酒精在人体内分布和排除的数学模型
微分方程模型——数学建模真题解析
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮 酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾 车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
方程)。 (2)微元法。
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f ( x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1 f1
x1
x2
Df D( f1, f2 , Dx D(x1, x2 ,
, ,
fn ) xn )
f2 x1
f2 x2
fn fn x1 x2
f1
xn
f2 xn
fn xn
的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点， 如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的 平衡点。
稳定的平衡点的实际意义： 如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方 程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡 点。
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密 切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经 济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工 资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世 纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。 现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一 个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会 稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平 衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的 养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制 度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基 金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准 就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。 所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之 差。
饮酒驾车模型及matlab实现
数学实验
y1 (t ) 记 c(t ) ，得： V
Ng0k1 c(t) (ek2t ek1t ) V (k1 k2 )
式（7.5.3）可以写成
(7.5.3)
当前任务就 是，确定 k,k1,k2
c(t ) k (e k2t e k1t ) , (7.5.4)
Ng 0 k1 , k1 k2 其中 k V (k1 k2 )
y1(t):在时刻t中心室(血液和体液)的酒量(mg);
K2:酒精从中心室向体外排出的速率系数; V:中心室的容积(100ml).
数学实验
7.5.4 模型假设
大李在短时间内喝下2瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）进入中 心室（血液与体液），然后从中心室向体外排出。忽略喝酒时间， 并假设： （1）吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为2g0，酒精从吸收室进 入中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精量的减少量）与吸收室 的酒精量成正比，比例系数为k1. (2)中心室的容积V保持不变；在初始时刻t=0时，中心室酒精量为0; 在任意时刻，酒精从中心室向体外排出的速率（中心室的单位时间 内酒精量的减少量）与中心室的酒精量成正比，比例系数为k2. (3)在大李（体重为70kg）适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设k1 和k2都是常数，与酒精量无关。 （4）考虑到大李在下午6点接受检查，之后由于离开检查地点以及 停车等待等原因耽误了一定时间，因此假定大李在晚8点吃晚饭 (即大李从第一次接受检查到第二次喝酒之间相隔了2个小时)
参数的初值设定思路：
e x 1 x ,所以 :
k1t
c(t ) k (e
k 2t
e ) k (k1 k2 )t
根据原始数据表，当t=1时，有 k (k1 k2 ) 80
酒精在人体内分布和排除的数学模型
f0k1 C(t) = ×(e−k2t − e−k1t ) V (k1 − k2 )
(3)
根据资料显示一位体重约 根据资料显示一位体重约75kg 的驾车者在短时 体重约 间内喝下2瓶啤酒后 瓶啤酒后， 间内喝下 瓶啤酒后，隔一定时间他体液中的酒 精浓度(毫克 百毫升)，得到数据如下： 毫克/百毫升 精浓度 毫克 百毫升 ，得到数据如下：
一般人的体液占人的体重的 左右， 一般人的体液占人的体重的70%左右，体液的 人的体液占人的体重的 左右 密度为1.054克/毫升。可得一位体重约 毫升。 密度为 克 毫升 可得一位体重约75kg 的驾车者体液的体积 V=75*70%*1000/1.054=49810毫升 毫升 =498百毫升 百毫升 毫克和v=498百毫升代入 百毫升代入(3)式， 将 毫克和 百毫升代入 式 可得驾车者在短时间内喝下2瓶啤酒后 时刻体 瓶啤酒后， 可得驾车者在短时间内喝下 瓶啤酒后，t时刻体 液中的酒精浓度与时间的关系式为： 液中的酒精浓度与时间的关系式为：
由药物动力学参数及计算常用的残数法 (method of residual)的基本指导思想，经 的基本指导思想， 的基本指导思想 过一段时间后，酒精从中心室向周边室的转移速 过一段时间后， 率比周边室向体外排除的速率要快得多， 率比周边室向体外排除的速率要快得多，必然有 因此， 足够大时 足够大时， ，因此，当t足够大时，首先 ， 其体液中的酒精浓度的变化可视作只受消除的影 即进入消除相。此时式(4)可写作： 可写作： 响，即进入消除相。此时式 可写作
根据表1给出的数据可以看出，经过 小时后 小时后， 根据表 给出的数据可以看出，经过2小时后， 给出的数据可以看出 驾车者体液中的酒精浓度开始降低， 驾车者体液中的酒精浓度开始降低，可看作进入 了消除相。 了消除相。 根据两小时后驾车者体液中酒精浓度的数据， 根据两小时后驾车者体液中酒精浓度的数据，利 数学软件进行数据拟合， 用Mathematica数学软件进行数据拟合，可得 数学软件进行数据拟合 式(5)中的参数 中的参数 的值为
数学建模例题_之_饮酒驾驶模型[1]
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饮酒驾驶模型摘要本文针对酒后驾车造成交通事故死亡率高，以及根据国家质量检验检疫局发布的饮酒后驾车新标准，建立了饮酒后血液中酒精含量的数学模型。
通过了解酒精在体内吸收，分布和排除的动态过程，及这些过程与人体内酒精反应的定量关系建立微分方程，运用药物动力学原理建立单室和双室模型。
