求值:x 2-y 2x 2-2xy +y 2+xy -x÷y 2x 2-xy,其中x 、y 满足x +1+(y -3)2=0.29(2024·全国·七年级竞赛)已知a 、b 、c 均为大于1的正整数,且1a <1b <1c ,1a +1b +1c -1abc为正整数.求a +b +c 的值.30(2024·全国·八年级竞赛)如果a 、b 、c 是不同的实数,且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0,求1a +1b+1c 的值.31(2024·全国·八年级竞赛)求值:12+13+14+15+1⋯+12007+11+11+13+14+15+1⋯+32(2024·全国·八年级竞赛)设a,b,c都是实数,若(a-2b+c)2+(a-2c+b)2+(b-2a+c)2=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,求分式2ab2+7(2ab+6)2bc2+7(bc+3)的值.专题分式学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)如图,已知在△ABC 中,点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上的点,且AE 、BF 、CD 相交于点G ,如果AG GE +BG GF +CG GD =2014,那么AG GE ⋅BG GF ⋅CGGD的值为.【答案】2016【分析】本题主要考查了三角形面积的计算,分式化简求值,解题的关键是设S △ABG =a ,S △ACG =b ,S △BCG =c ,得出AG GE =a +b c ,BG GF =a +c b ,CG DG =b +c a ,根据AG GE +BG GF +CG GD=2014,得出a +b c +a +cb +b +c a =2014,将a +b c ⋅a +c b ⋅b +c a 化简为a +b c +a +c b +a +b c +2即可得出答案.【详解】解:设S △ABG =a ,S △ACG =b ,S △BCG =c ,则AG GE=S △ABG S △BEG =S △ACG S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BEG +S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BCG =a +bc ,同理可得:BG GF =a +c b ,CG DG=b +ca ,∵AG GE +BG GF +CG GD =2014,∴a +b c +a +c b +b +c a =2014,∴AG GE ⋅BG GF ⋅CG GD =a +b c ⋅a +c b⋅b +c a =a +b a +c b +c abc=a 2b +a 2c +abc +ac 2+ab 2+abc +b 2c +bc 2abc=a +b c +a +c b +a +b c +2=2014+2=2016.故答案为:2016.2(2024·全国·八年级竞赛)设a 、b 、c 是互不相等的实数,且a +4b=b +4c =c +4a ,则abc =.【答案】±8【分析】本题考查分式的化简求值,由a +4b =b +4c 可得bc =4b -c a -b ,同理可得ac =4c -a b -c,ab =4a -bc -a,由此三式相乘即可解答.【详解】解:∵a +4b=b +4c =c +4a ,∴a -b =4c -4b =4b -c bc ,b -c =4a -4c =4c -a ac ,c -a =4b -4a =4a -b ab ,∴bc =4b -c a -b ,ac =4c -a b -c,ab =4a -bc -a ,∴a 2b 2c 2=4(b -c )a -b ⋅4(c -a )b -c.4(a -b )c -a =64,∴abc =±8.故答案为:±8.3(2024·全国·八年级竞赛)已知6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2其中A 、B 、C 、D 为常数,则A ⋅B ⋅C ⋅D =.【答案】-24【分析】此题主要考查了分式的加减运算,先对Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2进行计算,然后根据题意列出关于A 、B 、C 、D 的方程组即可解决问题,解题的关键是熟练掌握分式的运算及法则的应用.【详解】解:6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +D x 2-1 x 2-2 Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2=Ax +B x 2-2 x 2-1 x 2-2 +Cx +D x 2-1 x 2-1 x 2-2=A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +Dx 2-1 x 2-2,∵6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2,∴A +C =6,B +D =2,2A +C =8,2B +D =1,解得A =2,B =-1,C =4,D =3,∴A ⋅B ⋅C ⋅D =2×-1 ×4×3=-24,故答案为:-24.4(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ,y 满足条件1x -1y =2x +y ,则代数式y 2x -x2y=.