不确定关系(测不准关系)的表述和含义

不确定关系（测不准关系）的表述和含义

摘要：介绍了测不准关系的一些不同的表述和证明方法，对其中关于这一原理的认同和有争议的问题进行了比较与分析。

关键词：测不准关系；不确定度；量子理论；统计解释

引言

测不准关系是由量子力学基茌原理导出的一个重要推论，它是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性它在量子力学中占有重要的地位。量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用；但是，对量子力学基本理论的解释却一直存在着不同意见的争论，关于测不准关系的理解问题是争论的焦点之一。本文对其中一些主要的有争议问题进行简要的介绍，并加以讨论。

1 几种主要的表述和证明方法

测不准关系是海森堡在1927年提出的，他设想一种使用波长很短的γ射线的显微镜来最大限度地精确测定电子的位置，这种测量，依靠的是光子被电子的散射[康普顿(compt)散射。海森堡在题为“关于最子理论的动力学和力学的直观内容”的论文中说[1]：“当测定‘电子’位置的瞬间，也正是光产被电子散射的瞬问，电子的动量产生一个不连续的改变。当所用的光的波长越小，即位置测定得越精确，这一改变就越大。因此，在知道电子位置的瞬间，它的动量只能了解到对应于那一不连续改变的大小的程度。于是，位置测定得越精确，动量就知道得越不精确，反之亦然。在这种情况下，我们看到方程pq—qp=-ih的一种直接的物理解释。这就是在文献中第一次出现的关于测不准关系的表述。

1929年，罗伯逊(Robertson)[2]在一篇短文中首次证明：两个厄密算符的标准偏差之积绝不会小于它们的对易子的平均的绝对值之半。证明如下：

设A和B是任意的两个厄密算符，C是它们的对易子，令A1=A一，B1=B一

，A和B的标准偏差分别为△A=1/2和△B=1/2。定义D=A1+iλB1，其中λ为一实数，可得：

O≤=λ2(△B)2一λ+(△A)2

由于这个关于△的二次多项式的判别式不能大于零，因而有

△A△B≥l1／2

或△A△B≥l1／2

对于A=q(坐标)和Bp(动量)，罗伯逊得到c=ih／2π目从△p△q=h／4π(与海森堡的结果一致)。这一证明方法已被大多数现代的量子力学教科书所采用[3]此后测不准关系逐渐被绝大多数物理学家所认同。但是，关于它的真正涵义和进一步的理解。以及它在量子力学中的地位，却一直存在着不同意见的争论。在各类文献中提出过许多种对测不准

关系的证明方法。

其中在教科书中介绍较多的一种是“单缝衍射法”[4]，即设想一个由等速的电子流通过单缝的衍射实验，由光的单缝衍射公式可以推出电子的位置分布范围（△x）与同一方向的动量分布范围（△Ｐx，）之间的关系为：

△x?△Ｐx，=h （２）

近来邓文基[5]等人提出了关于测不准关系的一种严格数学证明，这一方法只利用了力学量算符的厄密性和希尔伯特状态矢量模的非负性。简单的证明不仅揭示了测不准关系的某些经常被忽视的特征，而且还可以直接给出最小不确定态的充要条件。

2 几个有争议的问题

测不准关系的每一种证明方法实际上代表着一种理解。从这些不同的理解中大体可以归纳出以下几方面的问题。

统计解释与非统计解释

测不准关系中所说的“测定得精确”和“不精确”是指对一个粒子的单次测量结果，还是指对一个粒子系综各成员的测量结果的统计分布？或者是对一个粒子的多次测量结果的统计分布？

首先，从海森堡提出的各种论据来看，他的论点是把这些测不准量解释为属于一个粒子单次测量的结果，而不是作为测量粒子系综各成员的位置或动量时所得结果的统计分布。并认为测不准关系给出了在单次测量中对耐个力学量同时进行测量所可能达到的精确度的限制。雅默把这种来源于海森堡的思想实验的关于测不准关系的“同时测量”的解释称为“非统计解释”[6]。