得出血液中的酒精含量)(t C ,与进入体内总酒量)(t x 、时间t 的函数关系式：单室模型：()()()()k k e e x k t x t C a t k kt a a --==--0双室模型：()()n n p n p t pt pt v t x v t x AUC AUC n n∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=--1001本文还运用了 Wagner-Nelson 法（待吸收的百分数对时间作图法），与题中给出的参考数据在计算机运行的结果作对比。
本文还解决了如下问题：1、从模型分析了大李第二次被判为饮酒驾车是因为二次饮酒，而使血液中酒精含量累积而超标。
2、对喝了低度酒多长时间驾车违反规则作了量化分析；3、从单室模型得出了一个血液中酒精含量峰值计算公式：()k k k gk t a a -=303.2max4、用本文的模型对天天喝酒能否开车作了讨论。
本文最后对模型的优点和不足作了评价。
一、问题提出据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。
酒精浓度数学建模
酒精浓度数学建模数学建模论⽂酒精含量问题摘要：有三种不同的喝啤酒⽅法：1.瞬间喝下两瓶啤酒。
2.持续⼀段时间喝下两瓶啤酒。
3.分段脉冲式喝下两瓶啤酒。
其中啤酒的酒精浓度是4%，单位时间内排出的酒精与此时体内酒精含量成正⽐ . 根据每种⽅法，求此⼈体内酒精含量随时间的变化规律。
关键词：瞬间、持续⼀段时间、分段脉冲、4%、正⽐正⽂⼀.问题重述根据三种不同的喝啤酒⽅法，求出体内酒精含量随时间变化规律。
⼆.问题分析由题意知，排出酒精的速率与当前体内酒精含量成正⽐，便可以排除的速率和体内含量的关系式，同时根据不同的喝酒⽅式，可以列出体内酒精含量变化率与时间的关系，通过代⼊不同的初始条件，便可以得到三个不同的函数关系式。
三.模型假设结合药物在体内的分布问题，结合房室系统，建⽴酒精分布的单房室模型，它假设：体内药物在任⼀时刻都是均匀分布的，设t 时刻体内酒精的总量为x(t)；系统处于⼀种动态平衡中，即成⽴着关系式：dx/dt=dx/dt(⼊)-dx/dt(出)。
酒精的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与酒精当前的含量成正⽐的，即dx/dt(出)=kx.四.模型的建⽴1.瞬间喝下两瓶啤酒在瞬间喝下两瓶啤酒时，总量为8%的酒精在瞬间被注⼊体内。
可以近似看作只输出不输⼊的房室。
2.持续⼀段时间喝下两瓶啤酒啤酒以恒定的速率喝下，则满⾜ dx/dx(⼊)=K0。
3.分段脉冲式喝下两瓶啤酒每次喝酒的量相同，且瞬间喝下，隔相同的时间再喝酒。
假设每次喝下酒的体积均为v ，其中酒精含量为c=4%*v/V0，隔的时间均为T 。
当他每次瞬间喝下时，体内的酒精含量增加了c=4%*v/v0，则他喝完所有的两瓶酒共需2V0/V 次。
五.模型的求解1.瞬间喝下两瓶啤酒系统可看成近似满⾜微分⽅程组dx/dt+kx=0;x(0)=8%，解⽅程得出x(t)=8%*e^(-kt)。
2.持续⼀段时间喝下两瓶啤酒体内酒精含量满⾜： dx/dt+kx=K0;x(0)=0. 组成微分⽅程组，解⽅程得3.分段脉冲式喝下两瓶啤酒从他第⼀次喝酒开始计时，即当1=n 时，0=t ，则当他第n 次喝酒时，,t=(n-1)T,x(0)=c,x(nT)=c+x(nT-),且dx/dt+kx=0,联⽴微分⽅程组解得))(,)1[(,)()()(T n T n t e nT x t x nT t k -∈=--，利⽤递归的思想，最终解得),)1[(,)()(])1([)1(2nT T n t e ce ce ce c t x T n t k kT n kT kT -∈+++=-------六．结果表⽰.1.瞬间喝下两瓶啤酒的酒精变化规律为x(t)=8%*e^(-kt)2.⼀段时间内喝下两瓶啤酒的酒精含量变化规律为3.分段脉冲式喝下两瓶啤酒的酒精含量变化规律为),)1[(,)()(])1([)1(2nT T n t e ce ce ce c t x T n t k kT n kT kT -∈+++=-------七．模型的综合评价模型的优点：可以根据函数，通过不同的喝啤酒⽅法计算出每个时刻体内的酒精含量，可以⽐较出不同喝酒⽅法导致的酒精含量变化的快慢。
酒精在人体内含量预测模型推荐
酒精在人体内含量预测模型摘要：本文针对酒后驾车问题，通过分析，人在酒后血液中酒精的含量随时间的变化情况，通过相关资料我们了解到人在喝完酒后，酒精首先进入胃中，再由胃慢慢进入血液中的情况。
综合运用微分方程的知识，建立数学模型，很好地描述酒精分别在胃中和在血液中随时间的变化情函数关系。
就问题（1），大李所遇到的问题分析，零晨2点大李饮酒驾驶，即在下午6点喝完酒后，过t=8小时后，他血液中的酒精含量y2大于20毫克/百毫升小于80毫克/百毫升。
通过模拟函数表达式及曲线，很好的解释了大李的问题。
针对问题（2）中，将三瓶啤酒的喝法分为两种情况考虑，但其做法大体相同，仅需区别每次喝下啤酒时胃中及血液中酒精的含量不一样，分段绘制曲线，求出血液中酒精含量从刚刚大于20毫克/百毫升到小于20毫克/百毫升，所要经历的时间。
在通过对（1）(2)问的求解后，通过建立的微分模型对具体数据讨论（3）（4）得到的结果。
另外我们通过对该问题的分析后给想喝一点酒的司机驾车提出了一些忠告。
文中运用数学分析，matlab软件的使用等知识对模型进行计算和误差分析。
最后讨论了模型的优缺点及改进方向。
一．模型假设（1）进入人体内的酒，约10%的由呼吸道、尿液和汗液以原型排除的酒精在排出过程中不影响胃肠、体液、血液和肝脏的浓度。
(2) 人体体液、血液吸收酒精的速率与它们和胃肠浓度的差成正比关系。
(3) 假设啤酒刚进入胃时浓度不变。
（4） 假设喝到胃中的酒进入到血液中.（5） 随着时间的推移需要考虑胃血液中的酒精浓度的变化.二．符号说明)(1t y 表示t 时刻胃中的酒精浓度的变化；)(2t y 表示t 时刻血液中的酒精浓度的变化；K1 表示酒精在胃中的转化速率；K2 表示酒精在血液中的转化速率；G0 表示胃中的酒精浓度；T 表示时间；且t=k(k=0.25,0.5,0.75,1,…)三．问题的分析饮酒驾车的检测就必须先考虑血液中的酒精含量是如何随时间变化的，经分析得到酒精变化是自由扩散而形成的，于是利用检测到的数据模拟酒精在血液中变化的函数关系；切不考虑其他的变化（进入人体内的酒，由呼吸道、尿液和汗液以原型排除的酒精在排出过程中不影响胃肠、体液、血液和肝脏的浓度）。
数学建模论文-饮酒驾车的优化模型
饮酒驾车的优化模型摘要酒后驾车发生事故给人身安全造成极大的伤害，在全世界引起了广泛的关注。
本文通过分析啤酒中酒精在人体体内胃肠（含肝脏）与体液(含血液)之间的交换机理,分别建立了在短时间内喝酒和长时间喝酒两种情况下，胃肠和体液(含血液)中的酒精含量的微分方程。
对给出的数据,利用非线性最小二乘数据拟合及高斯-牛顿算法,确定了一瓶啤酒中的酒精含量以及酒精从胃肠进入血液的速度系数和酒精从血液渗透出体外的速度系数。
继而,对不同喝酒方式下,血液中酒精浓度进行分析。
该模型不仅能很好地解释大李在中午12:00时喝了一瓶啤酒后,在下午6:00时检查时符合驾车标准，紧接着再喝一瓶啤酒后，在次日凌晨2:00时检查却被判为饮酒驾车这一现象，而且可以预测喝酒后任一时刻血液中的酒精浓度.利用所建立的模型，我们可得到以下结果：1.大李在第一次检查时血液酒精浓度为19.9616毫克/百毫升。
第二次检查时血液酒精浓度为20.2448毫克/百毫升，这是由于第一次喝酒在体液中残留的酒精所导致。
2.在短时间内，喝三瓶啤酒或喝半斤低度白酒分别在12.25小时和13.6小时内驾车会违反驾车新标准规定；在2小时间内喝3瓶啤酒或喝半斤低度白酒分别在13.28小时和14.63小时内驾车会违反驾车新标准规定。
3. 短时间喝酒，无论喝多少酒，血液中的酒精含量达到最高所用时间均为1.3255 小时。
长时间也与所喝酒精的量无关，只与喝酒所持续时间有关，我们得到喝酒持续时间与酒精含量到达最高点的时间的关系如下：4. 如果天天喝酒，只要适当控制好喝酒量与喝酒以后到开车的间隔时间还是可以开车的。
比如：一个70公斤，喝2瓶啤酒需间隔10小时以上。
该模型能较精确的预测时间与血液中酒精浓度的关系，其解具有较好的稳定性，为定量研究饮酒与驾车的关系提供了科学的依据。