【答案】1【分析】本题主要考查代数式求值,先将1x -1y =2x +y 变形为2xy =y -x y +x ,再把y 2x -x2y变形为y -x y +x2xy,然后代入计算即可.【详解】解:∵1x -1y =2x +y,∴2xy =y -x y +x ,∴y 2x -x 2y=y2-x2 2xy=y-xy+x2xy=y-xy+xy-xy+x=1,故答案为:1.5(2024·全国·七年级竞赛)已知实数a、b、c满足等式a2013=b2014=c2015,且2a+b-c=8050,则a-b+12c+1=.【答案】2014【分析】本题考查了分式的化简求值,代数式求值;解题的关键是令a2013=b2014=c2015=k求出a、b、c的值.令a2013=b2014=c2015=k,求得a=2013k,b=2014k,c=2015k,结合题意求出a、b、c的值,代入即可求解.【详解】解:设a2013=b2014=c2015=k,故a=2013k,b=2014k,c=2015k,则2a+b-c=2×2013k+2014k-2015k,即2×2013k+2014k-2015k=8050,解得:k=2;∴a=4026,b=4028,c=4030,∴a-b+12c+1=4026-4028+12×4030+1=2014.故答案为:2014.6(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x、y、z满足下列等式:xyx+y =1b-1,yzy+z=1b,xzx+z=1b+1,那么代数式xyzxy+xz+yz的值为.【答案】1 6【分析】本题考查了分式的混合运算,熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键.根据分式的性质将分式适当变形后进行计算即可.【详解】由题意知xy、yz、xz都不为零,∴x+yxy=b-1 y+zyz=bx+zxz=b+1,即1x+1y=3 1y+1z=4 1x+1z=5,∴1x +1y +1z =6,即xy +yz +xz xyz =6,∴xyz xy +xz +yz =16.故答案为:16.7(2024·全国·八年级竞赛)已知三个数x ,y ,z 满足xy x +y =2015,yz y +z =43,zx z +x =-43,则xyzxy +yz +zx 的值为.【答案】4030【分析】本题考查分式的化简求值,灵活运用分式的运算法则是解答的关键.将所有分式的分子和分母颠倒位置,然后利用分式的混合运算法则化简求解即可.【详解】解:将所有分式的分子和分母颠倒位置,则由xy x +y =2015得x +y xy =1x +1y =120151 ,由yz y +z =43得y +z yz =1y +1z =342 ,由zx z +x =-43得x +z xz =1x +1z =-343 ,三式相加得21x +1y +1z=12015,则1x +1y +1z =xy +yz +zx xyz =12⋅12015=14030,∴xyzxy +yz +zx=4030.8(2024·全国·八年级竞赛)如图,将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后,恰好能拼成图2所示的矩形,若S ①:S ③=1:5,则a :b =.【答案】2∶3【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用,求比值,解题的关键是理解题意,根据S ①:S ③=1:5,得出S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5,求出AE ED=15,设AE =x ,则ED =5x ,得出a +b x +5x =b ⋅5x +5x ,求出3a =2b ,即可求出结果.【详解】解:如图所示,∵S ①:S ③=1:5,∴S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5,∴a +b ⋅AE a +b ⋅ED=15,∴AE ED=15,设AE =x ,则ED =5x ,∴a +b x +5x =b ⋅5x +5x ,整理得:3a =2b ,∴a :b =2:3.故答案为:2:3.9(2024·全国·八年级竞赛)对于正数x ,规定f x =x x +1,例如f 1 =11+1=12,f 2 =22+1=23,f 12 =1212+1=13,则f 12017 +f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =.【答案】40332【分析】本题考查代数式求值,分式的加法以及数字类规律探究,理解新定义函数的意义,掌握数字所呈现的规律是解决问题的关键.利用加法结合律以及探究所得规律得出答案.【详解】解:∵f x =xx +1,∴f x +f 1x =x x +1+1x1x+1=x x +1+1x +1=1,∴f 12017+f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =f 12017 +f 2017 +f 12016 +f 2016 +⋯+f 12 +f 2+f 1 =2016+11+1=40332.故答案为:40332.10(2024·全国·八年级竞赛)若x 为正数,且x -1x =3,则x x 2-x +1=.