“单缝衍射”实验的证明方法则可以理解为：测不准关系只对电子系综成立。而不适用于单个电子。在（2）式中△x是电子流中大量电子的位置分布，而△ｐ。是大量电子的动量分布，它们都不能代表单个电子的位置或动量的不确定度。（2）式表明的是，电子流中电子的位置分布越集中，则动量分布就越分散；反之，电子的动量分布越集中，则位置分布就越分散，这种以对大量粒子测量的统计平均偏差为基础的解释被称为“统计解释”。[6]（又称“系综解释”）。

罗伯逊对于测不准关系的证明，则是根据量子力学的基本假设严格导出的，并被多数物理学家认同这种证明实际上可以说明：测不准关系对子电子系综是成立的，对于单个电子多次测量的结果也适用，但对于单个电子一次测量的结果是不适用的。对此我们在后面还要进一步说明。

在测不准关系提出后的二十多年晕，非统计解释一直占着统治地位，并被大多数教科书所采用。直到20世纪50年代以后，马根瑙等人才对测不准关系的非统计解释进行了一系列的批评，明确指出只应当限于在多次测量的统计意义上理解测不准关系。马根瑙说过，将测不准关系里的不确定度归于单次测量的性质，“这是如同把温度归之于一个分子那样的蠢话[7]。

实际上，在量子力学的发展过程中，统计解释和非统计解释的争论由来已久。1927

年的索尔维会议上，爱因斯坦（所支持的一种“纯统计观点“（即认为：“量子理论对于仟何单个过程是什么也没有说的，它只给出关于一个相对说来无限多个基元过程的集合的知识”），其本质就是一种统计解释的观点。1936年爱闪斯坦义说，根据波恩对于量子力学的统计性解释，“山函数所描述的无论如何不能是单个系统的状态；它所涉及的是许多个系统，从统计力学的意义来说，就是系综[8]。雅默则认为，统计解释与非统计解释之间并没有不可逾越的鸿沟，并提出一种方法，证明后者是前者的一个逻辑结论[6]。

某些力学量“测不准”的原因是什么？

从海森堡最初提出测不准关系的各种论据来看，他的论点是把“测不准”的原因归结为“在单次测量中被测量的微观系统所受到的不可控制的扰动”。这样的看法实际上认定，系统在被测量之前，各种力学量都是有确定值的，只是在测量时受到了干扰才使它们变得不确定了。

在罗伯逊和邓文基等人的证明方法中，完全是从量子力学的基本假定出发的。这表明测不准关系的成立，仅仅是由微观粒子本身固有的特性所决定的。

关于名称和译名的争议

在关于量子理论基本解释的长期争论中，名词的使用也相应的出现了分歧。我国关于名词的使用方面与国外并不一致，可能是由于在我国关于量子理论解释的争论尚未普遍展开。1975年科学出版社出版的《英汉物理学名词》中，将indetem inacy 和uncertainty 两个词都译成测不准。1997年科学出版社出版的《物理学名词》中，将uncertainty一词改为不确定性，并将indetem inacy删去，此后有些国内的文献已将测不准改为不确定性。但也有一些文献或着作中仍然沿用测不准一词，表明我国有些物理学家对这一名词译法的改动保留意见，也有人提议测不准与不确定二词并用。

3 对有争议问题的讨论

关于统计解释和非统计解释

这一争论的焦点之一就是单个粒子是否有波动性的问题。微观粒子具有波动性，早在1927年已被戴维孙与革末的着名实验所证实。遗憾的是，这类实验结果一般都只能说明大量粒子的统计行为呈现波动性，而不能直接说明单个粒子的行为也呈现波动性。但是我们如果能从一些已有的实验结果或经过大量事实证明的量子力学公式，通过间接的方法，还是可以说明单个粒子的行为也是呈现波动性的。例如：（1）在电子衍射实验中，如果使电子流极其微弱，电子几乎是一个一个的通过仪器，只要时间足够长，则底板上仍将出现衍射图样，在电子或中子的双缝衍射中，只要创造条件，使得在任何时刻最多只能有一个粒子处于狭缝与屏幕之间，经过一定的时间后也能在屏幕上清楚地显示出干涉的条纹，从而说明单个粒子可以自己和自己干涉，也有波动性，这也是关于量子力学基本解释问题研究的一个重要的新进展。（2）如果测不准关系对于单个粒子不适用，就可以认为单个电子能够同时具有完全确定的位置与动量值，这就会导出一些与实验事实相悖的结果。

某些力学量测不准的原因