同时，它具有很好的推广和应用价值，模型可推广到医学，化学等方面。
一、问题的重述酒后驾车引起的死亡事故占全国交通事故相当大的比例。
数学建模饮酒驾车的数学模型(含程序和数据)
收速率和分解速率，单位： mg h-1 。 k0 是表示饮酒速率的参数，单位： mg h1 ； k1 ， k2 是 表示酒精吸收能力和分解能力的常数，单位：h1 。t 为时间变量，t 0 表示饮酒开始，t1 为 饮酒结束时间。
1.分析酒精饮用，吸收和代谢三个过程：
⑴司机饮酒过程：我们用 gt表示酒精的饮用速率。可以通过司机饮酒时间和饮酒量确
1 t
m1t
V1
,
2
t
m2 t
V2
，
估算一下 1(t) ， 2 (t) 数值大小。体重70 kg 的正常人体液质量 45 ~ 50kg ，消化道液包
括刚饮用的酒水质量不超过 2kg
， V1 V2
20 ， m1 不小于 m2 。相比
m1t ，
V1
m2 t 对吸收速率
V2
的影响可以忽略不计。由于体液体积是一定的，我们可以将酒精的吸收速率表示成如下形
大李的“续酒超标”是由于再次饮酒时体内仍有酒精残留。大李饮酒 6 小时后血液酒 精含量为16.2083mg / dl ，符合标准。晚饭时体内有酒精残留13.5610 mg / dl ，导致了再次饮 酒后 6 个小时血液酒精含量为 24.9183mg / dl 这样超标的结果。短时间饮用 3 瓶啤酒后， 0.0507 小时到 11.0522 小时内血液酒精含量大于 20mg / dl ，共持续 11.0015 小时；若在 2 小 时内慢慢饮用，则在 0.5947 小时到 11.8517 小时内血液酒精含量大于 20mg / dl ，共持续 12.0915 小时，以上时间段内驾车就会违反新标准。通过求导解零点法我们可以估计酒后血 液酒精含量达到最高值的时间。想天天喝酒的司机如果采取合理的饮酒方案仍能安全驾驶。 关键字：饮酒驾车 Fick 原理 微分方程 非线性最小二乘拟合
饮酒驾车的数学模型
饮酒驾车的数学模型（CUMCM-2004C题）一、摘要本题是关于一个饮酒驾车的数学模型。
因为酒精在一个房呈均匀分布，从吸收室到中央室按照一定的规律进行吸收和排除。
所以根据不同时刻的吸收与排除情况，为了研究酒精的吸收和排除的动态过程，我们对市场上酒的分析调查为参考资料。
以传统的常微分方程理论来建立控制饮酒驾车模型方程与曲线拟合的模型,近似于房室模型来解决.通过matlab数学软件求解模型，得到相关结果。
最后从模型方程跟实际对比分析中找出实际与理论的差异。
关健词：常微分方程曲线拟合房室模型二、问题的提出在2003年全国道路交通事故死亡数字的10.4372万中饮酒所造成的事故占着相当大的比例。
针对这一比例所造成的事故国家质量验检局与2004年5月31日发布的新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准规定了驾驶人员血液中的酒精含量。
新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。
为了减少和预防事故发生,保证人民的生命财产的安全,我们建立模型对饮酒驾车进行分析,为政府提供一些相关资料的参考。
三、问题的分析与假设(一) 问题分析因为在1个小时以内酒精未达到机体最大消除力时，假设在吸收过程仍符合一级动力方式消除。
因为按酒精的一般规律，酒精的清除符合零级动力学方式，所以我们可以假设在一开始喝酒的过程时，酒精的排除符合零级动力方学方式。
另一种情况就是酒在长时间内喝的，近似于口服药液。
根据表格数据我们可知，酒精在血液中的浓度随时间的变化而变化（二）问题假设1.假设在酒精的吸收收速率及排除速率，与该室的酒精浓度成正比。
2.假设机体分为中心室和吸收室（如图1），且两个室的容积在过程中保持不变。
3.假设当酒精进入中心室时，吸收和排除的数量相比，吸收可以忽略。
酒精在人体内的分布与排除优化模型数学建模论文
酒精在人体内的分布与排除优化模型摘要：酒精进入机体后，随血液运输到各个器官和组织，不断的被吸收，分布，代谢，最终排除体外。
为了研究酒精在体内吸收，分布和排除的动态过程，以及这些过程与人体反应的定量关系，本文建立了一个酒精在人体内的分布与排除优化模型，在药物动力学的一室模型的基础上，进行优化，改进，分别建立了酒精在人体内分布的房室模型Ⅰ'和房室模型Ⅱ'，以及酒精在人体内的静态排除模型Ⅰ'和动态排除模型Ⅱ'，导出模型的体液酒精浓度的状态函数，用常数交叉拟合方法，采用VB 编写程序，得到两个重要系数01k 和10k 。
根据此模型，计算的体液酒精浓度理论值与实验值十分相符，并很好地解释了给出的所有问题，得到一些有价值的结论。
关键词：房室模型，排除模型，体液酒精浓度，动态和静态的转换毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。
对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。
作者签名：日期：指导教师签名：日期：使用授权说明本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。
作者签名：日期：学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。
酒后血液中酒精含量的数学模型1
酒后血液中酒精含量的数学模型摘要针对酒后驾车普遍存在并致交通肇事居高不下的现实 ,掌握饮酒后不同时刻血液中酒精的浓度非常必要。
本文根据药物动力学知识，首先用微分方程建立了基本模型并推导出在长时间、瞬时间和分段瞬时内饮酒的数学模型 ,从理论上完整的描述了人体血液中的酒精含量的变化过程。
其次，根据所给数据 ,利用数学软件Matlab 对基本的模型进行了拟合 ,得出基本模型中的待定系数,并得出了人在不同情况下饮酒后的酒精含量与时间的关系图从图中可以很好的反映出人体血液中的酒精含量的变化规律,它们的变化规律与实际变化相吻合 ,从而证明了所建的模型基本符合要求,进而可以根据关系图讨论题中的问题。
运用微积分理论 ,建立微分方程并推导出在长时间、瞬时间和分段瞬时内饮酒的数学模型 ,检验结果表明模型正确 ,理论数据与实际相吻合。
从数学理论上解决了不同体重、不同时间饮用不同量的酒后在不同时刻血液中的酒精含量。
并得出了人在不同情况下饮酒后的酒精含量与时间的关系图，从图中可以很好的反映出人体血液中的酒精含量的变化规律,它们的变化规律与实际变化相吻合 ,从而证明了所建的模型基本符合要求,进而可以根据关系图讨论题中的问题。
关键词：吸收速率消除速率数学模型非线性数据拟合Matlab 微分方程1 问题的提出据报载，2010年，全国共接报道路交通事故3906164起，同比上升35.9%。
其中，涉及人员伤亡的道路交通事故219521起，造成65225人死亡、254075人受伤，直接财产损失9.3亿。
而2003年全国道路交通事故死亡人数仅仅为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。
针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为酒后驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。
饮酒驾车问题的数学模型
! Ｕ＝ ｅｘｐ（－ βｔ）１ｎＣｔｄｔ ０
（一）主要假设
其中，Ｃｔ 表示消费水平；β表示贴现
考虑消费的情形之下，投资组合分成 率，设为常数。
风 险 资 产（μｔｖｔ）和 无 风 险 资 产（（１ － μｔ） ｖｔ）。其中，总资产价值记作 ｖｔ，μｔ 表示风 险资产所占总资产的比例，两者都是关 于时间 ｔ 的函数，剩余部分 １－ μｔ 投向无 风险资产，其收益率设为常数 ｒ，常见的 如银行储蓄利率。假定风险资产的平均 收益率 λ＋ｒ 高于 ｒ，即 λ＞０，称为风险溢
一、投资消费模型
γ
ｄｓｔ／ｓｔ＝（λ＋ｒ）ｄｔ＋ｋｓｔ ｄωｔ 其中，ｗ 是标准布朗运动，ｋ 为常数，γ 是弹性因子。特别地，若 γ＝０，则是几何 布朗运动。 （二）最优问题 在投资消费中，通过投资收益，尽量 提高消费水平，同时考虑到未来价值贴 现，也就是要使得累计消费现值最大，故 我们选择对数效用函数：
