经济数学微积分第二版 吴传生版 练习题目
合集下载
微积分第二版课后习题答案
微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。
16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。
20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。
经济数学微积分-吴传生10-5
定理 5
* 1 * 2
设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y 与 y 分别是方程,
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x )
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
*
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
*
( 2)
的一个特解, Y 是与(2) 对应的齐次方程(1) 的 通解, 那么 y Y y 是二阶非齐次线性微分 方程(2) 的通解.
定 理 4 设 y1，y 2 是 非 齐次 方程 (2) 的解 , 那么 y1 y2 就是非齐次方程(2) 所对应的齐次方程(1 e 2 x
四、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程 y py qy f ( x ) 对应齐次方程 通解结构 常见类型
y py qy 0,
y Y y ,
Pm ( x )， Pm ( x )e
r1， 2 1 2i ,
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
故所求通解为
例 4 求微分方程
y 2 y 8 y 0
的通解
解 特征方程为
r 2r 8 ( r 4)(r 2) 0
2
解得
r1 4, r2 2
实根 r1
y C1e r x C 2 e r x
1 2
y (C 1 C 2 x )e r1 x
y ex (C1 cos x C 2 sin x )
3.二阶常系数非齐次线性微分方程
吴传生 经济数学 微积分 第二版 第三章 习题课PPT
f (e ) e 1
(9) 设f ( x ) x( x 1)( x 2)( x 1000), f (0) 1000 !
解： f (0) lim f ( x ) f (0)
x 0
x
lim( x 1)( x 2) ( x 1000)
x0
且：f (0) f (0)
f ( x )在x 0点可导
sin x x 0 例7 设f ( x ) , 求 f ( x ) x0 x 解： 0时，f ( x ) (sin x ) cos x x
x 0时，f ( x ) ( x ) 1
x 0
f ( x )在x 0处左连续，
x0
lim f ( x ) lim x 1 1 x )（ 1 1 ) 0 f (0) （
x0
f f ( x )在x 0处右连续，( x )在x 0处连续；
1 x 0 ln( x 1) [设 f ( x ) , 讨 论f ( x )在 x 1 1 x 0 x 1 x 0处的 连续性和 可导性 ]
第三章 习 题 课
一 教学要求
二 内容提要
三 教材习题选解
P113，T3
四 典型例题分析
例1 填空：
x (1) 设f ( x0 ) 1, 则 lim x 0 f ( x 2 x ) f ( x x ) 0 0
1
解： lim f ( x0 2 x ) f ( x0 x ) x 0 x [ f ( x0 2 x ) f ( x0 )] [ f ( x0 x ) f ( x0 )] lim x 0 x f ( x0 2 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) lim lim x 0 x 0 x x f ( x0 2 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) 2 lim lim 2 x 0 x 0 2x x 2 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 1 原式 1
微积分 经济数学 吴传生第四章 (3)
定理3(第二充分条件) 设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导
证 (1) f ( x0 ) lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, x 0
x 故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时，有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时，有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
（等号仅在个别点成立！！！！！）
所以f x x sinx在x ,单调增加
3．利用单调性证明不等式
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
2．单调区间(monotonical interval)求法
问题: 如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在一些部分区间上单调． 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点．
方法: 用 方 程 f ( x ) 0 的 根 及 f ( x ) 不 存 在 的
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 ,
点 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 , 但函数的驻点却不一定 是极值点.
经济数学微积分-吴传生10-6
D. yx 2 yx1 3 yx2 4
解 由差分方程的定义有：A, D是差分方程.
B的 左 端
3yx
3( yx1
yx )
3 yx1
3
y
，
x
则 等 式 实 为 3 yx1 a x， 仅 含 一 个 时 期 的 函 数
值y
x
，
1
故
不
是
差
分
方
程.而C的
左
端2
yx
( yx1
yx)
yx1 yx
yx2
2 yx1
y
，
x
恰 好 等 于 右 端 ， 故 不 是差 分 方 程.