【答案】13+112【分析】先求出x 2+1x 2=11,再求出x +1x =13,最后整体代入x x 2-x +1=1x -1+1x进求解即可,此题考查了分式的运算和二次根式的运算,熟练掌握运算法则和灵活变形是解题的关键.【详解】解:∵x 为正数,且x -1x=3,∴x -1x 2=9,x +1x >0,即x 2+1x 2=11,∴x +1x 2=x 2+1x 2+2=13,∴x +1x =13,∴x x 2-x +1=1x -1+1x =113-1=13+112,故答案为:13+11211(2024·全国·八年级竞赛)已知x =2y +33y -2,则3x -2 3y -2 的值为.【答案】13【分析】本题考查了分式的混合运算,多项式乘以多项式,根据x 的值和题中式子即可求解,根据解题的关键是明确它们各自的计算方法.【详解】解:∵x =2y +33y -2,∴3x -2=6y +93y -2-2=6y +9-6y +43y -2=133y -2,∴3x -2 3y -2 =133y -2×3y -2 =13,故答案为:13.12(2024·全国·八年级竞赛)比较大小:22000+122001+1-22001+122002+10(填“>”、“=”或“<”).【答案】>【分析】本题考查了实数的比较大小,异分母分式的运算.熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键.设a =22000,根据22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0作答即可.【详解】解:设a =22000,∴22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0,故答案为:>.13(2024·全国·八年级竞赛)已知11的小数部分为a .则a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=.【答案】-31111/-31111【分析】本题考查了分式的混合运算,无理数的估算,分母有理化,先根据分式的运算法则把所给代数式化简,再求出a 的值,然后代入化简后的结果计算即可.【详解】解:a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=a -3 2a +3 a +4 ×a +4a -3-a a +3=a -3a +3-a a +3=-3a +3,∵3<11<4,∴11的整数部分3,∴a =11-3.∴-3a +3=-31111.故答案为:-31111.14(2024·全国·八年级竞赛)函数y =x -4-2-x -3x -5的自变量x 的取值范围是.【答案】x ≥3且x ≠4且x ≠5【分析】本题考查确定函数自变量取值范围.熟练掌握负整指数幂有意义的条件,二次根式有意义的条件,分式有意义的条件是解题的关键.根据题意得不等式组x -3≥0x -4≠0,x -5≠0求解即可.【详解】解:根据题意,得x -3≥0x -4≠0,x -5≠0∴x ≥3且x ≠4且x ≠5.故答案为:x ≥3且x ≠4且x ≠5.15(2024·全国·八年级竞赛)如果对于分式3x 2+4x +m,存在两个数使分式没有意义,则m 的取值范围是.【答案】m <4【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点,理解分式有意义的条件是解题的关键.由存在两个数使分式没有意义,则对于x 2+4x +m =0的判别式Δ>0,据此列不等式求解即可.【详解】解:∵分式3x 2+4x +m,存在两个数使分式没有意义,∴x 2+4x +m =0有两个解,∴Δ=42-4m >0,解得:m <4,∴当m <4时,存在两个实数使原式没有意义.故答案为m <4.二、单选题16(2024·全国·九年级竞赛)要使式子x +6x有意义,则x 的取值范围是()A.x ≥-6B.x ≠0C.x >6D.x ≥-6且x ≠0【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件,分式有意义的条件.熟练掌握概念是解题的关键.分子上的二次根式要有意义,根号里面的式子为非负数,且分母不为零,分别求解满足条件的x 值.【详解】∵式子x +6x有意义,∴x +6≥0,x ≠0,∴x ≥-6且x ≠0.故选:D .17(2024·全国·八年级竞赛)已知1x +1y =2,则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的值为()A.74B.72C.5D.12【答案】A【分析】本题考查分式的化简求值,根据1x +1y =2得x +y =2xy ,再将2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的分子分母变形为含xy 的式子,即可解题.【详解】解:由1x +1y=2得x +y =2xy ,则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y =2x +y +3xy 3x +y -2xy =7xy 4xy =74.故选:A .18(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ,y 满足x +y =2,xy =-5,则xy +y x 的值为( ).A.65B.-145C.-65D.