ｋ２１ｃ２＋
Ｄｋ０１ Ｖ１
ｅ－ ｋ０１ｔ
（５）
由 Ｌａｐｌａｃｅ 变换求得一般解为：
ｃ１（ｔ）＝
Ｄｋ０１ Ｖ１
（Ａｅ－
αｔ＋Ｂｅ－
βｔ－
－
（Ａ＋Ｂ）ｅ
ｋ０１
ｔ
）
（６）
Ｄ＝ 啤酒的质量×啤酒的酒精含量
& Ｄ＝５００ｇ×５％＝２５ｇ＝２５０００ｍｇ
Ｖ１＝
１００
７００００ｍｇ 毫克 ／百毫升
×７０％＝４９０
假设每一个健康人对酒精的吸收能 他喝第二瓶酒是在晚上 ７ 点。第一次检
时）内喝的。
力是相同的，吸收速率与酒精浓度成正比。 查在喝酒后的 ６ 小时，再次被检查时，距
３．怎样估计血液中的酒精含量在什 Ｖ１ 和 Ｖ２ 不变，同时考虑质量守恒，可得： 离两次喝酒的时间分别是：１４ 小时和 ７
数学建模饮酒驾车
数学建模饮酒驾车引言饮酒驾车是指酒后驾驶机动车辆的行为，这种行为不仅是违法的，也是极其危险的。
根据世界卫生组织的数据，全球每年因酒后驾驶事故导致的死亡人数高达100万人。
因此，为了减少饮酒驾车事故的发生，数学建模在此领域具有重要的作用。
模型建立饮酒驾车的危险性主要在于酒精的影响。
我们通过建立数学模型，来量化血液中的酒精含量与驾驶能力之间的关系。
1. 血液酒精浓度计算酒精在人体内的分布服从一定的动力学，可以用下面的公式来计算血液酒精浓度：$$ BAC = \\frac{{a \\cdot S}}{{m - w \\cdot t}} $$其中，BAC 表示血液酒精浓度，a 表示饮酒体积，S 表示酒精体积分布系数，m 表示受体体重，w 表示体重分布系数，t 表示经过的时间。
2. 饮酒驾驶风险预测根据研究，饮酒后的驾驶能力会受到影响，我们可以用一些统计模型来预测饮酒驾驶的风险。
我们可以通过分析历史驾驶数据，并结合血液酒精浓度，使用回归分析模型来预测驾驶风险。
具体的模型可以是线性回归模型、逻辑回归模型等。
模型应用建立数学模型后，我们可以通过以下方式来应用模型进行饮酒驾车问题的解决：1. 提醒饮酒驾车风险通过将模型整合到智能手机或车载系统中，当用户输入他们的性别、体重、酒精饮用量和时间时，系统可以自动计算他们的血液酒精浓度，并提醒他们可能存在的饮酒驾车风险。
2. 设定饮酒驾车限制基于模型的预测结果，政府可以制定更有效的饮酒驾车政策。
例如，根据血液酒精浓度的不同阈值设置不同的处罚措施，来强制执行饮酒驾车的限制。
3. 教育和宣传数学模型可以帮助我们了解饮酒驾车的真正危险性。
通过将模型结果可视化，并结合相关的教育和宣传活动，可以提高公众对饮酒驾车风险的认识，从而减少事故的发生。
结论数学建模在饮酒驾车问题上发挥着重要的作用。
通过建立数学模型，我们可以量化血液酒精浓度与驾驶能力之间的关系，并预测饮酒驾车的风险。
这些模型的应用可以帮助我们提醒个体的饮酒驾车风险、制定更有效的政策，以及提高公众对问题的认识。
大学生数学建模：四、模型的建立与求解
三.符号说明x （t ）/毫克 t 时刻体液中酒精含量 I/毫克 人喝下的酒精总含量a 代谢系数g (t)/毫克t 时刻肠胃中酒精剩余量b 吸收系数 V 0/百毫克 人体体液体积c (t)/毫克/百毫升t 时刻血液中酒精浓度t/小时 时间c 0/毫克/百毫升开始饮酒时血液中酒精浓度四．模型的建立与求解4.1 模型分析血液中酒精含量是由酒精的吸收代和谢两种途径决定的。
即血液中酒变化量=酒精的吸收量-酒精的代谢量。
查阅资料可知酒精的代谢速率与体液中的酒精量成正比，假设代谢系数为a 。
而快速饮酒和慢速饮酒酒精进入血液的速率不同。
由此可以建立两种情况下血液中酒精浓度随时间变化的微分方程模型。
4.2 短时间饮酒模型4.2.1短时间饮酒模型的建立由上述分析知在t 到t+∆t 的时间内代谢的酒精量为()t ttax t dt +∆⎰。
酒是在短时间内饮下的，所以可认为酒精在肠胃内迅速达到最大值，即饮入的酒精量I 。
查阅资料知酒精的吸收速率与肠胃中酒精的剩余量成正比，设t 时刻酒精剩余量为()g t ，吸收系数为b ，则t ∆时间内酒精的吸收量为t+b ()ttg t dt ∆⎰，因此这段时间的酒精变化量为：x ()t ∆ =t+b ()ttg t dt ∆⎰-()t ttax t dt +∆⎰（1）为了得到血液中酒精浓度的表达式，两遍同除以t ∆，0t ∆→ 求极限得：x ()b ()ax(t)d t g t dt=- （2） 又 0x()()t c t v = （3） （3）式带入（2）式且两边同除以0v 得：c ()b ()()d t g t ac t dt v =- （4） 肠胃中酒精减少速率与剩余量成正比，所以g （t)()d ag t dt=- （5） 另b ()g t dt I ∞=⎰因此快速饮酒的情况下可建立如下微分方程模型：+00c ()b ()()g （t)()b ()c (0)(0)d t g t ac t dt v d ag t dt g t dt I c g I ∞⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪⎩⎰ 4.2.2短时间饮酒模型的求解对方程（1），运用常数变易法求解一阶线性微分方程解得：00()()tatatatb c t Ceeg t e dt v --=+⎰ （C 为常数） （6） 由0c(0)c =带入得：0=c C （7） 由g （t)()d ag t dt=-和(0)g I =求解一阶线性微分方程得 g ()bt t Ie -= （8）将（7）、（8）带入（6）求解得：00b ()()()at at bt Ic t C e e e v a b ---=+--4.2.3短时间饮酒模型的参数估计4.3 长时间饮酒模型4.3.1长时间饮酒模型的建立长时间饮酒与短时间饮酒的不同之处在于酒精吸收进血液的速率，故与短时间饮酒模型一样有c ()b ()()d t g t ac t dt v =-。
饮酒驾车问题
模型I 一次性短时间饮酒模型说明:这是建立一个一次性短时间饮酒模型,利用原题目参考资料(1)(2),得出此种饮酒方式的一般规律。
这对以后的模型也起着支撑作用。
其中的基本假设绝大多数也是之后的模型或问题中求解时的假设。
模型描述:我们认为酒精是瞬间进入肠胃,再由肠胃通过扩散作用逐渐进入到血液中的。
酒精进入到血液中后，能够立即完成转运间的动态平衡阶段，然后酒精通过分解排泄而消除掉，因此可以根据线性药物动力学原理,把整个机体看成为酒精转运动态平衡的一个“隔室1”，建立血管外给药的单室模型[1]。
基本假设:一、线性药物动力学的假设:1.药物分布相对消除而言,其过程是迅速完成的；2.药物消除(包括生物转化和排泄)可作为一级速率过程处理[2]；3.药物的吸收可认作一级速率过程处理。
二、其它假设:1.短时间内饮酒,考虑酒精是瞬间被摄入到肠胃中的， 然后逐渐渗透到血液中；2.酒精在体内的吸收过程与药物相同；3.绝大部分的组织间液能迅速地与血管内液体或细胞内液进行交换并取得平衡。
而其它的一些体液在维持液体平衡的方面作用甚小[3]。
这样我们就可以将组织间液、细胞内液以及血液视为一体，都看作血液,作为单室模型的中心室 2。
4.血液中的酒精被分解排泄,无论是被肝脏分解还是其它方式排泄,都看作一个分解整体,分解速率根据基本假设2认为是一级速率系数常数 3。
5.酒中的水吸收进血液中不影响血液体积。
这是因为人体在不断进行新陈代谢,保持动态平衡。
6.初次饮酒前血液中与肠胃中的酒精含量均为0。
7.血液中酒精含量始终未达到饱和值。
8.如无特殊说明，酒均指啤酒。
9.忽略吃饭对酒精吸收的影响。
因此,根据线性药物动力学的血管外给药的单室模型,做出以下示意图，见图一:图一中的符号说明：D:初始时摄入到肠胃中的酒精量,单位:mg ;1对于“隔室”模型的划分在第18页有进一步的补充说明。