例 8 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
同样可定义三阶、四阶 差分： 3 yx (2 yx ),4 yx (3 yx )
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
解 设y x 2，则
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1 2 yx 2( x2 ) (2x 1)
第六节 差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构
一、差分的概念
二、差分方程的概念
三、常系数线性差分方程解的结构 四、小结
一、差分的概念
1.差分的定义
设 函 数y f ( x).当x取 非 负 整 数 时 ， 函 数 值 可 以 排 成 一 个 数列 :
f (0)，f (1)， ，f ( x)，f ( x 1)， 将之简记为
微积分经济数学吴传生
设 ~ , ~ 且 lim 存在,则 lim lim .
9. 极限的唯一性
定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一.
连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质
x x0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
lim
n
xn
a,
或
xn a (n ).
" N"定义
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
定义② 设函数 f ( x) 在点 x0 的某一去心邻域 内有定义，对于任意给定的正数 (不论它多么
微积分经济数学吴传生第四章(4)
问 要 使 平 均 成 本 最 小 ， 应 生 产 多 少 产 品 ？ 如 果 每 件 产 品 以 5 0 0元 售 出 ， 要 使 利 润 最 大 ， 应 生 产 多 少 产 品 ？
解：
C ( x ) 25000 x C ( x ) 200 x x 40 25000 1 C ( x ) 2 40 x
则全年的采购费用为 a ab bN b X X
用 C 表示一个单位货物库存 一年所需费用 CX 则全年的库存费用为 ，因此，总费用 2 ab CX E (X ) X 2
a 又 X ，故总费用也可表示 N 的函数 N ac a aC E ( N ) a /( ) b ( )( ) bN 2 2 N N N 2 C ab CX 2 ab 由 E ( X ) 2 , x 0 2 2X 2 X 2 ab 令 E ( X ) 0 , 得 E ( X ) 的唯一驻点 X 0 c 2 ab 又 E (X ) 3 0 ( a ,b ,X0 ), X 故 X 为最小值点 0
2 L ( X ) R ( X ) C ( X ) 5 X 0 . 01 X 200
L ( X ) 5 0 . 02 X
L ( X ) 0 . 02 0
令 L ( X ) 0 ，解得 5 ( 万元 ) 为极大值，也就是 值 .
（ 1） 求P 在 何 范 围 变 化 时 ， 使 相 应 销 售 额 增 加 或 减 少 ？ （ 2） 要 使 销 售 额 最 大 ， P应 取 何 值 ， 最 大 销 售 额 是 多 少 ？
a 解 ( 1 ) 销售额 R ( P ) PQ P ( C ) P b 2 ab C ( P b ) R ( P ) 2 ( P b ) ab b 令 R ( 0 ) 0 , 得 P b (a bc ) 0 c c 由 题a 设 bc , P 0 ,
微积分经济数学吴传生第二章
记作 o();
(2)如l果 im C(C0)就 , 说 与 是同阶;的
特殊如 地果 lim1,则称 与是等价的;无
记作 ~;
(3)如l果 im kC (C0,k0)就 , 是 说 是 k阶的 无穷 . 小
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理)
准则Ⅰ′ 如果当xU0(x0,r)(或x M)时,有 (1) g(x) f (x) h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f (x)存在,且等于A.(夹逼准则) xx0 ( x)
准 则 Ⅱ 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .
9. 极限的唯一性
定 理 若 lif( m x ) 存 在 ,则 极 限 唯 一 .
连续定义
limy0
x0
x l ix0m f(x)f(x0)
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
推论2 如果 lim f(x)存,在 而 n是正,整 则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
连续函数的 运算性质
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
间断点定义
第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
(2)如l果 im C(C0)就 , 说 与 是同阶;的
特殊如 地果 lim1,则称 与是等价的;无
记作 ~;
(3)如l果 im kC (C0,k0)就 , 是 说 是 k阶的 无穷 . 小
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理)
准则Ⅰ′ 如果当xU0(x0,r)(或x M)时,有 (1) g(x) f (x) h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f (x)存在,且等于A.(夹逼准则) xx0 ( x)
准 则 Ⅱ 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .
9. 极限的唯一性
定 理 若 lif( m x ) 存 在 ,则 极 限 唯 一 .
连续定义
limy0
x0
x l ix0m f(x)f(x0)
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
推论2 如果 lim f(x)存,在 而 n是正,整 则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
连续函数的 运算性质
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
间断点定义
第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
经济数学-微积分吴传生10-7
x 1 a x 0
即 a 0
特征方程
＝a
特征根
于是y x a x是（ 1）的一个解， 从而y x Ca x是（ 1）的通解 .