-45【答案】B【分析】本题考查了分式的化简求值,配方法,熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.先将xy +y x通分,然后将分子配方,并将分式化简成只含x +y ,xy 的代数式,最后将x +y ,xy 的值代入并计算即得答案.【详解】xy +y x =x 2+y 2xy=x 2+2xy +y 2-2xy xy=(x +y )2xy -2,当x +y =2,xy =-5时,原式=22-5-2=-145.故选B.19(2024·全国·八年级竞赛)若分式x-1x -2的值为正数,则x的取值范围是()A.1<x<2或x<-2B.x<-2或x>2C.-2<x<1或x>2D.-2<x<2【答案】C【分析】根据题意列出不等式组,解不等式组则可.此题考查分式的值,解不等式组,解题关键在于根据题意列出不等式组.【详解】解:∵分式x-1x -2的值为正数,∴x -2>0x-1>0或x -2<0x-1<0,解得:-2<x<1或x>2.故选:C.20(2024·全国·七年级竞赛)灰太狼在跑一段山路时,上山速度是80米/分,到达山顶后再下山,下山的速度是上山速度的3倍,如果上、下山的路程相同,那么灰太狼跑这段山路的平均速度是()A.160米/分B.140米/分C.60米/分D.120米/分【答案】D【分析】本题考查了分式乘除的应用,整式加减的应用,正确理解题中的数量关系是解答本题的关键,设上坡的路程为S,则上、下坡的总路程为2S,可逐步求得上下坡的总时间,最后利用平均速度等于上、下坡的总路程除以总时间,计算即得答案.【详解】设上坡的路程为S,则上、下坡的总路程为2S,上坡时间为S80,下坡时间为S80×3=S240,总时间为S80+S240=S60,所以平均速度为2S÷S60=120(米/分).故选D.21(2024·全国·八年级竞赛)若xx2+x+1=15,则x2x4+x2+1=()A.5B.115C.4 D.14【答案】B【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式,根据xx2+x+1=15得出x+1x=4,再将x2x4+x2+1变形为1x+1x2-1,将x+1x=4整体代入求值即可.【详解】解:∵xx2+x+1=1x+1x+1=15,∴x+1x=4,∴x2x4+x2+1=1x2+1x2+1=1x+1x2-1=142-1=115,故选B.22(2024·全国·八年级竞赛)若x2-3x+1=0,则x2x4+x2+1的值是( ).A.8B.110C.18D.14【答案】C【分析】本题考查了分式的混合运算,完全平方公式变形求值,换元法,由x2-3x+1=0得到x2+1x2=7,设x2x4+x2+1=A,得到1A=x2+1x2+1,代入即可求解,掌握完全平方公式是解题的关键.【详解】解:由x2-3x+1=0知x≠0,∴x+1x=3,∴x2+1x2=7,设x2x4+x2+1=A,则1A=x2+1x2+1=8,∴A=18,即x2x4+x2+1=18,故选:C.三、解答题23(2024·全国·九年级竞赛)若x-3x-2=13+2+1,求1-1x-2÷x-4+1x-2的值.【答案】3+2【分析】本题考查了分式的化简求值,涉及整体代入法;先化简分式,再由x-3x-2=13+2+1,得到x-2 x-3=3+2+1,变形为1+1x-3=3+2+1,即可求得1x-3的值.关键是由已知变形求得1x-3.【详解】解:1-1 x-2÷x-4+1x-2=x-3 x-2÷x2-6x+9x-2=x-3 x-2·x-2 x-3 2=1x-3;∵x-3 x-2=13+2+1,∴x-2x-3=3+2+1,∴1+1x-3=3+2+1,∴1x-3=3+2,即原式=3+2.24(2024·全国·九年级竞赛)已知实数a 满足a 2+2a -2016=0,求a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1的值.【答案】-22017.【分析】此题考查了分式的化简求值,先把要求的式子进行计算,先进行因式分解,再把除法转化成乘法,然后进行约分,得到一个最简分式,最后把a 2+2a -2016=0进行配方,得到a +1 2=2017的值,再把它整体代入即可求出答案,解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤.【详解】解:由a 2+2a -2016=0可得(a +1)2=2017,a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1=(a -1)2a +1 a +4 ×a +4a -1 a +1-1a +1,=a -1(a +1)2-1a +1,=-2(a +1)2,=-22017.25(2024·全国·八年级竞赛)先化简,再求值:x 2-1x 2+x÷x +1x -2 ,其中x =2.【答案】1x -1,2+1【分析】本题考查了分式的混合运算以及分母有理化,解答时,先进行分式运算,再代入求值即可.【详解】解:x 2-1x 2+x÷x +1x -2 =x -1 x +1 x x +1 ÷x 2+1-2x x =x +1 x -1x x +1÷x -12x =x +1 x -1 x x +1 ⋅x x -1 2=1x -1,当x =2时,原式=12-1=2+1.26(2024·全国·八年级竞赛)如图1,有一个高为hcm 的瓶子,瓶中水面的高度为acm ,盖好瓶盖后倒置,这时瓶中水面的高度为bcm ,如图2,用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比;当a =9,b =15,h =21时,求出这个比值.