V的描述.2详见第6页关于常量d3详见第5页关于比例常量K的描述.a K :血液(包括细胞内液和细胞间液)吸收酒精速率的一级吸收速率常数; e K :血液分解排泄酒精的一级分解速度常数; X :血液中的酒精量，单位：mgC :t 时间中心室的酒精浓度,单位:mg/100ml; d V :混合液室中液体的体积,单位:100ml;引入的几个变量:D :t 时间肠胃中酒精量,单位:mg; 0X :初始时血液中酒精量,单位:mg;因此可以写出吸收室中酒精量的微分方程: 自变量t 为时间,t=0表示摄入酒精的时刻:a d DK D d t=− --------------------------------------------------------------(1.1)中心室中酒精量()X t 的变化率是由两部分组成:1. 正比于血液中酒精量的分解排除系数e K ;2. 正比于肠胃中酒精量的吸收系数a K ;由于吸收室与中心室的酒精的质量分别为D 、X , 则得到血液酒精量的微分方程为:a e dXK D K X dt=− ------------------------------------------------------------(1.2) 根据(1),(2)式和初始条件0(0)D D =、(0)0X =得出:()0()a K t D t D e −= ------------------------------------------------------(1.3)0()a b K t K t aeaK DXe e K K−−−−= --------------------------------------------------(1.4)0*()()a d e ae a K t K t K D C e e V K K −−=−− ---------------------------------------(1.5) 其中:z (1.3)式表示t 时刻肠胃中的酒精量。
酒精代谢的数学分析
酒精代谢的数学分析酒精代谢的数学分析：一、酒精的代谢1、酒精的代谢是什么？酒精的代谢是指人体将酒精从口腔通过呼吸、消化系统、血液和肝脏等组织器官以及微生物和细胞等所催化的化学过程，将酒精中的乙醇分解成有害气体二氧化碳和水。
2、酒精代谢的原理酒精代谢的原理即乙醇分解，乙醇会被人体中的乙醛脱氢酶所催化，乙醛氢解乙醇，乙醛氢解酶可将乙醇转化成乙醛，再被乙醛脱氢酶转化成二氧化碳和水，也就是说，乙醇在人体代谢过程中，会被转化成二氧化碳和水。
3、酒精代谢的速率酒精代谢的速率取决于体内乙醛脱氢酶活性水平，能够分解乙醇的细胞量以及人体的性别、体重和年龄等因素。
通常情况下，体内乙醛氢解酶的活性大概能够将1克/小时的乙醇转化为乙醛，乙醛再被乙醛氢解酶转化成二氧化碳和水，所以，人体一般需要1小时左右才能完全代谢掉一个标准玻璃（一百毫升）的酒精。
二、酒精代谢的数学分析1、酒精代谢的函数模型数学上刻画酒精代谢的函数模型，常用的是二阶指数函数模型，即：C（t）=CE0/（1+kt），其中C（t）为时间t时刻乙醇含量，CE0为酒精原始用量，k为乙醇衰减速率。
2、酒精代谢的数学分析(1) 酒精摄入量——要研究酒精代谢，首先分析饮酒者乙醇摄入量是否超标，尤其是考虑到市场上啤酒、白酒、葡萄酒等多种酒精饮料，其含量也不尽相同。
(2) 乙醇脱氢酶活性——其次，可以用探针技术测量某一时刻体内乙醛脱氢酶的活性，对催化水解乙醇的能力进行分析，以及用测定邻-氧苯甲醛水解酶（ALDH）和乙醛氧合酶（ALDH+）活性的方法了解乙醇代谢的速率和动力学行为。
(3) 酒精代谢产物分析——此外，也可以利用质谱技术对酒精代谢的产物，如乙醛和二氧化碳，进行分析，以便更好地了解酒精的代谢过程。
三、结论以上分析可以得出结论：酒精的代谢是通过体内乙醛脱氢酶的催化，将乙醇分解成有害气体二氧化碳和水的过程。
以上模型和数据分析可以为更好地了解和控制酒精摄入量和乙醇代谢提供有价值的信息。
饮酒模型
饮酒驾车模型摘要由代谢量与喝入的酒量成正比,吸收量与胃中残留的酒量成正比原理,得到满足初值条件的微分方程组：(Ⅰ)101()()(0)0k x x k x x αα=-⎧⎪'=⎨⎪=⎩为常数，(Ⅱ) 22()(0)0y k k y y αββ'=-⎧⎪=⎨⎪=⎩为常数运用非线性规划方法得到一组优化解;从而构造了相应的指数函数模型:12()k t k t y m e e --=-应用该模型能准确的解释题目中所述的现象,较圆满的解答了所有问题,并对其他未涉及的特殊情况和不同时间内人体血液中酒精含量的变化作出相应的预测.本模型总体上优于多项式函数的拟合,且便于操作.推广和应用,该模型比较广泛地应用到很多领域,诸如医药领域中药物的吸收和代谢,酒精的吸收和代谢,营养学中多种营养物质的吸收和代谢,生物学中的微量元素的吸收和代谢等.关键词变化率 微分方程 指数型函数 曲线拟合一、问题的提出、复述：面对高科技飞速发展的今天，随着经济的空前发展，人民生活水平的不断提高，人均汽车拥有量也在直线上升，加上一些人的安全意识淡薄，自我约束能力差，从而引起了频繁的交通事故发生，因此，我国质量监督检验检疫局2004年5月31日提出了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新的标准规定，当血液浓度C：20毫克/百毫升≤C<80毫克/百毫升时，规定为饮酒驾车；当血液浓度C：C≥80毫克/百毫升时，规定为醉酒驾车.对血液中的酒精含量的检验是监督驾驶人员的重要措施，通过对人饮酒后的研究,得出酒精在人体血液中随时间的变化情况，再结合国家对饮酒驾车检测新标准的规定.众所周知，酒精对人的神经、小脑都有相应的损伤麻痹，检查员对车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验，是对司机及他人人身安全保障的进一步加强.对于大李在两次喝完同样多的啤酒后，分别进行检测，在第一次饮酒经过6小时后，检测时符合标准；在第二次饮酒后为了保险起见，经过6个多小时后，检查时却不符合驾车标准.对于出现的此种情况应作如何解释呢？在喝了多瓶（如三瓶）啤酒后经过多长时间才能驾车呢？怎样估计血液中酒精含量在什么时间最高？若天天喝酒，是否还能驾车？为了安全起见，如何对驾驶人员提出忠告？二、假设与建模1.酒精在血液中的分布是均匀的；2.饮酒后血液中酒精的含量只与体重有关；3.血液中酒精的含量与体重成反比,即认为喝相同量的酒,体重大者血液中酒精的浓度较小, 血液中酒精的含量与喝入的酒量成正比；4.所有啤酒的度数相同, 所有白酒的度数相同；5.当饮酒者短时间内喝完酒时,忽略该时段内对酒精的吸收与代谢；6.对于没有饮酒者,假设其体内酒精浓度为常数0 , 饮酒后血液中的酒精含量的浓度随时间的无限延长,认为其浓度可以忽略不计；x；7.每次喝入体内的酒精量为8. 酒精在胃中向血液中吸收速度为α,酒精在体内新陈代谢速度为β；9. 喝完酒到时间t内吸收酒精的含量为x(t),喝完酒到时间t内血液中酒精的含量为()y t；10.假设饮酒者的体重为70kg.三、建立模型微分方程模型的建立：为了考察一个人饮酒后血液中酒精浓度的变化情况，特设：从第一次饮酒时开始：x.每次喝入体内的酒精量为α.酒精在其胃中吸收速度为()tβ.酒精在体内的新陈代谢速度为()t喝完酒到时间t吸收酒精的的质量为()x t.人喝完洒到时刻t 血液中酒精含量为()y t . 吸收速度与胃中酒精的含量成正比； 吸收的量的变化率为吸收速度；血液中含量的变化率为吸收速度与代谢速度之差； 代谢速度与血液中的含量成正比. 