用特征根法求例 1 的通解 .
解
特征方程2 1 0 特征根 1 2
1 差分方程的通解为 Yx C . 2
x
代入y0 2，得C 2
x
二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
y x 1 ayx f ( x)
(a 0为常数， f x 0)
2
一 阶 常 系 数 非 齐 次 线差 性分 方 程 的 通 解 由 两 项 的和组成： 一 项 是 该 方 程 的 一 个解 特y x ， 另 一 项 是 对 应 的 齐 次分 差方 程 的 通 解 Yx .
于是y x z x .
x
x y y 2 x 例 6 求差分方程 x 1 的通解．
解
特征方程
特征根
1 0，
1，
对应齐次方程通解
Yx C 1
x
设y x 2 x z x，原方程化为 1 2 z x 1 z x 1 求 得 其 特 解 为 zx ， 3 1 x 于 是y x 2 ， 3
11是特征方程的根，即 a 2时
特 解z x
x x 2 a2 2 1 于 是y x ； 特 解z x ； 2a 1 2x a 2 2 a x 1 x Ca x 2 a2 2 即 通 解 yx . Ca x 1 2 x a 2 2a
2 x
练习题答案
x 3 1 x x 1.(1) y x A( 1) ( ) 3 ( ) ; 2 4 3 3 3 37 ( 2) y x A 5 x , y x 5x; 4 4 12 1 1 5 x x x ( 3) y x 2 A( 1) , y x 2 ( 1) x ; 3 3 3 36 1 2 2 ( 4) y x x x A( 4) x ; 125 25 5 36 1 2 2 161 yx x x ( 4 ) x . 125 25 5 125
经济数学-微积分吴传生10-3
3 3 即成本时间函数为 y e 5t . 10 10
பைடு நூலகம்
t 3
４．公司的净资产分析
例6 某公司的净资产在运营过程中，像银行的存款 一样，以年5%的连续复利产生利息而使总资产增加， 同时，公司还必须以每年200百万元人民币的数额连续 地支付职工的工资。 (1) 列出描述公司净资产W的微分方程； (2) 假设公司的初始净资产为W0，求净资产W(t)； (3) 描绘出当W0分别为3000,4000,5000时的解曲线.
dy1 率正比于过渡需求，为 0.3(C1 I1 y1 )， dt 已知 t=0 时，流动收入 y0 5(亿元) ，若流动收 入的均衡值 y 4 (亿元) ，试求流动收入函数 y ( t )，并求 t=2 时的流动收入。
10.设某牧场现有 1000 只羊，如果每瞬时羊的只 数变化率与当时羊的只数成正比，若 10 年内该 牧场羊群达到 2000 只，试确定该羊群只数 a t 与 时间 t 的函数关系。 11.某企业成本控制部门发现，随企业规模扩大 面向办公室提供的平均月费用 y 与办公室人员 x
解：(1) 净资产增长速率=利息盈取速率-工资支付速率
dW 0.05W 200 就是净资产所满足的微分方程. dt
即
W=4000为平衡解。
(1) 列出描述公司净资产W的微分方程； (2) 假设公司的初始净资产为W0，求净资产W(t)； (3) 描绘出当W0分别为3000,4000,5000时的解曲线.
(a c )e ( b d )dt dt C ( b d ) t ( a c ) ( b d )t e e C (b d )
( b d )dt
微积分-经济数学-吴传生第三章-(6)专题市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
又平均函数为
f (x) x
tan ,因而
Ey Ex
tan m tan
若考虑弹性的绝对值， 则 Ey tan m Ex tan
如果我们知道了一条函 数y f ( x)所示的曲线，
则在曲线上任一点 A处对应的弹性，通过 A作
曲线AB的切线和线段OA，就可得夹角 m 和，
进而就可得 Ey . Ex
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其
经济意义.
解 (1)生产900个单位时旳总成本为
C (Q )
1100 9002 1775
Q 900
1200
平均成本为
C (Q)
1775 1.99
Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本旳 平均变化率为
C(Q) C(1000) C(900) 1993 1775 1.58
解： (a)其纵轴截距a 0,故EP 1 (b)此函数与横轴相交(a 0)，故EP 1 (c)此函数与纵轴相交(a 0)，故EP 1
4. 收益弹性
ER dR P EP dP R
例1 某需求曲线为：Q 100P 3000，求 当P 20时的弹性．
解 dQ 100
dP
当P 20时，Q 1000
所以EP
100 20 1000
2.