【答案】a a +h -b ,35【分析】此题考查圆柱体体积的应用,解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用.根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”,即可列式;瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积,即底面积×9+底面积×21-15 ,也就是底面积×15;水的体积为底面积×9,即可得到答案.【详解】解:瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积,设瓶子的底面积为S ,即Sa +S h -b ;水的体积为Sa ,∴瓶中水的体积与瓶子容积之比为Sa Sa +S h -b=aa +h -b ,∵瓶子的容积=底面积×9+底面积×21-15 =底面积×15,水的体积=底面积×9,∴瓶中水的体积:瓶子容积=(底面积×9):(底面积×15)=35,答:这个比值是35.27(2024·全国·八年级竞赛)(1)求证:1+1n 2+1(n +1)2=1+1n 2+n2;(2)计算:1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172.【答案】(1)证明见解析(2)201620162017【分析】本题主要考查了分式的化简求值,数字规律的运算;对于(1),先将等式左边通分,再根据完全平方公式整理可得答案;对于(2),先根据(1)整理得1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1 =1+1n -1n +1,再计算加减即可得出答案.【详解】(1)解:1+1n 2+1n +12=n 2n +1 2+n +1 2+n 2n 2n +1 2=n 2n +1 2+2n n +1 +1n 2n +1 2=n n +1 +1n n +12=1+1n 2+n2;(2)由(1)可知1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1=1+1n -1n +1,则原式=1+11-12+1+12-13+1+13-14+⋯+1+12016-12017=1×2016+1-12017=201620162017.28(2024·全国·八年级竞赛)(1)计算24×13-4×18×(2015-2016)0;(2)先化简,再求值:x 2-y 2x 2-2xy +y 2+xy -x÷y 2x 2-xy,其中x 、y 满足x +1+(y -3)2=0.【答案】(1)2(2)化简得:x y ;原式=33【分析】本题考查有理数的运算和分式的化简求值,熟练掌握二次根式的运算和正确化简分式是解题的关键,(1)根据二次根式的运算法则和零指数幂即可得到结果;(2)直接利用括号里面因式分解进行化简,再利用分式乘除运算法则化简,再根据二次根式、绝对值的性质得出x 、y 的值,进行代入求出答案.【详解】解:(1)原式=26×33-4×24×1=22-2=2;(2)原式=x -y x +y x -y2+x y -x ×x x -y y 2=x +y x -y -xx -y×x x -y y 2=yx -y ×x x -y y 2=x y.∵x +1+(y -3)2=0,∴x -1=0,y -3=0,∴x =1,y =3,故原式=x y =13=33.29(2024·全国·七年级竞赛)已知a 、b 、c 均为大于1的正整数,且1a <1b <1c ,1a +1b +1c -1abc为正整数.求a +b +c 的值.【答案】10【分析】本题考查异分母分式的加减,先得出1<1a +1b+1c <3c ,求出c =2,进而得出a =4或5,当a =4,b =3,c =2时,1a +1b +1c -1abc =2524(舍).当a =5,b =3,c =2时,1a +1b +1c -1abc=1,进而可得出答案.【详解】解:因为1a +1b +1c -1abc 为正整数,且a 、b 、c 为大于1的正整数,1a <1b <1c ,所以1<1a +1b+1c <3c ,得1<c <3,所以c =2,∴1a +1b >1-1c =12,得12<1a +1b <2b ,所以c <b <4,∴b =3.∴1a >1-1b -1c =16,得b <a <6,所以a =4或5,当a =4,b =3,c =2时,1a +1b +1c -1abc =2524(舍).当a =5,b =3,c =2时,1a +1b+1c -1abc=1,所以a +b +c =5+3+2=10.30(2024·全国·八年级竞赛)如果a 、b 、c 是不同的实数,且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0,求1a +1b+1c 的值.【答案】-15【分析】本题考查分式的求值,根据a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0,得到a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根,进而得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ,推出abc =-15,ab +bc +ac =3,即可得出1a +1b+1c 的值.