则在某一时刻t ： (),(),(),()t t x t y t αβ满足下列初值微分方程:(Ⅰ)101()()(0)0k x x k x x αα=-⎧⎪'=⎨⎪=⎩为常数 (Ⅱ) 22()(0)0y k k yy αββ'=-⎧⎪=⎨⎪=⎩为常数 解方程(Ⅰ) 10()x k x x =-101dxk x k xdt=-① 先求出微分方程 1dxk x dt=-的解：11k t x c e -= 设①的解为 11()k t x c t e -=得 11111()()k t k t x k e c t e c t --''=-+111()k t k x e c t -'=-+⋅ 011)(1x k t c e t k ='∴-解之得：210111)(c e k x k t c tk +=102()k t x t x c e -∴=+ 由0)0(=∴x ，解得：02x c -=100()k t x t x x e -∴=-111210k t k t x k c e k x e α--'∴==-=又 22()(0)0y k k y y αββ'=-⎧⎪=⎨⎪=⎩为常数即，102kt dy k x e k ydt -=-② 先求2dyk y dt=-的解. 23ln y k t c =-+23k t y C e -=设②的解为: 23()k t C t e -y= 则22323()()k t k t C t e k C t e --''-y =232()k t C t e k y -'-= 代入②得 12232()k t k t e k y C t e k y ---=-10k x21()3k k t C e -'∴10(t)=k x 21()3421k k tC e c k k -∴+-10k x (t)=12412k t k t y e c e k k --∴=+-10k xy(0)表示时间为0时的值,显然y(0)=0.421c k k ∴=-10k x1221()k t k t y e e k k --∴=--10k x③设21m k k =-10k x12()k t k t y m e e --∴=-代入方程③,通过解方程组的方法,分别求出m i ,k 1i ,k 2i 的可能值,运用非线性规划的方法，求出k 1i ,k 2i ,m i 的一组优化值,得k 1i =0.1998, k 2=1.998, m=119于是微分方程的解为:0.1998 1.998*()119()t t y t e e --∴=-由方程式③可知,y(t)的值与喝入酒的量x 0成正比,所以喝一瓶啤酒的方程形式为:0.1998 1.998119()()2tt y t e e --∴=-④ 其函数图象如下：0510152040f 1t ()t图1拟合曲线与参考数据点的对比图：05101550100实测数据经验曲线图2若此人第一次饮酒后，经过时间间隔t 0再进行下一次饮酒.设第k 次饮酒后血液中酒精含量y k (t),第k 次饮完酒后总血液中酒精的含量为zy k (t).则有下列关系:zy 1(t)= y 1(t)21201200()()()()()()zy t zy t y t t y t y t t t t =+-=+-≥ 3230120300()()(2)()()(2)(2)zy t zy t y t t y t y t t y t t t t =+-=+-+-≥一般地100()()((1))((1))n n n zy t zy t y t n t t n t -=+--≥-若记上式为:001()((1))((1))nn i i zy t y t i t t n t ==--≥-∑⑤显然当0(1)t n t ≥-时上式成立.若00(2)(1)i t t i t -≤<-,则表示第i 次尚未饮酒,其含量应以第i-1次饮酒的时间计算.以下推导第n 次饮完酒后血液中酒精的总含量的递推公式01()((1))nn i i zy t y t i t ==--∑000.1998((1)) 1.998((1))1119()2nt i t t i t i e e ------==-∑00.1998(1) 1.998(1)0.1998 1.9981119()2ni t i t t t i e e e e ----==-∑ 000.1998(1) 1.998(1)0.1998 1.9981111911922n n i t i t t t i i e e e e ----===-∑∑ 00000.1998 1.9980.1998 1.9980.1998 1.99811911()211nt nt t t t t e e e e e e ----=--- 由此,可以得出到从第一次饮完酒到时刻t 的整个过中,血液中酒精含量*()n zy t 的分段函数关糸为:10200300*1000()0()2()23()()(2)(1)()(1)n n n zy t t t zy t t t t zy t t t t zy t zy t n t t n t zy t n t t-<<⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-≤<-⎪-≤⎪⎪⎩四、问题的解决1、对第一个问题的解释：大李中午12点喝了一瓶酒，到下午6点检查时经过了6个小时，将t=6代入方程： 0.1998 1.998119()()2t ty t e e --=- 0.19986 1.9986119(6)()17.9202y e e -⨯-⨯∴=-=<根据新标准规定，大李的喝完一瓶酒6小时后符合驾车标准.假设大李喝第二瓶酒时在7:00以后喝的,到凌晨2点检查时,与第二次喝酒的时间间隔为7小时,与第一次喝酒的时间间隔为14小时,代入方程④21201200()()()()()()zy t zy t y t t y t y t t t t =+-=+-≥ 21212(14)(14)(7)(14)(7)zy zy y y y =+=+0102030204060图321212(14)(14)(7)(14)(7)21.420zy zy y y y =+=+=>根据新的标准规定大李此时为饮酒驾车违反了新的规定. 2、对第二个问题的回答:假设三瓶啤酒或半斤低度白酒的酒精含量相同.⑴ 三瓶啤酒是短时间内喝完的,认为他喝酒时间为0,代入方程④0.1998 1.998119()3()2t ty t e e --=⨯-05101550100150f 3t ()g t ()t图4 (ⅰ)当y(t)≥80时,即0.4≤t ≤4.6时,属醉酒驾车; (ⅱ)当20≤y(t)<80时,即4.6<t<11时,属饮酒驾车; (ⅲ)当y(t)<20时,即11<t 时,属正常.⑵ 假设酒是在较长时间(2小时)内喝完的,设三瓶酒在k 次等量饮完,则时间间隔为2k 小时,将t 0=2k,n=k 代入方程⑤得 00000.1998 1.9980.1998 1.9980.1998 1.99811911()3()211nt nt t tn t t e e zy t e e e e ----=⨯---0.1998 1.9980.1998 1.998220.1998 1.998119113()211t tkke e e e e e ----=⨯--- 我们认为当k →+∞时,即为均匀连续饮酒,其血液中的酒精含量为:0.1998 1.9980.1998 1.998220.1998 1.9980.3996 3.9960.1998 1.99811911()lim ()lim3()211119113()(2)20.3996 3.996t tk k k kk t te e zy t zy t e e k e e e e e e t --→∞→∞----==⨯-----=⨯-≥其图象如下:05101550100150f 4t ()g t ()t图5(ⅰ)当y(t)≥80时,即1.35<t ≤5时,属醉酒驾车;(ⅱ)当20≤y(t)<80时,即0.36<t ≤1.35,5<t ≤12时,属饮酒驾车; (ⅲ)当y(t)<20时,即12<t 时,属正常. 3、对第三个问题的解答: 若只喝一次酒，则方程为：0.1998 1.998119()()2t ty t e e --=-由函数最值知识可知：当()0y t '=，()0y t ''<时，y 取最大值，对上述方程求一、二阶导数，经解方程得：t=1.28（小时），即从饮完酒1.28小时后血液中的酒精含量达到最大值.若多次喝酒,则同样可由微分方程()0y t '=，()0y t ''<得出酒精含量最高的时刻. 4、对第四个问题的解答:我们先以一天为例,进行讨论,然后由递推方程的迭代,去推理以后每天的情况. ⑴每天喝一瓶或者喝两瓶的情形见对问题1的解答. ⑵ 每天喝三瓶的情况分为：① 一次喝完或在较长时间（如2小时）内喝完，见问题2的解决. ② 分次喝完的情况：分两次，每次一瓶半，时间间隔12小时，其血液中酒精含量与时间的函数关系如下：12123()122()3(()(12))122y t t zy t y t y t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩其图象的参考对问题1的回答：分三次，每次一瓶，时间间隔8小时，则有：1123123()8()(8)816()()(8)(16)16y t t y t y t t zy t y t y t y t t <⎧⎪+-≤<=⎨⎪+-+-≥⎩ 其图象如图：05101520204060hh3t ()g t ()t图6可见，每天最多只能在(5.5,8.0),(14.3,16.1),(22.37,24)这三个时段内可以驾车.