二次函数的实际问题应用(分类讲解变式)

二次函数的应用

【今日目标】

1、学会建立二次函数模型解决实际问题（与方程、最值相结合）；

2、能在限制条件下求出符合题意的最值。

【精彩知识】

【引例】求下列二次函数的最值：

（1）求函数223

x

y x x的最值．（2）求函数223

y x x的最值．(03)

★方法归纳：

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在处取得最大值（或最小值）．

如果自变量的取值范围是

x x x，分两种情况：

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a为例，最大值是；最小值是顶点在自变量的取值范围内时，以0

顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性

专题一应用之利润最值问题

【例1】某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x 为整数），每个月的销售利润为y元.

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;

(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?

●变式练习：

某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上

涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为x的取值范围为y元。

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？

【例2】某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y （万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=－2x+100.(利润=售价－制造成本) （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

专题二应用之面积最值问题

【例3】把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚

度忽略不计）。

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的

长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的

边长；如果没有，说明理由。

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边

上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

专题三实际应用问题

【例4】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方 2 m的A处发出，把球看

成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为 2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式

（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？

球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出

边界，求h的取值范围。

【例5】卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度

AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如

图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出自变量的取值范围；

2，（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.1

计算结果精确到1米）．

●变式练习：

如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，

球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹

角为30o，O、A两点相距83米．

（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；

（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；

（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．

【课后练习】

1、某地区准备筹办特色小商品展销会，芙蓉工艺厂设计一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行

试销。经过调查，得到如下数据：

（1）已知y与x之间是一次函数关系，求出此函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润

=销售总价-成本总价）

2、政府大力支持大学生创业。大学毕业生小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件

30元的学生台灯。销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+700.

(1) 小明每月获得的利润为w(元)，试问当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？

最大利润是多少？

(2) 如果小明想要每月获得3000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

3、某汽车租赁公司拥有20辆同类汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当

每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）