(一)几种特殊旳价格弹性 从理论上来说，有下列四种特殊旳需求弹性：
(1)需求的价格弹性等于 0．也就是说，这种商品 完全 没有弹性，不管价格如 何变化，其需求量都不 发生 变化．这种商品的需求 曲线的图形是一条垂直 的直 线(图2 3a).
P
D
P
O
P
(a)
O QP
A
微积分经济数学吴传生三
( 4 ) A 是与 x 无关的常数 , 但与 f ( x ) 和 x 有关 ; 0
( 5 ) 当 x 很小时 , y dy ( 线性主部 ).
3.可微(differentiable)的条件 定理
数 f(x ) 在点 x 处可导 ,且 A f(x ). 0 0
函数 f(x ) 在点 x 可微的充要条件是 0
(2) 充分性 函数 f ( x ) 在点 x 可导 , 0
y lim f ( x ), 0 x 0 x
y 即 f ( x ) , 0 x
0 ( x 0 ), 从而 y f ( x ) x ( x ), 0
dy y dx f ( u ) g ( x ) dx x 又因为 g ( x ) dx du ,
dy f ( u ) du 或 dy y du ; u
结论： 无 论 u 是自变量还是中 ,函 间数 变量
y f (u ) 的微分形式总 是 dy f ( u ) du
3 例1 求函数 y x 当 x 2 , x 0 . 02 时的 .
3 2 解 dy ( x ) x 3 x x .
2 0 . 24 . dy 3 x xx x 2 2 x 0 . 02 x 0 . 02
通常把自变量 x 的增量 x 称为自变量的微 , 记作 dx , 即 dx x .
d(ax ) ax lnadx
d(ex ) exdx
1 1 d(log dx d(lnx) dx a x) xlna x 1 1 d(arcsin x) dx d(arccos x) dx 2 2 1 x 1 x 1 1 d(arctan x) d(arc cotx) 2 dx 2 dx 1 x 1 x
微积分吴传生二版第3章
一、 填空题： 1． 设 y (2x 5)4,则 y=___________. 2． 设 y sin2 x,则 y=____________. 3． 设 y arctan(x 2 ),则 y=____________. 4． 设 y ln cos x ,则 y=____________. 5． 设 y 10x tan 2x ，则 y=____________. 6． 设 f ( x)可导，且 y f ( x 2 )， 则 dy =___________. dx 7． 设 f ( x) e tank x,则 f ( x)=__________，
思考题
求曲线 y2xx3上与 x轴平行
的切线方程.
思考题解答
y23x2 令 y 0 23x20
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 2, 4 6 3 9 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
练习题一
例2 求 ysi2n xln x的导 . 数 解 y 2 sx ic n x o lx n s
y 2 cx o cx s o lx n s 2 sx i( n sx i ) l n x n 2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
dydydudv. dx dudvdx
例9 求函 yl数 n six n的导 . 数
解 y ln u ,u six .n
dy dydu 1 cosx cos x coxt
dx du dx u
sin x
例10 求函 y(数 x21)10 的导 . 数
思考题
求曲线 y2xx3上与 x轴平行
的切线方程.
思考题解答
y23x2 令 y 0 23x20
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 2, 4 6 3 9 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
练习题一
例2 求 ysi2n xln x的导 . 数 解 y 2 sx ic n x o lx n s
y 2 cx o cx s o lx n s 2 sx i( n sx i ) l n x n 2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
dydydudv. dx dudvdx
例9 求函 yl数 n six n的导 . 数
解 y ln u ,u six .n
dy dydu 1 cosx cos x coxt
dx du dx u
sin x
例10 求函 y(数 x21)10 的导 . 数
微积分_经济数学_吴传生第五章_(4)
练习题答案
一、1. 3.
1 , 1 , 2；
2u 2du , ； 2 2 1 u 1 u
1 1 2. -1, , ； 2 2
4. 初等函数 .
1 ( x 2) 4 二、1. ln C； 3 2 ( x 1)( x 3) 1 x4 1 arctan x C ； 2. ln 2 2 4 (1 x ) (1 x ) 2 2 x 2 2x 1 2 3. ln 2 arctan( 2 x 1) 8 x 2x 1 4 2 arctan( 2 1) C ； 4
( n 2) 可用递推法求出
5.