⑶每天喝四瓶的情况：① 一次喝完，运用方程⑤有0.1998 1.9984119()()2t ty t e e --=-可计算出4()20y t ≥，即t>12.25时可以驾车. ② 分两次喝，其情形与两瓶两次喝完相似.③分四次喝完，每次一瓶，间隔6小时，其血液中的酒精含量方程为：11241231234()6()(6)612()()(6)(12)1218()(6)(12)(18)18y t t y t y t t zy t y t y t y t t y t y t y t y t t <⎧⎪+-≤<⎪⎪=+-+-≤<⎨⎪+-+-+-≥⎪⎪⎩其图象如图：010203020406080gg4t ()g t ()t图7可见，每天只有从(5.46,6.02)中的33分钟的开车时间，在第25小时时的含量为20.863,即从第二天起，则再没有任何开车机会.（4）五瓶及五瓶以上的讨论与此基本相同.由以上讨论，我们的结论是：若天天喝四瓶酒，并分四次喝完，则只在第一天有33分钟的开车时间，而从第二天起，则再没有任何开车机会.若一次喝完，虽然可以驾车，但相应的驾车时间会随喝入酒量的增大而减少. 5、对第五个问题的解答:广大司机朋友们，为了你我的安全，为了家人的幸福，为了维护交通的畅通，驾车前最好不要喝酒，若你真正想喝一点酒，酒后又想驾车，如何才能使你既安全又不被交警检测时被定为饮酒驾车（或酒醉驾车）呢？根据研究，对你提出以下忠告：（以喝啤酒为例，每天以24小时计）1、一天只喝一次，在你喝了一瓶酒后，请在6小时之后再开车；在你短时间喝完2瓶啤酒，请在10小时之后开车；若你短时间喝了3瓶啤酒，请在11个小时后开车；若你较长时间喝了3瓶啤酒，请在12小时之后开车.2、若你一天喝两次酒，每次一瓶，其按中间间隔6小时，你应在14小时之后驾车；若你一天喝两次酒，每次两瓶，其中间间隔仍按6小时计，你应在19.5个小时后驾车.3、若你一天喝三次酒，每次一瓶，其按中间间隔6小时，你应在22.5小时后驾车；若你一天喝三次酒，其按中间间隔8小时，你全天只能驾车5.3小时.4、若你一天喝四次酒，每次喝一瓶，按中间间隔6小时，第一天只有0.56小时驾车,而以后每天你将没有驾车时间.若再比4次多，你将再也没有驾车机会.五.模型的评价与改进模型与方法已获得应用，通过多次间断，连续的在相同间隔下饮酒的计算所得结果与参考数据2所给数据相吻合.在建模时曾作了忽略人体内本身所含有的酒精含量（c0.3/毫克百毫升）的假设，在模型计算中的出的数值比实际检测出的数值偏低，要是计算数值更接近实际检测出的数值，在建模过程中，我们应该将这个因素考虑进去.此外，在建模中未考虑到外界条件、饮食、个人心情的变化对人体内血液中酒精吸收速度的影响，使得我们在作拟合图象时出现了一些允许的误差，并对这些误差作出估计（见图2）.经计算，拟合函数在各测定点的函数值，与参考数据组的绝对平均误差为-0.204，相对平均误差为1%.参考文献及使用工具：⑴叶其孝《大学生数学建模竞赛辅导教材》；湖南湖南教育出版社1997年版⑵郝黎仁《Mathcad2001及概率统计应用》北京中国水利水电出版社2002年版本篇论文在数值计算、图象处理等方面大量使用了Mathcad2001、几何画板等数学计算和编辑软件。
第二次作业饮酒驾车问题数学建模
dw = − kw dt w(0) = w0
其中 k 为吸收速率常数，解得： w( t) = w0 e− kT 时，由于经过时间间隔 T，又第二次饮酒，饮入量为 w0 ，所以 t=T 时
w(T ) = w0 + w0 e − kt
同理：当 t=2T 时，前两次酒精残余为： ( w0 + w0 e − kT )e − kT 并且当 t = 2T 时，又第三次饮酒，饮酒量仍为 w0 ，所以，
在前面就设好喝酒瓶数 n 比较方便）
问题一： （喝一瓶酒故参数 f/V 应代为 51.35） 下午六点检时测， t=6 时代入： w(6)= 19（mg/100ml） w(6)<20,即下午六点时没有检测出为饮酒驾车。 再次喝酒时，体内有酒精残余，有一个值为 19 的初始值， 凌晨两点再次检测时， t=8 代入： y(8)=27（mq/ml） 酒精含量 y(8)>20，因此大李被认定为饮酒驾车。
数学建模作业二：
饮酒驾车问题分析
一、 一次性饮酒的模型：
假设： 1 .酒精转移的速率与出发处酒精浓度成正比； 2 .过程为酒精从胃到体液到体外； 3. 酒精在血液与体液中含量相同； 4 在很短时间内饮酒，认为是一次性饮入，中间的时间差不计； 5.不考虑个体差异。
t为饮酒时间， y1 (t ) 为 t 时刻人体消化的酒精量， y2 (t ) 为 t 时刻人体的酒精
这样考虑 1.假设饮酒周期固定； 2.假设每次饮酒量也一定； 3.假设为一次性饮入； 4. 酒精浓度消除率为常数； 5.不考虑个体差异。 设 w(t ) 表式 t 时刻酒精在人体内的浓度， w(0) 表示 t=0 时饮入酒精量在体 内浓度， y (0) 表示饮入酒精量，T 表示周期，V 为体液体积，k 为酒精浓度消除 率。 饮酒后体内酒精的浓度逐渐降低， 酒精浓度消除率与饮酒量成线性比， 则有：
数学建模实验-血液酒精浓度
数学建模实验实验目的?运用药物注射模型，熟练使用MATLAB曲线拟合方法，解释饮酒驾车的一些实际问题。
?实验原理?由于酒精不需要进入肠道即可被吸收，且胃对其吸收速率也非常快，本题应采用“快速静脉注射模型”。
?，因A1，α，B1，/百毫升，小于8080毫克/（1）?（2）?短时间内喝啤酒3瓶多长时间之后才能驾车？?（3）?怎样估计血液中的酒精含量在什么时候最高？?（4）?如果天天喝酒，是否还能开车？解答：建立常微分方程模型，假设喝进去的酒精从胃吸收的转移速率与胃里酒精含量成正比；血液代谢酒精的速度与浓度成正比；如图所示：则((X t C t +⎧⎪⎨+⎪⎩即'X =-即X X =解得()C t MATLAB cftool (c exp b -⨯拟合得：即第一题喝一瓶啤酒时X0=51.7，此时()0.1822 2.27356.205356.2053t t C t e e -⨯-⨯=⨯-⨯而() 2.27365651.7 6.174210X e -⨯-=⨯=⨯()0.18226 2.2736656.205356.2053=18.836720C e e -⨯-⨯=⨯-⨯<，故符合驾车标准紧接着又喝一瓶，此时X0约为51.7，C0=18.8367。
到凌晨二点过了8小时，此时()()0.18228 2.2738856.205318.836756.205317.4693C e e -⨯-⨯=+⨯-⨯=可以发现并没有大于20，但是当过后7.2小时时()()0.18227.2 2.2737.27.256.205318.836756.205320.2106C e e -⨯-⨯=+⨯-⨯=，略大于20，属于酒驾。
题目所给情况可能是晚上喝酒不是快速喝下导致的误差。
第二题 短时间喝三瓶啤酒时X0=155.1，此时()0.1822 2.273168.616168.616t t C t e e -⨯-⨯=⨯-⨯MATLAB 命令：T=0:0.1:24;C=168.616*exp(-0.1878*T)-168.616*exp(-1.971*T);plot(T,C,’r’)holdonplot([024],[2020],’g’)得可发现与C=20相交于11、12之间T=11:0.1:12;C=168.616*exp(-0.1878*T)-168.616*exp(-1.971*T)输出：C=1至7列21.366520.969020.578920.196019.820219.451519.08968至11列故11.4题目三输出：C=1至6列7至11列第四题2.273t n e -⨯⨯ 要求：()2420C <，()()()0.1822 2.273'2456.20532456.205320t t C n C e n e -⨯-⨯=+⨯-⨯<，()()()0.1822 2.273''2456.2053'2456.205320t t C n C e n e -⨯-⨯=+⨯-⨯<依此类推考虑到48小时后的影响很小，故只需在数日内符合即可认为符合，这里取十天。