解题的关键是得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c .【详解】解:1a +1b +1c =ac +bc +acabc,∵a 、b 、c 是不同的实数,且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0,∴a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根.∴x 3+3x +15=x -a x -b x -c ,∴abc =-15,ab +bc +ac =3.∴1a +1b+1c =3-15=-15.31(2024·全国·八年级竞赛)求值:12+13+14+15+1⋯+12007+11+11+13+14+15+1⋯+【答案】1【分析】本题考查了繁分式的计算,设1+13+14+1⋯+12007=x ,变形计算即可.【详解】解:设1+13+14+1⋯+12007=x ,则原式=11+x +11+1x=11+x +x x +1=1+x1+x =1.32(2024·全国·八年级竞赛)设a ,b ,c 都是实数,若(a -2b +c )2+(a -2c +b )2+(b -2a +c )2=(a -b)2+(b-c)2+(c-a)2,求分式2ab2+7(2ab+6)2bc2+7(bc+3)的值.【答案】2【分析】本题主要考查了分式化简求值,解题的关键是熟练掌握分式的性质.设a-b=x,b-c=y,c-a =z,得出x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0①,x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0②,由①+②得x2+y2+z2=0,求出x=y=z=0,则a=b=c,代入进行变形求值即可.【详解】解:设a-b=x,b-c=y,c-a=z,由已知得:(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=x2+y2+z2,故x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0,①又x+y+z=a-b+b-c+c-a=0,故x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0,②①+②得x2+y2+z2=0,故x=y=z=0,则a=b=c,∴原式=22a3+7a2+32a3+7a2+3=2.。

全国初中数学竞赛试题及答案大全

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全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一:代数基础题目:若\( a \), \( b \), \( c \)为实数,且满足\( a + b + c = 3 \),\( ab + ac + bc = 1 \),求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。

解答:根据已知条件,我们可以使用配方法来求解。

首先,我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。

将已知条件代入,得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。

简化后,我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。

试题二:几何问题题目:在直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,求斜边BC的长度。

解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和,即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。

代入已知数值,得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。

因此,\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。

试题三:数列问题题目:一个等差数列的首项是2,公差是3,求第10项的值。

解答:等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算,其中\( a_1 \)是首项,d是公差,n是项数。

将已知条件代入公式,得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。

试题四:概率问题题目:一个袋子里有5个红球和3个蓝球,随机取出2个球,求取出的两个球颜色相同的概率。

解答:首先计算总的可能情况,即从8个球中取2个球的组合数,用组合公式C(8,2)计算。

然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。

两个红球的情况有C(5,2)种,两个蓝球的情况有C(3,2)种。

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