6.
※二、待定系数法举例
有理函数化为部分分式之和的一般规律： k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地： k 1, 分解后为 xa
x x 3 x 3 ln(1 e ) ln(1 e 3 ) 3 arctan( e 6 ) C . 2 x 6
三、小结
有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式）
思考题
任何有理函数都有原函数吗？ 任何初等函数都有原函数吗？
都能求出其原函数吗？
思考题解答
1 x x 1 例 x 2 . 2 x 1 x 1
3
难点 将有理函数化为部分分式之和.
理论上，任何一个有理函数(真分式)都可分为 以下六个类型的基本积分的代数和: 1.
dx ln x a c xa
dx 1 c n n 1 ( x a ) (1 n)( x a )
经济数学-微积分吴传生10-4
二 . y f ( x, y ) 型
三.
y f ( y, y) 型
二、y f ( x, y) 型的微分方程
1. 特点
右端不显未知函数 y .
2. 解法 设 y p 将 y', y"代入原方程
则 y p,
p f ( x , p ) ，
降阶了 一阶
y f ( x , y )
P ( x Biblioteka dx;6.伯努利方程
7.全微分方程
令 y 1 n z;
d u( x , y ) P ( x , y )d x Q ( x , y )d y
第四节 可降阶的二阶微分方程
一、 y f ( x )型的微分方程 二、 y f ( x , y )型的微分方程 ) yy , ,yy ) 型的微分方程 ff((yy 三、
1 2 n
f ( x ) dx C1 dx C2
注意：每次积分都应该出现一个积分常数。
y e 例1 求 微 分 方 程
2x
x si n 的 通 解 . 3
解
对所给方程连续积分两次，得
1 2x x y e 3cos C1 2 3 1 2x x y e 9sin C1 x C 2 4 3
一阶微分方程
1.可分离变量的
g ( y ) d y f ( x) d x 两端积分
令 y xu;
y Ce
y 2.齐次方程 y f ( ) x
4.线性齐次方程 5.线性非齐次方程
3.可化为齐次方程的方程 令x X h, y Y k .
P ( x ) dx
;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0tan lim sin x x x x x
→-- 1、若222lim 22
x x ax b x x →++=--，则a = ，b = 3、若函数2
(2)1f x x x +=++，则(1)f x -=
6、数列极限lim [ln(1)ln ]n n n n →∞--=（ ） A 、1 B 、-1 C 、∞ D 、不存在但非∞
7、极限1lim (1)x
x x e →∞-=（ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、不存在
8、若函数1sin 0()10x x f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪+=⎩在点0x =处连续，则k =（ ）
A 、1
B 、0
C 、-1
D 、不存在 六、讨论函数()sin x f x x
=的间断点及其类型. 2、设函数()y f x =由方程2cos()1x y e
xy e +-=-所确定，求曲线()y f x =在点(0,1)处
的法线方程. 3、已知()f u
为可导，[ln(y f x =，求y '.
6、设sin (0)x y x x =>，求dy .
7、试确定常数,a b 的值，使(1sin )2,
0()1, 0ax b x a x f x e x +++≥⎧=⎨-<⎩处处可导.
4、求曲线11
2+-=x e y x
的水平渐近线为 ；铅直渐近线为 。
5、极限)1
11(lim 0--→x x e x 的值为 。
6、函数)(x f 有连续二阶导数，且
2)0('',1)0(',0)0(-===f f f ， 则=-→20)(lim x
x x f x 。
3、)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（ ）
（A ）0)('0=x f ； （B ）0)(''0<x f ；
（C ）0)('0=x f 且0)(''0<x f ; （D ）0)('0=x f 或)('0x f 不存在。
5、曲线2)
1(12--=x x y （ ） (A) 没有渐近线；(B) 没有水平渐近线；(C) 有铅直渐近线；(D) 有斜渐近线。
6、若点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，则（ ） (A) 23,29-==
b a ； (B) 9,6=-=b a ； (C) 2
9,23=-=b a ； (D) 其他。
2、)sin 11(lim 220x
x x -→ 1、证明：2cot arctan π=
+x arc x 。