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(1)
解此微分方程组可得t时刻两房室的酒精含量与时间 解此微分方程组可得 时刻两房室的酒精含量与时间 的关系式为
−k1t x1(t) = f0e f0k1 x(t) = ×(e−k2t − e−k1t ) k1 − k2
(2)
又由假设V 是驾车者体液的体积(百毫升 ，可得 x=VC, 又由假设 是驾车者体液的体积 百毫升)， 百毫升 时刻驾车者体液中的酒精浓度与时间的关系式为： 则 t 时刻驾车者体液中的酒精浓度与时间的关系式为：
根据《车辆驾驶人员体液、 根据《车辆驾驶人员体液、呼气酒精浓度阈值与 检验》的国家标准， 为饮酒驾车， 检验》的国家标准，即 为饮酒驾车， 为醉酒驾车， 为醉酒驾车，饮酒后的驾车者可根据自己所喝酒 的数量和自己体液的体积，代入本文的(7)式计 的数量和自己体液的体积，代入本文的 式计 算出多长时间后可以安全驾驶。 算出多长时间后可以安全驾驶。
据报载每年全国道路交通事故死亡人数超过10 据报载每年全国道路交通事故死亡人数超过 其中因饮酒驾车造成的占有相当大的比例。 万，其中因饮酒驾车造成的占有相当大的比例。 针对这种严重的道路交通情况， 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检 验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾 日发布了新的《 验检疫局 年 月 日发布了新的 驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》 驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标 新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含 准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含 量大于或等于20毫克 百毫升，小于80毫克 百 量大于或等于 毫克/百毫升，小于 毫克/百 毫克 百毫升 毫克 毫升为饮酒驾车， 毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于 80毫克 百毫升为醉酒驾车。 毫克/百毫升为醉酒驾车 毫克 百毫升为醉酒驾车。
酒精在人体内分布和排除的数学模型
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摘 要
根据酒精在人体内分布和排除的过程建立微分 方程模型, 利用数学软件Mathematica 方程模型, 利用数学软件Mathematica 对酒精浓度的测量数据进行拟合, 得到了人体 内酒精浓度随时间变化的函数。根据不同的喝酒 内酒精浓度随时间变化的函数。 方式和喝不同数量的酒预测任意时刻驾车者体内 的酒精浓度
f0k1 C(t) = ×(e−k2t − e−k1t ) V (k1 − k2 )
(3)
根据资料显示一位体重约 根据资料显示一位体重约75kg 的驾车者在短时 体重约 间内喝下2瓶啤酒后 瓶啤酒后， 间内喝下 瓶啤酒后，隔一定时间他体液中的酒 精浓度(毫克 百毫升)，得到数据如下： 毫克/百毫升 精浓度 毫克 百毫升 ，得到数据如下：
一般人的体液占人的体重的 左右， 一般人的体液占人的体重的70%左右，体液的 人的体液占人的体重的 左右 密度为1.054克/毫升。可得一位体重约 毫升。 密度为 克 毫升 可得一位体重约75kg 的驾车者体液的体积 V=75*70%*1000/1.054=49810毫升 毫升 =498百毫升 百毫升 毫克和v=498百毫升代入 百毫升代入(3)式， 将 毫克和 百毫升代入 式 可得驾车者在短时间内喝下2瓶啤酒后 时刻体 瓶啤酒后， 可得驾车者在短时间内喝下 瓶啤酒后，t时刻体 液中的酒精浓度与时间的关系式为： 液中的酒精浓度与时间的关系式为：
其中分
f0 : 是驾 车者所 喝的酒 精质 (毫克 量 ) x1(t): 是时刻中 t 心室 所含酒 精的质 (毫 ) 量 克 C1(t): 是时 t 刻中心 ( ) 室所 含酒精 的浓度 毫克 毫升 /百 x(t): 是时刻 t ( ) 驾车者 体液中 所含 酒精的 质量 毫克 C(t): 是时 t 刻驾车 ( ) 者体液 中所 含酒精 的浓度 毫克 毫升 /百 V: k1 : k2 : 是 驾车者 体液中 的体 (百毫 ) 积 升 是 酒精 从中心 室向周 边室 的转移 速率系 数 是 酒精从 周边 室向体 外排除 的速 率系数
假设酒精从一室向另一室转移速率及向体外排除的 速率与该室的酒精含量成正比， 速率与该室的酒精含量成正比，可得如下微分方程 组模型： 组模型：
′ x1(t) = −k1 × x1 x′ (t) = k × x − k × x 1 1 2 x1(0) = f0 x(0) = 0
本文根据酒精在人体内的分布和排除过程来建立 数学模型，得出驾车者在饮酒之后， 数学模型，得出驾车者在饮酒之后，体内酒精浓 度随时间变化的函数。 度随时间变化的函数。
驾车者喝酒之后，酒精首先进入人的胃里， 驾车者喝酒之后，酒精首先进入人的胃里，然后 再由胃向周边的体液中转移，最后向体外排除。 再由胃向周边的体液中转移，最后向体外排除。 房室模型是药物动力学研究上述动态过程的基本 模型。 模型。 假设酒精只从周边室向体外排除， 假设酒精只从周边室向体外排除，不考虑酒精在 人体中的吸收。 人体中的吸收。酒精在驾车者体内的分布和排出 模式如图1所示 所示。 模式如图 所示。
再根据表1中驾车者体液中的酒精浓度两小时前 再根据表 中驾车者体液中的酒精浓度两小时前 中驾车者体液中的 的数据， 数学软件进行数据拟 的数据，经Mathematica数学软件进行数据拟 合，可得(4)式中的参数 可得 式中的参数
代入(4)式，可得驾 将 代入 式 车者在短时间内喝下2瓶啤酒后 时刻驾车者体 瓶啤酒后， 车者在短时间内喝下 瓶啤酒后，t时刻驾车者体 液中酒精浓度与时间的关系式为： 液中酒精浓度与时间的关系式为：
一般情况下一瓶啤酒的容量是 毫升， 一般情况下一瓶啤酒的容量是640毫升，酒精浓 一瓶啤酒的容量是 毫升 度是4%，又由啤酒的密度大致跟水的密度相等， 度是 ，又由啤酒的密度大致跟水的密度相等， 即啤酒的密度为1克 毫升 毫升， 即啤酒的密度为 克/毫升， 可得一瓶啤酒中的酒精含量为 640* 4%*1000=25600毫克。 毫克。 毫克 由于驾车者在短时间内喝下2瓶啤酒 瓶啤酒， 由于驾车者在短时间内喝下 瓶啤酒，则可得
根据表1给出的数据可以看出，经过 小时后 小时后， 根据表 给出的数据可以看出，经过2小时后， 给出的数据可以看出 驾车者体液中的酒精浓度开始降低， 驾车者体液中的酒精浓度开始降低，可看作进入 了消除相。 了消除相。 根据两小时后驾车者体液中酒精浓度的数据， 根据两小时后驾车者体液中酒精浓度的数据，利 数学软件进行数据拟合， 用Mathematica数学软件进行数据拟合，可得 数学软件进行数据拟合 式(5)中的参数 中的参数 的值为
由药物动力学参数及计算常用的残数法 (method of residual)的基本指导思想，经 的基本指导思想， 的基本指导思想 过一段时间后，酒精从中心室向周边室的转移速 过一段时间后， 率比周边室向体外排除的速率要快得多， 率比周边室向体外排除的速率要快得多，必然有 因此， 足够大时 足够大时， ，因此，当t足够大时，首先 ， 其体液中的酒精浓度的变化可视作只受消除的影 即进入消除相。此时式(4)可写作： 可写作： 响，即进入消除相。此时式 可写作
代入(3)式，可得驾 将 代入 式 车者在不同的喝酒方式和喝不同数量的酒后， 车者在不同的喝酒方式和喝不同数量的酒后，经 时刻体液中酒精浓度与时间的关系式为： 过t时刻体液中酒精浓度与时间的关系式为： 时刻体液中酒精浓度与时间的关系式为
是驾车者所喝的酒精质量， 是驾车者体液的 是驾车者所喝的酒精质量，V是驾车者体液的 体积